集合間關(guān)系習(xí)題集錦集合是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念之一，集合間的關(guān)系（子集、相等、交集、并集、補集等）是集合論的核心內(nèi)容。本文圍繞子集與真子集、相等集合、交集與并集的關(guān)系、補集的關(guān)系四大模塊設(shè)計習(xí)題，覆蓋基礎(chǔ)、提升、拓展三個層次，注重邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性與實用解題技巧，助力讀者深化對集合關(guān)系的理解。一、子集與真子集關(guān)系習(xí)題核心概念：若集合\(A\)的所有元素都屬于集合\(B\)，則\(A\subseteqB\)（\(A\)是\(B\)的子集）；若\(A\subseteqB\)且\(B\)中存在元素不屬于\(A\)，則\(A\subsetB\)（\(A\)是\(B\)的真子集）。（一）基礎(chǔ)題1.判斷子集關(guān)系設(shè)集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{1,2,3,4\}\)，\(C=\{2,3\}\)，試判斷：（1）\(A\)與\(B\)的關(guān)系；（2）\(C\)與\(A\)的關(guān)系；（3）\(C\)與\(B\)的關(guān)系。解答：（1）\(A\subsetB\)（\(A\)的元素全在\(B\)中，且\(B\)有元素\(4\notinA\)）；（2）\(C\subsetA\)（同理，\(C\)是\(A\)的真子集）；（3）\(C\subsetB\)（\(C\)的元素全在\(B\)中，且\(B\)有元素\(1,4\notinC\)）。2.求子集個數(shù)集合\(A=\{a,b,c\}\)，求其所有子集的個數(shù)，并列出所有真子集。解答：子集個數(shù)為\(2^3=8\)（含空集\(\varnothing\)）；真子集為\(\varnothing,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\}\)（共7個，不含\(A\)本身）。（二）提升題3.參數(shù)取值范圍問題已知集合\(A=\{x|x^2-5x+6=0\}\)，\(B=\{x|mx-1=0\}\)，若\(B\subseteqA\)，求實數(shù)\(m\)的取值范圍。解答：先解\(A\)：\(x^2-5x+6=0\Rightarrowx=2\)或\(x=3\)，故\(A=\{2,3\}\)。\(B\subseteqA\)分兩種情況：\(B=\varnothing\)：\(mx-1=0\)無解，即\(m=0\)；\(B\neq\varnothing\)：\(B=\{1/m\}\)，需滿足\(1/m=2\)或\(1/m=3\)，解得\(m=1/2\)或\(m=1/3\)。綜上，\(m\)的取值范圍是\(\{0,1/2,1/3\}\)。4.傳遞性證明證明：若\(A\subseteqB\)且\(B\subseteqC\)，則\(A\subseteqC\)（子集的傳遞性）。解答：任取\(x\inA\)，由\(A\subseteqB\)得\(x\inB\)；再由\(B\subseteqC\)得\(x\inC\)。因此，對任意\(x\inA\)，都有\(zhòng)(x\inC\)，故\(A\subseteqC\)。（三）拓展題5.真子集的性質(zhì)設(shè)集合\(A\)有\(zhòng)(n\)個元素，證明：\(A\)的真子集個數(shù)為\(2^n-1\)。解答：\(A\)的所有子集個數(shù)為\(2^n\)（每個元素有“選”或“不選”兩種可能），其中唯一不是真子集的是\(A\)本身，故真子集個數(shù)為\(2^n-1\)。二、相等集合關(guān)系習(xí)題核心概念：若\(A\subseteqB\)且\(B\subseteqA\)，則\(A=B\)（集合相等的定義）。（一）基礎(chǔ)題6.判斷集合相等判斷下列集合是否相等：（1）\(A=\{x|x\)是偶數(shù)且\(x\leq6\}\)，\(B=\{2,4,6\}\)；（2）\(C=\{x|x^2=1\}\)，\(D=\{-1,1\}\)。解答：（1）\(A=B\)（\(A\)的元素為\(2,4,6\)，與\(B\)完全一致）；（2）\(C=D\)（\(C\)的解為\(x=\pm1\)，與\(D\)相同）。（二）提升題7.由相等集合求參數(shù)已知集合\(A=\{x|ax+b=0\}\)，\(B=\{1\}\)，若\(A=B\)，求\(a,b\)的值。解答：\(A=B\)意味著\(ax+b=0\)有唯一解\(x=1\)，故：系數(shù)\(a\neq0\)（否則方程無解或無窮解，與\(B\)有唯一元素矛盾）；將\(x=1\)代入得\(a+b=0\Rightarrowb=-a\)。取\(a=1\)，則\(b=-1\)（答案不唯一，只要\(b=-a\)且\(a\neq0\)即可）。（三）拓展題8.證明集合相等設(shè)集合\(A=\{x|x=2k,k\in\mathbb{Z}\}\)（偶數(shù)集），\(B=\{x|x=4m\pm2,m\in\mathbb{Z}\}\)，證明\(A=B\)。解答：需證明\(A\subseteqB\)且\(B\subseteqA\)：\(B\subseteqA\)：任取\(x\inB\)，\(x=4m+2=2(2m+1)\)或\(x=4m-2=2(2m-1)\)，均為偶數(shù)，故\(x\inA\)；\(A\subseteqB\)：任取\(x\inA\)，\(x=2k\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）。若\(k\)為偶數(shù)，\(k=2m\)，則\(x=4m=4m+2-2=2(2m+1)-2\)？不，更直接：\(k\)為偶數(shù)時，\(x=2(2m)=4m=4m+2-2\)？其實\(k\)為奇數(shù)時，\(k=2m+1\)，則\(x=2(2m+1)=4m+2\inB\)；\(k\)為偶數(shù)時，\(k=2m\)，則\(x=2(2m)=4m=4(m)-0\)？不對，等一下，\(B=\{x|x=4m\pm2\}\)，即\(x=4m+2\)或\(x=4m-2=4(m-1)+2\)，所以\(B\)是所有形如\(4m+2\)的數(shù)，即\(2,6,10,\dots\)和\(-2,-6,\dots\)，而\(A\)是所有偶數(shù)，比如\(0\inA\)但\(0\notinB\)，哦，這里我犯了一個錯誤！原題應(yīng)該是\(B=\{x|x=2(2m\pm1)\}\)，即\(x=4m\pm2\)嗎？不，\(4m\pm2=2(2m\pm1)\)，即所有非零偶數(shù)？不對，\(0\)是偶數(shù)，但\(0=4m\pm2\)無解，所以\(A\neqB\)，可能原題有誤，應(yīng)該是\(B=\{x|x=2k+1,k\in\mathbb{Z}\}\)和\(A=\{x|x=4m\pm1\}\)，這才是相等的（奇數(shù)集）。比如修正后：題目：設(shè)\(A=\{x|x=2k+1,k\in\mathbb{Z}\}\)（奇數(shù)集），\(B=\{x|x=4m\pm1,m\in\mathbb{Z}\}\)，證明\(A=B\)。解答：\(B\subseteqA\)：\(4m+1=2(2m)+1\)，\(4m-1=2(2m-1)+1\)，均為奇數(shù)，故\(B\subseteqA\)；\(A\subseteqB\)：任取\(x=2k+1\inA\)，若\(k\)為偶數(shù)，\(k=2m\)，則\(x=4m+1\inB\)；若\(k\)為奇數(shù)，\(k=2m+1\)，則\(x=4m+3=4(m+1)-1\inB\)。綜上，\(A=B\)。三、交集與并集的關(guān)系習(xí)題核心概念：交集：\(A\capB=\{x|x\inA\)且\(x\inB\}\)；并集：\(A\cupB=\{x|x\inA\)或\(x\inB\}\)；性質(zhì)：\(A\capB\subseteqA\subseteqA\cupB\)，\(A\capB\subseteqB\subseteqA\cupB\)。（一）基礎(chǔ)題9.交集與并集的基本運算設(shè)集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，\(C=\{3,4,5\}\)，求：（1）\(A\capB\)；（2）\(A\cupB\)；（3）\((A\capB)\capC\)；（4）\((A\cupB)\cupC\)。解答：（1）\(A\capB=\{2,3\}\)（共同元素）；（2）\(A\cupB=\{1,2,3,4\}\)（所有元素，去重）；（3）\((A\capB)\capC=\{3\}\)（\(A\capB\)與\(C\)的共同元素）；（4）\((A\cupB)\cupC=\{1,2,3,4,5\}\)（所有元素，去重）。（二）提升題10.包含關(guān)系的傳遞證明：若\(A\subseteqB\)，則\(A\capC\subseteqB\capC\)且\(A\cupC\subseteqB\cupC\)。解答：證明\(A\capC\subseteqB\capC\)：任取\(x\inA\capC\)，則\(x\inA\)且\(x\inC\)。由\(A\subseteqB\)得\(x\inB\)，故\(x\inB\capC\)，因此\(A\capC\subseteqB\capC\)。證明\(A\cupC\subseteqB\cupC\)：任取\(x\inA\cupC\)，則\(x\inA\)或\(x\inC\)。若\(x\inA\)，由\(A\subseteqB\)得\(x\inB\)，故\(x\inB\cupC\)；若\(x\inC\)，則直接\(x\inB\cupC\)。因此\(A\cupC\subseteqB\cupC\)。（三）拓展題11.分配律證明證明：\(A\cap(B\cupC)=(A\capB)\cup(A\capC)\)（交集對并集的分配律）。解答：用元素法證明兩邊互相包含：左邊?右邊：任取\(x\inA\cap(B\cupC)\)，則\(x\inA\)且\(x\inB\cupC\)（即\(x\inB\)或\(x\inC\)）。若\(x\inB\)，則\(x\inA\capB\)；若\(x\inC\)，則\(x\inA\capC\)。因此\(x\in(A\capB)\cup(A\capC)\)。右邊?左邊：任取\(x\in(A\capB)\cup(A\capC)\)，則\(x\inA\capB\)或\(x\inA\capC\)。若\(x\inA\capB\)，則\(x\inA\)且\(x\inB\)，故\(x\inB\cupC\)，因此\(x\inA\cap(B\cupC)\)；若\(x\inA\capC\)，同理可得\(x\inA\cap(B\cupC)\)。綜上，等式成立。四、補集的關(guān)系習(xí)題核心概念：（一）基礎(chǔ)題12.補集的基本運算設(shè)全集\(U=\{1,2,3,4,5\}\)，集合\(A=\{1,3,5\}\)，\(B=\{2,3\}\)，求：解答：（二）提升題13.補集的包含關(guān)系解答：（三）拓展題14.德摩根定律應(yīng)用解答：證明：綜上，等式成立。集合意義：“不屬于\(A\)或\(B\)的元素”等價于“既不屬于\(A\)也不屬于\(B\)的元素”（并集的補集等于補集的交集）。五、綜合應(yīng)用習(xí)題15.集合關(guān)系與參數(shù)結(jié)合已知全集\(U=\mathbb{R}\)，集合\(A=\{x|x^2-3x+2<0\}\)，\(B=\{x|x-a>0\}\)，若\(A\subseteqB\)，求實數(shù)\(a\)的取值范圍。解答：先解\(A\)：\(x^2-3x+2<0\Rightarrow(x-1)(x-2)<0\Rightarrow1<x<2\)，故\(A=(1,2)\)；\(B=\{x|x>a\}\)（即\((a,+\infty)\)）。\(A\subseteqB\)意味著\(A\)的所有元素都在\(B\)中，故\(a\leq1\)（若\(a>1\)，則\(A\)中存在元素\(1<x<a\)不屬于\(B\)）。答案：\(a\leq1\)。16.集合等式的證明證明：\(A\cup(B\capC)=(A\cupB)\cap(A\cupC)\)（并集對交集的分配律）。解答：用元素法證明：左邊?右邊：任取\(x\inA\cup(B\capC)\)，則\(x\inA\)或\(x\inB\capC\)。若\(x\inA\)，則\(x\inA\cupB\)且\(x\inA\cupC\)，故\(x\in(A\cupB)\cap(A\cupC)\)；若\(x\inB\capC\)，則\(x\inB\)且\(x\inC\)，故\(x\inA\cupB\)且\(x\inA\cupC\)，因此\(x\in(A\cupB)\cap(A\cupC)\)。右邊?左邊：任取\(x\in(A\cupB)\cap(A\cupC)\)，則\(x\inA\cupB\)且\(x\inA\cupC\)。若\(x\inA\)，則直接\(x\inA\cup(B\capC)\)；若\(x\notinA\)，則\(x\inB\)且\(x\inC\)（因為\(x\inA\cupB\)且\(x\notinA\Rightarr