重難專攻（十四）概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)重點(diǎn)解讀概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題是命制生活實(shí)踐情境類(lèi)試題的最佳切入點(diǎn)，所考查內(nèi)容涉及數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，是近幾年高考追逐的熱點(diǎn)之一，處理此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是把握概率、統(tǒng)計(jì)的本質(zhì)，合理構(gòu)造模型，正確進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算和必要的邏輯推理.目錄CONTENTS提能點(diǎn)1統(tǒng)計(jì)圖表與概率的綜合問(wèn)題01.提能點(diǎn)2回歸分析與概率的綜合問(wèn)題02.提能點(diǎn)3獨(dú)立性檢驗(yàn)與概率的綜合問(wèn)題03.課時(shí)跟蹤檢測(cè)04.PART01提能點(diǎn)1統(tǒng)計(jì)圖表與概率的綜合問(wèn)題

（2025·海淀開(kāi)學(xué)考試）某甜品店為了解某款甜品的銷(xiāo)售情況，進(jìn)而

改變制作工藝，根據(jù)以往的銷(xiāo)售記錄，繪制了日銷(xiāo)售量的頻率分布直方

圖，如圖所示.假設(shè)每天的銷(xiāo)售量相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率.（1）估計(jì)某一天此款甜品銷(xiāo)售量不超過(guò)60個(gè)的概率；解：

設(shè)事件A為“某一天此款甜品銷(xiāo)售量不超過(guò)60個(gè)”，所以P（A）＝（0.01＋0.03）×10＝0.4.（2）用X表示在未來(lái)3天里，此款甜品日銷(xiāo)售量多于60個(gè)的天數(shù)，求隨機(jī)

變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

X0123P0.0640.2880.4320.216所以E（X）＝0×0.064＋1×0.288＋2×0.432＋3×0.216＝1.8.（3）該店改變了制作工藝以后，抽取了連續(xù)30天的銷(xiāo)售記錄，發(fā)現(xiàn)這其

中有20天的銷(xiāo)售量都大于70個(gè)，問(wèn)：根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為改變工藝

后，此款甜品的銷(xiāo)售情況發(fā)生了變化，說(shuō)明理由.解：

可以認(rèn)為此款甜品的銷(xiāo)售情況發(fā)生了變化.

設(shè)事件C表示“日銷(xiāo)售量大于70個(gè)”，用Y表示“30天內(nèi)日銷(xiāo)售量大于70

個(gè)的天數(shù)”，由直方圖可得P（C）＝0.2，又Y～B（30，0.2），所以E（Y）＝

30×0.2＝6＜20，所以可以認(rèn)為此款甜品的銷(xiāo)售情況發(fā)生了變化.規(guī)律方法統(tǒng)計(jì)圖表與概率綜合問(wèn)題的求解策略（1）正確識(shí)讀統(tǒng)計(jì)圖表，從圖表中提取有效信息及樣本數(shù)據(jù)；（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)原理即用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體的思想，結(jié)合樣本中各統(tǒng)

計(jì)量之間的關(guān)系構(gòu)造數(shù)學(xué)模型（函數(shù)模型、不等式模型、二項(xiàng)分布模型、

超幾何分布模型或正態(tài)分布模型等）；（3）正確進(jìn)行運(yùn)算，求出樣本數(shù)據(jù)中能夠說(shuō)明問(wèn)題的特征值，從而用此

數(shù)據(jù)估計(jì)總體或作出科學(xué)的決策與判斷.練1某校為了落實(shí)“雙減”政策，安排了25名教師參與課后服務(wù)工作，在

某個(gè)星期內(nèi)，他們參與課后服務(wù)的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示.

（1）求這25名教師在該星期參與課后服務(wù)的平均次數(shù)；

（2）從這25名教師中任選2人，設(shè)這2人在該星期參與課后服務(wù)的次數(shù)之

差的絕對(duì)值為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

X0123P?

?

?

?

所以X的分布列為PART02提能點(diǎn)2回歸分析與概率的綜合問(wèn)題

（2024·杭州二模）杭州是國(guó)家歷史文化名城，為了給來(lái)杭州的客人

提供最好的旅游服務(wù)，某景點(diǎn)推出了預(yù)訂優(yōu)惠活動(dòng)，表中是該景點(diǎn)在某

App平臺(tái)10天預(yù)訂票銷(xiāo)售情況：日期t12345678910銷(xiāo)售

量y

（萬(wàn)張）1.931.951.971.982.012.022.022.052.070.5

（1）因?yàn)樵摼包c(diǎn)今年預(yù)訂票購(gòu)買(mǎi)火爆程度遠(yuǎn)超預(yù)期，該App平臺(tái)在第10天

時(shí)系統(tǒng)異常，現(xiàn)剔除第10天數(shù)據(jù)，求y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（結(jié)果中的數(shù)

值用分?jǐn)?shù)表示）；

（2）該景點(diǎn)推出團(tuán)體票，每份團(tuán)體票包含四張門(mén)票，其中X張為有獎(jiǎng)門(mén)票

（可憑票兌換景點(diǎn)紀(jì)念品），X的分布列如下：X234P

今從某份團(tuán)體票中隨機(jī)抽取2張，恰有1張為有獎(jiǎng)門(mén)票，求該份團(tuán)體票中共

有3張有獎(jiǎng)門(mén)票的概率.

規(guī)律方法回歸分析與概率綜合問(wèn)題的解題思路（1）此類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)為同一生活實(shí)踐情境下設(shè)計(jì)兩類(lèi)問(wèn)題，即①求經(jīng)驗(yàn)

回歸方程（預(yù)測(cè)）；②求某隨機(jī)變量的概率（范圍）、均值、方差等；（2）充分利用題目中提供的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)（散點(diǎn)圖）做出判斷，確定是

線性問(wèn)題還是非線性問(wèn)題.求解時(shí)要充分利用已知數(shù)據(jù)，合理利用變形公

式，以達(dá)到快速準(zhǔn)確運(yùn)算的目的；（3）明確所求問(wèn)題所屬事件的類(lèi)型，準(zhǔn)確構(gòu)建概率模型.練2

當(dāng)下，大量的青少年沉迷于各種網(wǎng)絡(luò)游戲，極大地毒害了青少年的身

心健康.為了引導(dǎo)青少年抵制不良游戲，適度參與益腦游戲，某游戲公司

開(kāi)發(fā)了一款益腦游戲，在內(nèi)測(cè)時(shí)收集了玩家對(duì)每一關(guān)的平均過(guò)關(guān)時(shí)間，如

下表：關(guān)卡x123456平均過(guò)關(guān)時(shí)間y（單位：秒）5078124121137352

（1）若用模型y＝aebx擬合y與x的關(guān)系，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x

的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；

X57912P?

?

?

?

所以X的分布列為PART03提能點(diǎn)3獨(dú)立性檢驗(yàn)與概率的綜合問(wèn)題

（2025·臨沂一模）

“趕大集”出圈彰顯了傳統(tǒng)民俗的獨(dú)特魅力.為

了解年輕人對(duì)“趕大集”的態(tài)度，隨機(jī)調(diào)查了200位年輕人，得到的統(tǒng)計(jì)

數(shù)據(jù)如下面的不完整的2×2列聯(lián)表所示（單位：人）.性別對(duì)“趕大集”的態(tài)度合計(jì)非常喜歡感覺(jué)一般男性3t100女性t合計(jì)60（1）求t的值，試根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為年輕人

對(duì)“趕大集”的態(tài)度與性別有關(guān)；解：

由題意可知：3t＋（60－t）＝100，解得t＝20，2×2列聯(lián)表如下：性別對(duì)“趕大集”的態(tài)度合計(jì)非常喜歡感覺(jué)一般男性6040100女性8020100合計(jì)14060200

（2）從樣本中篩選出5名男性和3名女性共8人作為代表，這8名代表中有2

名男性和2名女性非常喜歡“趕大集”.現(xiàn)從這8名代表中任選3名男性和2

名女性進(jìn)一步交流，記X為這5人中非常喜歡“趕大集”的人數(shù)，求X的分

布列及數(shù)學(xué)期望E（X）.

X1234P?

?

?

?

規(guī)律方法獨(dú)立性檢驗(yàn)與概率綜合問(wèn)題的解題思路

本類(lèi)題目以生活題材為背景，涉及獨(dú)立性檢驗(yàn)與概率問(wèn)題的綜合，解

決該類(lèi)問(wèn)題首先收集數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表，并按照公式求得χ2的值后進(jìn)行

比較，其次按照隨機(jī)變量滿足的概率模型求解.

性別所患疾病類(lèi)型合計(jì)A型疾病B型疾病男性?

?

x女性?

?

2x合計(jì)?

?

3x解：設(shè)男性患者有x人，則女性患者有2x人，由題意得2×2列聯(lián)

表如下：

α0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828

PART04課時(shí)跟蹤檢測(cè)

1.

（2024·北京高考18題）某保險(xiǎn)公司為了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠

情況，從合同保險(xiǎn)期限屆滿的保單中隨機(jī)抽取1

000份，記錄并整理這些保

單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：索賠次數(shù)01234保單份數(shù)800100603010假設(shè)：一份保單的保費(fèi)為0.4萬(wàn)元；前三次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司每次賠償0.8

萬(wàn)元；第四次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司賠償0.6萬(wàn)元.假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立.用頻率估計(jì)概率.1234（1）估計(jì)一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；

1234（2）一份保單的毛利潤(rùn)定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差.①記X為一份保單的毛利潤(rùn)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望EX；②如果無(wú)索賠的保單的保費(fèi)減少4%，有索賠的保單的保費(fèi)增加20%，試比

較這種情況下一份保單毛利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值與①中EX估計(jì)值的大小.

（結(jié)論不要求證明）

1234故EX＝0.4×0.8－0.4×0.1－1.2×0.06－2.0×0.03－2.6×0.01＝

0.122.②如果無(wú)索賠的保單的保費(fèi)減少4%，有索賠的保單的保費(fèi)增加20%，這種

情況下一份保單毛利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值比①中EX估計(jì)值大.證明如下：設(shè)調(diào)整保費(fèi)后一份保單的毛利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）為Y，對(duì)于索賠次數(shù)為0的保單，Y＝0.4×（1－4%）＝0.384，對(duì)于索賠次數(shù)為1的保單，Y＝0.4×（1＋20%）－0.8＝－0.32，對(duì)于索賠次數(shù)為2的保單，Y＝－0.32－0.8＝－1.12，1234對(duì)于索賠次數(shù)為3的保單，Y＝－1.12－0.8＝－1.92，對(duì)于索賠次數(shù)為4的保單，Y＝－1.92－0.6＝－2.52，故EY＝0.384×0.8－0.32×0.1－1.12×0.06－1.92×0.03－2.52×0.01

＝0.125

2.所以EX＜EY.

12342.

為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的關(guān)系，從該地區(qū)29

000名學(xué)生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的數(shù)據(jù)如

表所示：時(shí)間范圍學(xué)業(yè)成績(jī)[0，0.5）[0.5，1）[1，1.5）[1.5，2）[2，2.5）優(yōu)秀5444231不優(yōu)秀13414713740271234（1）該地區(qū)29

000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)的人數(shù)約為多少？

（2）估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長(zhǎng)（精確到0.1）；

1234

解：由題列聯(lián)表如下：是否優(yōu)秀日均鍛煉時(shí)長(zhǎng)合計(jì)[1，2）其他優(yōu)秀455095不優(yōu)秀177308485合計(jì)2223585801234

12343.

某基地蔬菜大棚采用無(wú)土栽培的方式種植各類(lèi)蔬菜.根據(jù)過(guò)去50周的資

料顯示，該地周光照量X（小時(shí)）都在30小時(shí)以上，其中不足50小時(shí)的有5

周，不低于50小時(shí)且不超過(guò)70小時(shí)的有35周，超過(guò)70小時(shí)的有10周.根據(jù)

統(tǒng)計(jì)，該基地的西紅柿增加量y（千克）與使用某種液體肥料的質(zhì)量x（千

克）之間的關(guān)系為如圖所示的折線圖.（1）依據(jù)折線圖，是否可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系？請(qǐng)計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)r并加以說(shuō)明（精確到0.01）；（若｜r｜＞0.75，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）1234

1234

1234（2）蔬菜大棚對(duì)光照要求較大，某光照控制儀商家為該基地提供了部

分光照控制儀，但每周光照控制儀運(yùn)行臺(tái)數(shù)受周光照量X限制，并有如

下關(guān)系：周光照量X/小時(shí)30＜X＜5050≤X≤70X＞70光照控制儀最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)321

1234

1234故Y的分布列為：Y2

0006

000P0.20.8

1234

Y1

0005

0009

000P0.20.70.1所以E（Y）＝1

000×0.2＋5

000×0.7＋9

000×0.1＝4

600（元）.綜上可知，為使商家周總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)該安裝2臺(tái)光照控制儀.12344.

（2024·龍巖三模）某企業(yè)對(duì)某品牌芯片開(kāi)發(fā)了一條生產(chǎn)線進(jìn)行試產(chǎn).

其芯片按質(zhì)量劃分為五個(gè)等級(jí)，分別對(duì)應(yīng)如下五組質(zhì)量指標(biāo)值：[45，

55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95].根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)

果，得到芯片的質(zhì)量指標(biāo)值X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），并把質(zhì)量指標(biāo)

值不小于80的產(chǎn)品稱為A等品，其他產(chǎn)品稱為B等品.現(xiàn)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取100件作為樣本