§1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)-2025-2026學(xué)年北師大版2019必修第二冊(cè)-北師大版2019主備人備課成員教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課為北師大版2019必修第二冊(cè)中的§1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系。主要內(nèi)容涉及正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六個(gè)三角函數(shù)的定義、性質(zhì)、關(guān)系及其計(jì)算方法。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生將掌握同角三角函數(shù)的基本概念，理解各函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，并能熟練運(yùn)用這些知識(shí)解決實(shí)際問題。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。學(xué)生將通過探索三角函數(shù)的性質(zhì)，提升抽象思維能力；通過推導(dǎo)函數(shù)關(guān)系，鍛煉邏輯推理能力；通過實(shí)際問題中的應(yīng)用，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)建模；同時(shí)，通過計(jì)算和證明，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算的準(zhǔn)確性和效率。重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法重點(diǎn)：

1.理解并掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，包括正弦、余弦、正切等函數(shù)之間的關(guān)系。

2.能夠運(yùn)用三角函數(shù)解決實(shí)際問題，如解直角三角形。

難點(diǎn)：

1.理解三角函數(shù)的周期性和奇偶性。

2.推導(dǎo)三角函數(shù)的基本關(guān)系式，如正弦、余弦和正切之間的關(guān)系。

解決辦法：

1.通過直觀圖形和實(shí)例幫助學(xué)生理解三角函數(shù)的周期性和奇偶性。

2.采用分步講解和逐步引導(dǎo)的方式，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)三角函數(shù)的基本關(guān)系式，鼓勵(lì)學(xué)生自主探究和合作學(xué)習(xí)。

3.通過練習(xí)和實(shí)際問題解決，鞏固學(xué)生對(duì)三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用能力。學(xué)具準(zhǔn)備多媒體課型新授課教法學(xué)法講授法課時(shí)第一課時(shí)師生互動(dòng)設(shè)計(jì)二次備課教學(xué)方法與手段教學(xué)方法：

1.講授法：系統(tǒng)講解三角函數(shù)的定義、性質(zhì)和關(guān)系，確保學(xué)生掌握基本概念。

2.討論法：組織學(xué)生分組討論函數(shù)的周期性和奇偶性，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和合作能力。

3.實(shí)例教學(xué)法：通過實(shí)際案例，如建筑測(cè)量、天文計(jì)算等，讓學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題。

教學(xué)手段：

1.多媒體演示：利用PPT展示三角函數(shù)的圖形和變化，增強(qiáng)直觀性。

2.教學(xué)軟件應(yīng)用：使用幾何軟件或三角函數(shù)計(jì)算器，讓學(xué)生直觀體驗(yàn)函數(shù)關(guān)系。

3.互動(dòng)平臺(tái)：利用在線教學(xué)平臺(tái)，實(shí)現(xiàn)課堂提問、作業(yè)提交和即時(shí)反饋，提高教學(xué)互動(dòng)性。教學(xué)流程1.導(dǎo)入新課（用時(shí)5分鐘）

詳細(xì)內(nèi)容：

-利用幾何圖形，展示直角三角形的基本結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生回顧銳角三角函數(shù)的定義。

-提問：“同學(xué)們，我們之前學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，那么對(duì)于非銳角，三角函數(shù)的定義有何變化？”

-通過提問激發(fā)學(xué)生的思考，引出本節(jié)課的主題——同角三角函數(shù)的基本關(guān)系。

2.新課講授（用時(shí)20分鐘）

詳細(xì)內(nèi)容：

-講解正弦、余弦、正切等三角函數(shù)的定義，并結(jié)合圖形進(jìn)行解釋。

-通過實(shí)例講解三角函數(shù)的周期性和奇偶性，如正弦函數(shù)的周期為\(2\pi\)，余弦函數(shù)為偶函數(shù)等。

-推導(dǎo)三角函數(shù)的基本關(guān)系式，如正弦、余弦和正切之間的關(guān)系，例如：\(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)。

3.實(shí)踐活動(dòng)（用時(shí)10分鐘）

詳細(xì)內(nèi)容：

-讓學(xué)生利用三角板和量角器，實(shí)際測(cè)量直角三角形的邊長(zhǎng)，驗(yàn)證正弦、余弦、正切函數(shù)的定義。

-指導(dǎo)學(xué)生通過計(jì)算器驗(yàn)證三角函數(shù)的周期性和奇偶性。

-設(shè)計(jì)一個(gè)小游戲，讓學(xué)生通過計(jì)算三角函數(shù)值，找出規(guī)律，加深對(duì)函數(shù)關(guān)系的理解。

4.學(xué)生小組討論（用時(shí)10分鐘）

詳細(xì)內(nèi)容：

-提問：“同學(xué)們，如何證明正弦、余弦和正切之間的關(guān)系？”

-學(xué)生分組討論，可以從以下三個(gè)方面進(jìn)行回答：

1.利用單位圓的性質(zhì)，通過幾何證明三角函數(shù)之間的關(guān)系。

2.通過極限的方法，推導(dǎo)三角函數(shù)之間的關(guān)系式。

3.利用復(fù)數(shù)的知識(shí)，證明三角函數(shù)之間的關(guān)系。

5.總結(jié)回顧（用時(shí)5分鐘）

詳細(xì)內(nèi)容：

-回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及其應(yīng)用。

-通過提問：“本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些三角函數(shù)之間的關(guān)系？它們有什么應(yīng)用？”引導(dǎo)學(xué)生回顧重點(diǎn)。

-強(qiáng)調(diào)本節(jié)課的難點(diǎn)，如三角函數(shù)的周期性和奇偶性，以及三角函數(shù)關(guān)系的推導(dǎo)。

-布置課后作業(yè)，要求學(xué)生完成以下任務(wù)：

1.列舉至少三個(gè)三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景。

2.利用所學(xué)知識(shí)，解決一道與三角函數(shù)有關(guān)的實(shí)際問題。

3.復(fù)習(xí)并掌握三角函數(shù)的基本關(guān)系式，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-三角函數(shù)的歷史背景：介紹三角函數(shù)的發(fā)展歷程，從古代的幾何學(xué)應(yīng)用到現(xiàn)代的數(shù)學(xué)理論，讓學(xué)生了解三角函數(shù)在數(shù)學(xué)發(fā)展中的重要地位。

-三角函數(shù)在工程領(lǐng)域的應(yīng)用：探討三角函數(shù)在建筑、機(jī)械、電子工程等領(lǐng)域的應(yīng)用實(shí)例，如橋梁設(shè)計(jì)、電路分析等，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用意識(shí)。

-三角函數(shù)在物理學(xué)的應(yīng)用：介紹三角函數(shù)在波動(dòng)、振動(dòng)、光學(xué)等物理現(xiàn)象中的描述和計(jì)算，如簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)、光的干涉等，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)與物理的緊密聯(lián)系。

-三角函數(shù)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用：闡述三角函數(shù)在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、信號(hào)處理、音頻處理等領(lǐng)域的應(yīng)用，如圖像處理、音頻編碼等，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)在信息技術(shù)領(lǐng)域的興趣。

2.拓展建議：

-閱讀相關(guān)書籍：推薦學(xué)生閱讀《三角函數(shù)及其應(yīng)用》等書籍，深入了解三角函數(shù)的理論和應(yīng)用。

-觀看教學(xué)視頻：推薦學(xué)生觀看網(wǎng)絡(luò)教學(xué)視頻，如“三角函數(shù)在工程中的應(yīng)用”、“三角函數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用”等，通過視頻學(xué)習(xí)，加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解。

-參與數(shù)學(xué)競(jìng)賽：鼓勵(lì)學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，如全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽等，通過競(jìng)賽提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解題技巧。

-實(shí)踐項(xiàng)目：組織學(xué)生參與數(shù)學(xué)實(shí)踐項(xiàng)目，如設(shè)計(jì)一個(gè)基于三角函數(shù)的電子鐘、編寫一個(gè)簡(jiǎn)單的音頻處理程序等，將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際項(xiàng)目中。

-開展小組研究：鼓勵(lì)學(xué)生分組進(jìn)行研究，選擇一個(gè)與三角函數(shù)相關(guān)的課題，如“三角函數(shù)在建筑設(shè)計(jì)中的應(yīng)用”、“三角函數(shù)在音樂制作中的應(yīng)用”等，通過研究培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力和創(chuàng)新思維。

-制作教學(xué)課件：讓學(xué)生嘗試制作關(guān)于三角函數(shù)的教學(xué)課件，通過制作過程，加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握。

-參觀科技館：組織學(xué)生參觀科技館，了解三角函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣。

-舉辦講座：邀請(qǐng)相關(guān)領(lǐng)域的專家或教師舉辦講座，分享三角函數(shù)在實(shí)際應(yīng)用中的經(jīng)驗(yàn)和技巧，拓寬學(xué)生的知識(shí)面。典型例題講解典型例題1：

已知直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=6，求BC和AC的長(zhǎng)度。

解答：

由直角三角形的性質(zhì)，我們知道在30°-60°-90°的直角三角形中，斜邊是較短直角邊的兩倍，較長(zhǎng)直角邊是較短直角邊的\(\sqrt{3}\)倍。因此，我們可以得出以下關(guān)系：

BC=AB/2=6/2=3

AC=AB*\(\sqrt{3}\)/2=6*\(\sqrt{3}\)/2=3\(\sqrt{3}\)

所以，BC的長(zhǎng)度為3，AC的長(zhǎng)度為3\(\sqrt{3}\)。

典型例題2：

在直角三角形ABC中，∠A=45°，∠B=90°，如果AB=10，求AC和BC的長(zhǎng)度。

解答：

在45°-45°-90°的直角三角形中，兩個(gè)直角邊相等。因此，我們可以得出以下關(guān)系：

AC=BC=AB/\(\sqrt{2}\)=10/\(\sqrt{2}\)=5\(\sqrt{2}\)

所以，AC和BC的長(zhǎng)度都是5\(\sqrt{2}\)。

典型例題3：

在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°，如果AC=8，求AB和BC的長(zhǎng)度。

解答：

由于∠A=30°，∠B=60°，我們知道在30°-60°-90°的直角三角形中，AC是BC的一半，BC是AB的\(\sqrt{3}\)倍。因此，我們可以得出以下關(guān)系：

BC=2*AC=2*8=16

AB=BC/\(\sqrt{3}\)=16/\(\sqrt{3}\)=\(\frac{16\sqrt{3}}{3}\)

所以，AB的長(zhǎng)度為\(\frac{16\sqrt{3}}{3}\)，BC的長(zhǎng)度為16。

典型例題4：

在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，求∠B的正弦值。

解答：

在直角三角形中，正弦值是對(duì)邊與斜邊的比值。因此，我們可以得出以下關(guān)系：

sinB=BC/AB

由于BC是AC的\(\sqrt{3}\)倍，我們可以計(jì)算出BC的長(zhǎng)度：

BC=AC*\(\sqrt{3}\)=8*\(\sqrt{3}\)

然后，我們可以求出sinB的值：

sinB=BC/AB=(8*\(\sqrt{3}\))/10=\(\frac{4\sqrt{3}}{5}\)

所以，∠B的正弦值為\(\frac{4\sqrt{3}}{5}\)。

典型例題5：

在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=12，求∠A的正切值。

解答：

在直角三角形中，正切值是對(duì)邊與鄰邊的比值。因此，我們可以得出以下關(guān)系：

tanA=BC/AC

首先，我們需要求出AC的長(zhǎng)度。由于AB是斜邊，我們可以使用勾股定理來計(jì)算AC：

AC=\(\sqrt{AB^2-BC^2}\)=\(\sqrt{15^2-12^2}\)=\(\sqrt{225-144}\)=\(\sqrt{81}\)=9

然后，我們可以求出tanA的值：

tanA=BC/AC=12/9=\(\frac{4}{3}\)

所以，∠A的正切值為\(\frac{4}{3}\)。板書設(shè)計(jì)①本文重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：

-三角函數(shù)的定義

-正弦、余弦、正切等基本三角函數(shù)

-三角函數(shù)的周期性和奇偶性

-三角函數(shù)的基本關(guān)系式（如正弦、余弦和正切之間的關(guān)系）

②關(guān)鍵詞：

-單位圓

-對(duì)邊

-鄰邊

-斜邊

-勾股定理

-正弦值、余弦值、正切值

③重點(diǎn)句子：

-“在直角三角形中，正弦值是對(duì)邊與斜邊的比值?！?/p>

-“余弦值是鄰邊與斜邊的比值。”

-“正切值是對(duì)邊與鄰邊的比值。”

-“三角函數(shù)的周期性表現(xiàn)為函數(shù)值在每隔一定角度后重復(fù)出現(xiàn)?！?/p>

-“三角函數(shù)的奇偶性可以通過函數(shù)值的符號(hào)來判斷。”

-“正弦、余弦和正切之間的關(guān)系可以通過單位圓上的點(diǎn)來直觀展示?！苯虒W(xué)評(píng)價(jià)1.課堂評(píng)價(jià)：

-提問環(huán)節(jié)：通過課堂提問，檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)基本概念和定義的理解程度。例如，提問“什么是三角函數(shù)？”或“如何定義正弦、余弦和正切？”來評(píng)估學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握。

-觀察學(xué)生參與度：觀察學(xué)生在課堂活動(dòng)中的參與情況，如是否積極舉手回答問題、是否能主動(dòng)參與小組討論等，以此評(píng)估學(xué)生的參與度和學(xué)習(xí)興趣。

-小組合作評(píng)估：在小組討論環(huán)節(jié)，觀察學(xué)生之間的互動(dòng)和協(xié)作能力，以及每個(gè)學(xué)生對(duì)小組的貢獻(xiàn)。

-實(shí)時(shí)測(cè)試：通過課堂小測(cè)驗(yàn)或即時(shí)反饋的練習(xí)題，快速了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，及時(shí)調(diào)整教學(xué)進(jìn)度和難度。

2.作業(yè)評(píng)價(jià)：

-作業(yè)批改：對(duì)學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行細(xì)致的批改，關(guān)注學(xué)生對(duì)三角函數(shù)定義、性質(zhì)和關(guān)系的應(yīng)用能力。

-反饋機(jī)制：在批改作業(yè)時(shí)，不僅要指出錯(cuò)誤，還要給出正確的解題思路和方法，幫助學(xué)生理解和改正錯(cuò)誤。

-定期反饋：定期向?qū)W生提供作業(yè)成績(jī)和反饋，讓學(xué)生了解自己的學(xué)習(xí)進(jìn)度和需要改進(jìn)的地方。

-鼓勵(lì)性評(píng)價(jià)：在評(píng)價(jià)中融入鼓勵(lì)性語言，如“你的努力有了明顯的進(jìn)步！”或“你的解答很有創(chuàng)意，繼續(xù)保持！”以增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力。

3.形成性評(píng)價(jià)：

-項(xiàng)目式學(xué)習(xí)：通過設(shè)計(jì)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)任務(wù)，讓學(xué)生在實(shí)際操作中應(yīng)用三角函數(shù)知識(shí)，評(píng)估學(xué)生的綜合運(yùn)用能力。

-課堂展示：鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行課堂展示，如講解解題過程或分享自己的學(xué)習(xí)心得，以此評(píng)估學(xué)生的表達(dá)能力和自信心。

-學(xué)生自評(píng)與互評(píng)：引導(dǎo)