高中數(shù)學(xué)不等式考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.若\(a>b\)，則下列不等式一定成立的是（）A.\(a+c>b-c\)B.\(ac>bc\)C.\(a-c>b-c\)D.\(\frac{a}{c}>\frac{c}\)答案：C2.不等式\(x^{2}-2x-3<0\)的解集是（）A.\(\{x|-1<x<3\}\)B.\(\{x|x<-1或x>3\}\)C.\(\{x|-3<x<1\}\)D.\(\{x|x<-3或x>1\}\)答案：A3.設(shè)\(a,b\inR\)，若\(a-|b|>0\)，則下列不等式中正確的是（）A.\(b-a>0\)B.\(a^{3}+b^{3}<0\)C.\(a^{2}-b^{2}<0\)D.\(b+a>0\)答案：D4.已知\(x>0,y>0\)，且\(x+y=1\)，則\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值是（）A.2B.\(2\sqrt{2}\)C.4D.\(4\sqrt{2}\)答案：C5.不等式\(\frac{x-1}{x+2}\geqslant0\)的解集是（）A.\(\{x|x<-2或x\geqslant1\}\)B.\(\{x|-2<x\leqslant1\}\)C.\(\{x|x\leqslant-2或x\geqslant1\}\)D.\(\{x|-2\leqslantx\leqslant1\}\)答案：A6.若\(a,b\inR\)，且\(ab>0\)，則下列不等式中，恒成立的是（）A.\(a^{2}+b^{2}>2ab\)B.\(a+b\geqslant2\sqrt{ab}\)C.\(\frac{1}{a}+\frac{1}>\frac{2}{\sqrt{ab}}\)D.\(\frac{a}+\frac{a}\geqslant2\)答案：D7.設(shè)\(x\inR\)，則“\(x>\frac{1}{2}\)”是“\(2x^{2}+x-1>0\)”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案：A8.已知\(0<a<1\)，則\(a,\frac{1}{a},a^{2}\)的大小關(guān)系是（）A.\(a<a^{2}<\frac{1}{a}\)B.\(\frac{1}{a}<a<a^{2}\)C.\(a^{2}<a<\frac{1}{a}\)D.\(\frac{1}{a}<a^{2}<a\)答案：C9.不等式\(|x-1|+|x+2|\geqslant5\)的解集是（）A.\(\{x|x\leqslant-3或x\geqslant2\}\)B.\(\{x|-3\leqslantx\leqslant2\}\)C.\(\{x|x\leqslant-2或x\geqslant3\}\)D.\(\{x|-2\leqslantx\leqslant3\}\)答案：A10.若不等式\(ax^{2}+bx+c>0\)的解集是\(\{x|-1<x<2\}\)，則不等式\(bx^{2}-ax-c>0\)的解集是（）A.\(\{x|-2<x<1\}\)B.\(\{x|x<-2或x>1\}\)C.\(\{x|x<-1或x>2\}\)D.\(\{x|-1<x<2\}\)答案：B二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列不等式中，解集為\(R\)的是（）A.\(x^{2}+1>0\)B.\(-x^{2}+x-1<0\)C.\(x^{2}-2x+1>0\)D.\(\frac{1}{x^{2}+1}>0\)答案：ABD2.若\(a<b<0\)，則下列不等式成立的是（）A.\(\frac{1}{a}>\frac{1}\)B.\(a+b<0\)C.\(a^{2}>b^{2}\)D.\(\frac{a}<1\)答案：ABC3.已知\(a,b,c\inR\)，下列命題正確的是（）A.若\(a>b\)，則\(ac^{2}>bc^{2}\)B.若\(\frac{a}{c}>\frac{c}\)，則\(a>b\)C.若\(a^{3}>b^{3}\)且\(ab<0\)，則\(\frac{1}{a}>\frac{1}\)D.若\(a^{2}>b^{2}\)且\(a>b\)，則\(a+b>0\)答案：C4.設(shè)\(x,y\inR\)，\(xy=1\)，則\((x+y)^{2}\)的最小值為（）A.4B.0C.1D.2答案：A5.不等式\(|x-3|+|x+1|\geqslant6\)的解為（）A.\(x\leqslant-2\)B.\(x\geqslant4\)C.\(-2\leqslantx\leqslant4\)D.\(x\in\varnothing\)答案：AB6.若\(a,b\inR^{+}\)，則下列不等式成立的是（）A.\(\frac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}\)B.\((a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1})\geqslant4\)C.\(\frac{2ab}{a+b}\leqslant\sqrt{ab}\)D.\(\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\geqslant(a+b)^{2}\)答案：ABC7.已知\(a,b\inR\)，且\(a+b=1\)，則下列不等式成立的是（）A.\(ab\leqslant\frac{1}{4}\)B.\(a^{2}+b^{2}\geqslant\frac{1}{2}\)C.\(\frac{1}{a}+\frac{1}\geqslant4\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt\leqslant\sqrt{2}\)答案：ABCD8.不等式\(x^{2}+ax+b\leqslant0\)的解集是\(\{x|-1\leqslantx\leqslant3\}\)，則（）A.\(a=-2\)B.\(b=-3\)C.\(a=2\)D.\(b=3\)答案：AB9.對于任意實(shí)數(shù)\(a,b,c,d\)，下列命題中正確的是（）A.若\(a>b,c\neq0\)，則\(ac>bc\)B.若\(a>b\)，則\(ac^{2}>bc^{2}\)C.若\(ac^{2}>bc^{2}\)，則\(a>b\)D.若\(a>b\)，則\(\frac{1}{a}<\frac{1}\)答案：C10.若\(x\in(0,\frac{\pi}{2})\)，則下列不等式成立的是（）A.\(\sinx+\cosx>1\)B.\(\sinx<x\)C.\(\cosx<1\)D.\(\tanx>x\)答案：ABCD三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(a>b\)，則\(a^{2}>b^{2}\)。（）答案：錯(cuò)2.若\(ac^{2}>bc^{2}\)，則\(a>b\)。（）答案：對3.不等式\(x^{2}-x+1>0\)的解集是\(R\)。（）答案：對4.若\(a<b<0\)，則\(\frac{1}{a}<\frac{1}\)。（）答案：錯(cuò)5.不等式\(\frac{x+1}{x-1}\leqslant0\)的解集是\(\{x|-1\leqslantx<1\}\)。（）答案：對6.若\(x,y\inR^{+}\)，且\(x+y=1\)，則\(xy\leqslant\frac{1}{4}\)。（）答案：對7.對于任意實(shí)數(shù)\(x\)，\(|x-1|+|x+2|\geqslant3\)。（）答案：對8.若\(a,b\inR\)，且\(a^{3}>b^{3}\)，則\(a>b\)。（）答案：對9.不等式\(2x-1<3x+2\)的解集是\(\{x|x>-3\}\)。（）答案：對10.若\(a>b\)，\(c>d\)，則\(a-c>b-d\)。（）答案：錯(cuò)四、簡答題（每題5分，共4題）1.求不等式\(x^{2}-5x+6>0\)的解集。答案：將不等式\(x^{2}-5x+6>0\)因式分解為\((x-2)(x-3)>0\)，則可得\(x<2\)或\(x>3\)，所以解集為\(\{x|x<2或x>3\}\)。2.已知\(a,b\inR^{+}\)，且\(a+b=1\)，求\(ab\)的最大值。答案：由基本不等式\(ab\leqslant(\frac{a+b}{2})^{2}\)，因?yàn)閈(a+b=1\)，所以\(ab\leqslant(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(a=b=\frac{1}{2}\)時(shí)取等號，所以\(ab\)的最大值為\(\frac{1}{4}\)。3.解不等式\(|2x-1|<3\)。答案：由\(|2x-1|<3\)可得\(-3<2x-1<3\)，即\(-2<2x<4\)，解得\(-1<x<2\)，所以不等式的解集為\(\{x|-1<x<2\}\)。4.若\(x>0\)，求\(y=x+\frac{1}{x}\)的最小值。答案：根據(jù)基本不等式\(y=x+\frac{1}{x}\geqslant2\sqrt{x\times\frac{1}{x}}=2\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(x=\frac{1}{x}\)即\(x=1\)時(shí)取等號，所以\(y\)的最小值為\(2\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論不等式\(ax^{2}+bx+c>0\)（\(a\neq0\)）的解集與\(a,b,c\)的關(guān)系。答案：當(dāng)\(a>0\)時(shí)，若\(\Delta=b^{2}-4ac<0\)，解集為\(R\)；若\(\Delta\geqslant0\)，解為\(x>\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)或\(x<\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)。當(dāng)\(a<0\)時(shí)，若\(\Delta\leqslant0\)，解集為\(\varnothing\)；若\(\Delta>0\)，解為\(\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}<x<\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)。2.討論函數(shù)\(y=\frac{x^{2}+2x+3}{x}\)（\(x>0\)）的最值情況。答案：\(y=x+\frac{3}{x}+2\)，由基本不等式\(x+\frac{3}{x}\geqslant2\sqrt{3}\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(x=\sqrt{3}\)時(shí)取等號，所以\(y\geqslant2\sqrt{3}+2\)，函數(shù)有最小值\(2\sqrt{3}+2\)。3.討論如何利用不等式知識證明\(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2}\)（\(n\inN^{}\)）。答案：\(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+\cdots+\frac{1}{2n}\)（共\(n\)項(xiàng)），\(\frac{1}{2n}+\frac{