函數的單調性（1）年級：高二學科：數學（人教A版）主講人：

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abtvO(2)abthO(1)問題1圖(1)是跳水運動員的重心相對于水面的高度h隨時間t變化的函數的圖象，圖(2)是跳水運動員的速度v隨時間t變化的函數的圖象,

，b是函數h(t)的零點.探究新知探究新知abtvO(2)abthO(1)問題1運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別？如何從數學上刻畫這種區(qū)別？abtvO(2)探究新知

即

時，

h(t)單調遞減，從最高點到入水，重心離水面高度h隨時間t增加而減小，從起跳到最高點，重心離水面高度h隨時間t增加而增加，abthO(1)觀察圖象可知：即

時，

h(t)單調遞增，探究新知追問1：能否由的正負來判斷函數的單調性呢？猜想：在區(qū)間(a,b)上，在區(qū)間(a,b)上，單調遞增在區(qū)間(a,b)上，在區(qū)間(a,b)上，單調遞減探究新知問題2觀察下面一些函數的圖象，你能說明導數的正負與函數單調性的關系嗎？探究新知在

上，f(x)單調遞增在

上，

探究新知在

上，

在

上，

在

上，f(x)單調遞增在

上，f(x)單調遞減探究新知在

上，

在

上，

在

上，f(x)單調遞增在

上，f(x)單調遞增探究新知在

上，

在

上，

在

上，f(x)單調遞減在

上，f(x)單調遞減

猜想結論：在某個區(qū)間

上，如果

，那么函數y=f(x)在區(qū)間上單調遞減；在某個區(qū)間

上，如果

，那么函數y=f(x)在區(qū)間上單調遞增；函數f(x)的單調性與導函數的正負之間具有如下的關系：探究新知探究新知在區(qū)間上，f(x)單調遞增問題3為什么函數的單調性和導數之間有這樣的關系？函數y=f(x)的圖象在點處切線的斜率導數在處，切線“左下右上”上升函數f(x)圖象上升,在附近單調遞增在區(qū)間上，探究新知問題3為什么函數的單調性和導數之間有這樣的關系？在處，函數f(x)圖象下降,在附近單調遞減函數y=f(x)的圖象在點處切線的斜率導數在區(qū)間上，f(x)單調遞減切線“左上右下”下降在區(qū)間上，探究新知追問1：能否說明函數y=f(x)的平均變化率的幾何意義與的正負是什么關系？函數f(x)在區(qū)間(a,b)上單調遞增

，當時，都有探究新知追問1：能否說明函數y=f(x)的平均變化率的幾何意義與的正負是什么關系？函數f(x)在區(qū)間(a,b)上單調遞減?探究新知在某個區(qū)間

上，如果

，那么函數y=f(x)在區(qū)間上單調遞減；在某個區(qū)間

上，如果

，那么函數y=f(x)在區(qū)間上單調遞增；一般地，函數f(x)的單調性與導函數的正負之間具有如下的關系：結論：追問2：如果函數f(x)在區(qū)間(a,b)上恒有，那么函數f(x)有什么特性呢？此時函數f(x)是常值函數.探究新知探究新知在某個區(qū)間

上，如果

，那么函數y=f(x)在區(qū)間上單調遞減；在某個區(qū)間

上，如果

，那么函數y=f(x)在區(qū)間上單調遞增；一般地，函數f(x)的單調性與導函數的正負之間具有如下的關系：結論：例題解析例1利用導數判斷下列函數的單調性：（1）（2）（3）例題解析例1利用導數判斷下列函數的單調性：原函數導函數求導運算解不等式導函數的正負原函數單調性函數單調性與導數的關系定義域例題解析例1利用導數判斷下列函數的單調性：（1）解：因為定義域為R.

所以所以，函數在R上單調遞增，如圖所示.例題解析例1利用導數判斷下列函數的單調性：（2）解：因為

所以

所以，函數在

上單調遞減，如圖所示.例題解析例1利用導數判斷下列函數的單調性：（3）解：因為

所以

所以，函數在區(qū)間和

上單調遞增，如圖所示.例題解析例2已知導函數的信息如下：當時，；當，或時，；當，或時，.試畫出函數f(x)圖象的大致形狀.導函數符號原函數單調性函數單調性與導數的關系函數的圖象例題解析解：當時，，可知f(x)在區(qū)間

上單調遞增;當，或時，，可知f(x)在區(qū)間

和上單調遞減；當，或時，，這兩點比較特殊，我們稱它們?yōu)椤芭R界點”.綜上，函數f(x)圖象的大致形狀如圖所示.課堂總結核心知識：在某個區(qū)間

上，如果

，那么函數y=f(x)在區(qū)間上單調遞減；在某個區(qū)間

上，如果

，那么函數y=f(x)