[專題強(qiáng)化(七)]能量觀點(diǎn)解決多過程問題

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(建議用時(shí)：50分鐘)

考點(diǎn)基礎(chǔ)題綜合題

多過程運(yùn)動(dòng)問題—2，3，5

多過程往復(fù)運(yùn)動(dòng)問題—1，4

【綜合提升練】

1．(10分)(2023·河南鄭州模擬)如圖所示，水平面AB段光滑，長(zhǎng)度為L(zhǎng)＝6m的BC段

粗糙，一輕質(zhì)彈簧的一端固定在A處的豎直擋板上，另一端自然伸長(zhǎng)到B點(diǎn)，豎直放置的

光滑半圓軌道與水平面在C點(diǎn)平滑連接。用外力推小球擠壓彈簧至某處靜止，某時(shí)刻釋放

小球，在彈力的作用下小球向右運(yùn)動(dòng)，離開彈簧后進(jìn)入半圓軌道。已知小球與水平面間的動(dòng)

摩擦因數(shù)μ＝0.1，半圓軌道的半徑R＝2.5m，重力加速度g取10m/s2。

(1)若小球剛好能沿半圓軌道到達(dá)軌道的最高點(diǎn)D，離開軌道后落到水平面，其落點(diǎn)與C

點(diǎn)之間的距離是多少？(4分)

(2)若小球剛好能沿半圓軌道到達(dá)與軌道圓心等高處，小球從軌道滑下后與彈簧的碰撞

過程沒有機(jī)械能損失，求小球能與彈簧碰撞多少次，及最終停在離B點(diǎn)多遠(yuǎn)處？(6分)

解析：(1)若小球剛好能通過D點(diǎn)，重力提供向心力，有

2

vD

mg＝m

R

從D點(diǎn)拋出后，做平拋運(yùn)動(dòng)

1

豎直方向有2R＝gt2

2

水平方向有x＝vDt

聯(lián)立解得x＝5m。

(2)若小球剛好能到與圓心等高處，小球從圓心等高處到最終停止，由能量守恒有

mgR＝μmgs

解得s＝25m

從半圓軌道第一次滑下后經(jīng)過6m的路程與彈簧第一次相碰，之后每經(jīng)過12m的粗糙

路段與彈簧相碰一次，碰撞次數(shù)

25－6

N＝(1＋)＝2次

12

x′＝s－6－1×12m＝7m

因?yàn)锽C間距離為6m，故停在距離B點(diǎn)5m處。

答案：(1)5m(2)2次，距離B點(diǎn)5m處

2．(10分)如圖所示，A、B兩物體通過勁度系數(shù)為k的豎直輕質(zhì)彈簧相連，A放在水平

地面上，B、C兩物體通過輕質(zhì)非彈性繩繞過輕質(zhì)定滑輪相連，C放在固定的傾角為30°的

足夠長(zhǎng)光滑斜面上。用手按住C，使細(xì)線恰好伸直但沒有拉力，并保證ab段的細(xì)線豎直、

cd段的細(xì)線與斜面平行。已知A、B的質(zhì)量均為m，C的質(zhì)量為4m，細(xì)線與滑輪之間的摩

擦不計(jì)，開始時(shí)整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)。釋放C后它沿斜面下滑，當(dāng)A恰好要離開地面時(shí)，

B獲得最大速度(B未觸及滑輪，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，重力加速度大小為g)。求：

(1)從釋放C到B獲得最大速度過程，重力對(duì)B做的功；(3分)

(2)剛釋放C時(shí)B的加速度大小；(3分)

(3)物體B的最大速度大小vm。(4分)

解析：(1)設(shè)釋放C之前彈簧壓縮x1

對(duì)B有kx1＝mg

設(shè)當(dāng)B獲得最大速度時(shí)，彈簧拉伸x2，A恰好要離開地面

對(duì)A有kx2＝mg

該過程重力對(duì)B做功W＝－mg(x1＋x2)

2m2g2

聯(lián)立解得W＝－。

k

(2)剛釋放C時(shí)，對(duì)C有

4mgsin30°－T＝4ma

對(duì)B有T＋kx1－mg＝ma

kx1＝mg

聯(lián)立解得a＝0.4g。

mg

(3)由(1)知x1＝x2＝

k

故剛釋放C時(shí)與B獲得最大速度時(shí)彈簧彈性勢(shì)能相同，對(duì)A、B、C及彈簧整體由功能

關(guān)系可得

12

4mg(x1＋x2)sin30°－mg(x1＋x2)＝(4m＋m)vm

2

m

解得vm＝2g。

5k

－2m2g2m

答案：(1)(2)0.4g(3)2g

k5k

3．(10分)(2023·江蘇淮安模擬)水平桌面上的彈射裝置如圖所示，輕彈簧左端固定，自

然伸長(zhǎng)時(shí)右端位于B點(diǎn)，BC段粗糙，CD段有豎直放置的四分之一圓弧軌道，與BC相切，

D處有與圓弧軌道垂直的彈性擋板P。小球被壓縮的彈簧彈出后，經(jīng)BC段后沿圓弧軌道運(yùn)

動(dòng)到D處，與擋板碰撞后原速率反向彈回。已知BC長(zhǎng)L＝0.1m，圓弧半徑R＝0.2m，小

球質(zhì)量m＝0.2kg，與BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.4，其余部分均光滑。重力加速度g取10m/s2。

若滑塊首次經(jīng)過C處的速度v0＝2m/s，求：

(1)彈簧彈性勢(shì)能的最大值；(3分)

(2)小球最終停在何處及在BD間運(yùn)動(dòng)的總路程；(3分)

(3)小球在擋板處所受圓弧軌道彈力的最小值。(4分)

解析：(1)小球從開始運(yùn)動(dòng)第一次到C點(diǎn)，運(yùn)用動(dòng)能定理得

12

W彈－μmgL＝mv0－0

2

解得W彈＝0.48J

則Ep＝0.48J。

(2)根據(jù)能量守恒定律得μmgs＝Ep彈

解得s＝0.6m

即經(jīng)過BC段共6次，最終停在B點(diǎn)，在BD間運(yùn)動(dòng)總路程為

sBD＝0.6(1＋π)m

(3)設(shè)小球最后一次在擋板處彈回時(shí)運(yùn)動(dòng)的速度大小為v，因小球停在B點(diǎn)，所以

1

－μmgL－mgR＝0－mv2

2

解得v＝4.8m/s

v2

所以FN＝m＝4.8N

R

則圓弧軌道對(duì)的小球作用力

F＝FN＝4.8N。

答案：(1)0.48J(2)0.6(1＋π)m(3)4.8N

4．(10分)如圖所示，“”形軌道abcdef固定在豎直平面內(nèi)，軌道的各彎折部分均

平滑連接，其中ab、ef在同一條水平線上，bc、de部分豎直，cd為半徑為R的半圓，bc＝

de＝2R，兩輕質(zhì)彈簧A、B的一端分別固定在a、f位置，質(zhì)量為m的細(xì)環(huán)(可視為質(zhì)點(diǎn))套

在軌道上，推動(dòng)細(xì)環(huán)壓縮彈簧A后鎖定(細(xì)環(huán)與彈簧A未連接)?，F(xiàn)解除彈簧A的鎖定，釋

放細(xì)環(huán)，細(xì)環(huán)運(yùn)動(dòng)到軌道bc的右側(cè)(包括bc)時(shí)受到與水平方向的夾角θ＝37°的恒力。細(xì)環(huán)

經(jīng)過b點(diǎn)后勻速運(yùn)動(dòng)至c，且經(jīng)過c點(diǎn)時(shí)對(duì)圓弧軌道的壓力恰好為0。已知軌道abcd部分光

滑，軌道def部分與細(xì)環(huán)之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.5，重力加速度為g，sin37°＝0.6，cos37°

＝0.8。求：

(1)彈簧A處于鎖定狀態(tài)時(shí)的彈性勢(shì)能。(3分)

(2)細(xì)環(huán)對(duì)圓弧軌道壓力的最大值。(3分)

(3)細(xì)環(huán)最終停止運(yùn)動(dòng)時(shí)的位置。(4分)

解析：(1)設(shè)恒力大小為F，細(xì)環(huán)經(jīng)過b點(diǎn)后勻速運(yùn)動(dòng)至c點(diǎn)時(shí)，對(duì)細(xì)環(huán)進(jìn)行受力分析，

根據(jù)平衡條件有Fsin37°＝mg

細(xì)環(huán)在c點(diǎn)對(duì)圓弧軌道的壓力為0，則有

2

vc

Fcos37°＝m

R

解除彈簧鎖定后，彈簧A的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為細(xì)環(huán)的動(dòng)能，有

12

Ep＝mvc

2

2

聯(lián)立解得Ep＝mgR。

3

(2)由分析，當(dāng)細(xì)環(huán)首次到達(dá)d點(diǎn)時(shí)，圓弧軌道所受壓力最大，設(shè)此時(shí)圓弧軌道對(duì)細(xì)環(huán)

的支持力為FN，對(duì)細(xì)環(huán)有

2

vd

FN－Fcos37°＝m

R

細(xì)環(huán)從c點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到d點(diǎn)的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理有

1212

Fcos37°×2R＝mvd－mvc

22

聯(lián)立解得FN＝8mg

根據(jù)牛頓第三定律，細(xì)環(huán)對(duì)圓弧軌道壓力的最大值FN′＝8mg。

(3)由于恒力沿豎直方向的分力與細(xì)環(huán)重力等大反向，則細(xì)環(huán)在軌道ef上運(yùn)動(dòng)時(shí)，僅受

恒力與重力作用，不受軌道的彈力與摩擦力，則細(xì)環(huán)最終停在de之間的某一點(diǎn)，設(shè)細(xì)環(huán)在

12

de上運(yùn)動(dòng)的總路程為x，則有mvd＝μFcos37°·x

2

解得x＝5R

即細(xì)環(huán)最終停在de軌道的中點(diǎn)位置。

2

答案：(1)mgR(2)8mg(3)細(xì)環(huán)最終停在de軌道的中點(diǎn)位置

3

5．(15分)如圖所示，半徑為R的光滑半圓形軌道ABC在豎直平面內(nèi)，與水平軌道CD

相切于C點(diǎn)，D端有一被鎖定的輕質(zhì)壓縮彈簧，彈簧左端連接在固定的擋板上，彈簧右端Q

到C點(diǎn)的距離為2R。質(zhì)量為m可視為質(zhì)點(diǎn)的滑塊從軌道上的P點(diǎn)由靜止滑下，恰好能運(yùn)動(dòng)

到Q點(diǎn)，并能觸發(fā)彈簧解除鎖定，然后滑塊被彈回且剛好能通過圓軌道的最高點(diǎn)A。已知

∠POC＝60°。

(1)求滑塊第一次滑至圓形軌道最低點(diǎn)C時(shí)對(duì)軌道的壓力。(3分)

(2)求滑塊與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ。(3分)

(3)求彈簧被鎖定時(shí)具有的彈性勢(shì)能。(4分)

(4)若滑塊被彈回時(shí)，滑塊不脫離軌道，則彈簧被鎖定時(shí)具有的彈性勢(shì)能應(yīng)滿足什么條

件？(5分)

解析：(1)設(shè)滑塊第一次滑至C點(diǎn)時(shí)的速度為vC，圓軌道C點(diǎn)對(duì)滑塊的支持力為FN，

12

由P到C的過程mgR(1－cos60°)＝mvC

2

2

vC