運(yùn)動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)課件第一章：運(yùn)動(dòng)學(xué)概述在深入研究機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)之前，我們需要先了解運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本概念和重要性。本章將為大家介紹運(yùn)動(dòng)學(xué)的定義、分類及其在機(jī)器人領(lǐng)域的應(yīng)用價(jià)值。概念定義重要性分類什么是運(yùn)動(dòng)學(xué)？運(yùn)動(dòng)學(xué)是力學(xué)的一個(gè)分支，專注于研究物體運(yùn)動(dòng)的幾何學(xué)特性，不涉及引起運(yùn)動(dòng)的力和物體的質(zhì)量。在機(jī)器人領(lǐng)域，運(yùn)動(dòng)學(xué)主要關(guān)注：機(jī)械結(jié)構(gòu)的空間位置變化機(jī)械臂的姿態(tài)控制運(yùn)動(dòng)軌跡的幾何描述末端執(zhí)行器的位置精確計(jì)算機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)研究的核心是理解和描述機(jī)械結(jié)構(gòu)各部分之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，為實(shí)現(xiàn)精確控制奠定基礎(chǔ)。運(yùn)動(dòng)學(xué)的重要性機(jī)器人控制的基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)學(xué)為機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制提供數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，沒有準(zhǔn)確的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，機(jī)器人將無法實(shí)現(xiàn)精確定位和路徑跟蹤。精確定位的前提在工業(yè)應(yīng)用中，精確的運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算確保機(jī)器人能夠以毫米甚至微米級(jí)的精度完成任務(wù)，如焊接、組裝等。路徑規(guī)劃的核心合理的路徑規(guī)劃需要基于運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，以確保機(jī)器人在工作空間中安全、高效地運(yùn)動(dòng)，避免碰撞和奇異點(diǎn)。機(jī)器人設(shè)計(jì)依據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析幫助工程師確定機(jī)器人的最佳結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，包括關(guān)節(jié)類型、連桿長(zhǎng)度和工作空間等關(guān)鍵參數(shù)。運(yùn)動(dòng)學(xué)的分類正運(yùn)動(dòng)學(xué)(ForwardKinematics)已知關(guān)節(jié)參數(shù)（角度或位移），計(jì)算末端執(zhí)行器的位置和姿態(tài)。數(shù)學(xué)表示：X=f(θ)特點(diǎn)：計(jì)算直接，解唯一逆運(yùn)動(dòng)學(xué)(InverseKinematics)已知末端執(zhí)行器的期望位置和姿態(tài)，求解實(shí)現(xiàn)該位置所需的關(guān)節(jié)參數(shù)。數(shù)學(xué)表示：θ=f-1(X)特點(diǎn)：計(jì)算復(fù)雜，可能存在多解或無解機(jī)械臂結(jié)構(gòu)組成機(jī)械臂由一系列剛性連桿通過運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)連接而成，形成運(yùn)動(dòng)鏈。關(guān)節(jié)(Joint)連接相鄰連桿的活動(dòng)部件，提供相對(duì)運(yùn)動(dòng)的自由度，常見類型包括轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)和平移關(guān)節(jié)。連桿(Link)剛性構(gòu)件，連接相鄰關(guān)節(jié)，傳遞運(yùn)動(dòng)和力。連桿的長(zhǎng)度和形狀直接影響機(jī)械臂的工作空間。末端執(zhí)行器(End-effector)機(jī)械臂末端安裝的工具，如夾爪、焊槍或噴漆器等，用于執(zhí)行特定任務(wù)。第二章：坐標(biāo)系與變換基礎(chǔ)坐標(biāo)系和坐標(biāo)變換是運(yùn)動(dòng)學(xué)的核心數(shù)學(xué)工具。本章將介紹如何建立機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)，以及如何通過矩陣運(yùn)算實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。坐標(biāo)系定義坐標(biāo)變換齊次變換旋轉(zhuǎn)表示坐標(biāo)系定義參考坐標(biāo)系(ReferenceFrame)固定不動(dòng)的基準(zhǔn)坐標(biāo)系，通常稱為世界坐標(biāo)系或基坐標(biāo)系。為機(jī)器人運(yùn)動(dòng)提供絕對(duì)參考通常固定在機(jī)器人底座或工作環(huán)境中所有其他坐標(biāo)系的測(cè)量都相對(duì)于此系統(tǒng)物體坐標(biāo)系(BodyFrame)附著在運(yùn)動(dòng)物體上的局部坐標(biāo)系，隨物體一起運(yùn)動(dòng)。每個(gè)連桿通常定義一個(gè)局部坐標(biāo)系末端執(zhí)行器也有自己的坐標(biāo)系便于描述物體的局部幾何特性在實(shí)際應(yīng)用中，一個(gè)機(jī)器人系統(tǒng)中通常包含多個(gè)坐標(biāo)系，包括基坐標(biāo)系、各個(gè)關(guān)節(jié)坐標(biāo)系、工具坐標(biāo)系以及任務(wù)坐標(biāo)系等。坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換是描述一個(gè)坐標(biāo)系相對(duì)于另一個(gè)坐標(biāo)系位置和姿態(tài)的數(shù)學(xué)方法。完整的坐標(biāo)變換由平移和旋轉(zhuǎn)兩部分組成。平移變換描述坐標(biāo)原點(diǎn)的位移，通過一個(gè)三維向量表示：旋轉(zhuǎn)變換描述坐標(biāo)軸的方向變化，通過3×3旋轉(zhuǎn)矩陣表示：齊次變換結(jié)合平移和旋轉(zhuǎn)，用4×4矩陣統(tǒng)一表示：齊次變換矩陣齊次變換矩陣是一種4×4矩陣，能夠同時(shí)表示旋轉(zhuǎn)和平移變換，是機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)中最常用的數(shù)學(xué)工具。其中：左上角3×3子矩陣R表示旋轉(zhuǎn)右上角3×1向量P表示平移最后一行[0001]使矩陣滿足齊次表示要求齊次變換的優(yōu)勢(shì)統(tǒng)一表示平移和旋轉(zhuǎn)便于連續(xù)變換的復(fù)合運(yùn)算（矩陣連乘）簡(jiǎn)化坐標(biāo)點(diǎn)的轉(zhuǎn)換計(jì)算坐標(biāo)點(diǎn)轉(zhuǎn)換將點(diǎn)P從坐標(biāo)系A(chǔ)轉(zhuǎn)換到坐標(biāo)系B：其中，T_{A}^{B}是從坐標(biāo)系A(chǔ)到坐標(biāo)系B的齊次變換矩陣。齊次變換矩陣結(jié)構(gòu)齊次變換矩陣是機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算的核心工具，它將三維空間中的位置和姿態(tài)信息統(tǒng)一在一個(gè)矩陣中表示。旋轉(zhuǎn)分量左上角3×3子矩陣表示坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)，其中每一列分別代表目標(biāo)坐標(biāo)系的x、y、z軸在參考坐標(biāo)系中的方向向量。平移分量右上角3×1向量表示坐標(biāo)系原點(diǎn)的位移，描述了目標(biāo)坐標(biāo)系原點(diǎn)在參考坐標(biāo)系中的位置。透視分量左下角1×3向量在機(jī)器人學(xué)中通常為零，在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中用于透視變換。縮放分量右下角標(biāo)量在機(jī)器人學(xué)中通常為1，保證變換的齊次性質(zhì)。旋轉(zhuǎn)表示方法三維空間中的旋轉(zhuǎn)可以用多種數(shù)學(xué)形式表示，每種方法都有其特點(diǎn)和適用場(chǎng)景。歐拉角(EulerAngles)用三個(gè)角度描述三維旋轉(zhuǎn)，表示繞固定或旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸的連續(xù)旋轉(zhuǎn)。直觀易理解，便于人工輸入存在奇異性問題（萬向節(jié)鎖）常見形式：Roll-Pitch-Yaw、ZYZ歐拉角等旋轉(zhuǎn)向量(RotationVector)用一個(gè)三維向量表示旋轉(zhuǎn)，向量方向?yàn)樾D(zhuǎn)軸，長(zhǎng)度為旋轉(zhuǎn)角度。緊湊表示，只需三個(gè)參數(shù)避免了歐拉角的奇異性適用于旋轉(zhuǎn)插值計(jì)算四元數(shù)(Quaternion)用四個(gè)數(shù)表示旋轉(zhuǎn)，一個(gè)實(shí)部和三個(gè)虛部。計(jì)算效率高，避免奇異性適合旋轉(zhuǎn)的平滑插值在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和機(jī)器人控制中廣泛應(yīng)用第三章：機(jī)器人關(guān)節(jié)與自由度關(guān)節(jié)是機(jī)器人實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)的核心部件，不同類型的關(guān)節(jié)提供不同的運(yùn)動(dòng)能力。本章將介紹常見的關(guān)節(jié)類型及其特性，并探討自由度的概念與計(jì)算方法。01關(guān)節(jié)類型02自由度定義03自由度計(jì)算04典型示例關(guān)節(jié)類型轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)(RevoluteJoint)允許相鄰連桿繞一個(gè)固定軸旋轉(zhuǎn)，提供1個(gè)自由度。這是最常見的關(guān)節(jié)類型，類似于人體的肘關(guān)節(jié)。應(yīng)用：工業(yè)機(jī)器人的大多數(shù)關(guān)節(jié)、機(jī)械手指的指關(guān)節(jié)直線關(guān)節(jié)(PrismaticJoint)允許相鄰連桿沿一條直線相對(duì)移動(dòng)，提供1個(gè)自由度。適用于需要伸縮運(yùn)動(dòng)的場(chǎng)景。應(yīng)用：電梯、液壓缸、伸縮臂架球形關(guān)節(jié)(SphericalJoint)允許相鄰連桿進(jìn)行三維旋轉(zhuǎn)，提供3個(gè)自由度。類似于人體的肩關(guān)節(jié)，靈活性高。應(yīng)用：攝像機(jī)云臺(tái)、機(jī)器人肩部、汽車懸掛系統(tǒng)自由度（DOF）定義自由度（DegreeofFreedom，DOF）是描述機(jī)器人運(yùn)動(dòng)能力的重要指標(biāo)，定義為系統(tǒng)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)參數(shù)的數(shù)量。自由度的物理含義表示系統(tǒng)完全確定其狀態(tài)所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)反映機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的靈活性和多樣性決定機(jī)器人能夠獨(dú)立控制的運(yùn)動(dòng)維度空間剛體的自由度三維空間中的剛體具有6個(gè)自由度3個(gè)平移自由度（x、y、z方向）3個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度（繞x、y、z軸）自由度與任務(wù)需求機(jī)器人的自由度需要根據(jù)任務(wù)需求確定：簡(jiǎn)單搬運(yùn)：4自由度可能足夠精確裝配：需要6自由度復(fù)雜環(huán)境操作：可能需要7或更多自由度（冗余自由度）Grübler公式計(jì)算自由度M=6(n-1)-Σ(6-fi)公式參數(shù)說明M：機(jī)構(gòu)的總自由度n：包括機(jī)架在內(nèi)的構(gòu)件總數(shù)fi：第i個(gè)關(guān)節(jié)的自由度Σ(6-fi)：所有關(guān)節(jié)約束自由度之和平面機(jī)構(gòu)的簡(jiǎn)化形式：計(jì)算步驟確定機(jī)構(gòu)中的構(gòu)件數(shù)n（包括機(jī)架）識(shí)別每個(gè)關(guān)節(jié)的類型及其自由度fi計(jì)算各關(guān)節(jié)的約束數(shù)(6-fi)代入公式計(jì)算總自由度M實(shí)例分析對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)6軸工業(yè)機(jī)器人：7個(gè)構(gòu)件（含底座）6個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)（每個(gè)fi=1）M=6(7-1)-6(6-1)=36-30=6機(jī)械臂自由度示例人體上肢是理解機(jī)械臂自由度的絕佳參考模型，工業(yè)機(jī)械臂的設(shè)計(jì)常借鑒人體結(jié)構(gòu)原理。肩關(guān)節(jié)(Shoulder)人體肩關(guān)節(jié)接近于球形關(guān)節(jié)，提供3個(gè)自由度：前后擺動(dòng)（屈伸）側(cè)向擺動(dòng)（內(nèi)收外展）旋轉(zhuǎn)（內(nèi)旋外旋）肘關(guān)節(jié)(Elbow)肘關(guān)節(jié)為單軸轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，提供1個(gè)自由度：彎曲與伸直（屈伸）腕關(guān)節(jié)(Wrist)腕關(guān)節(jié)復(fù)雜，綜合提供約2-3個(gè)自由度：上下彎曲（屈伸）側(cè)向彎曲（橈偏尺偏）有限旋轉(zhuǎn)工業(yè)六軸機(jī)械臂通常具有6個(gè)自由度，類似于人體上肢的構(gòu)造，但特定任務(wù)可能需要更多或更少的自由度。第四章：正運(yùn)動(dòng)學(xué)詳解正運(yùn)動(dòng)學(xué)是機(jī)器人控制的基礎(chǔ)，通過已知的關(guān)節(jié)參數(shù)計(jì)算末端執(zhí)行器的位置和姿態(tài)。本章將介紹正運(yùn)動(dòng)學(xué)的數(shù)學(xué)模型和計(jì)算方法。問題定義變換鏈計(jì)算實(shí)例正運(yùn)動(dòng)學(xué)問題正運(yùn)動(dòng)學(xué)的數(shù)學(xué)描述正運(yùn)動(dòng)學(xué)是根據(jù)已知的關(guān)節(jié)變量（角度或位移），計(jì)算末端執(zhí)行器在參考坐標(biāo)系中的位置和姿態(tài)。其中：X：末端執(zhí)行器的位姿，通常用6維向量表示（3個(gè)位置+3個(gè)姿態(tài)）θ：關(guān)節(jié)變量向量，包含所有關(guān)節(jié)的角度或位移f：正向映射函數(shù)，通過連桿參數(shù)和幾何關(guān)系確定正運(yùn)動(dòng)學(xué)的特點(diǎn)計(jì)算直接，解唯一基于純幾何關(guān)系，不涉及動(dòng)力學(xué)通過矩陣乘法實(shí)現(xiàn)，計(jì)算效率高是機(jī)器人控制和路徑規(guī)劃的基礎(chǔ)正運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算的核心是建立各連桿坐標(biāo)系，并確定相鄰坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系，最終通過矩陣乘法得到從基坐標(biāo)系到末端坐標(biāo)系的總變換。連桿與關(guān)節(jié)的變換鏈機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算基于連桿變換鏈模型，將各關(guān)節(jié)的變換矩陣按順序相乘，得到末端執(zhí)行器的位姿。定義坐標(biāo)系按照DH約定（Denavit-Hartenberg）為每個(gè)連桿建立局部坐標(biāo)系。DH參數(shù)是描述相鄰連桿之間幾何關(guān)系的四個(gè)參數(shù)：連桿長(zhǎng)度a、連桿偏距d、連桿扭角α和關(guān)節(jié)角θ。構(gòu)建變換矩陣根據(jù)DH參數(shù)構(gòu)建每對(duì)相鄰連桿之間的齊次變換矩陣：計(jì)算總變換將所有變換矩陣連乘，得到從基坐標(biāo)系到末端執(zhí)行器的總變換：實(shí)例：二維兩關(guān)節(jié)機(jī)械臂正運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算考慮一個(gè)二維平面上的兩關(guān)節(jié)機(jī)械臂，關(guān)節(jié)角度為θ1和θ2，連桿長(zhǎng)度分別為l1和l2。末端位置計(jì)算末端執(zhí)行器的坐標(biāo)(x,y)可以通過以下公式計(jì)算：變換矩陣表示關(guān)節(jié)1的變換矩陣：關(guān)節(jié)2的變換矩陣類似，最終總變換T=A1·A2第五章：逆運(yùn)動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)是機(jī)器人控制中的關(guān)鍵問題，涉及如何根據(jù)期望的末端位置和姿態(tài)，計(jì)算實(shí)現(xiàn)該位置所需的關(guān)節(jié)參數(shù)。本章將介紹逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本概念、挑戰(zhàn)和求解方法。01問題定義02技術(shù)挑戰(zhàn)03求解方法逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問題逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的數(shù)學(xué)描述逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問題是正運(yùn)動(dòng)學(xué)的反問題，即已知末端執(zhí)行器的位置和姿態(tài)，求解對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)變量。其中：θ：待求的關(guān)節(jié)變量向量X：已知的末端執(zhí)行器位姿f-1：逆向映射函數(shù)，通常不易直接表達(dá)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)在實(shí)際機(jī)器人控制中更為重要，因?yàn)槿蝿?wù)通常以末端執(zhí)行器的目標(biāo)位置指定。逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的復(fù)雜性非線性方程組求解可能存在多個(gè)解或無解計(jì)算復(fù)雜度高于正運(yùn)動(dòng)學(xué)需要考慮關(guān)節(jié)限位和其他約束在實(shí)時(shí)控制中需要高效算法逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的挑戰(zhàn)多解問題同一個(gè)末端位姿可能對(duì)應(yīng)多組關(guān)節(jié)角度解，需要額外的準(zhǔn)則來選擇最優(yōu)解。選擇關(guān)節(jié)角度變化最小的解避免接近關(guān)節(jié)限位的解優(yōu)先選擇能耗較低的解奇異點(diǎn)機(jī)器人在某些構(gòu)型下，雅可比矩陣變?yōu)槠娈悾瑢?dǎo)致自由度暫時(shí)減少。工作空間邊界奇異內(nèi)部奇異（如機(jī)械臂伸直）對(duì)齊奇異（兩軸重合）不可達(dá)點(diǎn)由于物理約束，某些位置和姿態(tài)機(jī)器人無法到達(dá)。超出工作空間范圍關(guān)節(jié)角度限制自身結(jié)構(gòu)干涉環(huán)境障礙物逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解方法解析法通過數(shù)學(xué)分析，直接推導(dǎo)關(guān)節(jié)角度與末端位姿之間的關(guān)系式。適用于簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)（≤6自由度）計(jì)算效率高，適合實(shí)時(shí)控制可得到所有可能解對(duì)特定機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)，缺乏通用性數(shù)值法通過迭代優(yōu)化算法逼近求解逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。適用于任意結(jié)構(gòu)機(jī)器人計(jì)算復(fù)雜度高，需優(yōu)化算法依賴初始估計(jì)，可能陷入局部最優(yōu)通常只求一個(gè)解常用數(shù)值方法牛頓迭代法：基于雅可比矩陣的迭代方法，收斂速度快，但需要計(jì)算雅可比矩陣的逆雅可比轉(zhuǎn)置法：避免矩陣求逆，計(jì)算效率高，但收斂較慢阻尼最小二乘法：改進(jìn)的牛頓法，通過添加阻尼因子處理奇異點(diǎn)問題循環(huán)坐標(biāo)下降法：逐個(gè)優(yōu)化每個(gè)關(guān)節(jié)角度，算法簡(jiǎn)單但收斂慢混合方法結(jié)合解析和數(shù)值方法的優(yōu)點(diǎn)，例如將6自由度機(jī)器人分解為位置和姿態(tài)兩個(gè)子問題分別求解。第六章：運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃與應(yīng)用軌跡規(guī)劃是連接運(yùn)動(dòng)學(xué)與實(shí)際應(yīng)用的橋梁，通過合理設(shè)計(jì)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)路徑，確保運(yùn)動(dòng)平滑、高效且安全。本章將介紹軌跡規(guī)劃的基本概念和方法，以及運(yùn)動(dòng)學(xué)在實(shí)際應(yīng)用中的重要性。規(guī)劃目標(biāo)軌跡函數(shù)實(shí)際應(yīng)用軌跡規(guī)劃目標(biāo)軌跡規(guī)劃的定義與目標(biāo)軌跡規(guī)劃是為機(jī)器人設(shè)計(jì)從起點(diǎn)到終點(diǎn)的完整運(yùn)動(dòng)路徑，包括位置、速度和加速度隨時(shí)間的變化。軌跡規(guī)劃的主要目標(biāo)確保平滑運(yùn)動(dòng)，避免突變滿足速度、加速度限制優(yōu)化運(yùn)動(dòng)時(shí)間或能耗避開障礙物和奇異點(diǎn)滿足特定任務(wù)約束（如焊接時(shí)保持勻速）軌跡規(guī)劃的空間選擇關(guān)節(jié)空間軌跡直接規(guī)劃關(guān)節(jié)角度隨時(shí)間的變化計(jì)算簡(jiǎn)單，避免逆運(yùn)動(dòng)學(xué)能保證關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)平滑末端執(zhí)行器路徑不直觀笛卡爾空間軌跡規(guī)劃末端執(zhí)行器在工作空間中的路徑直觀控制末端運(yùn)動(dòng)適合直線、圓弧等特定路徑需要逆運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算常用軌跡函數(shù)軌跡函數(shù)定義了位置、速度和加速度隨時(shí)間的變化關(guān)系，好的軌跡函數(shù)應(yīng)保證平滑過渡和連續(xù)的導(dǎo)數(shù)。三次多項(xiàng)式軌跡特點(diǎn)：保證位置和速度連續(xù)加速度在端點(diǎn)可能不連續(xù)計(jì)算簡(jiǎn)單，參數(shù)較少適合一般工業(yè)應(yīng)用五次多項(xiàng)式軌跡特點(diǎn)：保證位置、速度和加速度連續(xù)更平滑的運(yùn)動(dòng)過程計(jì)算復(fù)雜度增加適合高精度、高速應(yīng)用其他軌跡函數(shù)梯形速度軌跡：簡(jiǎn)單實(shí)用，但加速度不連續(xù)S形速度軌跡：限制加加速度，更平滑樣條曲線：連接多個(gè)路徑點(diǎn)，保證高階導(dǎo)數(shù)連續(xù)NURBS曲線：工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，用于復(fù)雜路徑規(guī)劃