教學設計課題勾股定理的逆定理的應用授課人素養(yǎng)目標1.理解勾股定理與其逆定理的區(qū)別和聯(lián)系．2．靈活應用勾股定理及其逆定理解決實際問題，培養(yǎng)應用數(shù)學的意識.教學重點靈活應用勾股定理及其逆定理解決實際問題．教學難點割補思想、轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應用.教學活動教學步驟師生活動活動一：創(chuàng)設情境，導入新課設計意圖通過實際情境，激發(fā)學生的學習興趣.【情境導入】如圖，已知小島B與港口A相距5nmile，一艘船C位于港口A正東方向3nmile處，與小島B相距4nmile，根據(jù)這些條件能知道小島B在船C的哪個方向嗎？【教學建議】指定學生回答，提醒學生E，n分別表示東、北兩個方向.活動二：問題引入，自主探究設計意圖培養(yǎng)學生利用勾股定理及其逆定理解決問題的能力.探究點1勾股定理的逆定理的實際應用例1(教材P33例2)如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上．“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16nmile，“海天”號每小時航行12nmile.它們離開港口一個半小時后分別位于點Q，R處，且相距30nmile.如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？分析：在圖中可以看到，由于“遠航”號的航向已知，如果求出兩艘輪船的航向所成的角，就能知道“海天”號的航向了．解：根據(jù)題意，PQ＝16×1.5＝24(nmile)，PR＝12×1.5＝18(nmile)，QR＝30nmile.因為242＋182＝302，即PQ2＋PR2＝QR2，所以∠QPR＝90°.由“遠航”號沿東北方向航行可知，∠1＝45°.因此∠2＝45°，即“海天”號沿西北方向航行．【對應訓練】教材P33練習第3題．探究點2勾股定理及其逆定理的綜合應用勾股定理與其逆定理的區(qū)別和聯(lián)系是什么？例2如圖，在△ABC中，D是邊BC上一點，AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17.求∠ADB的度數(shù)；求CD的長.解：(1)∵BD2＋AD2＝62＋82＝102＝AB2，【教學建議】告訴學生可先根據(jù)已知條件計算出各邊長，再利用勾股定理及其逆定理判斷三角形是否為直角三角形，最后解答問題.【教學建議】（1）指定學生代表回答，教師總結(jié)勾股定理及其逆定理的區(qū)別和聯(lián)系.第2課時勾股定理的逆定理的應用教學步驟師生活動∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°.(2)∵∠ADB＝90°，∴∠ADC＝180°－∠ADB＝90°.∴在Rt△ACD中，CD＝eq\r(AC2－AD2)＝eq\r(172－82)＝15.【對應訓練】如圖是一個零件的示意圖，量得AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，AD＝13cm.若∠ABC＝90°，求△ACD的面積.解：在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(42＋32)＝5(cm).∵AC2＋CD2＝52＋122＝132＝AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°.∴S△ACD＝eq\f(1,2)AC·CD＝eq\f(1,2)×5×12＝30(cm2).（2）提醒學生：已知直角三角形時，要聯(lián)想到應用勾股定理求長度；已知三角形的三邊長時，要聯(lián)想到應用勾股定理的逆定理找直角．注意直角的鄰補角也是直角.活動三：重點突破，提升探究設計意圖鞏固學生運用勾股定理及其逆定理解決問題的能力.例3如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠BAD的度數(shù).解：如圖，連接AC.∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝2eq\r(2)，∠BAC＝45°.∵CD＝3，DA＝1，∴AC2＋DA2＝8＋1＝9＝CD2.∴△ACD是直角三角形，且∠CAD＝90°.∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝45°＋90°＝135°.【對應訓練】如圖，正方形ABCD是由9個邊長為1的小正方形組成的，點E，F(xiàn)均在格點(每個小正方形的頂點都是格點)上，連接AE，AF，求∠EAF的度數(shù).解：如圖，連接EF，則AE＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，EF＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，AF＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，∴AE2＋EF2＝(eq\r(5))2＋(eq\r(5))2＝10＝(eq\r(10))2＝AF2.∴△AEF是直角三角形，∠AEF＝90°.又AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA＝45°.【教學建議】提示學生：(1)已知直角時，要構(gòu)造相應的直角三角形并利用勾股定理求邊長；(2)僅知道三角形的邊長求角度時，所求角度一般比較特殊，要聯(lián)想到直角三角形、等腰三角形等；(3)網(wǎng)格中求角度，一般先構(gòu)造出相應的三角形，再利用勾股定理求各邊長，然后利用勾股定理的逆定理找直角，也可能涉及“等邊對等角”.活動四：隨堂訓練，課堂總結(jié)【隨堂訓練】見《》“隨堂小練”冊子相應課時訓練．【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學主要內(nèi)容，并請學生回答以下問題：不用量角器，怎么檢驗一個直角是否標準？勾股定理及其逆定理的區(qū)別和聯(lián)系是什么？【知識結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P34習題17.2第3，4，5，6題.2．《》主體本部分相應課時訓練．教學步驟師生活動板書設計17.2勾股定理的逆定理第2課時勾股定理的逆定理的應用1.勾股定理的逆定理的應用.2.勾股定理及其逆定理的區(qū)別和聯(lián)系.教學反思本節(jié)課的重點在于利用勾股定理的逆定理解決實際問題，教學中要注意引導學生將實際問題抽象為數(shù)學問題．難點在于讓學生靈活地綜合運用勾股定理及其逆定理，因此要讓學生清楚勾股定理及其逆定理的區(qū)別和聯(lián)系，培養(yǎng)出“知直角，求邊長；知三邊，找直角”的意識.例1如圖，在正方形網(wǎng)格中，從在格點上的點A，B，C，D中任取三點，所構(gòu)成的三角形恰好是直角三角形的個數(shù)為(C)A．1B．2C．3D．4解析：如圖，連接AC，AB，AD，BC，BD，CD，設小正方形的邊長為1，由勾股定理得AB2＝12＋22＝5，AC2＝22＋42＝20，AD2＝12＋32＝10，BC2＝52＝25，BD2＝12＋22＝5，CD2＝12＋32＝10，∴AB2＋AC2＝BC2，AD2＋CD2＝AC2，BD2＋AB2＝AD2，∴△ABC，△ADC，△ABD是直角三角形，即共3個直角三角形．故選C.例2如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點，點F在AB上，且BF＝eq\f(1,4)AB.(1)請你判斷EF與DE的位置關系，并說明理由；(2)若此正方形的面積為16，求DF的長．分析：平面內(nèi)兩直線的位置關系有兩種：平行和相交，EF和DE都過點E，說明它們相交，如只考慮相交還不夠，需考慮相交的特殊情況——垂直．從圖中觀察EF與DE是垂直的，故設正方形的邊長為a，利用勾股定理，用含a的代數(shù)式分別表示DE2，EF2，DF2，再利用勾股定理的逆定理判斷△DFE是否為直角三角形，再判斷EF⊥DE是否成立．解：(1)EF與DE垂直，即EF⊥DE.理由：設正方形的邊長為a，則AD＝CD＝a，AF＝eq\f(3,4)a，BF＝eq\f(1,4)a，BE＝CE＝eq\f(1,2)a，∠A＝∠B＝∠C＝90°.在Rt△CDE中，DE2＝CD2＋CE2＝a2＋(eq\f(1,2)a)2＝a2＋eq\f(1,4)a2＝eq\f(5,4)a2.在Rt△EFB中，EF2＝BF2＋BE2＝(eq\f(1,4)a)2＋(eq\f(1,2)a)2＝eq\f(1,16)a2＋eq\f(1,4)a2＝eq\f(5,16)a2.在Rt△DAF中，DF2＝AD2＋AF2＝a2＋(eq\f(3,4)a)2＝a2＋eq\f(9,16)a2＝eq\f(25,16)a2.∵DE2＋EF2＝eq\f(5,4)a2＋eq\f(5,16)a2＝eq\f(25,16)a2＝DF2，∴△DEF為直角三角形，且∠DEF＝90°.∴EF⊥DE.(2)∵正方形的面積為16，∴a2＝16.∵DF2＝eq\f(25,16)a2＝eq\f(25,16)×16＝25，∴DF＝5.例3如圖，Mn以西為我國領海，以東為公海，某日上午9時50分我國緝私艇A發(fā)現(xiàn)在其正東方向有一走私艇C以每小時13nmile的速度沿CD方向偷偷向我國領海開來，便立即通知正在Mn線上巡邏的緝私艇B密切注意，并告知A和C兩艇的距離是13nmile，緝私艇B測得A與其距離為5nmile，C與其距離為12nmile，若走私艇C的速度不變，最早在什么時間進入我國領海？解：∵AB2＋BC2＝52＋122＝169＝132＝AC2，∴△ABC為直角三角形，且∠ABC＝90°.又BD⊥AC，可設CD＝xnmile，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋BD2＝122，①,（13