7.1概述

7.2抽樣定理及其應(yīng)用

7.3模擬信號的量化

7.4編碼和譯碼

7.5PCM通信系統(tǒng)

7.6增量調(diào)制系統(tǒng)

7.7各種改進型的增量調(diào)制

思考題

習(xí)題

第7章模擬信號的數(shù)字傳輸7.1概

述7.1.1模擬信號的數(shù)字傳輸

本章討論模擬信號經(jīng)過數(shù)字化以后在數(shù)字通信系統(tǒng)中的傳輸，簡稱模擬信號的數(shù)字傳輸。用得最多的模擬信號是話音信號，把話音信號數(shù)字化以后在數(shù)字通信系統(tǒng)中傳輸，稱為數(shù)字電話通信系統(tǒng)。圖7.1給出了模擬通信系統(tǒng)、數(shù)字通信系統(tǒng)和模擬信號數(shù)字傳輸系統(tǒng)的方框圖。從圖7.1(c)所示的模擬信號數(shù)字傳輸?shù)姆娇驁D可以看出，模似信號的數(shù)字傳輸經(jīng)過三個步驟：第一步把模擬信號數(shù)字化，變成數(shù)字信號；第二步進行數(shù)字信號的傳輸；第三步把數(shù)字信號還原為模擬信號。第二步在第5、6章已經(jīng)討論過，因此本章主要討論第一、三步。7.1.2模擬信號和數(shù)字信號的互相轉(zhuǎn)換

從圖7.1(c)可以看出，模擬信號數(shù)字傳輸?shù)年P(guān)鍵問題是模擬信號與數(shù)字信號的互相轉(zhuǎn)換。在發(fā)送端把模擬信號x(t)轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號{sk}的過程簡稱為模數(shù)轉(zhuǎn)換，通常用符號A/D表示。扼要地說，模數(shù)轉(zhuǎn)換要經(jīng)過抽樣(在時間上離散)、量化(把抽樣值在幅度上離散，量化后只有預(yù)定的Q個有限的值)和編碼(用一個M進制的代碼表示量化了的Q個抽樣值，通常用M=2的二進制代碼)三個步驟。反過來，在接收端把接收到的代碼即數(shù)字信號還原為模擬信號，這個過程簡稱為數(shù)模轉(zhuǎn)換，通常用符號D/A表示。數(shù)模轉(zhuǎn)換是通過譯碼(把代碼變換為相應(yīng)的量化值)和低通濾波器完成的。本章后面各節(jié)將要詳細討論模擬信號與數(shù)字信號互相轉(zhuǎn)換的方法，特別是目前用得最普遍的脈沖編碼調(diào)制(PCM，PulseCodingModulation)和增量調(diào)制(ΔM，DeltaModulation)。圖7.1模擬通信系統(tǒng)、數(shù)字通信系統(tǒng)和模擬信號數(shù)字傳輸系統(tǒng)的方框圖7.1.3脈沖編碼調(diào)制與脈沖振幅調(diào)制的區(qū)別脈沖振幅調(diào)制(PAM)是脈沖調(diào)制中最常用的一種調(diào)制方式，它把模擬信號變?yōu)橐幌盗性跁r間上離散的窄脈沖。這些窄脈沖的幅度隨模擬信號瞬時值的變化而變化，因此從PAM信號的幅度來看仍然是連續(xù)的，這種信號仍屬模擬信號的范疇。脈沖調(diào)制中除了脈沖振幅調(diào)制以外，還有脈沖寬度調(diào)制(PDM，PulseDurationModulation)和脈沖位置調(diào)制(PPM)。PDM、PPM在時間上也都是離散的，但PDM的脈沖寬度隨模擬信號瞬時值的變化而變化，而PPM的脈沖位置隨模擬信號瞬時值的變化而變化。同PAM信號一樣，雖然在時間上離散了，但是它們各自的受調(diào)參量(即脈沖寬度和脈沖位置)并沒有離散，因此也都屬于模擬信號。圖7.2給出了PAM、PDM、PPM的波形圖。圖7.2PAM、PDM、PPM信號的波形

PCM和PAM在時間上都是離散的，除此以外，PCM還通過量化把脈沖幅度也離散了，而經(jīng)過編碼又把時間上和幅度上均已離散了的信號進一步變成了二進制或多進制的代碼，即變成了數(shù)字信號。PCM信號是二進制代碼，是只有兩個幅度的脈沖序列，因此也可以看做是二進制的PAM信號。

在脈沖編碼調(diào)制等還沒有出現(xiàn)以前，PAM、PDM和PPM都曾得到廣泛應(yīng)用，但是由于它們的抗噪聲性能等不如PCM，因此目前已很少應(yīng)用。所以，本課程基本上不講脈沖調(diào)制的方式，只是在討論PCM時會用到PAM的一些知識。

從圖7.l(c)所示的模數(shù)轉(zhuǎn)換的方框圖中可以看到，模擬信號數(shù)字化的三個步驟中首先遇到一個抽樣問題。抽樣問題不僅在模數(shù)轉(zhuǎn)換時要用到，在其他地方也有用處。因此本章首先討論模擬信號數(shù)字化的理論基礎(chǔ)之一的抽樣定理，然后討論量化和編(譯)碼問題以及模擬信號數(shù)字化常用的兩種方式，即PCM和ΔM。在搞清PCM和ΔM原理的基礎(chǔ)上，還將對PCM和ΔM系統(tǒng)的抗噪聲性能進行分析，并對PCM和ΔM的性能進行比較。

7.2抽樣定理及其應(yīng)用7.2.1概述上節(jié)已經(jīng)提到PAM系統(tǒng)傳輸?shù)男盘柺沁B續(xù)模擬信號x(t)經(jīng)過抽樣后在時間上離散了的抽樣值，即脈沖序列，而不是x(t)的全部波形。PCM系統(tǒng)傳輸?shù)男盘杽t進一步把x(t)的抽樣值經(jīng)過量化和編碼變成了二進制數(shù)字信號。因此，抽樣的原理不但是脈沖調(diào)制系統(tǒng)極為重要的理論基礎(chǔ)，而且也是模擬信號數(shù)字傳輸?shù)闹匾碚摶A(chǔ)之一。本節(jié)詳細討論抽樣定理及其應(yīng)用，作為本章的預(yù)備知識和理論基礎(chǔ)。

1．低通信號抽樣的物理過程

在詳細討論抽樣定理之前，先舉一個簡單的例子，看一看信號抽樣的物理過程和各點的波形，并從中提出需要解決的問題。

抽樣的物理過程可以用圖7.3(a)所示的開關(guān)抽樣器描述。圖中輸入的低通信號用x(t)表示，它一般是連續(xù)的模擬信號；輸出信號用xS(t)表示，xS(t)是一個在時間上離散了的已抽樣信號。高速電子轉(zhuǎn)換開關(guān)S對x(t)周期地接通和斷開，設(shè)轉(zhuǎn)換周期為TS，接通時間為τ，則斷開時間為TS-τ，此時xS(t)和x(t)的波形關(guān)系如圖7.3(b)所示。xS(t)是一個周期為TS、寬度為τ的脈沖序列，脈沖的輻度在開關(guān)接通時間內(nèi)正好與x(t)的相同，即圖中劃有斜線的波形。

圖7.3開關(guān)抽樣器

xS(t)與x(t)的波形關(guān)系可以表示為

xS(t)=x(t)s(t)

(7.1)

這個關(guān)系式如圖7.4所示，圖7.4(a)表示相乘器，而式中的s(t)是一個周期性開關(guān)函數(shù)，稱為抽樣函數(shù)，相當于線性調(diào)制相乘器中用的載波。不過這個載波不是連續(xù)波，而是脈沖波形，因此也可以叫脈沖載波。s(t)的波形如圖7.4(b)所示。

圖7.4xS(t)與x(t)的波形關(guān)系在模擬通信系統(tǒng)的線性調(diào)制器中，s(t)=cosωSt是載波，常稱為正弦載波調(diào)制，此時

xS(t)=x(t)cosωSt

(7.2)

(7.3)

(7.4)

用正弦載波調(diào)制時，頻譜xS(ω)集中在ωS的兩邊，而當采用開關(guān)抽樣器時,

脈沖載波調(diào)制時，XS(ω)的頻譜不只是集中在ωS的兩邊，而是分布在kωS的兩邊(k=0，1，2，3，4，…)。這是脈沖載波調(diào)制與正弦載波調(diào)制在頻譜結(jié)構(gòu)上的根本區(qū)別，也是我們在抽樣定理中要進一步討論的問題。

2．抽樣的分類

按照抽樣波形的特征，可以把抽樣分為自然抽樣(或曲頂抽樣)、平頂抽樣和理想抽樣，如圖7.5所示。

1)自然抽樣

類似于開關(guān)抽樣器的抽樣，xS(t)在抽樣時間τ內(nèi)的波形與x(t)的波形完全一樣，因此稱為自然抽樣。由于x(t)隨時間變化，因此xS(t)在抽樣時間τ內(nèi)的波形也隨時間變化，即同一個取樣間隔內(nèi)幅度是變化的。所以，自然抽樣也稱為曲頂抽樣，以便和下面要講到的平頂抽樣相區(qū)分。圖7.5(a)畫出了自然抽樣得到的波形。

2)平頂抽樣

平頂抽樣的抽樣脈沖在抽樣時間τ內(nèi)的幅度保持不變，抽樣結(jié)果雖然在不同抽樣時間間隔內(nèi)的幅度不同，但在同一個抽樣間隔內(nèi)的幅度不變，是平的，因此稱為平頂抽樣。其波形如圖7.5(b)所示。平頂抽樣有時也稱為瞬時抽樣，后面會講到它實際上只是瞬時抽樣的一個特例。

3)理想抽樣

在原理上理想抽樣和自然抽樣差不多，只是此時抽樣函數(shù)s(t)用一個周期沖激函數(shù)代替，即此時s(t)=sδ(t)

，而輸出xS(t)可用sδ(t)表示，是一個

間隔為TS的沖激脈沖序列。圖7.5(c)是理想抽樣得到的波形。理想抽樣是純理論的，實際上是不能實現(xiàn)的。但是，引入理想抽樣以后給分析問題帶來很大的方便；另外，理想抽樣時得出的一些結(jié)論，對于用周期窄脈沖(脈沖寬度τTS)作為抽樣函數(shù)s(t)來說是一個很好的近似。因此，我們將把理想抽樣作為重點加以討論。

圖7.5自然抽樣、平頂抽樣和理想抽樣的波形

3．抽樣周期、頻率和速率

上面提到的抽樣函數(shù)的周期TS就是抽樣周期，其倒數(shù)fS=1/TS稱為抽樣頻率，每秒抽樣的次數(shù)稱為抽樣速率，其數(shù)值與fS相同。但要注意，在這里抽樣速率與碼元速率不是一回事，因為一個抽樣值在編碼時可以編好幾位碼。

用周期函數(shù)作為抽樣函數(shù)時，抽樣點在時間上必然是均勻分布的，因此這種抽樣稱為均勻抽樣。非均勻抽樣一般很少用，本書不討論這方面的內(nèi)容。

4．需要進一步討論的問題

至此，我們對抽樣的物理過程、抽樣的類型有了初步了解，但是，有不少問題有待進一步討論。例如，經(jīng)過抽樣以后輸出信號xS(t)中還有沒有x(t)的信息？如果有，能不能把它取出來？抽樣頻率應(yīng)該怎樣選擇？幾種抽樣有什么區(qū)別和聯(lián)系？抽樣定理在實際應(yīng)用中會遇到什么問題？要搞清這些問題的關(guān)鍵是對xS(t)進行頻譜分析，找出xS(t)的頻譜函數(shù)XS(ω)以及XS(ω)與X(ω)的關(guān)系。

7.2.2低通信號的均勻理想抽樣

如果信號為低通信號，抽樣函數(shù)s(t)是周期單位沖激脈沖序列sδ(t)，那么這種抽樣就是低通信號的均勻理想抽樣。由于以后主要討論低通信號的均勻抽樣，因此低通信號的均勻理想抽樣簡稱為理想抽樣。

1．理想抽樣的方框圖、數(shù)學(xué)關(guān)系式和各點波形

圖7.6是理想抽樣的方框圖和各點波形。其中圖7.6(a)是方框圖；圖7.6(b)是輸入低通模擬信號x(t)的波形，這個波形是任意假設(shè)的；圖7.6(c)是抽樣函數(shù)sδ(t)，它是一個周期為TS的單位沖激函數(shù)，表示式為

(7.5)

圖7.6(d)是抽樣后輸出xδ(t)的波形，其數(shù)學(xué)表示式為

(7.6)

由于δ(t-kTS)只有在t=kTS時才存在，其他時刻均為0，因此上式可以改寫為

(7.7)

其中x(kTS)是t=kTS時x(t)的值，也就是t=kTS這個時刻x(t)的抽樣值。

圖7.6理想抽樣方框圖及各點波形

2．理想抽樣時的頻譜關(guān)系

1)頻譜關(guān)系式

令x(t)的頻譜函數(shù)為X(ω)，xδ(t)的頻譜函數(shù)為Xδ(ω)，sδ(t)是單位周期沖激函數(shù)，其頻譜函數(shù)為Sδ(ω)，有

其中 (7.8)

根據(jù)xδ(t)=x(t)sδ(t)的關(guān)系式，利用頻率卷積公式求Xδ(ω)，則

(7.9)

2)頻譜關(guān)系圖

理想抽樣時的頻譜關(guān)系如圖7.7所示。假設(shè)任意低通信號x(t)的頻譜函數(shù)X(ω)如圖7.7(a)所示，在0~fX范圍內(nèi)頻譜函數(shù)可以是任意的，為作圖方便假設(shè)它是三角形的。圖7.7(b)是單位周期沖激脈沖sδ(t)的頻譜函數(shù)圖，范圍為-∞~+∞，頻率范圍內(nèi)每隔fS就有一個幅度相同的沖激函數(shù)，Sδ(ω)也是周期性的。圖7.7(c)是抽樣后輸出信號sδ(t)的頻譜函數(shù)圖。

3)結(jié)論

根據(jù)上述分析，可以得到以下結(jié)論:

(1)理想抽樣得到的Xδ(ω)具有無窮大的帶寬。

(2)只要抽樣頻率fS≥2fX，Xδ(ω)中k值不同的頻譜函數(shù)就不會出現(xiàn)重疊的現(xiàn)象。圖7.7中假設(shè)fS=2fX。

(3)Xδ(ω)中k=0時的成分是X(ω)/TS，與X(ω)的頻譜函數(shù)只差一個常數(shù)1/TS，因此，只要用一個帶寬B滿足fX≤B≤fS-fX的理想低通濾波器，就可以取出X(ω)的成分，以不失真地恢復(fù)x(t)的波形。

圖7.7理想抽樣的頻譜函數(shù)圖理想抽樣和信號恢復(fù)的全過程可用圖7.8所示的方框圖表示。圖7.8理想抽樣和信號恢復(fù)的全過程

3．低通信號的均勻抽樣定理

把上面分析的結(jié)果加以歸納，可以得到如下的低通信號均勻抽樣定理：

一個頻帶限制在0~fX內(nèi)的低通信號x(t)，如果以fS≥2fX的抽樣速率進行均勻抽樣，則x(t)可以由抽樣后的信號xS(t)完全確定。這是指xS(t)包含有x(t)的成分，可以通過適當?shù)睦硐氲屯V波器不失真地恢復(fù)x(t)。而最小抽樣速率fS=2fX稱為奈奎斯特速率，最大的抽樣時間間隔1/(2fX)稱為奈奎斯特間隔。

4．抽樣定理的時域表示式

由圖7.8所示的理想抽樣和信號恢復(fù)的全過程可以看到，x'(t)=x(t)/TS的頻譜函數(shù)X(ω)/TS是由Xδ(ω)經(jīng)過理想低通濾波特性(即門函數(shù))得到的，即

或者

(7.10)

由式(7.10)，利用時間卷積定理可以得到

其中

，

而

。所以

(7.11)

當fS=2fX時，得

(7.12)

(7.13)

這個表示式稱為抽樣定理的時域表示式。它表明一個連續(xù)信號x(t)可以由一系列時間上離散的抽樣值x(kTS)完全確定，并且當這些抽樣值分別經(jīng)過Sa［2πfX(t-kTS)］加權(quán)(這里是相乘的意思)后，將重現(xiàn)連續(xù)信號x(t)。也可以說，x(t)可以分解為無窮多個抽樣函數(shù)(這里抽樣函數(shù)指Sa函數(shù))，每個抽樣函數(shù)的系數(shù)分別為不同時刻的抽樣值x(kTS)，每個抽樣函數(shù)的最大值分別出現(xiàn)在kTS時刻。圖7.9定性畫出了抽樣定理時域表示式的部分波形，從圖中可以看到，由很多最大值出現(xiàn)時刻不同的抽樣函數(shù)在時域上相加以后正好等于x(t)。

圖7.9抽樣定理時域表示式的波形疊加

5．頻帶有限信號的平均功率等于其抽樣值的均方值

可以證明一個關(guān)系式，設(shè)x(t)為一個頻帶有限的信號，它的抽樣值為x(kTS)，則x(t)的平均功率

等于抽樣值x(kTS)的均方值

，即

。經(jīng)計算

(7.14)由于抽樣點的數(shù)目是每秒fS=2fX個，2fXτ是在時間τ以內(nèi)的總的抽樣點數(shù)目，因此就是抽樣值的均方值

，即

實際上τ不為無窮大，只要τ足夠大，2fXτ的數(shù)目足夠多時，這個關(guān)系式就基本滿足。

(7.15)7.2.3自然抽樣(曲頂抽樣)

1．自然抽樣的方框圖、數(shù)學(xué)關(guān)系式和各點波形

在圖7.10所示的自然抽樣原理和波形圖中，圖7.10(a)是自然抽樣的方框圖，與理想抽樣方框圖的區(qū)別僅在于抽樣函數(shù)s(t)不同。自然抽樣的抽樣函數(shù)s(t)不是周期沖激函數(shù)，而是一個具有一定寬度的任意的周期脈沖序列。圖7.10(c)為一個周期矩形脈沖序列，是用得比較多的一種波形，實際上它也可以是其他任意波形。假設(shè)矩形脈沖寬度為τ，那么取樣以后輸出xS(t)的每個取樣脈沖僅存在于寬度為τ的時間間隔內(nèi)，而且在τ這段時間內(nèi)保持x(t)的波形。圖7.10(d)畫出了xS(t)的波形。

圖7.10自然抽樣的方框圖和各點波形

2．頻譜關(guān)系

先假設(shè)s(t)是高度為1，寬度為τ，周期為TS的矩形脈沖序列，如圖7.10(c)所示。展開為指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)時，有

因此頻譜函數(shù)為

(7.16)由xS(t)=x(t)s(t)，有

(7.17)其頻譜函數(shù)如圖7.11所示。其中由k=0得到的頻譜函數(shù)為(τ/TS)X(ω)，與信號x(t)的頻譜函數(shù)X(ω)比較，頻譜結(jié)構(gòu)完全一樣，只是差一個常數(shù)(τ/TS)。因此，只要滿足fS≥2fX，就可以用一個帶寬B滿足0≤B≤fS-fX的理想低通濾波器取出(τ/TS)x(ω)，從而不失真地恢復(fù)x(t)。

圖7.11自然抽樣的頻譜函數(shù)圖

當s(t)為任意波形的周期脈沖時，可以求出其一般表示式

根據(jù)Vk的值可以作出類似于圖7.11的頻譜函數(shù)圖。由于k=0時的輸出頻譜函數(shù)為V0X(ω)，因此只要f>2fX，也可以用理想低通取出V0X(ω)，從而不失真地恢復(fù)x(t)的波形。

(7.18)

(7.19)

(7.20)

3．自然抽樣與理想抽樣比較

自然抽樣與理想抽樣的區(qū)別如下:

(1)兩者的調(diào)制(抽樣)與解調(diào)(信號恢復(fù))過程完全相同，差別只是s(t)不同。

(2)自然抽樣的XS(ω)的包絡(luò)的總趨勢是隨|f|上升而下降，因此帶寬是有限的，而理想抽樣的帶寬是無限的。例如圖7.11中s(t)為矩形脈沖序列時，包絡(luò)的總趨勢按Sa(·)曲線下降，帶寬與脈沖寬度τ有關(guān)。τ越大，帶寬越?。沪釉叫?，帶寬越大。

(3)脈沖寬度τ的大小要兼顧通信中對帶寬和脈沖寬度這兩個互相矛盾的要求。通信中，一般對信號帶寬的要求是越小越好，因此要求τ大。但是為了增加時分復(fù)用的路數(shù)，則要求τ比較小。顯然，二者是矛盾的。

7.2.4平頂抽樣

1．平頂抽樣的實現(xiàn)

平頂抽樣的原理框圖及波形見圖7.12。平頂抽樣信號不能用相乘器直接得到，在原理上平頂抽樣可以由理想抽樣和脈沖形成電路得到，如圖7.12(a)所示。x(t)經(jīng)過理想抽樣后有

圖7.12平頂抽樣方框圖及波形圖脈沖形成電路的作用是將xδ(t)變?yōu)橐幌盗衅巾數(shù)拿}沖，即矩形脈沖，因此稱為平頂抽樣。對平頂抽樣來說，由于脈沖形成電路的輸入端是沖激脈沖序列，因此脈沖形成電路的作用是把沖激脈沖變?yōu)榫匦蚊}沖，即把δ(t)變成如圖7.12(b)所示的矩形脈沖q(t)。由此得到脈沖形成器的輸出xH(t)為

xH(t)、xδ(t)、sδ(t)的波形分別如圖7.12(f)、(e)、(d)所示。

(7.21)實際應(yīng)用時，由于具有沖激響應(yīng)h(t)=q(t)的脈沖形成電路和理想抽樣實現(xiàn)起來比較復(fù)雜和困難，因此往往采用窄脈沖抽樣代替理想抽樣，而用抽樣保持電路代替脈沖形成電路。s(t)中的窄脈沖的寬度應(yīng)遠小于TS，平頂脈沖的寬度就是抽樣保持電路保持的時間。設(shè)窄脈沖的寬度為τ1，平頂脈沖需要的寬度為τ2，抽樣保持電路在抽樣時間τ1內(nèi)以很小的時間常數(shù)向電容器充電，而抽樣脈沖消失后用很大的時間常數(shù)放電，這樣電容器放電時放電電壓在τ2時間內(nèi)大體上保持不變，形成了平頂脈沖。在下一個脈沖到來前，把電容器上的電壓清洗掉。

2．頻譜關(guān)系

平頂抽樣是在理想抽樣的基礎(chǔ)上加一個具有沖激函數(shù)為k(t)=q(t)的脈沖形成電路得到的，因此平頂抽樣的頻譜函數(shù)XH(ω)是理想抽樣的頻譜函數(shù)Xδ(ω)和脈沖形成電路傳輸函數(shù)Q(ω)=F［q(t)］的乘積，即

XH(ω)=Xδ(ω)Q(ω)

(7.22)

令(忽略了相移)，所以

其頻譜函數(shù)圖如圖7.13所示，圖中Q(ω)是根據(jù)輸出是平頂脈沖得到的。如果脈沖形成電路形成的不是矩形脈沖，而是其他波形，則Q(ω)不再是矩形脈沖的頻譜函數(shù)，此時屬于一般的瞬時抽樣，而不是平頂抽樣了。

(7.23)

圖7.13平頂抽樣的頻譜圖初看起來圖7.13中的XH(ω)與圖7.11中自然抽樣的頻譜函數(shù)XS(ω)差不多，但是XH(ω)與XS(ω)有一個很大的差別，即在XH(ω)中已經(jīng)不存在X(ω)和X(ω-kωS)這種頻譜了。以k=0為例，XH(ω)中得到的是

不是常數(shù)，與頻率有關(guān)，因此用理想低通濾波器取出以后，不能不失真地恢復(fù)x(t)了。

3．信號的恢復(fù)

要想在接收端從XH(ω)中不失真地恢復(fù)x(t)，可以采用以下兩種方法：

(1)在理想低通濾波器后面加一個修正網(wǎng)絡(luò)，修正網(wǎng)絡(luò)的傳輸函數(shù)在信號頻帶范圍0~fX內(nèi)滿足1/Q(ω)，如圖7.14所示。

圖7.14平頂抽樣信號恢復(fù)的方法之一

(2)對接收到的平頂抽樣脈沖再進行一次理想抽樣，然后用理想低通濾波器濾出x(t)，其方框圖如圖7.15所示。

圖7.15平頂抽樣信號恢復(fù)的方法之二7.2.5實際應(yīng)用中應(yīng)注意的問題

實際應(yīng)用的抽樣過程和信號恢復(fù)與理想情況有一定區(qū)別，主要表現(xiàn)在以下幾個方面：

(1)理想抽樣的抽樣函數(shù)sδ(t)應(yīng)該是沖激脈沖序列，在實際應(yīng)用中，這是不可能實現(xiàn)的。因此一般都用高度有限、寬度很窄的脈沖代替，當窄脈沖的寬度τ遠小于TS時，可以近似為理想抽樣，采用理想抽樣的結(jié)果。

(2)實際應(yīng)用中使信號恢復(fù)的濾波器不可能是理想的。當濾波器特性不是理想低通時，fS不能等于2fX，否則會使信號失真?？紤]到實際濾波器可能實現(xiàn)的特性，fS要比2fX選得大一些，一般fS=(2.5~3)fX。

(3)實際被抽樣的信號波形往往是時間受限的信號，因而它不是帶限信號，但它們的能量主要集中在有限頻帶內(nèi)。在實際應(yīng)用時，可以在x(t)輸入端先用一個帶限的低通濾波器濾除fX以上的頻率成分。

7.2.6帶通信號的抽樣定理

上面討論了低通信號的抽樣定理，它表達了一個重要概念，一個頻帶有限的低通信號可以由其離散的抽樣值傳輸，而不丟失任何信息，只要抽樣頻率fS≥2fX。那么一個頻帶有限的帶通信號能不能用它離散的抽樣值傳輸而不丟失任何信息呢？抽樣頻率又該怎樣選擇呢？

在如圖7.16所示的帶通信號理想抽樣頻譜圖中，設(shè)帶通信號x(t)的最高和最低頻率分別為fH和fL，信號的帶寬B=fH-fL，其頻譜函數(shù)X(ω)如圖7.16(a)所示，為作圖方便把它畫成鋸齒形。如果用低通信號抽樣時得到的結(jié)果取fS≥2fH，則可以得到fS=2fH時Xδ(ω)的頻譜函數(shù)圖，如圖7.16(c)所示，圖中各頻譜上端的標記是由X(ω)中某一個頻譜成分與Sδ(ω)中某一個頻率成分卷積的結(jié)果。例如，(正，0)表示X(ω)中的正頻譜與Sδ(ω)中零頻(直流)卷積的結(jié)果；又如，(負，-fS)表示X(ω)中負頻譜與Sδ(ω)中(-fS)頻率成分卷積的結(jié)果，以此類推。從圖中可以看出，當fS≥2fH時，Xδ(ω)中頻譜不會重疊，另外包含有X(ω)的頻譜(由(正，0)和(負，0)組成的圖中斜線部分)。但是，這樣選擇的結(jié)果使抽樣頻率太高，實現(xiàn)起來有困難，而從Xδ(ω)的頻譜圖上看，有很多空隙沒有充分利用。實際上fS沒有必要選得那樣高，只要Xδ(ω)不出現(xiàn)頻譜重疊并且能取出X(ω)以不失真地恢復(fù)x(t)即可。那么fS到底怎樣選擇呢？帶通信號的抽樣定理將回答這個問題。

圖7.16帶通信號理想抽樣頻譜圖(fS=2fH)根據(jù)抽樣后Xδ(ω)中頻譜不重疊的原則，可以得出帶通信號均勻抽樣定理如下：

一個帶通信號x(t)具有帶寬B和最高頻率fH，如果抽樣頻率fS=(2fH)/m，m是一個不超過fH/B的最大整數(shù)，那么x(t)可以用抽樣值x(kTS)表示。這里有兩種情況。

(1)fH=nB。此時fH/B=n是整數(shù)，m=n，所以fS=(2fH)/m=2B，即抽樣頻率為2B。此時頻譜函數(shù)關(guān)系如圖7.17所示，圖中為作圖方便取n=4，fH=4B，fL=3B。圖中Xδ(ω)的頻譜既沒有重疊，也沒有留空隙，而且包含有X(ω)的頻譜，如圖中劃斜線的部分所示。顯然，此時如果fS再減小，即fS<2B，則必然會出現(xiàn)頻譜的重疊。由此可知，當

fH=nB時，fS=2B(7.24)

圖7.17帶通抽樣，fH=4B、fS=2B時的頻譜函數(shù)圖

(2)fH=nB+kB，其中0<k<1。此時有

其中0<k<1

m是不超過n+k的最大整數(shù)，顯然m=n，所以

(7.25)

(7.26)

圖7.18作出了fS與fL的關(guān)系曲線。當

時，fS=2B(7.27)

由于帶通信號一般為窄信號，因此(fL/B)>>1是容易滿足的。

圖7.18帶通信號抽樣頻率fS與fL的關(guān)系7.3.1量化和量化噪聲

模擬信號可以用它的抽樣值充分地代表。抽樣以后的抽樣值雖然在時間上離散了，但是在幅度上仍然是連續(xù)的，仍屬于模擬信號。這種由幅度上連續(xù)的抽樣值組成的信號經(jīng)過一個有噪聲的信道傳輸時，當信道中的噪聲疊加在抽樣值上面以后，接收端無法精確地判別抽樣值的大小，噪聲疊加在抽樣值上的影響是不能消除的。

7.3模擬信號的量化但是，如果在傳輸系統(tǒng)的發(fā)送端用有限個預(yù)先規(guī)定的電平來表示抽樣值，再把有限個預(yù)先規(guī)定的電平編為若干位的二進制代碼組后通過信道傳輸，若二進制代碼2個電平間隔的一半比噪聲擾動的最大幅度還要大，則接收端就有可能精確地判定發(fā)送來的二進制代碼，而把噪聲的影響消除了。

用有限個電平來表示模擬信號的抽樣值稱為量化。抽樣是把時間上連續(xù)的模擬信號變成了時間上離散的模擬信號，量化則進一步把時間上離散但幅度上仍然連續(xù)的信號變成了時間和幅度上都離散了的信號，顯然，這種信號就是數(shù)字信號了。但是這個數(shù)字信號不是一般的二進制數(shù)字信號，而是進制相當多的數(shù)字信號，為減少量化噪聲，進制一般用128或256。真正傳輸?shù)叫诺罆r，還要經(jīng)過編碼變?yōu)槎M制或多進制數(shù)字信號。

量化的物理過程可以通過圖7.19所示的例子加以說明。模擬信號x(t)按照適當?shù)某闃铀俾蔲S進行均勻抽樣，抽樣周期TS=1/fS。在各抽樣時刻上的抽樣值用“·”表示，第k個抽樣值為x(kTS)。抽樣值在量化時轉(zhuǎn)換為Q個規(guī)定電平m1，m2，m3，…，mQ中的一個。為作圖簡便，圖中假設(shè)只有m1，m2，…，m7等7個電平，即有7個量化級。按照預(yù)先規(guī)定，量化電平為

xq(kTS)=mi

如果xi-1x(kTS)<xi

(7.28)

例如圖7.19中，t=4TS時的抽樣值x(4TS)在x5和x6之間，此時按規(guī)定量化值為m6，圖7.19中量化值用符號“Δ”表示。這樣，量化器輸出如圖7.19所示的梯形波xq(t)。

xq(t)=xq(kTS)，當kTS≤t<(k+1)TS(7.29)

圖7.19量化的物理過程從上面的結(jié)果可以看出，量化后的信號xq(t)是對原信號x(t)的近似。當抽樣速率一定時，隨著量化級數(shù)的增加和量化電平的適當選擇，可以使xq(t)與x(t)的近似程度提高。在圖7.19中，mi的值應(yīng)取在xi-1和xi的正中間。

xq(kTS)與x(kTS)之間的誤差稱為量化誤差。當mi的值取在xi-1和xi中間時，量化誤差最大不超過±(xi-xi-1)/2，而量化級數(shù)目越多，xi-xi-1的值越小，則量化誤差也越小，xq(t)與x(t)的近似程度也越高。

量化誤差一旦形成以后，在接收端是無法消除的，這個量化誤差像噪聲一樣影響通信質(zhì)量，因此也稱為量化噪聲。由量化誤差產(chǎn)生的功率稱為量化噪聲功率，通常用符號Nq表示；而由xq(kTS)產(chǎn)生的功率稱為量化信號功率，用Sq表示；量化信號功率Sq與量化噪聲功率Nq的比值Sq/Nq稱為量化信噪功率比，它是衡量量化性能好壞的最常用的指標。關(guān)于Sq/Nq的計算方法將在后面分析。

如圖7.19所示的量化，量化的間隔是均勻的，即m7-m6=m6-m5=m5-m4=…，這種量化稱為均勻量化。均勻量化有一個缺點，就是當信號較小時，Sq較小，而Nq與信號大小無關(guān)，因此小信號時的Sq/Nq明顯下降。所以實際應(yīng)用中采用的是一種量化間隔變化的非均勻量化方法，下面將分別討論這兩種量化的方法。除了這兩種量化方法外，還有一種微分(差分)量化的方法，將結(jié)合增量調(diào)制進行介紹。

7.3.2均勻量化和量化信噪功率比的計算

1．均勻量化

在后面的分析中把模擬信號x(t)的抽樣值x(kTS)簡寫為x,把相應(yīng)的量化值xq(kTS)簡寫為xq,并且假設(shè)x(t)的概率密度函數(shù)為fX(t)。

在均勻量化時，x(t)的抽樣值x(kTS)是一個幅度連續(xù)的隨機變量，簡寫為x，x的變化范圍(也就是x(t)瞬時值的變化范圍)按照間隔Δ等分為Q個間隔(量化區(qū)間)。如果x的值落在第i個量化區(qū)間，則x的量化值就取該間隔的中點值，如圖7.20所示。圖中為簡便起見，把信號抽樣值x的變化范圍(a，b)分為4個間隔，它們的中點分別為m1、m2、m3、m4。例如，當x落在x0到x1這個范圍，則量化值采用m1，以此類推。一般關(guān)系式如下：

量化間隔 (7.30)

量化輸出xq按下式產(chǎn)生：

xq=m1

當xi-1≤x<xi(7.31)

式中

(i=1，2，…，Q)。

量化后得到的Q個電平，可以通過編碼器編為二進制代碼，通常Q選為2k，這樣Q個電平可以編為k位二進制代碼。關(guān)于編碼與譯碼問題將在下節(jié)介紹。

圖7.20均勻量化示例(間隔為Δ，量化級Q=4)

2．量化信噪功率比Sq/Nq

1)Sq/Nq的計算方法

從圖7.20可以看到，x在某個范圍內(nèi)變化時，量化值xq在這個范圍的中點值。圖7.21給出了信號抽樣值x與量化值xq及量化誤差x-xq的關(guān)系，其中x和xq的關(guān)系用圖7.21(a)表示，量化誤差x-xq與x的關(guān)系用圖7.21(b)表示。圖7.22是x的概率密度函數(shù)fX(t)與x的關(guān)系。為作圖方便，圖中仍假設(shè)Q=4。

圖7.21信號抽樣值x與量化值xq及量化誤差x-xq的關(guān)系

圖7.22信號抽樣值x的概率密度函數(shù)fX(t)由圖7.21(a)可知，量化后的信號功率為

由圖7.21(b)可知，量化噪聲功率為

給出fX(x)和信號范圍(a，b)以及量化級數(shù)Q后，即可求出量化信噪比Sq/Nq。(7.32)(7.33)

(7.34)

2)fX(x)在(-a，a)內(nèi)均勻分布時的Sq/Nq

假設(shè)x的概率密度函數(shù)均勻分布在(-a，a)范圍內(nèi)，則在此范圍內(nèi)的fX(x)=1/(2a)。此時

(7.35)

(7.36)

(7.37)

(7.38)

經(jīng)計算，有

(7.39)令y=x+a+Δ/2-iΔ，dy=dx，則

(7.40)

(7.41)

當Q>>1時，有

用分貝表示，就是

從Sq/Nq的公式可以看出，Q越大，量化信噪比越大，信號的逼真度越好。

(7.42)

(7.43)

3)實際信號的Sq/Nq

上面求出的信噪比公式是假設(shè)fX(x)在(-a，a)范圍內(nèi)均勻分布，即fX(x)=1/(2a)條件下得到的。實際信號的fX(x)不是常數(shù)，因此Sq/Nq的公式有所不同。常用的實際信號是語言信號和正弦信號。經(jīng)過計算，正弦信號的峰值為a時，也就是在量化范圍內(nèi)正弦波最大時的最大量化信噪比為

而語音信號的最大信噪比為

(7.44)(7.45)

表7.1給出了不同碼位數(shù)時，三種不同的fX(x)情況下量化信噪比。值得注意的是，正弦波和語音信號的量化信噪比都是指最大量化信噪比，即信號的正峰達到a、負峰達到-a時的值。實際應(yīng)用時，有時信號要減小，此時Sq要下降，因此Sq/Nq也要下降。圖7.23畫出了正弦波信號功率下降時，Sq/Nq與Sq的關(guān)系曲線。設(shè)Sq最大值為0dB，Sq下降后為負的dB數(shù)，例如Sq由最大值下降6dB時，Sq為-6dB。

圖7.23正弦波信號功率下降時Sq/Nq與Sq的關(guān)系曲線7.3.3非均勻量化的基本原理

非均勻量化采用可變的量化間隔，讓小信號時的量化間隔小一些，大信號時的量化間隔大一些，這樣可以提高小信號時的信噪功率比，適當減小大信號時的信噪功率比。

非均勻量化的基本思想可以用圖7.24表示。其中，圖7.24(a)表示一個實際信號的概率密度函數(shù)fX(x)與x的關(guān)系曲線。對于語音信號，通常信號幅度小的情況出現(xiàn)的概率大，而幅度大的情況出現(xiàn)的概率小。均勻量化時，在a~b范圍內(nèi)按等間隔Δ=(b-a)/Q分為Q個量化級。但是，在非均勻量化時采用不等間隔劃分，如圖7.24(a)中，在|x|小的范圍內(nèi)間隔劃得小，在|x|大的范圍內(nèi)間隔劃得大，因此，Δi=xi-xi-1隨|x|的變化而變化。取 xq=mi，當xi-1≤x<xi時，其中i=1，2，…

適當選擇xi、Δi和mi，可以使小信號時的量化信噪比Sq/Nq明顯地增大。量化的結(jié)果如圖7.24(b)所示，由圖中可以看出，量化后輸出的量化間隔mi-mi-1也是變化的。

圖7.24非均勻量化示意圖最好讓Δi變化，而輸出mi-mi-1保持不變。要做到這一點，需要對mi進行非線性放大，即當|mi|小時，放大量大些，反之，當|mi

|大時，放大量小些。mi經(jīng)過非線性放大后，得到如圖7.25(b)中的xq—x關(guān)系曲線，從這個曲線中可以看出量化后輸出間隔是均勻的，即mi-mi-1是常數(shù)，但輸入x是不均勻的。非均勻量化過程如圖7.25所示，實際應(yīng)用時，是先把輸入抽樣信號經(jīng)過壓縮器進行非線性放大，然后進行均勻量化，如圖7.25(a)所示，而圖7.25(b)表示具體量化過程，也就是x、x'和xq之間的關(guān)系。例如，當|x|比較小時，壓縮器有較大的放大量，圖7.25(b)中x'—x關(guān)系曲線斜率較大，對x4~x5這一段很小的電壓具有較大的放大量，放大后變成x'2~x'5

，這段大一些的電壓通過均勻量化變?yōu)閤q=m5。同樣，x5~x6這段電壓放大后變?yōu)閤'5~x'6

，通過均勻量化變?yōu)閤q=m6。以此類推，即可得到xq—x的曲線，從而實現(xiàn)了非均勻量化。

圖7.25非均勻量化過程經(jīng)過非均勻量化的信號，在接收端要增加一個與壓縮器特性相反的擴張器，這是一個對小信號放大量小，而對大信號放大量大的非線性放大器，其作用與壓縮器相反。因此一個完整的PCM系統(tǒng)的原理示意圖如圖7.26所示。實際應(yīng)用時，圖7.26中的幾個部件可以合為一個部件。

圖7.26帶有壓縮擴張器的PCM系統(tǒng)方框圖7.3.4壓縮與擴張的特性

壓縮與擴張的一般特性及其實現(xiàn)如圖7.27所示，其中圖7.27(a)為壓縮特性，圖7.27(b)為擴張?zhí)匦?，圖中虛線是沒有壓縮與擴張作用時的特性。由于擴張?zhí)匦哉门c壓縮特性相反，因此，只要把其中一種(即壓縮特性)加以討論即可得出另一種特性。

壓縮擴張器早期采用圖7.27(c)、(d)所示的二極管電路完成，目前則廣泛采用由數(shù)字電路實現(xiàn)的不均勻折線技術(shù)即數(shù)字壓擴技術(shù)。下面先介紹常用的兩種壓縮特性即A特性和μ特性，然后介紹數(shù)字壓擴技術(shù)。

圖7.27壓縮與擴張的一般特性及其實現(xiàn)

1．A特性(A律)

當以y為輸出歸一化值，x為輸入歸一化值時，A特性定義為

A為常數(shù),一般是一個較大的數(shù),例如A=87.6。x很小即小信號時,

y=Ax/(1+lnA),y與x成線性關(guān)系，此時放大量dy/dx=A/(1+lnA)。以A=87.6為例，小信號放大量為；當信號電壓較大時，。

(7.46)

當x=1時，放大量最小為0.1827。顯然，大信號的放大量比小信號下降很多，這樣就起到了壓縮的作用。上面只討論了x>0的范圍，x<0的關(guān)系曲線關(guān)于原點對稱，y與x的方程式也要改一下。

2．μ特性(μ律)

另一種用得很多的壓縮特性稱為μ特性，定義為

(7.47)

當μ=0時，利用羅比塔法則可以證明y=x，y與x成線性關(guān)系，沒有壓縮特性；當μ≠0而x=0時，斜率(放大量)最大，即

例如，當μ=100時，；

，此時斜率(放大量)最小。

由此可見，當μ=100，信號很小(x→0)時，量化間隔為均勻量化時的1/21.7，量化誤差大大下降；而當信號最大時(x→1)，量化間隔比均勻量化時增大了4.67倍，量化誤差增大了。

圖7.28畫出了μ=100的7位碼與均勻量化7位、11位碼的輸入信號和輸出量化信噪比的關(guān)系曲線。如果把量化信噪比大于26dB的范圍作為動態(tài)范圍(這里動態(tài)范圍指能滿足量化信噪比26dB的信號變化范圍)，那么從圖中可以看出，均勻量化7位碼的動態(tài)范圍大約只有18dB(即信號在0dB~-18dB的范圍以內(nèi)，量化信噪比均在26dB以上)，而μ=100的7位碼的動態(tài)范圍可以擴大到38dB(即信號在0dB~-38dB范圍內(nèi)均可使量化信噪比在26dB以上)。如果均勻量化也要得到38dB的動態(tài)范圍，則需要11位碼。

圖7.28μ=100與均勻量化時輸入信號和輸出量化信噪比的關(guān)系曲線

3．數(shù)字壓擴技術(shù)

數(shù)字壓擴的基本思想是利用大量數(shù)字電路形成若干根折線，并用這些折線來近似A律或μ律的對數(shù)壓擴特性，從而達到壓擴的目的。

用折線作壓擴特性，既不同于均勻量化的直線，又不同于對數(shù)壓擴特性的光滑曲線。雖然總的來說用折線作壓擴特性是非均勻量化，但它既有非均勻(不同折線有不同斜率)量化，又有均勻量化(在同一折線的小范圍內(nèi))。有兩種常用的數(shù)字壓擴技術(shù):一種是13折線A律壓擴，它的特性近似A=87.6的A律壓擴特性;另一種是15折線μ律壓擴，其特性近似μ=255的μ律壓擴特性。下面主要介紹13折線A律壓擴技術(shù)，簡稱13折線法。

怎樣得到13折線呢？把x和y軸用兩種不同的方法劃分。x軸采取不均勻的劃分，在0~1的范圍內(nèi)采取對分法劃分8段，劃分方法是每次以1/2取段；第一次在0~1間的1/2處對分，第二次在0到1/2間的1/4處對分，余類推。y軸采取等分法，均勻劃分為8段，每段間隔均為1/8。

把x、y用不同方法劃分后，對應(yīng)的各段均作一直線，如圖7.29(a)所示。圖7.29(b)是小信號區(qū)域，為容易看清楚而把x軸放大了16倍。1、2兩段斜率相同，因此實際上只有7根折線。

圖7.2913折線劃分方法(正值區(qū)域)如果把負電壓區(qū)域也按同樣方法劃分，則也可以得7根折線，但是其中第1、2段的斜率也都是16，與正電壓區(qū)域的第1、2段斜率相同，又可以合并為一根。因此，實際上把正、負電壓區(qū)域加起來只有2×(8-1)-1=13根折線，從而稱為13折線法，如圖7.30所示。

圖7.3013折線示意圖上面得到了13折線，還要進一步加以量化，量化后再進行編碼。碼組一般采用二進制，因此量化級數(shù)為Q=2k，碼位數(shù)k越多，量化級Q也越多。前面已提到，k越大，則量化信噪比越大，但k越大設(shè)備越復(fù)雜，碼元速率和帶寬也越大。一般k取7~8比較合適。下面舉一個k=8的例子來進一步討論13折線的量化問題。

k=8時，Q=28=256，現(xiàn)在13折線壓擴特性中實際上有16個折線段，因此每個折線段再劃分16個量化級即可。在每個折線段的小范圍內(nèi)采用均勻量化的方法。例如第1段，輸入在(0，1/128)內(nèi)均勻劃分16個量化級，每個量化級的間隔為1/(128×16)=1/2048。第2段與第1段輸入間隔相同，因此每個量化級的間隔也是1/2048。余下各折線段用同樣的方法進行劃分。

輸出端由于是均勻劃分的，各段間隔均為1/8，每段再16等分，因此每個量化級間隔為1/(8×16)=1/128。

用13折線法進行壓擴和量化后，可以得到量化信噪比與輸入信號之間的關(guān)系曲線，如圖7.31所示。從圖中可以看到，在小信號區(qū)域，量化信噪比與12位線性編碼的情況相同，但是在大信號區(qū)域，13折線法8位碼的量化信噪比不如12位線性編碼。

圖7.3113折線法8位碼及12位線性編碼的量化信噪比與輸入信號之間的關(guān)系曲線模擬信號x(t)經(jīng)過抽樣和量化后，得到輸出電平系列{xq}，它一共有Q個電平，當Q較大時，如果直接傳輸Q進制的信號，則抗噪聲性能很差。因此，通常通過編碼器把Q進制信號變換為k位二進制數(shù)字信號(2k≥Q)。接收端收到二進制碼元經(jīng)過譯碼器再還原為Q進制信號，這種系統(tǒng)就是脈沖編碼調(diào)制系統(tǒng)。本節(jié)簡要介紹它的編碼器和譯碼器的工作原理。

7.4編碼和譯碼7.4.1常用的二進制碼

下面通過一個Q=16(量化級編號分別為0，1，2，…，15)的例子來介紹幾種常用的二進制碼。如果信號x≥0，則量化電平都是正的，但是，諸如話音信號之類的一般信號都是有正有負的，而且正、負最大值也差不多，因此下面都以這種信號為例。設(shè)量化電平分別為-7.5，-6.5，-5.5，…，+7.5等間隔均為1的16個電平。由于q=16=24，因此正好采用4位二進制碼。

1．自然碼

假設(shè)編成4位二進制碼a4、a3、a2、a1，則量化電平與碼組的關(guān)系為

量化電平=a424-1+a324-2+a224-3+a124-4-7.5=8a4+4a3+2a2+a1-7.5

例如，第0號碼組為0000，量化電平=0+0+0+0-7.5=-7.5;第15號碼組為1111，量化電平=8+4+2+1-7.5=7.5。k位二進制碼的普遍關(guān)系式為：當k位碼為ak，ak-1，ak-2，…，a2，a1時，有

量化電平=ak2k-1+ak-12k-2+…+a221+a120-(2k-1-0.5)(7.48)

4位二進制碼中各量化電平與自然碼組的關(guān)系如表7.2所示。

2．折疊二進制碼

折疊二進制碼是由自然二進制碼演變而來的，除去最高位，折疊二進制碼的上半部分與下半部分呈倒影關(guān)系(折疊關(guān)系)。上半部分最高位為0，其余各位由下而上按自然二進制碼規(guī)則編碼；下半部分最高位為1，其余各位由上向下按自然碼編碼。這種碼與信號的量化電平結(jié)合起來看(見表7.2)，最高位表示信號的極性，信號為正用“1”表示，信號為負用“0”表示，其余各位表示信號的絕對值。折疊二進制碼目前用得比較多，它可以簡化編碼過程。這種代碼量化電平與代碼的關(guān)系比較簡單，由讀者自己分析。

3．反射二進制碼(格雷碼)

在介紹反射二進制碼時，先介紹一下碼距的概念。碼距是指兩個代碼的對應(yīng)碼位取不同碼符的位數(shù)。例如，表7.2中，自然碼相鄰兩組代碼的碼距最小為1，最大為4(如第7號碼組0111與第8號碼組1000間的碼距)，而折疊二進制碼相鄰兩組代碼的最大碼距為3(如第3號組0100與第4號碼組0011間的碼距)。

反射二進制碼是按照相鄰兩組代碼之間只有一個碼位的碼符不同(即相鄰兩組碼的碼距均為1)而構(gòu)成的，如表7.2所示。其特點為：

(1)相鄰兩組代碼的碼距均為1。

(2)從0000開始，由后(低位)往前(高位)每次只變一個碼符，而且只有當后面的那位碼不能變時，才能變前面一位碼。

(3)量化電平與代碼的關(guān)系。設(shè)表7.2所示反射二進制碼為C4，C3，C2，C1。量化電平=C4(24-1)±C3(23-1)±C2(22-1)±C1(2-1)-7.5。“+”、“-”號的取法，對于１碼的所有位，由最高位開始依次交替取+，-，+，-，…。例如，表7.2中第9號量化級4位碼為1101，則C4=C3=C1=1，C2=0，量化電平=1×(24-1)-1×(23-1)+0×(22-1)+1×(2-1)-7.5=15-7+1-7.5=1.5。

4．三種碼型的比較

反射二進制碼在采用編碼管進行編碼時才用，一般均用自然二進制碼和折疊二進制碼。由于信號一般都是有正有負的，因此目前以折疊二進制碼用得最多，但是，自然二進制碼是折疊二進制碼的基礎(chǔ)。因為當信號的極性由折疊二進制碼第一位表示后，余下信號的絕對值就按自然二進制碼編碼了。

7.4.2編碼器

實現(xiàn)編碼的具體方法和電路很多，這里只扼要介紹一種常用的逐次反饋型編碼器，目的在于了解編碼的一般物理過程。

前面已經(jīng)介紹了抽樣和量化，按照模擬信號數(shù)字化的一般原理，抽樣、量化后才進行編碼。但是，實際上編碼器本身包含了量化和編碼的兩個功能。另外，編碼需要在一個抽樣周期TS內(nèi)完成，因此抽樣值x(kTS)應(yīng)該保持一段時間，這樣實際上應(yīng)用的是平頂抽樣，通常由抽樣保持電路實現(xiàn)。

采用k位折疊二進制碼時，第一位是極性碼，后面k-1位是抽樣值絕對值的自然二進制代碼。一個抽樣周期TS內(nèi)要編k位碼，因此每個碼元寬度為TS/k，顯然碼位數(shù)越多，碼元寬度越小，占用帶寬越大。下面扼要介紹逐次比較編碼、譯碼的物理過程和工作原理。

1．k位折疊二進制碼編碼過程

圖7.32是一個k位折疊二進制碼編碼的方框圖。輸入信號為平頂抽樣得到的平頂脈沖序列，簡稱PAM信號。PAM信號經(jīng)過放大后，一方面送到極性判決電路上確定極性碼。顯然，在定時脈沖作用時刻PAM信號為正，得到“1”碼，反之得“0”碼，這個極性碼送到相加器后直接輸出。PAM信號放大后另一方面送到全波整流器，經(jīng)過全波整流后變成了絕對值。

圖7.32k位折疊二進制碼編碼原理這個絕對值送到逐次比較編碼器進行編碼，得到除極性碼以外的另外k-1位碼。逐次比較編碼器的定時脈沖有k-1個，在時間順序上緊接著極性判決電路的定時脈沖，每個定時脈沖的間隔均為TS/k，即每位碼由一個定時脈沖控制。逐次比較編碼器在［(k-1)/k］T

S時間內(nèi)完成k-1位碼的編碼，這個k-1位碼也加到相加器后與極性碼一起組成一組完整的k位二進制折疊碼。

2．逐次比較編碼器原理

為簡便起見，假設(shè)編碼器編成4位二進制碼，除第一位極性碼D3以外，其他3位碼分別用D2、D1、D0表示。下面介紹逐次比較編碼器怎樣編D2、D1、D0這3位碼。

逐次比較是指抽樣電平|x(kTS)|逐次與標準電平比較，根據(jù)比較的結(jié)果，如果|x(kTS)|大于標準電平，則發(fā)“1”碼；如果|x(kTS)|小于標準電平，則發(fā)“0”碼。

下面把|x(kTS)|簡寫為|x|。具體來說，抽樣電平在0~8范圍變化時，供比較用的標準電平選擇為1、2、3、4、5、6、7這七個電平，而這七個電平又可以由4、2、1這三個電平組合得到。

第一次比較時，標準電平為4：

當|x|>標準電平，D2為1，保留此標準電平4

當|x|<標準電平，D2為0，去掉此標準電平4

第二次比較時，標準電平分別為6=4+2(當D2=1)和2=0+2(當D2=0)，此時：

當|x|>標準電平，D1為1，保留此標準電平2

當|x|<標準電平，D1為0，去掉此標準電平2

第三次比較時，標準電平分別為：

7=4+2+1，當D2、D1為11

5=4+0+1，當D2、D1為10

3=0+2+1，當D2、D1為01

1=0+0+1，當D2、D1為00

此時有：

當|x|>標準電平，D0為1

當|x|<標準電平，D0為0

經(jīng)過3次比較后可以得到|x|與D2、D1、D0的關(guān)系，如表7.3所示。

例如，|x|=5.3，相應(yīng)的3位代碼為101，|x|在5~6范圍內(nèi)的代碼都是101。在譯碼時為了減小誤差，應(yīng)該把101這個代碼譯在5~6的中間，即101應(yīng)譯為5.5，這樣最大誤差在0.5以內(nèi)。表中用|xq|表示譯碼的結(jié)果。由這個編碼過程和譯碼結(jié)果可以看到，量化和編碼實際上是一起完成的。因為|x|在5~6范圍內(nèi)，不論是什么值，編出來的都是101碼，起到量化的作用。

3．逐次比較型編碼

根據(jù)如上所述的基本原理，一個3位逐次比較型編碼器的方框圖如圖7.33所示，主要由標準電平、比較器和受位定時脈沖控制的邏輯控制電路組成。

圖7.33逐次比較編碼器示意圖

1)邏輯控制電路

邏輯控制電路受位定時脈沖控制，在一個編碼周期TS內(nèi)，按時間順序(在極性判決定時脈沖后面)產(chǎn)生3個位脈沖，依次控制圖7.33中開關(guān)S1、S2、S3的換向。這3個位脈沖用代號1、2、3表示。例如位脈沖1的作用是使開關(guān)S1由接地轉(zhuǎn)換為接基準電壓“-E”，其目的是提供一個與PAM輸出信號|x|比較用的基準電壓。

2)標準電平產(chǎn)生電路

由基準電壓和電阻網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生供比較用的標準電平，利用疊加原理，把PAM信號和基準電壓分別計算然后相加，就可以得到放大器的輸入電壓。設(shè)放大器輸入電壓為U，PAM信號為恒流源I，由它單獨作用時在放大器輸入端產(chǎn)生的電壓為UI，而由基準電壓-E在放大器輸入端產(chǎn)生的電壓為UE，則U=UI+UE。

利用疊加原理計算PAM信號產(chǎn)生的UI時，基準電壓源相當于短路接地，這樣UI與開關(guān)S1、S2、S3的位置無關(guān)，經(jīng)計算得到

利用疊加原理計算UE時，PAM信號這個恒流源看做開路，利用電路解法，可以得到UE在開關(guān)不同位置時的關(guān)系，如表7.4所示(設(shè)放大器輸入阻抗4R)。

放大器輸入電壓=UI+UE=4RI/7-|UE|，而|UE|根據(jù)開關(guān)不同位置有7個不同的標準電壓，即E/7、2E/7、3E/7、4E/7、5E/7、6E/7、7E/7。UI=4RI/7是變化的，與抽樣值有關(guān)，讓UI的最大值為8E/7，即當I為最大時，UI最大=4R/7，I最大=8E/7，只要選擇I最大=2E/R即可。

3)放大器與觸發(fā)器

根據(jù)放大器輸入電壓的正負，觸發(fā)“1”或者“0”。例如，在第1個位脈沖作用下，S1向左接通-E，|UE|=4E/7，如果此時抽樣電平4RI/7>4E/7(標準電平)，即放大器輸入電壓4RI/7-4E/7>0，則觸發(fā)器輸出高電位，發(fā)“1”碼。反之，如果抽樣電平小于標準電平，則觸發(fā)器輸出低電位，發(fā)“0”碼。

當觸發(fā)器為高電位時，在發(fā)“1”碼的同時，此高電位經(jīng)過邏輯控制電路使S1繼續(xù)向左接通-E，直到3位碼全部編完為止。

4)編碼的全過程

舉一個例子說明編碼的全過程。設(shè)由抽樣值作用而產(chǎn)生的UI=6.1E/7。

位脈沖1加上，S1向左接通-E，|UE1|=4E/7。此時UI>|UE1|，放大器輸入電壓=UI-|UE1|=6.1E/7-4E/7>0。經(jīng)放大器，觸發(fā)器發(fā)“1”碼，即D2為1；發(fā)“1”碼的同時經(jīng)邏輯控制電路使S1繼續(xù)向左接通-E，直到3碼全都編完。

位脈沖2加上，S2向左接通-E，由于此時S1保持接通-E，因此|UE1、2|=6E/7；此時UI>|UE1、2|。放大器輸入電壓

=UI-|UE1，2|=6.1E/7-6E/7=0.1E/7>0。經(jīng)放大器，觸發(fā)器發(fā)“1”碼，即D2為1；發(fā)“1”碼的同時經(jīng)邏輯控制電路使S1繼續(xù)向左接通-E，直到3碼全都編完。

位脈沖3加上，S3向左接通-E，由于此時S1、S2保持接通-E,|UE1,2,3|=7E/7,UI<|UE1，2，3|。放大器輸入電壓=UI-|UE1,2,3|=6.1E/7-7E/7=-0.9E/7<0。經(jīng)放大器，觸發(fā)器發(fā)“0”碼，即D0為0。

由此得到3位碼為110，只要由抽樣值作用產(chǎn)生的UI在6E/7~7E/7之間，代碼都是110。但是當UI=6E/7時，代碼可能是110，也可能是101，這是隨機的。

7.4.3譯碼器

當接收到代碼以后，要還原為量化值，這個過程與編碼相反，由譯碼器完成。例如，接收端收到4位折疊二進制代碼1110。第1位表示極性碼，首先也要有一個極性判決電路，判定是正電平還是負電平，這里第1位碼是“1”，表明是正電平。后面3位碼加到一個與逐次比較型編碼器同一類型的譯碼器。在圖7.34所示的譯碼器電路及其輸出圖中，一個3位譯碼器簡化圖如圖7.34(a)所示。譯碼器的位定時脈沖與編碼器的同步。位脈沖與輸入代碼經(jīng)過邏輯控制電路和遲延電路，控制開關(guān)S1、S2、S3的轉(zhuǎn)向。如果輸入代碼D2、D1、D0為110碼，則當3位碼全部進入以后，同時對開關(guān)作用，D2、D1均為1碼，對應(yīng)開關(guān)S1、S2轉(zhuǎn)向基準電壓，D0為0碼，對應(yīng)開關(guān)S3接地。此時輸出電壓可以用圖7.34(b)所示的等效電路，求得

圖7.34譯碼器及其輸出電路

同樣可以求得其他代碼的輸出電壓，如表7.5所示。

上面扼要介紹了線性編碼器和譯碼器的工作原理。實際使用的多是非線性編碼器，由數(shù)字電路完成的各種編、譯碼器一般比較復(fù)雜，目前都有集成的專用芯片，這里就不再介紹了。

前面講了模擬信號傳輸中抽樣、量化和編碼的原理，下面把它們結(jié)合起來組成一個完整的PCM通信系統(tǒng)，并對PCM系統(tǒng)的碼元速率、PCM信號需要的信道帶寬和