數(shù)學(xué)建模電子教材

1.1數(shù)學(xué)模型概述

數(shù)學(xué)模型的歷史能夠追朔到人類開始使用數(shù)字的時(shí)代。隨著人類使用數(shù)字，就不斷地建

立各類數(shù)學(xué)模型，以解決各類各樣的實(shí)際問題。真正開始提出并研究它是20世紀(jì)70年代后，

由于它的廣泛性與有用性，因此迅速推廣開來。大家可能記得，從20世紀(jì)80年代起，我國

科技界興起一股不論對什么問題進(jìn)行研究，都要建立數(shù)學(xué)模型的風(fēng)氣。從此不論是經(jīng)濟(jì)、法

律、醫(yī)學(xué)、農(nóng)業(yè)、交通、軍事等領(lǐng)域，數(shù)學(xué)模型已不再是陌生的名詞。在工程領(lǐng)域，電氣工

程師務(wù)必建立所要操縱的生產(chǎn)過程的數(shù)學(xué)模型，以便對操縱裝置做出相應(yīng)的設(shè)計(jì)與計(jì)算，才

能實(shí)現(xiàn)有效的過程操縱。氣象工作者為了得到準(zhǔn)確的天氣預(yù)報(bào).一刻也離不開根據(jù)氣象站、

氣象衛(wèi)星匯合的氣壓、雨量、風(fēng)速等資料建立數(shù)學(xué)模型。生理醫(yī)學(xué)專家有了藥物濃度在人體

內(nèi)隨時(shí)間、空間變化的數(shù)學(xué)模型，就能夠分析藥物的療效，有效的指導(dǎo)臨床用藥。城市規(guī)劃

者需要建立一個(gè)包含人口、經(jīng)濟(jì)、交通、環(huán)境等大系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，為領(lǐng)導(dǎo)層對城市進(jìn)展規(guī)

劃的決策提供科學(xué)根據(jù)。廠長經(jīng)理們應(yīng)該能夠根據(jù)產(chǎn)品的需求狀況、生產(chǎn)條件與成本、貯藏

費(fèi)用等信息，籌劃出一個(gè)合理安排生產(chǎn)與銷售的數(shù)學(xué)模型。就是在平常對大學(xué)生的綜合素養(yǎng)

測評、對教師的工作業(yè)績的評定與諸如訪友、采購等日?；顒樱寄軌蚪⒁粋€(gè)數(shù)學(xué)模型，

確立一個(gè)最佳方案。關(guān)于廣大的科學(xué)技術(shù)工作者對大學(xué)生的綜合素養(yǎng)測評、對教師的工作業(yè)

績的評定與諸如訪友、采購等日常活動，都能夠建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，確立一個(gè)最佳方案。建

立數(shù)學(xué)模型是溝通擺在面前的實(shí)際問題與數(shù)學(xué)工具之間聯(lián)系的一座必不可少的橋梁。

1.2數(shù)學(xué)模型概念

什么是數(shù)學(xué)模型？國外曾有人為它下了一個(gè)簡單的定義:把實(shí)際問題中各變量之間的關(guān)

系用數(shù)學(xué)形式表示出來，叫數(shù)學(xué)模型。由于它的廣泛性，這樣的定義是難以真正懂得它的真

實(shí)含義的。下面舉例來說明。

I、各類應(yīng)用題的解過程都是數(shù)學(xué)模型。小學(xué)的數(shù)學(xué)題能夠分為文字題、碼字題兩類，文

字題較難，況且還能夠有不一致的方法、思路，這部分就是在建模。碼字題是以有算式，只

需要求解可看作是模型的求就。有這樣一道題：雞兔同籠，頭共46,足共128,雞兔各幾只？

用x,y分別表示雞與兔，能夠列出方程

x+y=46,2x+4y=128

實(shí)際上，這組方程就是上述雞兔問籠問題的數(shù)學(xué)模型。列出方程，原問題已轉(zhuǎn)化為純粹的

數(shù)學(xué)問題。方程的解為x=28,廣18,這就是雞兔同籠問題的答案c

2、九大行星的發(fā)現(xiàn)過程。太陽系有金星、木星、水星、火星、土星、地球、天王星、

海王星與冥王星等九大行星,在人類進(jìn)展的歷史長河中，很早就通過觀察注意到了金、木、

水、火、土五星與其他星不一致，中國歷史上的“五行”一說也來源于此。在伽利略、哥白

尼的太陽中心說確立后，到它們與地球一起是太陽系的行星，不久又發(fā)現(xiàn)了天王星，之后

就沒有單純依靠觀測發(fā)現(xiàn)其它行星。微積分進(jìn)展起來之后，人們開始計(jì)算太陽系每顆行星

的軌道。科學(xué)家發(fā)現(xiàn)除了天三星之外，其它行星的理論軌道基本吻合，而天王星相差較大，

仿佛受到變化的外力，估計(jì)有另外的行星通過萬有引力在影響著它的運(yùn)動。因此根據(jù)天王

星運(yùn)動的差異，通過計(jì)算確定在天空的某一位置應(yīng)有一顆行星，這樣在確定的區(qū)域里去尋

找，終于發(fā)現(xiàn)了第八顆行星——海王星。后來，有人又用同樣方法發(fā)行了冥王星。用數(shù)學(xué)

模型的方法找到海王星的事例，是人類最初也是最重要的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用的范例。

3、美國總統(tǒng)競選的模擬?？偨y(tǒng)競選是西方國家政治上的頭等大事。早在20世紀(jì)30年

代美國有人企圖用模擬的方法去預(yù)測一下評選結(jié)果，因此國家出資成立一個(gè)專門的預(yù)測機(jī)

構(gòu)。通過收集資料，設(shè)計(jì)不一致的模擬方法，進(jìn)行預(yù)測。開始沒有使用計(jì)算機(jī)，后來使用計(jì)

算機(jī)，前后預(yù)測了十兒屆的總統(tǒng)選舉，都收到非常好的效果。首先選舉結(jié)果沒有預(yù)測錯(cuò)，其

次票數(shù)也基本一致，這里要緊是使用模擬模型。

4、內(nèi)燃機(jī)。從20世紀(jì)80年代初起，國內(nèi)興起優(yōu)化設(shè)計(jì)的風(fēng)氣，各行各業(yè)的設(shè)計(jì)部門

紛紛使用各類方法對自己的設(shè)計(jì)進(jìn)行優(yōu)化。日本在這方面走在前面，各類產(chǎn)品小巧而精巧，

性能又好。內(nèi)燃機(jī)設(shè)計(jì)行業(yè)首先注意到，內(nèi)燃機(jī)的性能要緊由進(jìn)氣過程、排氣過程而決定，

而兩個(gè)過程由凸輪來完成，那么凸輪的形狀設(shè)計(jì)自然是內(nèi)燃機(jī)性能的要緊決定因素了。但凸

輪有許多個(gè)，每一條曲線的形狀都影響性能，而性能也由許多指標(biāo)構(gòu)成。這比n維變量m

個(gè)目標(biāo)函數(shù)的非線性規(guī)劃難得多，盡管許多人在這些方面做了大量工作，但是本質(zhì)的問題

-數(shù)學(xué)模型的建立沒有解決。至今仍是應(yīng)用領(lǐng)域的一個(gè)有待解決的實(shí)際問題。

又有人提出?種方法，排氣管里的壓力波能充分決定整機(jī)的工作性能，經(jīng)研究這個(gè)壓力

波滿足熱傳導(dǎo)方程,而不一致的設(shè)計(jì)對應(yīng)著方程中參數(shù)a與初始條件、邊界條件的改變。反

過來確定a與一組初始條件、邊界條件也就相當(dāng)于進(jìn)行了一個(gè)設(shè)計(jì)。因此使用計(jì)算機(jī)模擬這

個(gè)熱傳導(dǎo)方程的進(jìn)展過程，在反復(fù)調(diào)整邊界與初始條件在模擬，尋找最優(yōu)的性能就是一種全

新的內(nèi)燃機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。

5、沖壓過程的有限元模型。沖壓是汽車、拖拉機(jī)等行業(yè)非常重要的加工手段，即板材

在壓力下加工成型。模具是蟲牙行業(yè)最重要的設(shè)備。成本最高，遠(yuǎn)超出常人的預(yù)想。一套模

具在設(shè)計(jì)、制造出來以后，它的性能已經(jīng)決定，不能更換.因此模具的設(shè)計(jì)與制造都是責(zé)任

很大的工作，技術(shù)性要求很高，能否在設(shè)計(jì)時(shí)用計(jì)算機(jī)模擬一下所設(shè)計(jì)的模具的工作性能

呢？這是當(dāng)今世界上公認(rèn)的難題之一。我國年輕學(xué)者胡平教授潛心鉆研近十年，基本上解決

了這?難題，世界上公認(rèn)他的成果處于首位。他是使用有限元?jiǎng)偠染仃嚦晒δM了瞬間的鋼

板變形，指出危險(xiǎn)應(yīng)力區(qū)與具體的應(yīng)力值，這樣反復(fù)修改設(shè)計(jì)、反復(fù)模擬，即可得到性能優(yōu)

良的模具設(shè)計(jì)。

6、到處都有數(shù)學(xué)模型的問題。不是只有那些大型、核心的問題才有數(shù)學(xué)模型問題。在

我們身邊到處都是需解決的問題。20年前中央發(fā)下的售房的價(jià)格通知中，有這樣一個(gè)公式,

根據(jù)房子成本價(jià)、使用年限與工齡等可算出應(yīng)售出的價(jià)格。公式中有一括號，括號內(nèi)是加減

運(yùn)算，其中一項(xiàng)是工齡，括號外是一乘法運(yùn)算，因子是用房子使用年限構(gòu)成的“成新率”，含

義是按使用年限對房屋進(jìn)行折舊。但是有心人馬上能看出公式有毛病；工齡也被折舊了！本

來對這樣一個(gè)簡單的公式，只要對大家都公平，沒有認(rèn)真推敲，也都明白這不是出于數(shù)學(xué)工

作者之手，不必求全責(zé)備?？善皇沁@樣，明顯看出這種公式對工齡越長、住房越久的人

越不公平。從這個(gè)問題更看出普及建模能力的必要性。

從以上我們能夠看出數(shù)學(xué)建模的威力，它正在滲透在科學(xué)研究、工、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、我們?nèi)?/p>

常生活等各方面。那么數(shù)學(xué)建模的精確定義是什么呢？

數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言與工具，對部分現(xiàn)實(shí)世界的信息（現(xiàn)象、數(shù)據(jù)）加以翻譯、

歸納的產(chǎn)物。數(shù)學(xué)模型通過演繹、求解與推斷，給出數(shù)學(xué)上的分析、預(yù)測、決策或者操縱,

再通過翻譯與解釋，回到現(xiàn)實(shí)世界中。最后，這些推論或者結(jié)果務(wù)必經(jīng)受實(shí)際的檢驗(yàn)，完成

實(shí)踐一一理論一一實(shí)踐這一循環(huán)，假如檢驗(yàn)的結(jié)果是正確或者基本正確的，即可用來指導(dǎo)實(shí)

際，否則，要重新考慮翻譯、歸納的過程，修改數(shù)學(xué)模型。

作為一種數(shù)學(xué)思考方法，數(shù)學(xué)模型是對現(xiàn)實(shí)的對象通過心智活利構(gòu)造出的一種能抓住其重要

而且有用的（常'甜是形象化的或者者是符號的）表示。更具體的，它是指關(guān)于現(xiàn)實(shí)世界的某

一特定對象，為了某個(gè)特定目的，做出一些必要的簡化與假設(shè)，動用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到的

一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。它或者者能解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實(shí)性態(tài)，或者者能預(yù)測對象的未來狀況，或者

者能提供處理對象的最優(yōu)決策或者操縱。

數(shù)學(xué)模型的分類方法有多種，下面介紹常用的兒種分類。

（1）按照建模所用的數(shù)學(xué)方法的不一致，可分為：人口模型、運(yùn)籌學(xué)模型、微分方程模型、

概率統(tǒng)計(jì)模型、操縱論模型等

（2）按照數(shù)學(xué)模型應(yīng)用領(lǐng)域內(nèi)不一致，可分為人口模型、交通模型、體育模型、經(jīng)濟(jì)預(yù)測

模型、金融模型、環(huán)境模型、生理模型、生態(tài)模型、企業(yè)管理模型等。

（3）按照人們對■建模機(jī)理的熟悉程度的不?致，有所謂的白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。

這是把研究對象比喻為一只箱子里的機(jī)關(guān)，我們要通過建模過程來揭示它的奧妙。白箱要緊

指物理、力學(xué)等?些機(jī)理比較清晰的學(xué)科描述的現(xiàn)象與相應(yīng)的工程技術(shù)問題，這些方面的數(shù)

學(xué)模型大多已經(jīng)建立起來，還需深入研究的要緊是針對具體問題的特定目的進(jìn)行修正與完

善，或者者是進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)與操縱等?；蚁湟o指生態(tài)、經(jīng)濟(jì)券領(lǐng)域中遇到的模型，人們對

其機(jī)理雖有所熟悉，但還不很清晰，故稱之灰箱模型。在建立與改進(jìn)模型方面還有很多工作

要做。黑箱要緊指生命科學(xué)、社會科學(xué)等領(lǐng)域中遇到的模型機(jī)理知之甚少，甚至完全不清晰,

故稱之黑箱模型。人們對其在工程技術(shù)與現(xiàn)代化管理中，有的時(shí)候會遇到這樣一類問題：由

于因素眾多、關(guān)系復(fù)雜與觀測困難等原因，人們也常常將它作為灰箱或者黑箱模型問題來處

理.應(yīng)該指出的是，這三者之間并沒有嚴(yán)格的界限，而且隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)展，情況也是不

斷變化的。

（1）按照模型的表現(xiàn)特性可分為：確定性與不確定性模型，不確定模型包含隨機(jī)性與模糊

性模型；靜態(tài)模型與動態(tài)模型；離散模型與連續(xù)模型；線性模型與非線性模型。

1.3建立數(shù)學(xué)模型的方法與步驟

現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問題是多種多樣的，而且大多比較復(fù)雜，因此建立數(shù)學(xué)模型需要什么

步驟并沒有固定的模式，建立數(shù)學(xué)模型的方法也是多種多樣的。但是建立數(shù)學(xué)模型的方法與

步驟也有一些共性的東西，掌握這些共同的規(guī)律，將有助于數(shù)學(xué)模型的建立。

一、數(shù)學(xué)建模的方法

數(shù)學(xué)建模的方法按大類來分，大體上可分為三類：

1、機(jī)理分析法

機(jī)理分析法就是根據(jù)人們對現(xiàn)實(shí)對象的熟悉與己有的知識、經(jīng)驗(yàn)等，分析研究對象中各

變量（因素）之間的因果關(guān)系，找出反映其內(nèi)部機(jī)理規(guī)律的一類方法。建立的模型常有明確

的物理或者現(xiàn)實(shí)意義。使用這種方法的前提是我們對研究對象的機(jī)理應(yīng)有一定的熟悉，模型

也要求具有反映內(nèi)在特征的物理意義。機(jī)理分析要針對具體問題來做，因而沒有統(tǒng)i的方法。

2、測試分析法

測試分析法是一種統(tǒng)計(jì)分析法。當(dāng)我們對研究對象視為一個(gè)“黑箱”系統(tǒng)，對系統(tǒng)的輸

入、輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行觀測，并以這些實(shí)測數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，按照一定準(zhǔn)則找出與數(shù)據(jù)

擬合最好的模型。當(dāng)我們對對象的內(nèi)部規(guī)律基本不清晰，模型也不需要反映內(nèi)部特征時(shí)，就

能夠用測試分析建立數(shù)學(xué)模型。測試分析有一套完整的數(shù)學(xué)方法。

3、綜合分析法

關(guān)于某些實(shí)際問題，人們常將上述兩種建模方法結(jié)合起來使用，比如用機(jī)理分析法確定

模型結(jié)構(gòu)，再用測試分析法確定其中的參數(shù)。

二、數(shù)學(xué)建模的基本步驟

1、模型準(zhǔn)備

對原始實(shí)際問題進(jìn)行調(diào)查熟悉，抽象出語言敘述的模型及相應(yīng)的數(shù)據(jù)條件等，常稱之原始模

型。（建模競賽經(jīng)常換為問題重述）實(shí)際上抽象出原始模型經(jīng)常常已對模型的進(jìn)一步建立及

求解有了?些辦法，比如使用哪種類型模型等。此步驟注意要將所有搜集到信息表述出來，

不得遺漏。

2、模型的假設(shè)

這是非常關(guān)鍵的步驟，不一致的假設(shè)將導(dǎo)致不一致的模型。利用合理的、必要的假設(shè),

可簡化模型使無法下手的問題易于解決。但過度的簡化而得到模型可能無有用價(jià)值，舍不得

簡化又可能導(dǎo)致得到一個(gè)無法求解的模型或者模型的解非常復(fù)雜，以致無法應(yīng)用。到底簡化

到什么程度要看問題的性質(zhì)與建模的目的與建立模型中的某些需要。這里要提醒注意的是：

關(guān)于一個(gè)假設(shè)，最重要的是它是否符合實(shí)際情況，而不是為熟悉決問題的方便。

通常做出合理假設(shè)的根據(jù)一是處于對問題內(nèi)在規(guī)律的認(rèn)識:二是來自對數(shù)據(jù)或者現(xiàn)象的

分析，也但是兩者的綠合.作假設(shè)時(shí)既要運(yùn)用與問題有關(guān)的物理、化學(xué)、生物、經(jīng)濟(jì)等方面

的知識，又要充分發(fā)揮想象力、洞察力與推斷力，善于辨別問題的主次，抓住要緊因素二舍

棄次要因素，盡量使問題簡化（比如線形化、均勻化等）。經(jīng)驗(yàn)在這里也常起重要作用

有些假設(shè)在建模過程中才會發(fā)現(xiàn)。因此在建模是要注意調(diào)整假設(shè)。

3、模型的建立

根據(jù)所做的假設(shè)，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，建立各個(gè)量之間的等式或者不等式關(guān)系，列出

表格，畫出圖形或者確定其他數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，是建立數(shù)學(xué)模型的第三步。為了完成這項(xiàng)數(shù)學(xué)模型

的主體工作，人們常常需要廣闊的應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，除了微積分、微分方程、線形代數(shù)及概率

統(tǒng)計(jì)等基礎(chǔ)知識外，還會用到諸如規(guī)劃論、排隊(duì)論、圖與網(wǎng)絡(luò)及計(jì)策論等。推而廣之，能夠

說任何一個(gè)數(shù)字分支都可能應(yīng)用到建模過程中。當(dāng)然，這并非是要求你對數(shù)學(xué)的各個(gè)分支都

熟知，事實(shí)上，建模時(shí)還有一個(gè)原則，即盡量使用簡單的數(shù)學(xué)工具，以便使更多的人熟悉與

使用。當(dāng)然建模時(shí)需要有靈活、清醒的頭腦與制造性思維的能力。

4、模型的求解

根據(jù)模型的性質(zhì)，選擇適當(dāng)方法去解?？赡苁墙馕龇椒?，也但是求近似解。再根據(jù)建模

目的對系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測，決策與操縱。

5、模型的檢驗(yàn)

把上述結(jié)果翻譯回原問題，并與實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷倪m用性與合理性。假如

模型不有用，務(wù)必從模型假設(shè)那里重新開始，直到得到可用模型。

6、模型的推廣

在一個(gè)領(lǐng)域里解決問題時(shí)建立的模型，常常簡單的稍加處理推廣到其他領(lǐng)域。討論一

下這方面內(nèi)容?？稍黾幽Ｐ偷膽?yīng)用價(jià)值。

1.4數(shù)學(xué)建模實(shí)例

1、動物數(shù)量預(yù)測

動物繁殖是一個(gè)非常復(fù)雜的問題，但是假如把影響繁殖的許多次要因素忽略掉或者簡單

化，能夠用微分方程來描述動物繁殖的近似規(guī)律，從而預(yù)測動物的未來數(shù)量。

現(xiàn)在考慮一種與外界完全隔絕的某種動物,這里所說的與外界完全隔絕是指他們中間除

了本族的出生與死亡之外，既無遷出也無遷入。設(shè)在/時(shí)間內(nèi)這種動物的數(shù)量為N,并設(shè)他

們的出生率與死亡率分別為〃與假設(shè)他們的出生數(shù)與死亡數(shù)都與r時(shí)的動物數(shù)及時(shí)間成

正比?，F(xiàn)在討論動物數(shù)N與時(shí)間，之間的函數(shù)關(guān)系。

：設(shè)&/時(shí)間間隔內(nèi)動物數(shù)量的增量為由題意，在，〃時(shí)間內(nèi)這類動物的出

生量與死亡量分別為nNdt與mNdt。根據(jù)

增量=出生量-死亡量

容易得到dN=nNdt-mNdt

即小=』一

(n-ni)N

假如處始條件為N|N=N。，解上變量可分離方程，

得p/=rv_^V

JoJN”—

或者寫成

N=&**哂

從上式看出，假如〃>小，則動物數(shù)量將無限增加：假如/〃>〃，則動物數(shù)量將逐步減少，

趨于滅亡。這樣的結(jié)論是非常大確實(shí)，事實(shí)決不可能如此簡單。為此生物學(xué)家及數(shù)學(xué)家根據(jù)

統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)對幾根作了修正，使節(jié)果能更符合事實(shí)。比如，設(shè)n=a-bN,m=p+qN,式

中a,。,均為正常數(shù)。上兩式說明出生率與死亡率已不再是常數(shù)。而是N的線性函數(shù)，

前者均勻隨減小，后者均勻隨N增加。這時(shí)方程(1?1)化為

6N=(a-bN)Ndi-(p+qN)Ndi

/\

dN=(b+q)N——--Ndt

1b+q7

令，則上式化為

k=b7+qj,=-C-l----p,

b+qdN=kN(l-N)dt

dN

即kdt

N(l-N)

11/111、、

積分上式（注意到=—(--------H------))

N(l-N)/l-NN

,「NdN

kdt=-----------

JoJ，％N(/-N)

得

1N,N。1

t=-r[lIn------In———]

Ikl-N「No

或者N%

M+a-N。)”

其中N。是，=0時(shí)的動物數(shù)，不論初值N0多少，當(dāng)-8時(shí)，N的極限總為I。

能夠用實(shí)驗(yàn)的方法對不一致的問題，像人口的增長、傳染病的發(fā)生率等來確定（1）式

的圖形。這個(gè)圖形稱之（Logistic）曲線。因此2004年的動物數(shù)量是174（百萬）只。

2、在越野賽中取勝的辦法

越野賽在湖邊舉行，場地情況如"中圖1-2：出發(fā)點(diǎn)在陸地A處，終點(diǎn)在湖心島8處,

A8南北相距5km,東西7km,湖岸位于A點(diǎn)南側(cè)2km,是一條東西走向的筆直長堤。比

賽中運(yùn)動員可自行選擇路線，但務(wù)必先從A出發(fā)到達(dá)長堤，再從長堤處下水游泳到達(dá)終點(diǎn)

8。已知運(yùn)動員甲跑步速度為1=18%〃//?,游泳速度為%=6公用〃。問他們應(yīng)該在長堤

的何處下水才能使比賽用時(shí)最少？

以長堤作為工軸建立直角坐標(biāo)系，A.B坐標(biāo)分別是A（0,2）,8（7,—3）。設(shè)甲在x

軸上R（x,0）處下.水，為使耗時(shí)最少，運(yùn)動員在陸上與水中的運(yùn)動路線應(yīng)該都取直線。

|A/?|_2+4

跑步耗時(shí)：yjx

~~"18

游泳耗時(shí)：\RB\_^1-X)2+9

全程總耗時(shí)：

?、硕鍋僆匹正

186

求x,使7（力達(dá)到極小。

dT_x1-x

^-1877746gx)2+9

令r(x)=O，得，=7r_.0<x<7口⑹

184+46^/(7-x)2+9

利用(1-6)可解出駐點(diǎn)人。

計(jì)算可知，[^—1加一6『+9s-

7⑹=蟲11_W*?0.8784(A)

類似可得了(0卜1.3804(/)7(7卜0.9045(%)比較端點(diǎn)與駐點(diǎn)處的值,可知x=6

時(shí)7(x)達(dá)到最小值。因此，甲應(yīng)該在x=6處下水，才能使比賽全程用時(shí)最少。

第二章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型

2.1線性規(guī)劃模型

數(shù)學(xué)規(guī)劃模型的通常表達(dá)式：

min(max)/(%,a,0

s/.g(x,a,0)?0

其中/為目標(biāo)函數(shù)，g為約束函數(shù)，x為可控變量，a為已知參數(shù)，夕為隨機(jī)參數(shù)。

數(shù)學(xué)規(guī)劃分為線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃等I?幾種。

--線性規(guī)劃的通常形式及其解的概念

1.線性規(guī)劃:通常把目標(biāo)函數(shù)及約束都是線性表達(dá)式的規(guī)劃問題稱之線性規(guī)劃，通?？杀硎?/p>

為：

minf=CjAj+c2x2十…十

4內(nèi)

a2xxx+a21x1+-+a2nxn<b2

……(1)

6”內(nèi)+《”2&+…工〃”

X,->0=

其中：。=(6,。2,…,q),，X=3,12,…，4二(%),”“，〃=(%,%，…，4,)7

則線性規(guī)劃模型(1)可表示為矩陣的形式：

minf=CTX

s.tAX<b(2)

X>0

2.線性規(guī)劃的可行解:滿足約束條件的解；

3.線性規(guī)劃的最優(yōu)解:使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)的可行解。

二.軟件求解命令

求解線性規(guī)劃的軟件很多，下面介紹Mathcmatica與MATLAB軟件。

(1)Mathematica命令

①可用于求解各類形式線性規(guī)劃命令。

命令輸入格式

c=c1x1+c2X2+...+cnxn?

++

m=(a]iX|+a|2X2...a]nxn<=b|,

+x++ax<=b;

am]x]?m22--?mnnmIConstrainedMin[c?m,{xj,X2,...,xn}l(用于求極小)

或者Constrained-Max[c,m,{x),X2?-■.?xn}J(用于求極大)

(2)MATLAB命令

命令輸入格式

X=lp(c,A,b,xLB,xUB,xo/iEq)它用于求解線性規(guī)劃模型：

minf=c'x

s.t\x=Z?!

A2X<b]

其中:xo是算法迭代的初始點(diǎn)可任意取，nEq表示等式約束的

個(gè)數(shù)。

三、模型示范

例1、（生產(chǎn)組織與計(jì)劃問題）某工廠計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，要緊材料有鋼材

3600kg、專用設(shè)備能力3000臺時(shí)。材料與設(shè)備能力的消耗定額與單位產(chǎn)品所獲利潤如下表

所示，問如何安排生產(chǎn)，才能使該廠所獲利潤最大（只需建立數(shù)學(xué)模型）。

產(chǎn)品》\產(chǎn)

甲（件）乙（件）現(xiàn)有材料與備

材料與設(shè)備能力

鋼材（kg）943600

銅材（kg）452000

設(shè)備能力（臺時(shí)）3103000

單位產(chǎn)品的利潤（元）70120

建模過程：

設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品計(jì)劃生產(chǎn)量分別為陽，/（件），總的利澗為z（元）。求變量芭，七的

maxz=7Ox,+120x,

SJ.9XI+4X2<3600

值為多少時(shí)，才能使總利潤z=70X]+120工最大？建立數(shù)學(xué)模型：4x,+5.r2<2000

3JV）+10x2<3000

Xj,x2>0

例2、（營養(yǎng)配餐問題）每種蔬菜含有的營養(yǎng)素成份是不一致的從醫(yī)學(xué)上明白每人每周對每

種營養(yǎng)成分的最低需求量。某醫(yī)院營養(yǎng)室在制定卜一周菜單時(shí).需要確定表6-1中所列六

種蔬菜的供應(yīng)量，以便使費(fèi)用最小而乂能滿足營養(yǎng)素等其它方面的要求。規(guī)定白菜的供應(yīng)?

周內(nèi)不多于20千克,其它蔬菜的供應(yīng)在一周內(nèi)不多于40千克,每周共需供應(yīng)140千克蔬菜,

為了使贄用最小又滿足營養(yǎng)素等其它方面的要求，問在卜一周內(nèi)應(yīng)當(dāng)供應(yīng)每種蔬菜各多少千

克？

建模過程：

設(shè)再a=1,???,6)分別表示在下一周內(nèi)應(yīng)當(dāng)供應(yīng)的青豆、橋蘿卜、菜花、白菜、甜菜及

土豆的量，則費(fèi)用的目標(biāo)函數(shù)為：=5用++8芻+2匕+

f5X26X5+3X6

建立數(shù)學(xué)模型：

minf=5x,+5x2+8/+2x4+6x5+3x6

s.t2+/+X3++再+/=140

0.45Xj+0.45.r2+1.05.r^+0.40.r4+0.50x5+0.50.ro>6

』叫一之

10+2859X3+25x4+22x5+75.%25

415$+9065%+2550%+75.+150+235.■17500

82+3X2+53X3+27X4+5x5+8x6>245

0.30x,+().35X2+O.6OX3+0.15%+0.25也+().80x6>5

0Wx]W40,0WX2W40,0WMW40,0WX4W20,0WX5W40,0W%W40

運(yùn)用MATLAB程序求解得青豆一40,胡羅卜一40.0000,菜花一0,白菜一20.0000,

甜菜T),土豆一40,最小費(fèi)用一56O.(XX)()。

例3、(背包問題)有〃件物品，編號為1,2,…，”-第i件重為價(jià)值為p,元。今一

裝包者欲將這些物品裝入一包，其質(zhì)量不能超過akg，問應(yīng)裝入哪幾件價(jià)值最大？

建模過程：

_J1將i物品裝包

，=[。不將i物品裝包’

建立模型：

maxz=Zp/j

一

?afXf<a

i=l

X,=0或l,i=1,2,…

例4、(投資場所的選定一一相互排斥的計(jì)劃)某公司擬在市東、西、南三區(qū)建立門市

部。擬議中有7個(gè)位置(點(diǎn))A(i=l,2,…,7)可供選擇。規(guī)定

在東區(qū)，由A1,A2,4三個(gè)點(diǎn)中至多選兩個(gè)；

在西區(qū)，由上兩個(gè)點(diǎn)中至少選一個(gè)：

在南區(qū)，由4,47兩個(gè)點(diǎn)中至少選一個(gè)。

如選用4點(diǎn)，設(shè)備投資估計(jì)為々元，每年可獲利潤估計(jì)為q元，但投資總額不能超過8

無。問應(yīng)選擇哪幾個(gè)點(diǎn)可使年利潤為最大？

建模過程：

引入0-1變量％(i=1,2,…,7),令

J,當(dāng)4.點(diǎn)被選中，…7

0,當(dāng)4?點(diǎn)沒被選中.’‘‘‘

建立模型:

7

maxZ=EG項(xiàng)

；=!

工GB

i=i

<1]+X2+玉)42

x4+A5>1

x6+x-j>1,xt=0或1

2.2非線性規(guī)劃模型

在數(shù)學(xué)規(guī)劃問題中，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)或者約束函數(shù)中至少有一個(gè)是非線性函數(shù)時(shí)稱這類問題

為非線性規(guī)劃。

一、非線性規(guī)劃的通常(標(biāo)準(zhǔn))形式

1.非線性規(guī)劃：設(shè)f,g(=12…,〃i),hj(j=1,2,...,/)均為R'上的實(shí)值函數(shù)，我們稱

min/(x)

(NLP}s.t.g.(x)<0,?=1,???,TH

%(x)=(),/=1,…,/

為非線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)(通常)形式。

2..可行域:假如令

C={xwR〃B(x)《O,4(x)=O,j=l,…,"7,/=l,??，/}

稱之可行域，則可(NLP)寫成簡單形式

(/VLP)min/(x)

3.無約束問題與約束問題：當(dāng)C=R"時(shí)，稱之無約束問題，否則稱之約束問題。

二.模型示范

例5、某裝飾材料公司欲以每桶2元的價(jià)錢購進(jìn)一批彩漆。通常來說隨著彩漆售價(jià)的

提高，預(yù)期銷售量將減少，并對此進(jìn)行了估算，見表1。為了盡快收回資金并獲得較多的贏

利，裝飾材料公司打算做廣告，投入一定的廣告費(fèi)后，銷售量將有一個(gè)增長，可由銷售增長

因子來表示。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，廣告費(fèi)與銷售增長因子關(guān)系見表2?，F(xiàn)在的問題是裝飾材料公司采

取如何的營銷戰(zhàn)略預(yù)期的利潤最大？

表1表2

件價(jià)《元）預(yù)期銷皙量（桶）廣告費(fèi)（元）銷售增長因子

2.?)41000

01.00

2.503XCXX)

100001.40

3.0034000

2000()1.70

3.5032000

300001.85

4.0()29000

400001.95

4.5028000

500002.(X)

5.0025000

600001.95

5.5022000

700001.80

6.0020000

建模過程：

設(shè)X表示售價(jià)（單位：元），），表示預(yù)期銷售量（單位：桶），Z表示廣告費(fèi)（單位：元）,

&表示銷售增長因子。投入廣告費(fèi)后，實(shí)際銷售量記為S，獲得的利潤記為尸（單位：元）。

由表1易見預(yù)期銷售量），隨著售價(jià)X的增加而單調(diào)下降，而銷售增長因子攵在開始時(shí)隨著

廣告費(fèi)Z的增加而增加，在廣告費(fèi)Z等于5000（）元時(shí)達(dá)到最大值，然后在廣告費(fèi)增加時(shí)反而

有所回落，為此可用Mathemalica畫出散點(diǎn)圖。

運(yùn)行之后，可顯示圖1,圖2

圖圖?2

400002.

35000.1，8.

?1.6

30000.

?1.4?

25000--c

3451234567

從圖1與圖2易見，售價(jià)x與預(yù)期銷售量y近似于一條直線，廣告費(fèi)z與銷售增長因子

2近似于一條二次曲線。為此可令：

y=a-\-bx

k=c+dz+ez2

系數(shù)是待定參數(shù)。

建立模型：

maxP=（c+dz+ez2）（a+Z?x）（x-2）-z

4x.z

s.tx>0,z>0

模型求解：

首先利用Mathematica計(jì)算（1）（2）中的參數(shù)a/,c,d,e,并畫出散點(diǎn)圖與擬合曲線。

文件名：ch622.ma

f3=Fit[dl.{l,x},x]

f4=Plot[f3,{xJ,7}]

Show[fl,f4]

f5=Fit[d2,{l,x,xA2},x]

f6=Plot[f5,{x,0,70000})

Show[f2,f6]

運(yùn)行之后，顯示

Out[3]=50422.2-5133.33x

Out[5]=1.01875+0.0000409226x-4.2559510-10x2

圖-3圖-4

45000

40000

35000

30000

25000

20000

即：

a=50422.2,〃=-5133.33

c=1.01875,1=4.09226xl0-5,<?=-4.25595xlO-10

其次用MATLAB求解優(yōu)化模型，因MATLAB中僅能求極小值，為此將優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化

為

min(-P)—z—(c+dz+ez2)(a+bx)(x-2)

SJx>0,z>0

且％=5.9113,z=33113,函數(shù)P達(dá)到最大值16670。

2.3多目標(biāo)規(guī)劃模型

一多目標(biāo)規(guī)劃模型的通常形式為

min(工(力,啟力,...力(%))，

<0(/=l,2,...,zr/)

叫/")=0(j=12..J)

稱之為多目標(biāo)規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型。

若記

g(X)=(4(x)D…,g,"(x))'

〃(x)=(%(工)也(x)，…，43)'

A=卜eE"\g(x)<O,/i(x)=o}

則上述模型可簡記為

min

匕）xe/?/(x)

二.模型示范

例1、投資收益與風(fēng)險(xiǎn)問題（這是全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的A題）。市場上有〃種資

產(chǎn)（股票、債券.....）號。=1，“”〃）供投資者選擇，某公司有數(shù)額為M的一筆相當(dāng)大的

資金可用作?個(gè)時(shí)間的投資。公司財(cái)務(wù)分析人員對S,種資產(chǎn)進(jìn)行評估，估算在這?時(shí)期內(nèi)

購買與有平均收益率為彳，并預(yù)測出購買S,的缺失率為4,??？紤]到投資分散，總的風(fēng)險(xiǎn)

越小，公司確定，當(dāng)用這筆資金購買若干種資產(chǎn)時(shí)，總體風(fēng)險(xiǎn)可用所投資的中的最大一

個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來度量。

購買與要付交易贄，費(fèi)率為心,同時(shí)當(dāng)購買額不超過給定值處時(shí)，交易費(fèi)按購買/計(jì)

算（不買當(dāng)然無須付費(fèi)）。另外，假定同期銀行存款利率是小且既無交易費(fèi)又無風(fēng)險(xiǎn)

（6=5%）0

（I）已知〃=4時(shí)的有關(guān)數(shù)據(jù)如下：

Sir,(%)%(%)Pi(%)Ui（兀）

S1282.51103

211.52198

s2

S3235.54.552

252.66.540

s4

試給該公司設(shè)計(jì)一種投資組合方案，即用給定的資金M,有選擇地購買若干種資產(chǎn)或者存

銀行生息，使凈收益盡可能大，而總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小。

（2）試就通常情況對以上問題進(jìn)行討論，利用下列數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。

s,號(%)%(%)Pi(%)%（元）Uj（元）

9.6422.1181181

s?18.5543.2407407

S,49.4606.0428428

S,23.9421.5549549

S38.11.27.6270270

S614393.4397397

S740.7685.6178178

又31.233.433.1220220

433.653.32.7475475

S1036.8402.9248248

11.8315.1195195

品95.55.7320320

兀35462.7267267

%9.45.34.5328328

幾15237.6131131

建模過程：

1.模型的假設(shè)及符號說明

（1）模型的假設(shè)

①在一個(gè)時(shí)期內(nèi)所給出的小保持不變。

②在一個(gè)時(shí)間內(nèi)所購買的各類資產(chǎn)（如股票、證券等）不進(jìn)行買賣交易，即在買入后不

再賣出。

③每種投資是否收益是相互獨(dú)立的。

④在投資過程中，不管盈利與否務(wù)必先付交易費(fèi)。

（2）符號說明

M（元）：公司現(xiàn)有投資總金額；

Sj=欲購買的第，種資產(chǎn)種類（其中i=0表示存入銀行）：（i=0,I-一,“）：

X,.（/=0,1,???,?）:公司購買$金額:

八（/=0,1,??.,/?）：公司購買，的平均收益率；

%（i=0,1,…,〃）：公司購買，的平均缺失率；

Pi（i=0」,…,〃）：公司購買S,超過對時(shí)所付交易費(fèi)率。

設(shè)購買S,的金額為七，所付的交易費(fèi)G（巧），令Co（%）=0.

0七=0

q（玉）={PMi0<%<（i=1~〃）

投資額〃相當(dāng)大，因此總能夠假定對每個(gè)Sj的投資占2%,這時(shí)（1）式可簡化為

￡（為）=化玉（/=0-n）

對S,投費(fèi)的凈收益

&（%）=q再-c（u）=*-P,）%（3）

對S,投資的風(fēng)險(xiǎn)

2G）=%占⑷

對S,投資所需資金（投資金額芭與所需的手續(xù)費(fèi)q（x,）之與）即

fi(%)=為+q(玉)=(1+pj%⑸

當(dāng)購買加的金額為巧(i=O,l,…,鹿)，投資組合4=(與內(nèi)，…,x”)的凈收益總額

心)=力心)(6)

/=0

整體風(fēng)險(xiǎn)：Q(x)=maxQ(x,)(7)

?4

資金約束：

F(x)=￡f?)=M(8)

r-0

2.數(shù)學(xué)模型

①為使凈收益總額R(x)盡可能大，而整體風(fēng)險(xiǎn)Q(%)又盡可能小，則該問題的數(shù)

學(xué)模型可歸為多目標(biāo)規(guī)劃模型，即

maxR(x)

min。(幻

s.tF(x)=M

x>Q

②假定投資者對風(fēng)險(xiǎn)——收益的相對偏好參數(shù)為夕，則模型(9)可轉(zhuǎn)化為：

minpQ(x)-(\-p)R(x)

?s.tF(x)=M(10)

x>0

③將總收益R(?與整體風(fēng)險(xiǎn)2(?相比，則模型(9)可化為:

R(x)

max

Q(x)

,s.tF(x)=M(H)

x>0

2.4動態(tài)規(guī)劃模型

一.最短路問題及其解法

如下圖所示，稱它為線路圖(網(wǎng)絡(luò)圖)。

6

1.問題

求一條從起點(diǎn)A到終點(diǎn)E的連通弧，使其總弧長最短一最短路問題。

2.意義

最短路問題的含義是很廣泛的，如點(diǎn)代表加油站，弧代表管道，弧長代表鋪設(shè)管道的費(fèi)

用。問題就變成讓我們設(shè)計(jì)一條從起點(diǎn)A到終點(diǎn)E的管道，使其總費(fèi)用最少。

3.特點(diǎn)

①從A到E整個(gè)過程可分為從A到B（B有二種選擇從B到C（C有四種選擇

Cl,C2,C3,C4）,從C到D（D有三種選擇DI,D2,D3）.在從D到E四個(gè)階段，是

一個(gè)多階段決策問題。

②每個(gè)階段都有起點(diǎn)，用乙表示第K階段的起點(diǎn)，并稱之狀態(tài)變量：每個(gè)階段都有終

點(diǎn)，前一段的終點(diǎn)就是后一段的起點(diǎn)。

③從每個(gè)起點(diǎn)出發(fā)（狀態(tài)出發(fā)），都有若干選擇（比如從B1出發(fā)有三種選擇），用人

表示從第K階段的狀態(tài)看出發(fā)所作的選擇并成為決策變量。決策變量全體成為決策集合（同

意決策集合），即為。

④假如用表示從第K階段的狀態(tài)4出發(fā)終點(diǎn)的最短弧長，或者者用fk（xk）表

示從起點(diǎn)到第K階段的狀態(tài)勺的最短弧長，則問題就變成求K（FX=力（A））或者者求出

八（％）（=/5（初）。

4.解法

①逆序解法：從后向前逐步求出各階段到終點(diǎn)E的最短路線與最短弧長，最后求出

即從最后一個(gè)階段K=4開始。

逆序解法：求

ZUi)

￡(%)=力(石)=。

k=4,)=3,/(。2)=2,/j(Z)3)=2

K=3,有4個(gè)狀態(tài)，每個(gè)狀態(tài)乂有兩個(gè)決策可選取，因此有

d(G，R)+〃R)6+3

力（G）=min、，=9

&G，3)+K(2)8+2

最短弧長為9,路徑為GTD1—E,決策為如（G）=Q。類似地有

6（G）=6；G->￡>1->石,〃3（G）=R

力（C3）=5；Gf2fE,〃3（G）=D?

力（C4）=5;GfD?—>E,w3（C4）=D2

K=2,有2個(gè)狀態(tài)，每個(gè)狀態(tài)又有3個(gè)決策可選，因此有

d（B[C）+f式C1）1+9

人（8J=mind（綜G）+A（G），=<3+6?=9

〃（旦,。3）+&（。3）6+5

B\—>C2―>2〃2(4)=G'(。2)=2,%()=E

/%。2)+&G)8+6

=<7+5卜12

^(B2)=min-d(B2,C3)+f3(C3)-

6+6

d(B29C4)+f3(C4)

坊一。3-。2一旦或者心—自一^^石

%（8）=C3,w3（C3）=2,%（2）=E

K=i

min狽⑻+加印

Z(A)=

[d（A,旦）+人（層）

那么從A到E的最短弧長為14,路徑為A一旦fJ—Qf石。

決策為%（A）=瓦,〃2（與）=，2，〃3（。2）=2，〃4（D|）=E

上述解法的四個(gè)步驟可歸納為下述地推公式

力(冬)=min｛或占,8+i)+/IeU,+1))

xkeDk

f5(x5)=O,k=4,3,2,1

其中8+1=%（S）。

②順序解法：從前逐步求出從起點(diǎn)A到個(gè)階段起點(diǎn)的最短弧長及其對應(yīng)的路徑。

最后求出力（%）=%（E）。

二.動態(tài)規(guī)劃的基本概念

1.多階段決策問題，狀態(tài)變量修，同意決策變量修，決策集合?！缸顑?yōu)函數(shù)人（占）

這些概念在前面的例中都已介紹過不再重復(fù)。需補(bǔ)充說明的是狀態(tài)變量務(wù)必滿足無后效性

（即馬爾科夫性）條件。即：給定某一階段的狀態(tài)，以后各階段的行進(jìn)不受往常個(gè)階段狀態(tài)

的影響。

2.階段指標(biāo)：用，/="（占+「%）表示狀態(tài)5與狀態(tài)匕間對應(yīng)的指標(biāo)，并稱之階段指標(biāo)。

3.策略：當(dāng)每一階段的策略部確定以后，由初始狀態(tài)內(nèi)出發(fā)到終止?fàn)顟B(tài)乙每階段的決策

所構(gòu)成的決策序列就成為一個(gè)整體策略，簡稱策略。

記為〃"={〃（。），?,?/（七）}，而0.“={/區(qū)）「一，/氏）}稱之子策略。達(dá)到最優(yōu)

的策略成為最優(yōu)策略。

4.狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：把過程由一個(gè)狀態(tài)變到另一個(gè)狀態(tài)的變化叫做狀態(tài)轉(zhuǎn)移。它與狀態(tài)有美，

由與策略有關(guān)。逆序時(shí)，假如第K階段的狀態(tài).5t與決策人都確定以后，第K+1階段的狀

態(tài)就隨之確定，那么把這個(gè)對應(yīng)稱之狀態(tài)裝移方程，記為巧1=?。?，〃1）。最短

路問題的狀態(tài)裝移方程是Xi=〃1（七）。

5.指標(biāo)函數(shù)：用來衡量所實(shí)現(xiàn)過程優(yōu)劣的一種指標(biāo)成為指標(biāo)函數(shù)，用a,”或者耳/表示。指

標(biāo)函數(shù)有與與積二種形式。又分逆序與順序二種情形。即

Fk,n=2力巧，勺）

j=k逆序情形

Fk.n=立〃（巧”）

i

k'

F\.k=Zd（WjT）

順序情形

J=2A

k

%=口4（%,唯）

j=2J

6.動態(tài)規(guī)劃方程：

（1）逆序情形：

fk（Z）=Opt{d{xk,nk）+fk+1（%+］）}

力+］（工+1）=0,（左=〃，〃一1,???2,1）

fk（Z）=Opt{d（xk,以）?fz（%））

fn+\（X〃+］）=1,（A=〃，〃-L???2,1）

(2)順序情形

￡(%)=Opt{d?，k)?九@J

“AT