PAGE1第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)教學(xué)目標(biāo)1.掌握指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì),并能用圖象和性質(zhì)解決有關(guān)問題.2.了解指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)互為反函數(shù),通過對幾類基本初等函數(shù)的變化差異進(jìn)行比較,來解決簡單的實(shí)際問題.3.掌握運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)求方程近似解的基本方法(二分法);理解用函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的基本過程;運(yùn)用模型思想發(fā)現(xiàn)和提出、分析和解決問題.教學(xué)重難點(diǎn)1、重點(diǎn)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)及其應(yīng)用,特別是單調(diào)性的應(yīng)用.2、難點(diǎn)與指數(shù)、對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題和選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型解決實(shí)際問題.知識(shí)點(diǎn)01指數(shù)冪運(yùn)算1．根式(1)根式的概念若xn＝a，則x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．(2)a的n次方根的表示xn＝a?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(n,a)當(dāng)n為奇數(shù)且n>1時(shí)，,x＝±\r(n,a)當(dāng)n為偶數(shù)且n>1時(shí).))2．有理數(shù)指數(shù)冪冪的有關(guān)概念正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a＝eq\f(1,a)＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)【即學(xué)即練】1．已知，且，則的最小值是（

）A．2 B． C．4 D．8【答案】D【詳解】因?yàn)樗?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故選：D．2．已知冪函數(shù)的圖象分別經(jīng)過兩點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象分別經(jīng)過兩點(diǎn)，所以把兩點(diǎn)分別代入可得，故，故.故選：B.知識(shí)點(diǎn)02指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．指數(shù)函數(shù)的圖象函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)0<a<1a>1圖象圖象特征在x軸上方，過定點(diǎn)(0,1)當(dāng)x逐漸增大時(shí)，圖象逐漸下降當(dāng)x逐漸增大時(shí)，圖象逐漸上升2.指數(shù)函數(shù)圖象畫法的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).3．指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為c>d>1>a>b.由此我們可得到以下規(guī)律：在y軸右(左)側(cè)圖象越高(低)，其底數(shù)越大．4、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)0<a<1a>1性質(zhì)定義域R值域(0，＋∞)單調(diào)性在R上是減函數(shù)在R上是增函數(shù)函數(shù)值變化規(guī)律當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1當(dāng)x<0時(shí)，y>1；當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1；當(dāng)x>0時(shí)，y>1【即學(xué)即練】1．設(shè)，表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，則函數(shù)的值域是（

）．A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意得，．①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，則，，從而，，所以．②當(dāng)時(shí)，，，，，，，故．③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，則，，從而，，所以．綜上所述，的值域?yàn)椋蔬x：B．2．已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【詳解】（函數(shù)在上單調(diào)遞增）．當(dāng)時(shí)不一定有，例如時(shí)有，但，充分性不成立；當(dāng)時(shí)不一定有，例如時(shí)有，但，必要性不成立．故“”是“”的既不充分也不必要條件．故選：D.知識(shí)點(diǎn)03對數(shù)運(yùn)算對數(shù)的概念、性質(zhì)及運(yùn)算概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，logaN叫做對數(shù)式性質(zhì)對數(shù)式與指數(shù)式的互化：ax＝N?x＝logaNloga1＝0，logaa＝1，aaN＝N運(yùn)算法則loga(M·N)＝logaM＋logaNa>0，且a≠1，M>0，N>0logaeq\f(M,N)＝logaM－logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)重要公式(1)換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)；(2)logab＝eq\f(1,logba)，推廣logab·logbc·logcd＝logad.【即學(xué)即練】1．計(jì)算：（

）A．17 B． C．52 D．【答案】C【詳解】方法一：．方法二：，，故．故選：C.2．已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】函數(shù)，則.故選：C.知識(shí)點(diǎn)04對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．對數(shù)函數(shù)的圖象函數(shù)y＝logax，a>1y＝logax,0<a<1圖象圖象特征在y軸右側(cè)，過定點(diǎn)(1,0)當(dāng)x逐漸增大時(shí)，圖象是上升的當(dāng)x逐漸增大時(shí)，圖象是下降的2.底數(shù)的大小決定了圖象相對位置的高低不論是a＞1還是0＜a＜1，在第一象限內(nèi)，自左向右，圖象對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大，如圖，0<c<d<1<a<b.在x軸上側(cè)，圖象從左到右相應(yīng)的底數(shù)由小變大；在x軸下側(cè)，圖象從右到左相應(yīng)的底數(shù)由小變大．(無論在x軸的上側(cè)還是下側(cè)，底數(shù)都按順時(shí)針方向變大)3．指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對稱．4.對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)a>10<a<1性質(zhì)定義域(0，＋∞)值域R單調(diào)性在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)函數(shù)值變化規(guī)律當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0【即學(xué)即練】1．已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意得，，解得，所以，所以，所以，即，從而，解得，故不等式的解集為.故選：A2．已知（且）的最小值是，那么a的最大值為（

）A． B． C．3 D．4【答案】D【詳解】函數(shù)的最小值是，當(dāng)時(shí)，函數(shù)不單調(diào)遞增，即，解得

①；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，即

②，綜合①②可得，又最小值為，故注意分段點(diǎn)處的取值即，解得，綜上所述，，的最大值為4．故選：.知識(shí)點(diǎn)05函數(shù)零點(diǎn)存在定理及其應(yīng)用1、函數(shù)零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)也就是方程的解.說明：定理要求具備兩個(gè)條件:①函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的;②.兩個(gè)條件缺一不可.2、函數(shù)零點(diǎn)的求法①代數(shù)法：根據(jù)零點(diǎn)定義，求出方程的實(shí)數(shù)解;②數(shù)形結(jié)合法：作出函數(shù)圖象，利用函數(shù)性質(zhì)求解3、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷①利用代數(shù)法，求出所有零點(diǎn)；②數(shù)形結(jié)合，通過作圖，找出圖象與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；③數(shù)形結(jié)合，通過分離，將原函數(shù)拆分成兩個(gè)函數(shù)，找到兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；④函數(shù)零點(diǎn)唯一：函數(shù)存在零點(diǎn)+函數(shù)單調(diào).【即學(xué)即練】1．已知函數(shù)．在下列區(qū)間中，包含零點(diǎn)的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，在上恒成立，這表明函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.在，，連續(xù)，且單調(diào)遞減，下面證明：設(shè)，則.對其進(jìn)行化簡：，因?yàn)椋?，，，，那?所以，即，也就是.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，函數(shù)在上是減函數(shù).當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，當(dāng)，，當(dāng)，.根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知，可以判定函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，故C選項(xiàng)正確.在區(qū)間，沒有零點(diǎn)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.在區(qū)間，也沒有零點(diǎn)，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C2．已知是表示不超過的最大整數(shù)，例如．若是函數(shù)的零點(diǎn)，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【詳解】易知函數(shù)的定義域?yàn)?，且在上單調(diào)遞增；顯然，，所以，再根據(jù)的定義可知.故選：B知識(shí)點(diǎn)06二分法1、二分法的概念對于在區(qū)間上圖象連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷的把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法（bisection)2、用二分法求零點(diǎn)的近似值給定精確度，用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的一般步驟如下：（1）確定零點(diǎn)的初始區(qū)間，驗(yàn)證；（2）求區(qū)間的中點(diǎn)（3）計(jì)算;①若（此時(shí))，則就是函數(shù)的零點(diǎn)；②若（此時(shí))，則令；③若（此時(shí))，則令；（4）判斷是否達(dá)到精確度，若，則得到零點(diǎn)近似值(或)，否則重復(fù)2--4【即學(xué)即練】1．一個(gè)函數(shù)不能用二分法求零點(diǎn)是這個(gè)函數(shù)的圖象與x軸相切的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】對于，函數(shù)圖象不連續(xù)且不存在零點(diǎn)，但在和上函數(shù)值符號(hào)不同，所以不能用二分法判斷零點(diǎn)，否則會(huì)得到矛盾結(jié)果，而不與軸相切；若函數(shù)與x軸相切，即函數(shù)圖象只在軸的一側(cè)，故函數(shù)值恒正或恒負(fù)，但存在零點(diǎn)，所以不能用二分法判斷零點(diǎn)；綜上，一個(gè)函數(shù)不能用二分法求零點(diǎn)是這個(gè)函數(shù)的圖象與x軸相切的必要不充分條件.故選：B2．已知增函數(shù)的圖象在上是一條連續(xù)不斷的曲線，在用二分法求該函數(shù)零點(diǎn)的過程中，依次確定了零點(diǎn)所在區(qū)間為，，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)橐来未_定了零點(diǎn)所在區(qū)間為，，，可得，即，解得.所以.故選：B.知識(shí)點(diǎn)07常見函數(shù)模型1、一次函數(shù)模型（，為常數(shù)）2、反比例函數(shù)模型（）3、二次函數(shù)模型（）4、指數(shù)函數(shù)模型（且，）5、對數(shù)函數(shù)模型（且，）6、冪函數(shù)模型（，）7、分段函數(shù)模型：兩種或兩種以上上述六種模型的綜合8、對勾函數(shù)模型：【即學(xué)即練】1．沙漏也叫做沙鐘，是一種測量時(shí)間的裝置．現(xiàn)有一個(gè)沙漏上方裝有的細(xì)沙，細(xì)沙從中間小孔由上方慢慢漏下，經(jīng)過時(shí)剩余的細(xì)沙量為，經(jīng)過相關(guān)數(shù)學(xué)小組成員的模擬實(shí)驗(yàn)及其數(shù)據(jù)記錄與分析得到剩余的細(xì)沙量與時(shí)間滿足（為常數(shù)）的函數(shù)模型，且實(shí)驗(yàn)中記錄到經(jīng)過時(shí)，上方還剩下一半細(xì)沙，則要使沙漏上方細(xì)沙是開始時(shí)的，需經(jīng)過的時(shí)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)題意，則，故，當(dāng)要使沙漏上方細(xì)沙是開始時(shí)的，則，解得.故選：B.2．碳14具有放射性.活體生物組織內(nèi)的碳14含量大致不變，當(dāng)生物死亡后，其組織內(nèi)的碳14開始衰減.已知碳14的半衰期約為5730年，即生物死亡年后，碳14含量，其中為活體生物組織內(nèi)碳14的含量.科學(xué)家一般利用碳14這一特性測定生物死亡年代.2025年科學(xué)家在我國發(fā)現(xiàn)的某生物遺體中碳14的含量約為原始含量的0.92，已知，則根據(jù)所給的數(shù)據(jù)可推斷該生物死亡的朝代為（

）A．宋（公元年） B．元（公元年）C．明（公元年） D．清（公元年）【答案】B【詳解】已知碳14含量公式，某生物遺體中碳14的含量約為原始含量的0，92，即，代入公式可得，因?yàn)?，兩邊同時(shí)除以，得到，對兩邊取以為底的對數(shù)，可得，則，因?yàn)?，，即，所以，將代入，可得（年），已知是?025年發(fā)現(xiàn)該生物遺體，那么該生物死亡的時(shí)間約為（年），因?yàn)椋栽撋锼劳龅某鸀樵ü辏?故選：B題型01根式的化簡求值【典例1】“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】由，得，則，故“”是“”的充分不必要條件．故選：A.此類問題應(yīng)熟練應(yīng)用．當(dāng)所求根式含有多重根號(hào)時(shí)，要搞清被開方數(shù)，由里向外或由外向里，用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪寫出，然后再用性質(zhì)進(jìn)行化簡．【變式1】已知實(shí)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)，，，，，..又，，，.故選：D【變式2】求下列各式的值：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）.【詳解】（1）原式；（2）原式.當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式.因此，原式；（3）原式【變式3】化簡：（1）；

（2）．【答案】（1）；（2）．【詳解】（1）原式．（2）原式=，∵，∴，所以，原式＝．題型02分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化【典例1】已知正數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．10 B．12 C．18 D．24【答案】D【詳解】，所以，因?yàn)閍，b為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：D.(1)根指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母，被開方數(shù)(式)的指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子．(2)在具體計(jì)算時(shí)，通常會(huì)把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，然后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)解題．【變式1】化簡(其中，)的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因，，所以.故選：C【變式2】化簡或求值：(1)；(2)；(3)；(4)（且）.【答案】(1)112(2)21(3)4(4)【詳解】（1）原式=.（2）=21.（3）.（4）.題型03指數(shù)冪的化簡求值與證明【典例1】已知函數(shù)，，則（

）A．12 B． C． D．17【答案】C【詳解】令，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，，所以為奇函數(shù)，，即，即，，故選：C (1)有括號(hào)先算括號(hào)里的，無括號(hào)先進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算．(2)負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù)．(3)底數(shù)是小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，要先化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)．【變式1】已知函數(shù)f（x）滿足：對任意的，若函數(shù)與圖像的交點(diǎn)為，則的值為（

）A．0 B．2n C．n D．-n【答案】C【詳解】因?yàn)槿我獾?，故的圖象關(guān)于對稱.又，設(shè)，則的定義域?yàn)榍?，故為奇函?shù)，故其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，而，故圖像關(guān)于對稱.故函數(shù)與圖像的諸交點(diǎn)關(guān)于對稱，不妨設(shè)，則，且，其中，故，所以，故，故選：C.【變式2】（1）計(jì)算：；（2）已知，，求的值；（3）已知，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）.【詳解】（1）原式；（2）由，，則；（3）由于，則，所以，，所以.題型04求指數(shù)函數(shù)的解析式或函數(shù)值【典例1】已知指數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)，(1)求函數(shù)的解析式；(2)判斷的奇偶性，并加以證明；(3)如果在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)是奇函數(shù)，證明見解析；(3).【詳解】（1）由題知，的圖象過點(diǎn)，所以，，；（2）是奇函數(shù).證明如下：由（1）得，，∵的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱∴，故是奇函數(shù).（3）如果在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，即在上恒成立，令，，顯然在上單調(diào)遞減，，故．(1)求指數(shù)函數(shù)的解析式時(shí)，一般采用待定系數(shù)法，即先設(shè)出函數(shù)的解析式，然后利用已知條件，求出解析式中的參數(shù)，從而得到函數(shù)的解析式，其中掌握指數(shù)函數(shù)的概念是解決這類問題的關(guān)鍵．(2)求指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值的關(guān)鍵是掌握指數(shù)函數(shù)的解析式．【變式1】已知函數(shù)且的圖象與軸交于點(diǎn)，且點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上.(1)求的值；(2)若不等式對恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在軸上，且在一次函數(shù)的圖象上，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，又，所以.（2）因?yàn)?，所?因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以對恒成立即對恒成立.當(dāng)時(shí)，，所以，即的取值范圍為.【變式2】我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于軸成軸對稱圖形的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于成軸對稱圖形的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù).(1)已知函數(shù)，求該函數(shù)圖象的對稱軸方程；(2)若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且當(dāng)時(shí)，.①求的解析式；②求不等式的解集.【答案】(1)(2)①；②.【詳解】（1）解：因?yàn)?，因?yàn)?，令，則該函數(shù)的定義域?yàn)椋?，函?shù)為偶函數(shù)，因此，函數(shù)圖象的對稱軸方程為.（2）解：①因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則，所以，.②當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)、在上為增函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)?，則，不等式兩邊平方可得，即，解得，因此，不等式的解集為.題型05指數(shù)函數(shù)的定義域與值域【典例1】函數(shù)的最大值和最小值之和為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，令，可知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，故函?shù)為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)的最大值與最小值之和為，即，故．故選：B．(1)定義域：形如y＝af(x)形式的函數(shù)的定義域是使得f(x)有意義的x的取值集合．(2)值域：①換元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定義域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝at的單調(diào)性求y＝at，t∈M的值域．注意：(1)通過建立不等關(guān)系求定義域時(shí)，要注意解集為各不等關(guān)系解集的交集．(2)當(dāng)指數(shù)型函數(shù)的底數(shù)含字母時(shí)，在求定義域、值域時(shí)要注意分類討論．【變式1】已知正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【詳解】正數(shù)滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為4.故選：B【變式2】已知函數(shù)若都使成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】都使成立，等價(jià)于單調(diào)遞增，所以，所以對于恒成立，即，所以恒成立，所以，單調(diào)遞增，，所以即故選：D.【變式3】已知定義在上的函數(shù)（且）.(1)判斷函數(shù)的奇偶性并證明；(2)若，函數(shù)，，求函數(shù)的值域；(3)若，，對任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)奇函數(shù)，證明見解析；(2)；(3).【詳解】（1）函數(shù)是上的奇函數(shù)，證明：由，得，，所以函數(shù)是上的奇函數(shù).（2）由，得，即，而，解得，函數(shù)，函數(shù)在上都是增函數(shù)，因此是上的增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域是.（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上都是增函數(shù)，因此是上的增函數(shù)，而，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此，，故函數(shù)是上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，不等式，因此，則依題意對任意，恒成立，則，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.題型06指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象【典例1】函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題可知，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以排除選項(xiàng)BD；又，所以排除選項(xiàng)C.故選：A.1、指數(shù)函數(shù)的圖像(1)抓住特殊點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的圖象過定點(diǎn)(0,1)，求指數(shù)型函數(shù)圖象所過的定點(diǎn)時(shí)，只要令指數(shù)為0，求出對應(yīng)的x，y的值，即可得函數(shù)圖象所過的定點(diǎn)．(2)巧用圖象變換：函數(shù)圖象的平移變換(左右平移、上下平移)．(3)利用函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性與單調(diào)性．2、對數(shù)函數(shù)圖象的變換方法(1)作y＝f(|x|)的圖象時(shí)，保留y＝f(x)(x≥0)圖象不變，x<0時(shí)y＝f(|x|)的圖象與y＝f(x)(x>0)的圖象關(guān)于y軸對稱．(2)作y＝|f(x)|的圖象時(shí)，保留y＝f(x)的x軸及上方圖象不變，把x軸下方圖象以x軸為對稱軸翻折上去即可．(3)有關(guān)對數(shù)函數(shù)平移也符合“左加右減，上加下減”的規(guī)律．(4)y＝f(－x)與y＝f(x)關(guān)于y軸對稱，y＝－f(x)與y＝f(x)關(guān)于x軸對稱，y＝－f(－x)與y＝f(x)關(guān)于原點(diǎn)對稱．【變式1】我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究過程中，常用函數(shù)圖像來研究函數(shù)的性質(zhì)，也經(jīng)常用函數(shù)解析式來分析函數(shù)的圖像特征，函數(shù)在的圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：設(shè)函數(shù)在上，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，又因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，排除C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，排除D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以A不正確，B正確.故選：B.【變式2】函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】易知函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以，函?shù)為奇函數(shù)，排除D.又當(dāng)時(shí)，，則，排除C.又，排除B.故選：A.【變式3】如圖，①②③④中不屬于函數(shù)的一個(gè)是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【詳解】根據(jù)題意函數(shù)中兩個(gè)底數(shù)，圖象單調(diào)遞增，故③，④滿足題意.根據(jù)增長規(guī)律，“在定點(diǎn)右邊，順時(shí)針底數(shù)越來越大”，知道③對應(yīng)，④對應(yīng).由于函數(shù)，則它與關(guān)于x軸對稱，且①與④關(guān)于x軸對稱.故函數(shù)圖象為①.則②不屬于函數(shù)的一個(gè).故選：B.題型07指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性【典例1】已知且，函數(shù).若對任意的，都有，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)對任意的，都有，所以函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則一定有，解不等式組得.故選：B.研究型的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性用復(fù)合法，比用定義法要簡便些，一般地有：即當(dāng)時(shí)，的單調(diào)性與的單調(diào)性相同；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)與的單調(diào)性相反．【變式1】已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題設(shè)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，易知在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，滿足題設(shè)，當(dāng)時(shí)，或，綜上，.故選：B.【變式2】已知函數(shù)為奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)判斷的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(3)若對任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)增函數(shù)，證明見解析(3)【詳解】（1）由題意可得：=，∵是奇函數(shù)，∴，即，所以，∴，即，即.（2）是上的增函數(shù)，證明如下：設(shè)為區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且，則，，∵==，即，∴是上的增函數(shù).（3）由（1）（2）知，是上的增函數(shù)，且是奇函數(shù).∵，∴，∴，即對任意恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，只需，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍【變式3】已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?1)借助，證明：函數(shù)總能表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和；(2)設(shè)函數(shù)．（i）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并根據(jù)定義進(jìn)行證明；（ii）求不等式的解集．【答案】(1)證明見解析(2)（i）在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見解析；（ii）.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)，的定義域也為，由，，得，函數(shù)為偶函數(shù)，由，，得，函數(shù)為奇函數(shù)，又，所以函數(shù)總能表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和.（2）（i）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，且，，由，知，則，，，因此，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.（ii）因?yàn)闉榕己瘮?shù)圖象關(guān)于軸對稱，在區(qū)間上單調(diào)遞增，不等式等價(jià)于，即，解之得，所以不等式的解集為.題型08指數(shù)函數(shù)的最值【典例1】已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則在上的最大值為（

）A． B． C．5 D．6【答案】B【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，解得，則當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，則，，所以，由和在R上單調(diào)遞減，知在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，所以.故選：B【變式1】已知是函數(shù)的圖像上的相異兩點(diǎn)，若點(diǎn)到直線的距離相等，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】不妨設(shè)，且，根據(jù)題意，可得，可得，由基本不等式，可得，可得，解得，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和的取值范圍是.故選：D.【變式2】已知表示兩數(shù)中的最大值，若，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【詳解】根據(jù)函數(shù),畫出圖像如下圖所示:取最大值后函數(shù)圖像為:由圖像可知,當(dāng)時(shí)取得最小值,即故選:A【變式3】已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；(2)若存在不相等的實(shí)數(shù)a，b同時(shí)滿足．，求m的取值范圍．【答案】(1)答案見解析；(2).【詳解】（1）函數(shù)中，，設(shè)，函數(shù)的圖象對稱軸為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得最小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得最小值，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（2）由，得，則，化簡得，解得，由不等，得；由，得，則，設(shè)，則，函數(shù)都是上的增函數(shù)，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以m的取值范圍是.題型09指數(shù)、對數(shù)不等式的解法【典例1】已知函數(shù)，若不等式對恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】,,所以為奇函數(shù),為單調(diào)增函數(shù),,,恒成立,,.故選：D.1、解指數(shù)型不等式(1)利用指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性解不等式，需將不等式兩邊都湊成底數(shù)相同的指數(shù)式．(2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依據(jù)是指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性，要養(yǎng)成判斷底數(shù)取值范圍的習(xí)慣，若底數(shù)不確定，就需進(jìn)行分類討論，即af(x)>ag(x)?f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1)．2、解對數(shù)型不等式(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a>1與0<a<1兩種情況進(jìn)行討論．(2)形如logax>b的不等式，應(yīng)將b化為以a為底數(shù)的對數(shù)式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的單調(diào)性求解．(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用換底公式化為同底的對數(shù)進(jìn)行求解，或利用函數(shù)圖象求解．【變式1】已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式為，即，因?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以；由于，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得，所以；綜上，的取值范圍是.【變式2】若對任意的，都有恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由得，，所以的最小值為，所以，．故選：B．【變式3】已知函數(shù)．(1)設(shè)，判斷并證明函數(shù)的奇偶性；(2)判斷是否為定值，并求關(guān)于x的不等式的解集．【答案】(1)奇函數(shù)，證明見解析(2)是定值，關(guān)于x的不等式的解集為【詳解】（1），是奇函數(shù)，證明如下：的定義域是，，所以是奇函數(shù).（2）為定值.所以，即，即①，在上單調(diào)遞增，，，即②，由①②得，而，所以關(guān)于x的不等式的解集為.題型10比較大小【典例1】已知，則下列命題為假命題的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】B【詳解】對于A，因?yàn)椋?，故正確；對于B，若，則，故不正確；對于C，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，可得，故正確；對于D，因?yàn)椋裕忠驗(yàn)樵谏蠟閱握{(diào)遞減函數(shù)，所以，故正確；故選：B.【變式1】已知是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且在上單調(diào)遞增，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈呐己瘮?shù)，所以，因?yàn)?，且是上的增函?shù)，故，又，即.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以，即.故選：C.【變式2】已知，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由于，所以，又，，所以．故選：C.【變式3】函數(shù)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，又?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，即.故選：D題型11指數(shù)式與對數(shù)式的互化【典例1】已知函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位后與函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】關(guān)于軸對稱的函數(shù)為，，，.故選：C.(1)指數(shù)式化為對數(shù)式：將指數(shù)式的冪作為真數(shù)，指數(shù)作為對數(shù)，底數(shù)不變，寫出對數(shù)式．(2)對數(shù)式化為指數(shù)式：將對數(shù)式的真數(shù)作為冪，對數(shù)作為指數(shù)，底數(shù)不變，寫出指數(shù)式．【變式1】已知，則（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算法則，可得.再根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算法則，對進(jìn)行變形可得，所以.已知，根據(jù)對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，可得.同理，因?yàn)?，所?將和代入中計(jì)算結(jié)果把，代入可得：.故選：D.【變式2】若，，則（

）A．10 B．20 C．50 D．100【答案】B【詳解】因?yàn)椋忠驗(yàn)榭傻?所以.故選：B.【變式3】（1）求值：；（2）設(shè)，求的值；（3）若，求的值.【答案】（1）（2）；（3）.【詳解】（1）原式；（2）由已知得，，，，因此，；（3）方法一：因?yàn)?，所以，所以；方法二：因?yàn)?，所以，所以，所?題型12對數(shù)的運(yùn)算【典例1】計(jì)算下列各題．(1)；(2)．【答案】(1)100(2)1【詳解】（1）原式．（2）原式．故答案為：(1)100，(2)1.（1）利用對數(shù)的運(yùn)算法則時(shí)，要注意各個(gè)字母的取值范圍，即等式左右兩邊的對數(shù)都存在時(shí)等式才能成立．（2）不能將和、差、積、商、冪的對數(shù)與對數(shù)的和、差、積、商、冪混淆起來.（3）利用換底公式可以把題目中不同底的對數(shù)化成同底的對數(shù)，進(jìn)一步應(yīng)用對數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)．（4）題目中有指數(shù)式和對數(shù)式時(shí)，要注意指數(shù)式與對數(shù)式的互化，將它們統(tǒng)一成一種形式．（5）解決這類問題要注意隱含條件“”的靈活運(yùn)用．【變式1】求解下列問題：(1)在①，②中任選一個(gè)求值；(2)已知，，試用a，b表示．【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）選①，原式．選②，原式．（2）因?yàn)?，所以．【變?】（1）利用關(guān)系式證明換底公式：；（2）利用（1）中的換底公式求值：；（3）利用（1）中的換底公式證明：．【答案】（1）證明見解析；（2）8；（3）證明見解析；【詳解】解答：（1）證明：設(shè)，則，化為，又，所以；（2）解：；（3）證明：．所以．題型13對數(shù)函數(shù)的定義域【典例1】“成立”是“成立”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件【答案】B【詳解】若成立，則，分為和兩種情況，但時(shí)不能推出成立，故充分性不成立；而成立一定能推出成立，故必要性成立．所以“成立”是“成立”的必要不充分條件．故選：B.與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的定義域：求定義域時(shí)，要考慮到真數(shù)大于0，底數(shù)大于0，且不等于1．若底數(shù)和真數(shù)中都含有變量，或式子中含有分式、根式等，在解答問題時(shí)需要保證各個(gè)方面都有意義．一般地，判斷類似于的定義域時(shí)，應(yīng)首先保證．【變式1】關(guān)于x的函數(shù)的定義域是，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因的定義域是，則定義域?yàn)?則定義域滿足.故選：A【變式2】若函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【詳解】令，解得，可知函數(shù)的定義域?yàn)椋艉瘮?shù)為奇函數(shù)，則，可得，即，則，可得，即，可知函數(shù)為奇函數(shù)，所以.故選：B.【變式3】已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則、二次函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合已知條件可知，二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以有.根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域可知，應(yīng)有在區(qū)間上恒成立，則只需要，即，所以.綜上所述，.故選：D.題型14對數(shù)函數(shù)的值域與最值【典例1】已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，在區(qū)間上的值域?yàn)?∵函數(shù)的值域?yàn)椋窃趨^(qū)間上的值域的子集.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，顯然不滿足題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，故在區(qū)間上的值域?yàn)?，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故在區(qū)間上的值域?yàn)?，，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.【變式1】函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】依題意可知，解得；易知函數(shù)的定義域?yàn)?；又是由函?shù)和復(fù)合而成的，由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，而二次函數(shù)開口向上，關(guān)于對稱，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；因此在處取得最大值，即，可得的值域?yàn)?故選：C【變式2】若函數(shù)（m，n為常數(shù)）在上有最大值7，則函數(shù)在上（

）A．有最小值 B．有最大值5 C．有最大值6 D．有最小值【答案】A【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以恒成立，所以的定義域?yàn)榍谊P(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以是奇函數(shù)，因?yàn)樵谏嫌凶畲笾?，所以在上有最大值為，所以在上有最小值，所以在上有最小值．故選：A．【變式3】已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若對任意，均存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則①在上恒成立；②在上單調(diào)遞增．由①②得，即或；由②得或，解得．所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．（2）由題意知對任意，關(guān)于的方程，即在區(qū)間上有解．，令，，則問題等價(jià)于在區(qū)間上，與有交點(diǎn)，由于，則且，（?。┊?dāng)即時(shí)，則且，解得；（ⅱ）當(dāng)即時(shí)，，得，矛盾，從而無解；（ⅲ）當(dāng)即時(shí)，，不滿足條件，無解．綜上所述，的取值范圍為．題型15對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用【典例1】函數(shù)的增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，則，分解因式可得，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，由函?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，則函數(shù)的增區(qū)間為.故選：D.(1)先求g(x)>0的解集(也就是函數(shù)f(x)的定義域)．(2)當(dāng)?shù)讛?shù)a>1時(shí)，在g(x)>0這一前提下，g(x)的單調(diào)增區(qū)間是f(x)的單調(diào)增區(qū)間；g(x)的單調(diào)減區(qū)間是f(x)的單調(diào)減區(qū)間．(3)當(dāng)?shù)讛?shù)0<a<1時(shí)，在g(x)>0這一前提下，g(x)的單調(diào)增區(qū)間是f(x)的單調(diào)減區(qū)間，g(x)的單調(diào)減區(qū)間是f(x)的單調(diào)增區(qū)間．【變式1】已知函數(shù)．(1)判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．【答案】(1)在上單調(diào)遞增，證明見解析(2)【詳解】（1）在上單調(diào)遞增．證明如下：令，解得，所以的定義域?yàn)椋O(shè)，得．因?yàn)?，所以，得，所以在上單調(diào)遞增．（2），定義域?yàn)?，，所以是奇函?shù)．所以，即，又在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以x的取值范圍為．【變式2】已知函數(shù)．(1)用定義法證明：函數(shù)在是單調(diào)遞增函數(shù)；(2)若，求函數(shù)的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）不妨設(shè)，所以，因?yàn)?，所以，即，所以函?shù)在是單調(diào)遞增函數(shù).（2）若，則，所以，，若，則單調(diào)遞減，所以此時(shí)，若，則，若，則單調(diào)遞增，所以此時(shí)，綜上所述，.【變式3】已知函數(shù)，.(1)求證：為偶函數(shù)；(2)設(shè)，判斷的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義加以證明.【答案】(1)證明見解析(2)是單調(diào)遞增函數(shù)，證明見解析【詳解】（1）函數(shù)的自變量滿足，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?對于，都有，且所以函數(shù)為偶函數(shù).（2）函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù).理由如下：設(shè)，且，因?yàn)?，所以，即，又知，所以，因此，即，由函?shù)單調(diào)性定義可知，函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù).題型16反函數(shù)【典例1】已知，則下列不正確的是（

）A．B．C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，，所以a，b分別是，與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)?，的圖象關(guān)于直線對稱，也關(guān)于直線對稱，所以兩交點(diǎn)，關(guān)于直線對稱，所以，，所以，故A正確；因?yàn)?，，所以，故B正確；因?yàn)?，所以，故C正確；若成立，再結(jié)合，可得，與矛盾，故D錯(cuò)誤.故選：D.反函數(shù)的定義域都由原函數(shù)的值域來確定的，特別是當(dāng)反函數(shù)的定義域與由反函數(shù)解析式有意義所確定的自變量的取值范圍不一致時(shí)，一定要注明反函數(shù)的定義域．【變式1】若、分別是函數(shù)，的零點(diǎn)，則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意可得，可得，，則，所以，，作出函數(shù)、、的圖象如下圖所示：對于函數(shù)可得，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，又因?yàn)楹瘮?shù)、的圖象關(guān)于直線對稱，所以，點(diǎn)、關(guān)于直線對稱，則，故.故選：B.【變式2】下列命題中，不正確命題的個(gè)數(shù)為（

）．①函數(shù)與它的反函數(shù)的圖像沒有公共點(diǎn)；②若函數(shù)有反函數(shù)，則它一定是單調(diào)函數(shù)；③若函數(shù)存在反函數(shù)，則必有成立；④函數(shù)與它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上有相同的單調(diào)性．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)函數(shù)與它的反函數(shù)的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，故①錯(cuò)誤；②若函數(shù)有反函數(shù)，則函數(shù)一定是一一映射，但它不一定是單調(diào)函數(shù)；故②錯(cuò)誤③若函數(shù)存在反函數(shù)，若x不屬于函數(shù)的定義域時(shí)，無意義；當(dāng)x不屬于函數(shù)的定義域時(shí)，無意義；故③錯(cuò)誤；④函數(shù)與它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上有相同的單調(diào)性，故④正確；故不正確的命題的個(gè)數(shù)為3個(gè)，故選：D．【變式3】在指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們發(fā)現(xiàn)同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，它們的函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱．一般地，設(shè)函數(shù)的值域?yàn)?，根?jù)這個(gè)函數(shù)中的關(guān)系，把用表示出，得到．若對于在中的任何一個(gè)值，通過在中都有唯一的值與之對應(yīng)，那么，就表示是自變量，是因變量的函數(shù)，這樣的函數(shù)叫做函數(shù)的反函數(shù)，記作．習(xí)慣上，我們用表示自變量，表示因變量，所以函數(shù)的反函數(shù)通常寫為．反函數(shù)的主要性質(zhì)有：①對稱性：互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；②單調(diào)性：一個(gè)函數(shù)與它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上單調(diào)性一致；③定義域與值域：反函數(shù)的定義域和值域分別為原函數(shù)的值域和定義域．(1)試判斷是否有反函數(shù)（直接寫出答案）；(2)試求出函數(shù)的反函數(shù)，并指明函數(shù)的定義域和值域然后判斷函數(shù)的單調(diào)性；(3)若關(guān)于的方程為常數(shù)）恰有兩個(gè)根，且分別滿足和，試求的值．（注：若關(guān)于直線對稱，則直線關(guān)于直線對稱）【答案】(1)無反函數(shù)，有反函數(shù)(2)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，在和上單調(diào)遞減(3)19【詳解】（1）設(shè)，則，此時(shí)一個(gè)有兩個(gè)與之對應(yīng)，不唯一，所以無反函數(shù)；設(shè)，則，此時(shí)一個(gè)有唯一一個(gè)與之對應(yīng)，所以有反函數(shù).（2）設(shè)，所以，即，所以的定義域?yàn)?，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以的值域?yàn)?，因?yàn)?，所以在和上單調(diào)遞減.（3）方程化為，所以,因?yàn)?，所以，即，所以與分別是與和的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)榕c互為反函數(shù)，關(guān)于直線對稱，所以和的中點(diǎn)為，所以，即，所以，所以，所以.題型17函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法【典例1】已知定義在上的奇函數(shù)滿足：，則在區(qū)間上的零點(diǎn)至少有（

）．A．1個(gè) B．3個(gè) C．5個(gè) D．7個(gè)【答案】D【詳解】因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，所以．因?yàn)?，所以，故，所以是周期?的函數(shù)，令，則，而，故．令，知，所以，故．令，則，從而，故．綜上可知在區(qū)間上的零點(diǎn)至少有7個(gè)．故選：D．（1）解方程法：令f（x）=0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．（2）零點(diǎn)存在性定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f（a）·f（b）<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性）才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)或零點(diǎn)值所具有的性質(zhì)．（3）數(shù)形結(jié)合法：一種是轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖像與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，另一種是轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。如判斷型函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題時(shí)，可采用數(shù)形結(jié)合的方法．轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，先畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．【變式1】定義在上的偶函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．6個(gè) B．7個(gè) C．8個(gè) D．無數(shù)個(gè)【答案】C【詳解】的零點(diǎn)，則，即的根個(gè)數(shù)，畫出與圖像，看兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.當(dāng)時(shí)，，畫出此部分圖像，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，，即表示x隔2函數(shù)值減半，畫出y軸右側(cè)圖像.最后根據(jù)偶函數(shù)圖像性質(zhì)，得到y(tǒng)軸左側(cè)圖像.根據(jù)圖像，知道的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是8個(gè).故選：C.【變式2】已知函數(shù)，其中為常數(shù)，且．(1)若是奇函數(shù)，求的值；(2)證明：在上有唯一的零點(diǎn)．【答案】(1)；(2)證明見解析.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，由是奇函?shù)，得，解得；（2）函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，因此在上單調(diào)遞增，而，所以在上有唯一的零點(diǎn).【變式3】已知函數(shù)（且）的圖象過點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)解關(guān)于的不等式；(3)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)(2)(3)1【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)（且）的圖象過點(diǎn)．所以，解得．（2）由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知在上單調(diào)遞增，又，所以即即，解得，所以不等式的解集為．（3）由（1）得函數(shù)，令，得，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)與的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出函數(shù)與的圖象，如圖所示，

由圖象知，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.題型18已知函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)的取值范圍【典例1】若方程有且只有一個(gè)根在區(qū)間上，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【詳解】設(shè)，依題意，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間上，可以分成三類情況：①由解得或.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)恰有一個(gè)二重根在區(qū)間上，符合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的實(shí)根不在區(qū)間上，不合題意.②由可得，解得；③令，得，此時(shí)方程的另一根為，不合題意；令，得，此時(shí)方程的另一根為，符合題意．綜上，可得實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間求解參數(shù)的關(guān)鍵是結(jié)合條件給出參數(shù)的限制條件，此時(shí)應(yīng)分三步：①判斷函數(shù)的單調(diào)性；②利用零點(diǎn)存在性定理，得到參數(shù)所滿足的不等式；③解不等式，即得參數(shù)的取值范圍．在求解時(shí)，注意函數(shù)圖象的應(yīng)用．【變式1】若函數(shù)的零點(diǎn)，則整數(shù)的取值為．【答案】或2【詳解】由題意得的定義域?yàn)?，令，則，可得函數(shù)的零點(diǎn)為函數(shù)的圖象與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如答圖15-18，可知交點(diǎn)有兩個(gè)，其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足．

而函數(shù)的零點(diǎn)，解得，而，，則，由零點(diǎn)存在性定理得存在作為零點(diǎn)，因?yàn)樵摿泓c(diǎn)滿足，且為整數(shù)，所以，綜上，或2.故答案為：或2【變式2】設(shè)函數(shù)，其中，且．(1)當(dāng)時(shí)，求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若在區(qū)間和內(nèi)均存在零點(diǎn)，寫出一個(gè)滿足題意的a（結(jié)果保留兩位小數(shù)），并說明理由．參考數(shù)據(jù)：…．【答案】(1)函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)(2)a的可能值為0.71，或0.72，或0.73，或0.74，理由見解析【詳解】（1）時(shí)，，因?yàn)?，，所以，由零點(diǎn)存在定理，在區(qū)間存在一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)楹途趩握{(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增，所以函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)．（2）當(dāng)時(shí)，由（1）可知，是增函數(shù)，至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，，，，當(dāng)時(shí)有，，符合題意；此時(shí)，解得，，因?yàn)?，（或也可）且，所以a的可能值為0.71，或0.72，或0.73，或0.74．【變式3】設(shè)函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最大值和最小值：(2)若在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍；(3)若在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)最小值為3，最大值為7．(2)(3)．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以的對稱軸為，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為．（2）由已知，得的對稱軸為．因?yàn)樵趨^(qū)間上不單調(diào)，所以．由，解得，故的取值范圍是（3）解法1：由已知，得．1）當(dāng)即，或時(shí)，由，得，此時(shí)的零點(diǎn)為3，不符合題意：由，得，此時(shí)的零點(diǎn)為，符合題意．2）當(dāng)即，或時(shí)，①若，此時(shí)的對稱軸且所以在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，符合題意②若，此時(shí)的對稱軸，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．又因?yàn)椋栽趨^(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)只需滿足，解得．綜上，的取值范圍是．解法2：由已知，得的對稱軸為，1）當(dāng)即時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)為，符合題意．2）當(dāng)即時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，不符合題意，3）當(dāng)即，且時(shí)，由在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，則有以下兩種情況：①，解得，或②解得．綜上，的取值范圍是．題型19已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)或參數(shù)的取值范圍【典例1】定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若直線與的圖象恰有8個(gè)交點(diǎn)，，，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為，．【答案】32【詳解】因?yàn)槎x在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)與在上的圖象如圖所示．由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有8個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)，結(jié)合圖可知，點(diǎn)，關(guān)于直線對稱，則，同理可得，，，因此，．故答案為：；32.一般情況下，常利用數(shù)形結(jié)合法，在求解的過程中，解題的思路是將函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)問題，將式子移項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，畫出函數(shù)的圖象以及相應(yīng)的直線，在直線移動(dòng)的過程中，利用數(shù)形結(jié)合思想，求得相應(yīng)的結(jié)果．【變式1】已知函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【詳解】若，則由，得，滿足要求．若，因?yàn)槿舻膱D象與軸的交點(diǎn)只有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)，則解得；

若的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)都在原點(diǎn)的右側(cè)，則解得．

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：.【變式2】已知函數(shù)其中，且在上有三個(gè)零點(diǎn)，，．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)．【詳解】（1）因?yàn)椋杂稍谏嫌腥齻€(gè)零點(diǎn)，，得在內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)，且在內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，若在內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)，則，得，若在內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則，即得．綜上所述，．（2）不妨設(shè)，，，則，令則由（1）知，∴，所以．【變式3】定義：給定函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，當(dāng)有意義時(shí)，總成立，則稱函數(shù)具有“性質(zhì)”．(1)判斷函數(shù)是否具有“性質(zhì)”，若是，寫出的值，若不是，請說明理由；(2)求證：函數(shù)（且）不具有“性質(zhì)”；(3)設(shè)定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)具有“性質(zhì)”，且當(dāng)時(shí)，若對，函數(shù)有5個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)存在，(2)證明見解析(3)【詳解】（1）函數(shù)具有“性質(zhì)”．因?yàn)?，且，所以，整理得．若函?shù)具有“性質(zhì)”，則可得解得所以函數(shù)具有“性質(zhì)”，此時(shí)．（2）假設(shè)函數(shù)（且）具有“性質(zhì)”，則，則解得，整理得，則，分別取，可得解得；分別取，可得解得．顯然，即對任意，不存在實(shí)數(shù)使得恒成立，所以假設(shè)不成立，函數(shù)（且）不具有“性質(zhì)”．（3）具有“性質(zhì)”，則，可知的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，可得，即，又因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則，可得，即函數(shù)的周期為2．令，則，由題意可得，的圖象與直線在內(nèi)有5個(gè)不同的交點(diǎn)，又為奇函數(shù)，為的圖象與直線的一個(gè)交點(diǎn)，所以由圖象的對稱性可知，的圖象與直線在內(nèi)有2個(gè)不同的交點(diǎn)．作出在內(nèi)的圖象（如圖），當(dāng)直線過時(shí)，可得；直線過時(shí)，可得；當(dāng)直線過時(shí)，可得．結(jié)合圖象可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為．1．若函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則a的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【詳解】由，令，則，由在上單調(diào)遞減且值域?yàn)?，在上單調(diào)遞增且值域?yàn)椋栽谏现涤驗(yàn)?，在上的值域?yàn)椋瑒t時(shí)，有2個(gè)不同的對應(yīng)值，此時(shí)有3或4個(gè)不同值，時(shí)，有1個(gè)對應(yīng)值，此時(shí)有2個(gè)不同值，要使函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則，最小.故選：B2．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】A選項(xiàng)，，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又因?yàn)?，所以是偶函?shù)，因?yàn)?，由冪函?shù)性質(zhì)知在上單調(diào)遞增，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞減，不符合題意；B選項(xiàng)，，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又因?yàn)?，所以是偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，不符合題意；C選項(xiàng)，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，因?yàn)?，所以不是偶函?shù)，不符合題意；D選項(xiàng)，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，因?yàn)?，所以是偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增，符合題意.故選：D.3．已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則方程的所有實(shí)根之和為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意得方程的根是函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)分段函數(shù)的解析式，以及是定義在上的奇函數(shù)，作出函數(shù)的圖象如圖所示：作出直線，由圖可知，與的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，從左到右依次記為，根據(jù)的圖象的對稱性可得，根據(jù)是奇函數(shù)得，，所以，由得，所以，故選：C4．下列函數(shù)中，增長速度最慢的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、一次函數(shù)的增長差異，可知對數(shù)函數(shù)增長速度最慢．故選：B.5．已知函數(shù)的圖象在上是連續(xù)不斷的，則“”是“方程在內(nèi)至少有兩個(gè)解”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【詳解】根據(jù)題意，若，則，，中兩正一負(fù)，或者三負(fù)，例如，當(dāng)，，時(shí)，方程在和內(nèi)至少各有一個(gè)解，當(dāng)，，時(shí)，不能保證方程在至少有兩解，所以“”不是“方程在內(nèi)至少有兩個(gè)解”的充分條件；反之，若方程在內(nèi)至少有兩個(gè)解，無法確定，，的符號(hào)，所以“”不是“方程在內(nèi)至少有兩個(gè)解”的必要條件.所以“”是“方程在內(nèi)至少有兩個(gè)解”的既不充分也不必要條件.故選：D6．甲、乙兩人同時(shí)解關(guān)于x的方程：．甲寫錯(cuò)了常數(shù)b，得兩根為及；乙寫錯(cuò)了常數(shù)c，得兩根為及64，則這個(gè)方程的真正的根為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【詳解】原方程兩邊同時(shí)乘以，可變形為，∵甲寫錯(cuò)了b，得到兩根為及，∴，又∵乙寫錯(cuò)了常數(shù)c，得到兩根為及64，∴，∴原方程為，即，∴或，∴或8.故選：C.7．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．或C． D．【答案】C【詳解】解法一：當(dāng)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)且在區(qū)間內(nèi)時(shí)，；當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，，解得或，又有在內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，則或或，即或或，解得或或．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：C.解法二：由，得，又，所以，所以，令，，，要使在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，只需直線與的圖象在上只有一個(gè)交點(diǎn)，作出兩函數(shù)圖象如圖所示，由圖可知或，解得或，所以的取值范圍是．故選：C.8．已知，，，三個(gè)函數(shù)圖象