一、偏導(dǎo)數(shù)的定義與計(jì)算二、高階偏導(dǎo)數(shù)第8.2節(jié)偏導(dǎo)數(shù)和全微分三、全微分一、偏導(dǎo)數(shù)定義與計(jì)算對(duì)于二元函數(shù)，如果固定變量

y（看作常數(shù)），只有x作為變量，則函數(shù)對(duì)x可導(dǎo)，則稱導(dǎo)數(shù)為函數(shù)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù).可視為關(guān)于x的一元函數(shù).在此基礎(chǔ)上，若此函數(shù)定義在點(diǎn)存在,的偏導(dǎo)數(shù)，記為的某鄰域內(nèi)則稱此極限為函數(shù)極限設(shè)函數(shù)注意:同樣可定義對(duì)y

的偏導(dǎo)數(shù)若函數(shù)z=f(x,y)在域D

內(nèi)每一點(diǎn)

(x,y)處對(duì)x則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù),也簡(jiǎn)稱為偏導(dǎo)數(shù)

,記為或

y

偏導(dǎo)數(shù)存在,例如,三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)(x,y,z)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù).偏導(dǎo)數(shù)定義為(請(qǐng)自己寫(xiě)出)二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:是曲線在點(diǎn)M0處的切線對(duì)x

軸的斜率.在點(diǎn)M0處的切線是曲線對(duì)y軸的斜率.函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在,注意：但在該點(diǎn)不一定連續(xù).（一元函數(shù):

）偏導(dǎo)數(shù)只是刻劃了函數(shù)沿x軸或y軸方向的變化特征，只能說(shuō)明函數(shù)在該點(diǎn)分別對(duì)x和y連續(xù)，并不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)?？蓪?dǎo)必連續(xù)偏導(dǎo)存在與連續(xù)神馬關(guān)系都木有（多元函數(shù):偏導(dǎo)存在

連續(xù)）顯然例如,在上節(jié)已證f(x,y)在點(diǎn)(0,0)并不連續(xù)!仍采用一元函數(shù)的方法求導(dǎo)；對(duì)一個(gè)自變量（如x）

求偏導(dǎo)數(shù)，其它的自變量看作是常量；以此類推。求偏導(dǎo)數(shù)的方法例1.求解法1:解法2:在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).“先代后求”“先求后代”例2求二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)解:例3求二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)解:將

y看作常數(shù)，函數(shù)對(duì)x求導(dǎo)得將

x

看作常數(shù)，函數(shù)對(duì)y求導(dǎo)得例4已知，證明：證：因?yàn)?，所以，所以，所以故，偏?dǎo)數(shù)記號(hào)是一個(gè)說(shuō)明:不能看作分子與分母的商!此例表明,整體記號(hào),二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)z=f(x,y)在域D

內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱它們是z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)

.按求導(dǎo)順序不同,有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù):類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，z=f(x,y)關(guān)于x的三階偏導(dǎo)數(shù)為z=f(x,y)關(guān)于x的n–1階偏導(dǎo)數(shù),再關(guān)于y

的一階偏導(dǎo)數(shù)為例5求二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).解：注意到例5中，結(jié)果與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)，但這結(jié)論并不是對(duì)所有函數(shù)都成立，我們直接給出下面定理.定理

如果二階偏導(dǎo)數(shù)及是連續(xù)函數(shù)，則必有三、全微分定義:

如果函數(shù)z=f(x,y)在定義域D

的內(nèi)點(diǎn)(x,y)可表示成其中A,B不依賴于

x,

y,僅與x,y有關(guān)，稱為函數(shù)在點(diǎn)(x,y)的全微分,記作若函數(shù)在域D

內(nèi)各點(diǎn)都可微,則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微，處全增量則稱此函數(shù)在D

內(nèi)可微.對(duì)于多元函數(shù)來(lái)說(shuō)，即使函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)也不一定連續(xù)，但是二元函數(shù)可微必連續(xù).這是因?yàn)樵诤瘮?shù)可微的定義里，當(dāng)時(shí)，顯然，因此，即這意味著可微二元函數(shù)必連續(xù).下面先討論二元函數(shù)可微的必要條件.定理

(必要條件)若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微,則該函數(shù)在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)同樣可證證:

由全增量公式必存在,且有得到對(duì)x

的偏增量因此有反例:函數(shù)易知

但因此,函數(shù)在點(diǎn)(0,0)不可微.注意:

定理的逆定理不成立.偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)不一定可微!即:類似于一元函數(shù)微分中自變量增量的記號(hào)，記，則如果二元函數(shù)在點(diǎn)可微，全微分可表示為二元函數(shù)全微分的結(jié)果可推廣到一般的多元函數(shù)，如三元函數(shù)可微，則全微分可表示為定理

(充分條件)若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)則函數(shù)在該點(diǎn)可微分.重要關(guān)系:偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)

偏導(dǎo)存在可微連續(xù)例6求二元函數(shù)的全微分.解：因?yàn)楣嗜⒎掷?求二元函數(shù)在點(diǎn)處的全微分.解：因?yàn)楣嗜⒎謨?nèi)容小結(jié)1.偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論

定義;記號(hào);幾何意義

函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在此點(diǎn)