數(shù)學(xué)極限概念理解與練習(xí)引言極限是微積分的基石，也是連接初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵橋梁。無論是導(dǎo)數(shù)的定義（瞬時變化率的極限）、定積分的定義（分割求和的極限），還是級數(shù)的收斂性判斷，都依賴于極限的概念。從直觀上的“無限接近”到嚴(yán)格的邏輯定義，極限的學(xué)習(xí)本質(zhì)上是完成從“感性認(rèn)知”到“理性嚴(yán)謹(jǐn)”的思維躍遷。本文將系統(tǒng)梳理極限的核心概念、基本性質(zhì)、計算方法，并通過誤區(qū)辨析與針對性練習(xí)，幫助讀者建立完整的極限知識體系。一、極限的概念：從直觀到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)纳A極限的本質(zhì)是“趨勢的描述”——當(dāng)自變量（數(shù)列的項數(shù)\(n\)或函數(shù)的自變量\(x\)）無限變化時，因變量（數(shù)列項\(a_n\)或函數(shù)值\(f(x)\)）向某個固定值無限逼近的過程。為了將這種“直觀感覺”轉(zhuǎn)化為可驗證的數(shù)學(xué)語言，我們需要嚴(yán)格的定義（如\(\varepsilon-N\)、\(\varepsilon-\delta\)）。1.1數(shù)列極限：\(\varepsilon-N\)定義的邏輯數(shù)列是定義域為正整數(shù)集的函數(shù)（\(a_n=f(n)\)），其極限描述了當(dāng)\(n\)“無限增大”時，\(a_n\)的趨勢。直觀描述：若當(dāng)\(n\)足夠大時，\(a_n\)與常數(shù)\(A\)的差“任意小”，則稱\(A\)為數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的極限，記為\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\)。嚴(yán)格定義（\(\varepsilon-N\)）：對于任意給定的正數(shù)\(\varepsilon\)（誤差容忍度），存在正整數(shù)\(N\)（項數(shù)門檻），當(dāng)\(n>N\)時，恒有\(zhòng)[a_n-A\]關(guān)鍵邏輯：“任意小的\(\varepsilon\)”意味著誤差可以無限縮?。弧按嬖赲(N\)”意味著只要項數(shù)足夠大，就能滿足誤差要求。兩者結(jié)合，精確刻畫了“無限逼近”的本質(zhì)。示例：證明\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2n+1}{n}=2\)。證明：對于任意\(\varepsilon>0\)，要使\(\left|\frac{2n+1}{n}-2\right|=\left|\frac{1}{n}\right|<\varepsilon\)，只需\(n>\frac{1}{\varepsilon}\)。取\(N=\left\lfloor\frac{1}{\varepsilon}\right\rfloor+1\)（\(\left\lfloorx\right\rfloor\)表示不超過\(x\)的最大整數(shù)），則當(dāng)\(n>N\)時，必有\(zhòng)(\left|\frac{2n+1}{n}-2\right|<\varepsilon\)。故極限為2。1.2函數(shù)極限：\(\varepsilon-\delta\)與\(\varepsilon-X\)定義函數(shù)極限研究當(dāng)自變量\(x\)“趨向于”某個值（\(x_0\)或\(\infty\)）時，函數(shù)值\(f(x)\)的趨勢。常見情形包括：\(x\tox_0\)（\(x\)無限接近\(x_0\)但不等于\(x_0\)）；\(x\to+\infty\)（\(x\)無限增大）；\(x\to-\infty\)（\(x\)無限減?。?。（1）\(x\tox_0\)時的極限：\(\varepsilon-\delta\)定義嚴(yán)格定義：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)的某去心鄰域（\(0<|x-x_0|<\delta_0\)，\(\delta_0>0\)）內(nèi)有定義，若對于任意\(\varepsilon>0\)，存在\(\delta>0\)，當(dāng)\(0<|x-x_0|<\delta\)時，恒有\(zhòng)[f(x)-A\]則稱\(A\)為\(f(x)\)當(dāng)\(x\tox_0\)時的極限，記為\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=A\)。注：\(0<|x-x_0|\)表示\(x\)不取\(x_0\)本身，因此函數(shù)在\(x_0\)處可以無定義（如\(f(x)=\frac{\sinx}{x}\)在\(x=0\)處無定義，但\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)）。（2）\(x\to\infty\)時的極限：\(\varepsilon-X\)定義嚴(yán)格定義：對于任意\(\varepsilon>0\)，存在正數(shù)\(X\)，當(dāng)\(|x|>X\)時，恒有\(zhòng)[f(x)-A\]則稱\(A\)為\(f(x)\)當(dāng)\(x\to\infty\)時的極限，記為\(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=A\)。示例：證明\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{2x^2}=\frac{1}{2}\)。證明：對于任意\(\varepsilon>0\)，要使\(\left|\frac{x^2+1}{2x^2}-\frac{1}{2}\right|=\left|\frac{1}{2x^2}\right|<\varepsilon\)，只需\(x^2>\frac{1}{2\varepsilon}\)，即\(|x|>\sqrt{\frac{1}{2\varepsilon}}\)。取\(X=\sqrt{\frac{1}{2\varepsilon}}\)，則當(dāng)\(|x|>X\)時，不等式成立。故極限為\(\frac{1}{2}\)。1.3左極限與右極限：極限存在的充要條件對于函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處的極限，若僅考慮\(x\)從\(x_0\)左側(cè)（\(x<x_0\)）趨近，則稱為左極限，記為\(\lim\limits_{x\tox_0^-}f(x)=A^-\)；若僅考慮\(x\)從\(x_0\)右側(cè)（\(x>x_0\)）趨近，則稱為右極限，記為\(\lim\limits_{x\tox_0^+}f(x)=A^+\)。極限存在的充要條件：\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=A\)當(dāng)且僅當(dāng)\[\lim\limits_{x\tox_0^-}f(x)=\lim\limits_{x\tox_0^+}f(x)=A.\]示例：判斷\(\lim\limits_{x\to0}\frac{|x|}{x}\)是否存在。解：左極限\(\lim\limits_{x\to0^-}\frac{|x|}{x}=\lim\limits_{x\to0^-}\frac{-x}{x}=-1\)；右極限\(\lim\limits_{x\to0^+}\frac{|x|}{x}=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{x}{x}=1\)。左右極限不相等，故極限不存在。二、極限的基本性質(zhì)：嚴(yán)謹(jǐn)性與實用性的統(tǒng)一極限的性質(zhì)是計算和推理的基礎(chǔ)，均由嚴(yán)格定義證明，確保其正確性。2.1唯一性若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)或函數(shù)\(f(x)\)的極限存在，則極限唯一。證明思路（數(shù)列）：假設(shè)\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\)且\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=B\)，取\(\varepsilon=\frac{|A-B|}{2}\)，由\(\varepsilon-N\)定義，存在\(N_1,N_2\)，當(dāng)\(n>\max(N_1,N_2)\)時，\(|a_n-A|<\varepsilon\)且\(|a_n-B|<\varepsilon\)。則\[A-B=A-a_n+a_n-B\leqA-a_n+a_n-B<2\varepsilon=A-B\]矛盾，故\(A=B\)。2.2有界性數(shù)列：若\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\)，則\(\{a_n\}\)必有界（即存在常數(shù)\(M>0\)，使得\(|a_n|\leqM\)對所有\(zhòng)(n\)成立）。函數(shù)：若\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=A\)，則\(f(x)\)在\(x_0\)的某去心鄰域內(nèi)局部有界（即存在\(\delta>0\)和\(M>0\)，當(dāng)\(0<|x-x_0|<\delta\)時，\(|f(x)|\leqM\)）。2.3保號性數(shù)列：若\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A>0\)（或\(A<0\)），則存在正整數(shù)\(N\)，當(dāng)\(n>N\)時，\(a_n>0\)（或\(a_n<0\)）。函數(shù)：若\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=A>0\)（或\(A<0\)），則存在\(\delta>0\)，當(dāng)\(0<|x-x_0|<\delta\)時，\(f(x)>0\)（或\(f(x)<0\)）。推論（保序性）：若\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\)，\(\lim\limits_{n\to\infty}b_n=B\)，且存在\(N\)，當(dāng)\(n>N\)時\(a_n\leqb_n\)，則\(A\leqB\)。2.4四則運算性質(zhì)設(shè)\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\)，\(\lim\limits_{n\to\infty}b_n=B\)（函數(shù)極限同理），則：1.\(\lim\limits_{n\to\infty}(a_n\pmb_n)=A\pmB\)；2.\(\lim\limits_{n\to\infty}(a_n\cdotb_n)=A\cdotB\)；3.若\(B\neq0\)，則\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}\)。注：四則運算要求各極限存在，且分母極限不為零。2.5復(fù)合函數(shù)極限法則設(shè)\(y=f(g(x))\)是由\(y=f(u)\)和\(u=g(x)\)復(fù)合而成，若：1.\(\lim\limits_{x\tox_0}g(x)=u_0\)；2.\(f(u)\)在\(u_0\)處連續(xù)（或\(\lim\limits_{u\tou_0}f(u)=f(u_0)\)）；則\(\lim\limits_{x\tox_0}f(g(x))=f(\lim\limits_{x\tox_0}g(x))=f(u_0)\)。應(yīng)用：連續(xù)函數(shù)的復(fù)合仍連續(xù)，極限可“穿透”連續(xù)函數(shù)符號（如\(\lim\limits_{x\to0}\sin(x^2)=\sin(\lim\limits_{x\to0}x^2)=\sin0=0\)）。三、極限的計算方法：技巧與邏輯的結(jié)合極限計算是極限學(xué)習(xí)的核心應(yīng)用，需結(jié)合性質(zhì)、技巧與邏輯判斷。以下是常見方法及示例：3.1代入法：連續(xù)函數(shù)的極限若\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)（即\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)\)），則直接代入\(x=x_0\)計算。示例：\(\lim\limits_{x\to2}(x^2+3x-1)=2^2+3\cdot2-1=4+6-1=9\)。3.2因式分解法：消去零因子當(dāng)分母極限為零（\(\lim\limits_{x\tox_0}g(x)=0\)）且分子極限也為零（\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=0\)）時，稱為“\(0/0\)型”不定型，需通過因式分解消去零因子（\(x-x_0\)）。示例：計算\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^3-1}{x-1}\)。解：分子因式分解為\((x-1)(x^2+x+1)\)，消去零因子\(x-1\)，得\[\lim\limits_{x\to1}\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}(x^2+x+1)=1+1+1=3.\]3.3有理化法：處理根號型極限對于含根號的“\(0/0\)型”或“\(\infty-\infty\)型”不定型，通過有理化（平方差、立方差公式）消去根號。示例1（\(0/0\)型）：計算\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\)。解：分子有理化（乘以\(\sqrt{1+x}+1\)），得\[\lim\limits_{x\to0}\frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\lim\limits_{x\to0}\frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}=\frac{1}{2}.\]示例2（\(\infty-\infty\)型）：計算\(\lim\limits_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+x}-x)\)。解：有理化（乘以\(\sqrt{x^2+x}+x\)），得\[\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}=\frac{1}{2}.\]3.4等價無窮小替換：簡化計算的利器定義：若\(\lim\limits_{x\tox_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1\)，則稱\(\alpha(x)\)與\(\beta(x)\)是\(x\tox_0\)時的等價無窮小，記為\(\alpha(x)\sim\beta(x)\)（\(x\tox_0\)）。核心定理：若\(\alpha(x)\sim\alpha'(x)\)，\(\beta(x)\sim\beta'(x)\)（\(x\tox_0\)），且\(\lim\limits_{x\tox_0}\frac{\alpha'(x)}{\beta'(x)}\)存在，則\[\lim\limits_{x\tox_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\lim\limits_{x\tox_0}\frac{\alpha'(x)}{\beta'(x)}.\]常見等價無窮?。╘(x\to0\)時）：\(\sinx\simx\)，\(\tanx\simx\)，\(\arcsinx\simx\)，\(\arctanx\simx\)；\(1-\cosx\sim\frac{1}{2}x^2\)；\(e^x-1\simx\)，\(\ln(1+x)\simx\)；\((1+x)^\alpha-1\sim\alphax\)（\(\alpha\)為常數(shù)）。示例：計算\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x\cdot(e^x-1)}{x^2}\)。解：\(x\to0\)時，\(\sin3x\sim3x\)，\(e^x-1\simx\)，代入得\[\lim\limits_{x\to0}\frac{3x\cdotx}{x^2}=\lim\limits_{x\to0}3=3.\]誤區(qū)提醒：等價無窮小僅能在乘除運算中替換，加減運算中慎用（如\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx-\tanx}{x^3}\)不能直接替換為\(\frac{x-x}{x^3}=0\)，正確結(jié)果為\(-\frac{1}{2}\)，需用泰勒展開或洛必達法則驗證）。3.5洛必達法則：應(yīng)對不定型的工具適用條件：對于“\(0/0\)型”或“\(\infty/\infty\)型”不定型（\(\lim\limits_{x\tox_0}\frac{f(x)}{g(x)}\)），若：1.\(f(x)\)與\(g(x)\)在\(x_0\)的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)；2.\(g'(x)\neq0\)；3.\(\lim\limits_{x\tox_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)存在（或為\(\pm\infty\)）；則\(\lim\limits_{x\tox_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\tox_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)。示例1（\(0/0\)型）：計算\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}\)。解：應(yīng)用洛必達法則，分子導(dǎo)數(shù)為\(\frac{1}{1+x}\)，分母導(dǎo)數(shù)為1，得\[\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1}{1+x}}{1}=1.\]示例2（\(\infty/\infty\)型）：計算\(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x^2}{e^x}\)。解：連續(xù)應(yīng)用洛必達法則兩次：\[\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x^2}{e^x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{2x}{e^x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{2}{e^x}=0.\]誤區(qū)提醒：洛必達法則僅適用于不定型（如\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2}{x}=1\)，直接計算即可，無需用洛必達）；若\(\lim\limits_{x\tox_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)不存在且不為\(\pm\infty\)，則洛必達法則失效（如\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x+\sinx}{x}\)，洛必達后得\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\cosx)\)，極限不存在，但原極限為\(1\)）。3.6夾逼定理：解決求和/乘積型極限定理：若存在數(shù)列\(zhòng)(\{c_n\}\)和\(\{d_n\}\)，使得\(c_n\leqa_n\leqd_n\)對所有\(zhòng)(n\)成立，且\(\lim\limits_{n\to\infty}c_n=\lim\limits_{n\to\infty}d_n=A\)，則\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\)。應(yīng)用場景：處理形如\(\sum_{k=1}^nf(k,n)\)或\(\prod_{k=1}^nf(k,n)\)的數(shù)列極限，通過放縮找到上下界。示例：計算\(\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n}\right)\)。解：對每一項進行放縮：\[\frac{k}{n^2+n}\leq\frac{k}{n^2+k}\leq\frac{k}{n^2+1}\quad(k=1,2,\dots,n).\]求和得：\[\frac{1+2+\cdots+n}{n^2+n}\leqS_n\leq\frac{1+2+\cdots+n}{n^2+1},\]其中\(zhòng)(S_n=\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2+k}\)。計算上下界極限：下界：\(\frac{n(n+1)/2}{n(n+1)}=\frac{1}{2}\)；上界：\(\frac{n(n+1)/2}{n^2+1}=\frac{n^2+n}{2(n^2+1)}\to\frac{1}{2}\)（\(n\to\infty\)）。由夾逼定理，\(\lim\limits_{n\to\infty}S_n=\frac{1}{2}\)。3.7單調(diào)有界定理：數(shù)列極限的存在性證明定理：若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)單調(diào)遞增且有上界（或單調(diào)遞減且有下界），則\(\{a_n\}\)必有極限。應(yīng)用場景：證明遞推數(shù)列（如\(a_{n+1}=f(a_n)\)）的極限存在，并求極限。示例：設(shè)\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\)（\(n\geq1\)），證明\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n\)存在，并求其值。證明：1.單調(diào)性：用數(shù)學(xué)歸納法證明\(a_n<a_{n+1}\)：當(dāng)\(n=1\)時，\(a_1=1\)，\(a_2=\sqrt{2+1}=\sqrt{3}>1\)，成立；假設(shè)\(n=k\)時\(a_k<a_{k+1}\)，則\(a_{k+1}=\sqrt{2+a_k}<\sqrt{2+a_{k+1}}=a_{k+2}\)，成立。故\(\{a_n\}\)單調(diào)遞增。2.有界性：證明\(a_n<2\)：當(dāng)\(n=1\)時，\(a_1=1<2\)；假設(shè)\(n=k\)時\(a_k<2\)，則\(a_{k+1}=\sqrt{2+a_k}<\sqrt{2+2}=2\)，成立。故\(\{a_n\}\)有上界2。由單調(diào)有界定理，\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\)存在。對遞推式兩邊取極限：\[A=\sqrt{2+A}\impliesA^2-A-2=0\impliesA=2\,(\text{舍去負(fù)根}).\]故極限為2。四、常見誤區(qū)辨析：避免陷入認(rèn)知陷阱極限學(xué)習(xí)中，容易因?qū)Ω拍罨蚍椒ǖ恼`解導(dǎo)致錯誤，以下是常見誤區(qū)及糾正：4.1誤區(qū)1：“極限等于函數(shù)值”——混淆趨勢與定值錯誤認(rèn)知：若\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=A\)，則\(f(x_0)=A\)。糾正：極限是“趨勢”，與函數(shù)在\(x_0\)處的值無關(guān)。例如\(f(x)=\frac{\sinx}{x}\)在\(x=0\)處無定義，但\(\lim\limits_{x\to0}f(x)=1\)；再如\(g(x)=\begin{cases}x,&x\neq0\\1,&x=0\end{cases}\)，\(\lim\limits_{x\to0}g(x)=0\)，但\(g(0)=1\)。4.2誤區(qū)2：等價無窮小替換的“隨意性”——忽略運算條件錯誤案例：計算\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx-\tanx}{x^3}\)，直接替換\(\sinx\simx\)，\(\tanx\simx\)，得\(\frac{x-x}{x^3}=0\)。正確解法：先因式分解，再替換：\[\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx(\cosx-1)}{x^3}=\lim\limits_{x\to0}\frac{x\cdot(-\frac{1}{2}x^2)}{x^3}=-\frac{1}{2}.\]原因：\(\sinx-\tanx=\tanx(\cosx-1)\)是高階無窮?。ㄅc\(x^3\)同階），直接加減替換會丟失高階項信息。4.3誤區(qū)3：洛必達法則的“萬能性”——忽略前提條件錯誤案例：計算\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2+1}{x-1}\)，應(yīng)用洛必達法則得\(\lim\limits_{x\to1}\frac{2x}{1}=2\)。糾正：原極限是“\(2/0\)型”，并非不定型（\(0/0\)或\(\infty/\infty\)），洛必達法則不適用。正確結(jié)果為\(\lim\limits_{x\to1^+}\frac{x^2+1}{x-1}=+\infty\)，\(\lim\limits_{x\to1^-}\frac{x^2+1}{x-1}=-\infty\)，極限不存在。4.4誤區(qū)4：忽略左、右極限的一致性——導(dǎo)致錯誤判斷錯誤案例：判斷\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\)是否存在，認(rèn)為“\(x\)趨近于0時，\(1/x\)無限大”，故極限為\(\infty\)。糾正：極限存在的充要條件是左右極限相等。\(\lim\limits_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty\)，\(\lim\limits_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty\)，左右極限不相等，故極限不存在（\(\infty\)是極限不存在的一種情況，稱為“無窮大”）。五、針對性練習(xí)：從基礎(chǔ)到綜合的能力提升以下練習(xí)按難度分級，覆蓋概念理解、計算技巧與邏輯推理，建議讀者獨立完成后對照答案。5.1基礎(chǔ)題（概念與簡單計算）1.用\(\varepsilon-N\)定義證明\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{3n^2+2n}{n^2-1}=3\)。2.計算\(\lim\limits_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}\)。3.計算\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin5x}{3x}\)。4.判斷\(\lim\limits_{x\to0}\frac{|x|}{x}\)是否存在，并說明理由。答案：1.提示：\(\left|\frac{3n^2+2n}{n^2-1}-3\right|=\left|\frac{2n+3}{n^2-1}\right|<\frac{3n}{n^2}=\frac{3}{n}\)（\(n>3\)），取\(N=\max(3,\frac{3}{\varepsilon})\)。2.4（因式分解）。3.\(5/3\)（等價無窮小替換）。4.不存在（左極限-1，右極限1）。5.2提高題（技巧應(yīng)用）1.計算\(\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{2n})^n\)。2.計算\(\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}\)。3.計算\(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\lnx}{x}\)（用洛必達法則）。4.用夾逼定理求\(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+2^n+3^n}\)。答案：1.\(e^{1/2}\)（重要極限：\(\lim\limits_{t\to\infty}(1+\frac{1}{t})^t=e\)，令\(t=2n\)）。2.2（等價無窮小替換：\(e^{2x}-1\sim2x\)）。3.0（洛必達：\(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1/x}{1}=0\)）。4.3（放縮：\(3=\sqrt[n]{3^n}\leq\sqrt[n]{1+2^n+3^n}\leq\sqrt[n]{3\cdot3^n}=3\sqrt[n]{3}\to3\)）。5.3綜合題（多方法結(jié)合）1.設(shè)數(shù)列\(zhòng)(a_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\lnn\)，證明\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n\)存在（提示：單調(diào)有界定理）。2.計算\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx-\sinx}{x^3}\)（用兩種方法：等價無窮小替換、洛必達法則）。答案：1.證明：單調(diào)性：\(a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1}-\ln(n+1)+\lnn=\frac{1}{n+1}-\ln(1+\frac{1}{n})\)。由不等式\(\ln(1+t)<t\)（\(t>0\)），得\(\ln(1+\frac{1}{n})<\frac{1}{n}