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微突破放縮法證明不等式高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)

放縮法主要應(yīng)用于不等式的證明問(wèn)題中，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)不等式中的放縮

問(wèn)題主要涉及利用基本不等式進(jìn)行放縮，與ex、ln

x有關(guān)的放縮及與三角函

數(shù)sin

x、cos

x、tan

x有關(guān)的放縮等.一、利用基本不等式進(jìn)行放縮

當(dāng)0＜x＜2時(shí)，h'（x）＜0，∴h（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，故h

（x）＜h（0）＝0.

規(guī)律方法

二、與ex，ln

x有關(guān)的放縮

已知函數(shù)f（x）＝ex－x－1.（1）求證：f（x）≥0；證明：f'（x）＝ex－1，當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，

當(dāng)x＜0時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，所以f（x）min＝f（0）＝0，即ex－x－1≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)，

所以f（x）≥0.（2）當(dāng)m≤1時(shí)，求證：不等式ex－mx＋cos

x－2≥0在x∈[0，＋∞）上

恒成立.證明：令g（x）＝ex－mx＋cos

x－2，則g'（x）＝ex－m－sin

x，由（1）可得ex－x－1≥0，即ex≥x＋1，又m≤1，所以g'（x）≥x＋1－1－sin

x＝x－sin

x.令h（x）＝x－sin

x，則h'（x）＝1－cos

x，當(dāng)x≥0時(shí)，h'（x）≥0，所以h（x）在[0，＋∞）上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈[0，＋∞）時(shí)，h（x）≥h（0）＝0，則g'（x）≥0，g（x）在[0，＋∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈[0，＋∞）時(shí)，g（x）≥g（0）＝0，即ex－mx＋cos

x－2≥0，所以當(dāng)m≤1時(shí)，不等式ex－mx＋cos

x－2≥0在x∈[0，＋∞）上恒成

立.

三、與sin

x，cos

x，tan

x有關(guān)的放縮

（1）求證：tan

x·f（x）≤x；

（2）求證：2ex·f（x）≥（1＋x）（2－x2）.

規(guī)律方法常見(jiàn)的三角函數(shù)放縮

（2）求證：?x∈（0，＋∞），f（x）＞0.

2.

已知函數(shù)f（x）＝xln

x＋ax＋b在（1，f（1））處的切線(xiàn)為

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