第1頁（共1頁）2025年吉林省長春市南湖實驗中學中考數(shù)學三模試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）1．（3分）下列實數(shù)中，比﹣2小的數(shù)是（）A．﹣3.5 B．﹣1 C．0 D．2．（3分）如圖所示的正六棱柱，其俯視圖是（）A． B． C． D．3．（3分）如圖，畫直線b∥a的操作過程，依據(jù)的數(shù)學基本事實（）A．同位角相等，兩直線平行 B．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 C．如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行 D．過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行4．（3分）下列計算正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a6 B．a(chǎn)5÷a＝a4 C．（3a）2＝6a2 D．（a+1）2＝a2+15．（3分）如圖，在下面的四個盒子中，每個盒子里都有兩根小棒，這兩段小棒再與另一根小棒首尾相接，能夠圍成一個三角形的是（）A． B． C． D．6．（3分）伊通河作為長春市的“母親河”全長約343公里．某數(shù)學興趣小組為測量伊通河某段河道的寬度，利用無人機在岸邊A點處垂直上升60米到達點B處懸停，測得河對岸C點的俯角為α（）A．60sinα B．60tanα C． D．7．（3分）如圖，在△ABC中，以點B為圓心，分別交邊AB，BC于點D，E為圓心，大于，交△ABC內(nèi)部于點F．連結(jié)AF，CF，添加下列條件，不能使AG＝CG成立的是（）A．BA＝BC B．∠BAG+∠CBG＝90° C．BA＝BG D．∠BAF＝∠BCF8．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，BD＝3CD．函數(shù)的圖象經(jīng)過點D及矩形OABC的對稱中心M，則k的值為（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）9．（3分）分解因式：2a2﹣8＝．10．（3分）如圖，由內(nèi)到外依次為正方形A，B，C，若A的面積為2，則B的邊長可以是整數(shù)．11．（3分）如圖，PA，PB是⊙O兩條切線，點B．若∠P＝40°，⊙O的半徑為2，則．12．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過（1，0），（﹣3，0），若y隨x的增大而減小．13．（3分）如圖，在平行四邊形紙片ABCD中，AB＝3cm，折疊后的邊BF與CD交于點E，此時△BCE恰為等邊三角形．14．（3分）如圖，以點O為圓心的兩個同心圓中，AB為大圓的直徑（點C靠近點A），大圓的弦AE與小圓相切于點P，連結(jié)CP、DP．給出下面五個結(jié)論：①AP＝EP；③AP2＝AC?CD；④當時，若AB＝8；⑤連結(jié)ED、EB，當PC∥ED時，正確結(jié)論的序號有．三、解答題（本大題共10小題，共78分）15．（6分）先化簡，再求值：（a﹣1）2﹣a（a+1），其中a＝﹣3．16．（6分）一個不透明的口袋中裝有紅，黃，白小球各1個，小球除顏色外其余均相同，記下顏色后放回，再隨機摸出一個小球（或列表）的方法．求出兩次摸出小球的顏色相同的概率．17．（6分）某工廠計劃制作3000個玩偶擺件，為了盡快完成任務，實際平均每天完成的數(shù)量是原計劃的1.5倍，問原計劃平均每天制作多少個擺件？18．（7分）如圖，在Rt△ABC中，兩銳角的平分線AD，DE⊥BC于點E，DF⊥AC于點F．求證：四邊形DECF是正方形．19．（7分）為增強學生的社會實踐能力，促進學生全面發(fā)展，某校計劃建立小記者站，每項測試均由七位評委打分，取平均分作為該項的測試成績小華、小明的三項測試成績和總評成績?nèi)绫?，這20名學生的總評成績頻數(shù)分布直方圖（每組含最小值，不含最大值）如圖所示．選手測試成績/分總評成績/分采訪寫作攝影小華83728078小明8684▲▲（1）在攝影測試中，七位評委給小明打出的分數(shù)如下：67，72，69，74，71．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是分，眾數(shù)是分，平均數(shù)是分；（2）請你計算小明的總評成績；（3）學校決定根據(jù)總評成績擇優(yōu)選拔12名小記者．試分析小華、小明能否入選，并說明理由．20．（7分）圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C，用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖：（1）如圖①，在AB上畫一點E，連結(jié)DE；（2）如圖②，在AB上畫一點F，連結(jié)DF；（3）如圖③，在AB上畫一點M，連結(jié)CM，使∠AMD＝∠BMC．21．（8分）甲、乙兩家快遞站分別接到了對自己所轄范圍派送快遞各4000件的任務．甲快遞站前期先派送了500件后，乙快遞站才開始派送，且甲、乙兩家快遞站的派送速度相同．甲快遞站經(jīng)過a小時后共派送快遞2500件，接下來派送速度變慢，結(jié)果10小時完成派送任務．乙快遞站8小時完成派送任務．在某段時間內(nèi)（件）與派送時間x（小時）之間的關(guān)系如圖所示．（1）件，a的值為；（2）甲快遞站派送速度變慢后，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（3）當乙快遞站完成派送任務時，求甲快遞站未派送的快遞件數(shù)．22．（9分）【問題呈現(xiàn)】小明在做一道數(shù)學題時遇到了一個問題：如圖①，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CE．連結(jié)BE、CD，試探究BE+CD的最小值．【問題分析】小明通過構(gòu)造全等三角形，將雙動點問題轉(zhuǎn)化為單動點問題，利用B、E、F三點線【問題解決】如圖②，過C點作CF∥AB，且CF＝AC；在【問題呈現(xiàn)】的條件下，完成下列問題：（1）證明：△ACD≌△CFE．（2）BE+CD的最小值為．【方法運用】如圖③，在菱形ABCD中，AB＝3，E、F分別是邊AB、AC上的兩個動點，AE＝CF．連結(jié)BF、CE．【拓展遷移】如圖④，在等邊△ABC中，CD是高，點F在邊AC上，CE＝AF，BF，若，則AE+BF的最小值為．23．（10分）如圖，在Rt△ABC中，CA＝CB＝6．點P是△ABC邊上一點，以PB為斜邊構(gòu)造等腰直角△PBD，使點D在直線AB的上方（1）當點P在CA上時，∠BCD∠A．（填“＞”“＜”“＝”）（2）當∠PDC＝30°時，求的值．（3）當點P在CA邊上時，若PB＝2CD，求∠CBP的度數(shù)．（4）當∠CPD是銳角且時，直接寫出CP的長度．24．（12分）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y＝x2﹣2與直線l：y＝2交于M、N兩點（M在N的左側(cè)），點A在拋物線上，橫坐標為m（m＞0），連結(jié)AB．（1）點M的坐標為；點N的坐標為；（2）當點B與點N重合時，求m的值；（3）以AB為對角線構(gòu)造矩形OACB，過點O作AB的垂線交邊AC（或BC）于點D．①當點D在AC邊上時，若點B到y(tǒng)軸的距離為3，求的值；②當時，請直接寫出m的取值范圍．

2025年吉林省長春市南湖實驗中學中考數(shù)學三模試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案A．CABACCB一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）1．（3分）下列實數(shù)中，比﹣2小的數(shù)是（）A．﹣3.5 B．﹣1 C．0 D．【解答】解：A．∵|﹣3.5|＝5.5，3.3＞2，故符合題意；B．∵|﹣1|＝2，1＜2，故不符合題意；C．8＞﹣2；D．＞﹣8；故選：A．2．（3分）如圖所示的正六棱柱，其俯視圖是（）A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)圖示的正六棱柱可得其俯視圖是，故選：C．3．（3分）如圖，畫直線b∥a的操作過程，依據(jù)的數(shù)學基本事實（）A．同位角相等，兩直線平行 B．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 C．如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行 D．過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行【解答】解：根據(jù)作圖過程可知：畫圖的依據(jù)是：同位角相等，兩直線平行．故選：A．4．（3分）下列計算正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a6 B．a(chǎn)5÷a＝a4 C．（3a）2＝6a2 D．（a+1）2＝a2+1【解答】解：a2?a3＝a4，則A不符合題意，a5÷a＝a4，則B符合題意，（4a）2＝9a7，則C不符合題意，（a+1）2＝a6+2a+1，則D不符合題意，故選：B．5．（3分）如圖，在下面的四個盒子中，每個盒子里都有兩根小棒，這兩段小棒再與另一根小棒首尾相接，能夠圍成一個三角形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、圖中小棒被剪刀剪成兩段，這兩段相減比上面那根木棒短，可以圍成三角形；B、圖中小棒被剪刀剪成兩段，不符合三角形的三邊關(guān)系，不符合題意；C、圖中小棒被剪刀剪成兩段，不符合三角形的三邊關(guān)系，不符合題意；D、圖中小棒被剪刀剪成兩段，不符合三角形的三邊關(guān)系，不符合題意．故選：A．6．（3分）伊通河作為長春市的“母親河”全長約343公里．某數(shù)學興趣小組為測量伊通河某段河道的寬度，利用無人機在岸邊A點處垂直上升60米到達點B處懸停，測得河對岸C點的俯角為α（）A．60sinα B．60tanα C． D．【解答】解：∵BD∥AC，∴∠C＝a．在Tt△ABC中，∵tanC＝，∴AC＝＝．故選：C．7．（3分）如圖，在△ABC中，以點B為圓心，分別交邊AB，BC于點D，E為圓心，大于，交△ABC內(nèi)部于點F．連結(jié)AF，CF，添加下列條件，不能使AG＝CG成立的是（）A．BA＝BC B．∠BAG+∠CBG＝90° C．BA＝BG D．∠BAF＝∠BCF【解答】解：根據(jù)題中所給的作圖步驟可知，BG是△ABC的角平分線，即∠ABG＝∠CBG．當BA＝BC時，又∠ABG＝∠CBG，所以△ABG≌△CBG（SAS），所以AG＝CG，故A選項不符合題意．當∠BAG+∠CBG＝90°時，因為∠ABG＝∠CBG．所以∠BAG+∠ABG＝90°，∴∠AGB＝90°，∴∠AGB＝∠AGC＝90°，又∠ABG＝∠CBG，且BG＝BG，所以△ABG≌△CBG（ASA），所以AG＝CG，故B選項不符合題意．當BA＝BG時，不能使AG＝CG成立，故C選項符合題意．當∠BAF＝∠BCF時，因為∠ABG＝∠CBG，BF＝BF，所以△ABF≌△CBF（AAS），所以AB＝CB，因為∠ABG＝∠CBG，所以AG＝CG，故D選項不符合題意．故選：C．8．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，BD＝3CD．函數(shù)的圖象經(jīng)過點D及矩形OABC的對稱中心M，則k的值為（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：如圖，連接BM．∵矩形OABC的對稱中心是點M，∴點O、M、B三點共線，∵△DOM的面積為4.5，∴△DOB的面積為6，∵BD＝3CD．∴S△COD＝3，∴k＝2S△COD＝6，故選：B．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）9．（3分）分解因式：2a2﹣8＝2（a+2）（a﹣2）．【解答】解：2a2﹣4＝2（a2﹣7）＝2（a+2）（a﹣3），故答案為：2（a+2）（a﹣7）．10．（3分）如圖，由內(nèi)到外依次為正方形A，B，C，若A的面積為2，則B的邊長可以是整數(shù)2．【解答】解：∵A的面積為2，C的面積為5，∴A的邊長為，C的邊長為，∴＜B的邊長＜，∴B的邊長可以是整數(shù)2，故答案為：2．11．（3分）如圖，PA，PB是⊙O兩條切線，點B．若∠P＝40°，⊙O的半徑為2，則π．【解答】解：連接OA、OB，∵PA，PB是⊙O兩條切線，點B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣40°＝140°，∴的長度＝＝π．故答案為：π．12．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過（1，0），（﹣3，0），若y隨x的增大而減小x＞﹣1．【解答】解：由題意，∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過（2，0），0），∴對稱軸是直線x＝＝﹣6．又∵結(jié)合圖象開口向下，∴當x＜﹣1時，y隨x的增大而增大，y隨x的增大而減小．∴若y隨x的增大而減小，則x＞﹣1．故答案為：x＞﹣6．13．（3分）如圖，在平行四邊形紙片ABCD中，AB＝3cm，折疊后的邊BF與CD交于點E，此時△BCE恰為等邊三角形cm2．【解答】解：∵△BCE是等邊三角形，∴∠C＝60°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C＝60°，CD∥AB，∴∠EDB＝∠DBF，由翻折可知，∠ABD＝∠DBF，∴∠EDB＝∠EBD，∴ED＝EB＝EC，∴∠DBC＝90°，∵AD∥BC，∴BD⊥AF，∴A，D，F(xiàn)共線，∵BA＝BF，∠A＝60°，∴△ABF是等邊三角形，∴AB＝AF＝3cm，∴AD＝DF＝1.7cm，∵∠DBC＝90°，BC＝AD＝1.5cm，∴BD＝BC＝，∵DE＝EC，∴S△DEB＝S△DCB＝××＝（cm2）14．（3分）如圖，以點O為圓心的兩個同心圓中，AB為大圓的直徑（點C靠近點A），大圓的弦AE與小圓相切于點P，連結(jié)CP、DP．給出下面五個結(jié)論：①AP＝EP；③AP2＝AC?CD；④當時，若AB＝8；⑤連結(jié)ED、EB，當PC∥ED時，正確結(jié)論的序號有①②⑤．【解答】解：①連接OP，如圖1所示：∵AE與小圓相切于點P，∴OP⊥AE，根據(jù)垂徑定理得：AP＝EP，故結(jié)論①正確；②∵AE是小圓的切線，∴根據(jù)弦切角定理得：∠APC＝∠ADP，故結(jié)論②正確；③在△APC和△ADP中，∠APC＝∠ADP，∠PAC＝∠DAP，∴△APC∽△ADP，∴＝，∴AP2＝AC?AD，∵AD＞CD，∴AP7≠AC?CD，故結(jié)論③不正確；④連接OP，BE當時，則∠B＝2∠A，∵AB是大圓的直徑，∴∠E＝90°，在Rt△ABE中，AB＝2，∴∠A+2∠A＝90°，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，BE＝，∵OP⊥AE，∴∠OPA＝∠E＝90°，∴OP∥BE，∴∠AOP＝∠B＝60°，∵AP＝EP，∴OP是△ABE的中位線，∵OP＝BE＝7，∴小圓中半圓的面積為：π?OP2＝＝2π，∵OC＝OP＝OD＝4，∠AOP＝∠B＝60°，∴△OPC是等邊三角形，∴PC＝OP＝2，在Rt△CDP中，由勾股定理得：PD＝＝＝，∴△CDP的面積為：PC?PD＝＝，∴圖中陰影部分的面積和為：，故結(jié)論④不正確；⑤連結(jié)ED、EB，過點D作DH⊥AE于點H，如圖3所示：設(shè)小圓的半徑為r，則OP＝OC＝OD＝r，CD＝2r，∵PC∥ED，AP＝EP，∴PC是△ADE的中位線，∵AC＝CD＝6r，∴OA＝OC+AC＝3r，∴OB＝OA＝3r，∴BD＝OB﹣OD＝5r，AD＝OA+OD＝4r，在Rt△AOP中，由勾股定理得：AP＝＝＝，∴AP＝EP＝，∴AE＝AP+EP＝，∵OP⊥AE，DH⊥AE，∴OP∥DE，∴△AOP∽△ADH，∴＝，∴DH＝＝＝，∴S△EPD＝EP?DH＝＝；∵OP⊥AE，EQ⊥AB，∴∠OPA＝∠EQA＝90，又∵∠A＝∠A，∴△OPA∽△EQA，∴＝，∴EQ＝＝＝，∴S△EBD＝BD?EQ＝＝，∴S△EPD＝S△EBD＝，故結(jié)論⑤正確，綜上所述：正確的結(jié)論序號是①②⑤．故答案為：①②⑤．三、解答題（本大題共10小題，共78分）15．（6分）先化簡，再求值：（a﹣1）2﹣a（a+1），其中a＝﹣3．【解答】解：（a﹣1）2﹣a（a+8）＝a2﹣2a+7﹣a2﹣a＝﹣3a+4，當a＝﹣3時，原式＝﹣3×（﹣2）+1＝10．16．（6分）一個不透明的口袋中裝有紅，黃，白小球各1個，小球除顏色外其余均相同，記下顏色后放回，再隨機摸出一個小球（或列表）的方法．求出兩次摸出小球的顏色相同的概率．【解答】解：共9種情況，兩次摸出小球的顏色相同的情況有3種情況．17．（6分）某工廠計劃制作3000個玩偶擺件，為了盡快完成任務，實際平均每天完成的數(shù)量是原計劃的1.5倍，問原計劃平均每天制作多少個擺件？【解答】解：設(shè)原計劃平均每天制作x個擺件，根據(jù)題意得：＝+2，∴4500＝3000+7.5x，∴8.5x＝1500，∴x＝200，經(jīng)檢驗x＝200是方程的解，且符合題意．∴原計劃平均每天制作200個擺件．18．（7分）如圖，在Rt△ABC中，兩銳角的平分線AD，DE⊥BC于點E，DF⊥AC于點F．求證：四邊形DECF是正方形．【解答】證明：過點D作DH⊥AB于點H，如圖所示：∵DE⊥BC于點E，DF⊥AC于點F，∴∠DEC＝∠DFC＝∠C＝90°，∴四邊形DECF是矩形，∵BD平分∠ABC，AD平分∠BAC，DF⊥AC，∴DE＝DH，DH＝DF，∴DE＝DF，∴矩形DECF是正方形．19．（7分）為增強學生的社會實踐能力，促進學生全面發(fā)展，某校計劃建立小記者站，每項測試均由七位評委打分，取平均分作為該項的測試成績小華、小明的三項測試成績和總評成績?nèi)绫?，這20名學生的總評成績頻數(shù)分布直方圖（每組含最小值，不含最大值）如圖所示．選手測試成績/分總評成績/分采訪寫作攝影小華83728078小明8684▲▲（1）在攝影測試中，七位評委給小明打出的分數(shù)如下：67，72，69，74，71．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是69分，眾數(shù)是69分，平均數(shù)是70分；（2）請你計算小明的總評成績；（3）學校決定根據(jù)總評成績擇優(yōu)選拔12名小記者．試分析小華、小明能否入選，并說明理由．【解答】解：（1）七位評委給小明打出的分數(shù)從小到大排列為：67，68，69，72，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是69分，眾數(shù)是69分，平均數(shù)是＝70（分）；故答案為：69，69；（2）＝82（分），答：小明的總評成績?yōu)?2分；（3）不能判斷小華能否入選，但是小明能入選由20名學生的總評成績頻數(shù)分布直方圖可知，小于80分的有10人、小明82分，所以不能判斷小華能否入選，但是小明能入選．20．（7分）圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C，用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖：（1）如圖①，在AB上畫一點E，連結(jié)DE；（2）如圖②，在AB上畫一點F，連結(jié)DF；（3）如圖③，在AB上畫一點M，連結(jié)CM，使∠AMD＝∠BMC．【解答】解：如圖：（1）點E即為所求；（2）點F即為所求；（3）點M即為所求．21．（8分）甲、乙兩家快遞站分別接到了對自己所轄范圍派送快遞各4000件的任務．甲快遞站前期先派送了500件后，乙快遞站才開始派送，且甲、乙兩家快遞站的派送速度相同．甲快遞站經(jīng)過a小時后共派送快遞2500件，接下來派送速度變慢，結(jié)果10小時完成派送任務．乙快遞站8小時完成派送任務．在某段時間內(nèi)（件）與派送時間x（小時）之間的關(guān)系如圖所示．（1）500件，a的值為4；（2）甲快遞站派送速度變慢后，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（3）當乙快遞站完成派送任務時，求甲快遞站未派送的快遞件數(shù)．【解答】解：（1）由圖象可知，4000÷8＝500（件），∵甲、乙兩家快遞站的派送速度相同，∴，故答案為：500；6．（2）甲快遞站派送速度變慢后，設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y＝kx+b（k≠0，k，由圖象可知，該函數(shù)圖象經(jīng)過點（4，（10，則，解得，∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y＝250x+1500．（3）當x＝8時，y＝250×8+1500＝3500，4000﹣3500＝500（件），答：當乙快遞站完成派送任務時，甲快遞站未派送的快遞有500件．22．（9分）【問題呈現(xiàn)】小明在做一道數(shù)學題時遇到了一個問題：如圖①，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CE．連結(jié)BE、CD，試探究BE+CD的最小值．【問題分析】小明通過構(gòu)造全等三角形，將雙動點問題轉(zhuǎn)化為單動點問題，利用B、E、F三點線【問題解決】如圖②，過C點作CF∥AB，且CF＝AC；在【問題呈現(xiàn)】的條件下，完成下列問題：（1）證明：△ACD≌△CFE．（2）BE+CD的最小值為．【方法運用】如圖③，在菱形ABCD中，AB＝3，E、F分別是邊AB、AC上的兩個動點，AE＝CF．連結(jié)BF、CE．【拓展遷移】如圖④，在等邊△ABC中，CD是高，點F在邊AC上，CE＝AF，BF，若，則AE+BF的最小值為．【解答】【問題解決】（1）證明：過C點作CF∥AB，且CF＝AC，如圖②﹣1所示：∴∠CAD＝∠FCE，在△ACD和△CFE中，，∴△ACD≌△CFE（SAS）；（2）解：連接BF，過點F作FH⊥BA于點H∴∠H＝90°，在△ABC中，∠BAC＝90°，∴∠CAD＝∠FCE＝∠H＝90°，∴四邊形ACFH是矩形，又∵CF＝AC＝4，∴矩形ACFH是正方形，∴FH＝AH＝AC＝2，∴AH＝AB+AH＝8，在Rt△BHF中，由勾股定理得：BF＝＝＝，∵△ACD≌△CFE，∴CD＝FE，∴BE+CD＝BE+FE，∴當BE+FE為最小時，BE+CD為最小，根據(jù)“兩點之間，線段最短”得：BE+FE≥BF＝，∴當B，E，F(xiàn)共線時，最小值為，∴BE+CD的最小值為，故答案為：；【方法運用】解：連接BD交AC于點O，連接DF∵四邊形ABCD是菱形，∠ADC＝60°，∴AB＝BC＝CD＝AD＝8，AC⊥BD，BD＝2OD，∴△ACD和△ABC都是等邊三角形，∴AC＝CD＝3，∠EAC＝∠FCD＝60°，∴OA＝OC＝AC＝，在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD＝＝＝，∴BD＝2OD＝＝，在△AEC和△CFD中，，∴△AEC≌△CFD（SAS），∴CE＝DF，∴BF+CE＝BF+DF，∴當BF+DF為最小時，BF+CE為最小，根據(jù)“兩點之間，線段最短”得：BF+DF≥BD＝，∴當B，F(xiàn)，D共線時，最小值為，∴BF+CE的最小值為，故答案為：；【拓展遷移】解：過點A作AP⊥AB，且使AP＝AB，PB∵△ABC是等邊三角形，CD是高，∴AB＝BC＝AC＝，∠BAC＝60°，在Rt△ACD中，∠ACE＝90°﹣∠BAC＝30°，∵AP⊥AB，AP＝AB＝，∴∠BAP＝90°，∴△ABP是等腰直角三角形，由勾股定理得：BP＝＝AB，∴BP＝＝，∵∠PAF＝∠BAP﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∴∠PAF＝∠ACE＝30°，在△PAF和△ACE中，，∴△PAF≌△ACE（SAS），∴PF＝AE，∴AE+BF＝PF+BF，∴當PF+BF為最小時，AE+BF為最小，根據(jù)“兩點之間，線段最短”得：PF+BF≥BP＝，∴當B，F(xiàn)，P共線時，最小值為，∴AE+BF的最小值為，故答案為：．23．（10分）如圖，在Rt△ABC中，CA＝CB＝6．點P是△ABC邊上一點，以PB為斜邊構(gòu)造等腰直角△PBD，使點D在直線AB的上方（1）當點P在CA上時，∠BCD＝∠A．（填“＞”“＜”“＝”）（2）當∠PDC＝30°時，求的值．（3）當點P在CA邊上時，若PB＝2CD，求∠CBP的度數(shù)．（4）當∠CPD是銳角且時，直接寫出CP的長度．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，CA＝CB＝6，∴，∠ABC＝∠PBD＝45°，∴∠PBD﹣∠PBC＝∠ABC﹣∠PBC，即∠DBC＝∠ABP，∴△BDC∽△BPA，∴∠BCD＝∠A＝45°，故答案為：＝；（2）如圖，當點P在BC上時，設(shè)BD＝PD＝x，則，∵△PBD是等腰直角三角形，且∠BDP＝90°，∴∠PBD＝∠BPD＝45°，∵DG⊥BC，∴∠BGD＝∠CGD＝90°，∴DG＝BD＝x，∵∠BPD＝45°，∴∠PDG＝45°，∴△PGD是等腰直角三角形，∴PG＝DG＝x，∵∠PCD＝30°，∴，∴PC＝CG﹣PG＝x﹣，∴；如圖，當點P在AB上時，同理：，設(shè)BD＝PD＝y(tǒng)，∵∠PCD＝30°，∠PDC＝90°，∴，∴，∴；綜上，的值為或；（3）過點P作PH⊥AB于點H，設(shè)CD＝a，則PB＝2a，由（1）知△BDC﹣△BPA，∴，∴，∴∠A＝45°，∠AHP＝90°，∴△APH是等腰直角三角形，∴PH＝AH＝a，∵∠PHB＝90°，∴，∴∠ABP＝30°，