小學(xué)五年級(jí)奧數(shù)最小公倍數(shù)專項(xiàng)訓(xùn)練除數(shù)：2、2；商：2、3；最小公倍數(shù)：\(2\times2\times2\times3=24\)，所以\(\text{LCM}(8,12)=24\)。注意：短除法中，除數(shù)必須是公因數(shù)，且最后一步的商必須互質(zhì)（如上面的2和3）。（四）特殊情況：記住這兩個(gè)規(guī)律省時(shí)間1.互質(zhì)數(shù)的最小公倍數(shù)：如果兩個(gè)數(shù)互質(zhì)（只有公因數(shù)1），它們的最小公倍數(shù)就是乘積。實(shí)例：\(\text{LCM}(5,7)=5\times7=35\)（5和7互質(zhì)）；\(\text{LCM}(3,4)=12\)（3和4互質(zhì)）。2.倍數(shù)關(guān)系的最小公倍數(shù)：如果一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，最小公倍數(shù)就是較大的數(shù)。實(shí)例：\(\text{LCM}(6,12)=12\)（12是6的倍數(shù)）；\(\text{LCM}(8,24)=24\)（24是8的倍數(shù)）。四、奧數(shù)中常見(jiàn)的最小公倍數(shù)題型（解題思路+實(shí)例）（一）周期問(wèn)題：“再次同時(shí)發(fā)生”的秘密核心思路：兩個(gè)或多個(gè)周期事件“再次同時(shí)發(fā)生”的時(shí)間，就是它們周期的最小公倍數(shù)。實(shí)例：紅綠燈每30秒換一次（紅燈→綠燈→黃燈），另一個(gè)紅綠燈每45秒換一次，早上8點(diǎn)同時(shí)亮綠燈，下一次同時(shí)亮綠燈是幾點(diǎn)？分析：求30和45的最小公倍數(shù)；計(jì)算：\(\text{LCM}(30,45)=90\)（用短除法：30和45的公因數(shù)是15，商是2和3，互質(zhì)，所以15×2×3=90）；結(jié)論：90秒后，即8點(diǎn)1分30秒。（二）分配問(wèn)題：“剛好分完”的最優(yōu)解核心思路：需要的物品數(shù)量是幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)（或最小公倍數(shù)加/減余數(shù)）。實(shí)例：有一批蘋果，分給小朋友，每人分5個(gè)多3個(gè)，每人分7個(gè)少4個(gè)，這批蘋果最少有多少個(gè)？分析：“每人分5個(gè)多3個(gè)”即“蘋果數(shù)=5x+3”；“每人分7個(gè)少4個(gè)”即“蘋果數(shù)=7y-4”。轉(zhuǎn)化為求滿足\(5x+3=7y-4\)的最小正整數(shù)解；變形：\(5x+7=7y\)，即\(5x=7(y-1)\)。說(shuō)明x是7的倍數(shù)，y-1是5的倍數(shù)；最小解：x=7，y=6，蘋果數(shù)=5×7+3=38（或7×6-4=38）；驗(yàn)證：38是5和7的最小公倍數(shù)（35）加3，符合條件。（三）行程問(wèn)題：相遇問(wèn)題中的“再次相遇”時(shí)間核心思路：兩人或兩車再次相遇的時(shí)間，是各自行駛周期的最小公倍數(shù)。實(shí)例：甲、乙兩人在環(huán)形跑道上跑步，甲跑一圈需8分鐘，乙跑一圈需12分鐘，兩人同時(shí)從起點(diǎn)出發(fā)，多少分鐘后再次同時(shí)到達(dá)起點(diǎn)？分析：求8和12的最小公倍數(shù)；計(jì)算：\(\text{LCM}(8,12)=24\)；結(jié)論：24分鐘后，甲跑了3圈（24÷8=3），乙跑了2圈（24÷12=2），同時(shí)到達(dá)起點(diǎn)。（四）分?jǐn)?shù)問(wèn)題：通分的基礎(chǔ)核心思路：通分的分母是幾個(gè)分?jǐn)?shù)分母的最小公倍數(shù)。實(shí)例：將\(\frac{1}{4}\)和\(\frac{1}{6}\)通分，公分母是多少？分析：求4和6的最小公倍數(shù)；計(jì)算：\(\text{LCM}(4,6)=12\)；通分后：\(\frac{1}{4}=\frac{3}{12}\)，\(\frac{1}{6}=\frac{2}{12}\)。五、專項(xiàng)訓(xùn)練：分層突破（基礎(chǔ)→提高→拓展）（一）基礎(chǔ)題：掌握求最小公倍數(shù)的基本方法1.求\(\text{LCM}(6,8)\)解析：用短除法，6和8的公因數(shù)是2，商是3和4，互質(zhì)，所以2×3×4=24。答案：24。2.求\(\text{LCM}(9,15)\)解析：分解質(zhì)因數(shù)，9=32，15=3×5，取最高次冪32×5=45。答案：45。（二）提高題：結(jié)合實(shí)際場(chǎng)景的應(yīng)用3.小明每3天去一次圖書館，小紅每5天去一次，他們周一同時(shí)去了圖書館，下一次同時(shí)去是周幾？解析：\(\text{LCM}(3,5)=15\)，15天后是周一+15天=周一+1周（7天）+8天=周一+1天=周二？不對(duì)，15÷7=2周余1天，所以周一+1天=周二？不，等一下，15天是2周（14天）加1天，所以周一+15天=周一+1天=周二？不對(duì)，比如周一過(guò)1天是周二，過(guò)7天是周一，過(guò)14天是周一，過(guò)15天是周二，對(duì)。答案：周二。4.一根繩子，剪成4米一段多1米，剪成5米一段多1米，這根繩子最少長(zhǎng)多少米？解析：求4和5的最小公倍數(shù)加1，\(\text{LCM}(4,5)=20\)，20+1=21。答案：21米。（三）拓展題：挑戰(zhàn)復(fù)雜問(wèn)題（三個(gè)數(shù)、盈虧結(jié)合）5.求\(\text{LCM}(4,6,8)\)解析：用短除法，先除2，得2、3、4，再除2，得1、3、2，互質(zhì)，所以2×2×1×3×2=24。答案：24。6.有一批書，分給班級(jí)，每班分10本少2本，每班分12本少2本，每班分15本少2本，這批書最少有多少本？解析：求10、12、15的最小公倍數(shù)減2，\(\text{LCM}(10,12,15)=60\)，60-2=58。驗(yàn)證：58÷10=5余8（即少2本），58÷12=4余10（少2本），58÷15=3余13（少2本），正確。答案：58本。六、易錯(cuò)點(diǎn)提醒：避免這些“坑”1.混淆最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)：最小公倍數(shù)是“倍數(shù)”，比原數(shù)大或相等；最大公因數(shù)是“因數(shù)”，比原數(shù)小或相等。例如，\(\text{LCM}(4,6)=12\)，\(\text{GCD}(4,6)=2\)。2.分解質(zhì)因數(shù)不徹底：比如把12分解為2×6（6不是質(zhì)因數(shù)），正確應(yīng)為2×2×3。3.短除法沒(méi)除到互質(zhì)：比如求8和12的最小公倍數(shù)，除到2和3就停止，而不是繼續(xù)除到1和3（不需要，2和3已經(jīng)互質(zhì)）。七、技巧總結(jié)：快速解題的小秘訣記住常見(jiàn)互質(zhì)數(shù)：相鄰自然數(shù)（如5和6）、質(zhì)數(shù)與不包含它的合數(shù)（如3和4）、1和任何數(shù)（如1和7）。倍數(shù)關(guān)系直接選大的：如\(\text{LCM}(6,18)=18\)，\(\text{LCM}(7,21)=21\)。三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)：先求前兩個(gè)的，再和第三個(gè)求（如\(\text{LCM}(4,6,8)=\text{LCM}(\text{LCM}(4,6),8)=\text{LCM}(12,8)=24\)）。八、結(jié)語(yǔ)：最小公倍數(shù)是奧數(shù)的“基石”，堅(jiān)持練習(xí)就能突破