2025年大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試題庫(kù)：卡方檢驗(yàn)在統(tǒng)計(jì)推斷中的數(shù)據(jù)分析與解讀試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共20小題，每小題2分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的。請(qǐng)把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。）1.在進(jìn)行卡方檢驗(yàn)時(shí)，如果期望頻數(shù)過小，可能會(huì)導(dǎo)致什么后果？A.檢驗(yàn)結(jié)果過于保守B.檢驗(yàn)結(jié)果過于激進(jìn)C.無(wú)法得出有效結(jié)論D.檢驗(yàn)結(jié)果不受影響2.以下哪種情況下適合使用卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)？A.比較兩個(gè)連續(xù)變量的相關(guān)性B.分析兩個(gè)分類變量之間是否存在關(guān)聯(lián)C.評(píng)估一個(gè)分類變量的均值差異D.檢驗(yàn)正態(tài)分布的均值是否顯著偏離假設(shè)值3.卡方檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量χ2的計(jì)算公式中，分子代表什么？A.觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)的差值B.觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)的平方差值C.觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)的比值D.觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)的乘積4.在卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)中，自由度的計(jì)算方法是什么？A.類別總數(shù)減1B.類別總數(shù)乘以2C.類別總數(shù)加1D.總樣本量減15.當(dāng)卡方檢驗(yàn)的p值小于0.05時(shí)，通常意味著什么？A.兩個(gè)分類變量之間沒有顯著關(guān)聯(lián)B.兩個(gè)分類變量之間存在顯著關(guān)聯(lián)C.觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)完全一致D.數(shù)據(jù)可能存在異常值6.在進(jìn)行卡方檢驗(yàn)前，需要滿足哪些前提條件？A.樣本量足夠大，且每個(gè)類別的期望頻數(shù)都不小于5B.數(shù)據(jù)必須符合正態(tài)分布C.類別之間必須相互獨(dú)立D.變量必須是連續(xù)型7.卡方檢驗(yàn)的拒絕域位于統(tǒng)計(jì)量的哪一側(cè)？A.左側(cè)B.右側(cè)C.雙側(cè)D.中間8.在卡方同質(zhì)性檢驗(yàn)中，假設(shè)檢驗(yàn)的原假設(shè)是什么？A.各組的觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)存在顯著差異B.各組的觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)不存在顯著差異C.各組的期望頻數(shù)之間存在顯著差異D.各組的觀察頻數(shù)之間不存在顯著差異9.卡方檢驗(yàn)的p值越小，說明什么？A.檢驗(yàn)結(jié)果越不顯著B.檢驗(yàn)結(jié)果越顯著C.數(shù)據(jù)越符合假設(shè)分布D.數(shù)據(jù)越偏離假設(shè)分布10.在進(jìn)行卡方檢驗(yàn)時(shí)，如果樣本量過小，可能會(huì)導(dǎo)致什么問題？A.檢驗(yàn)結(jié)果過于保守B.檢驗(yàn)結(jié)果過于激進(jìn)C.無(wú)法得出有效結(jié)論D.檢驗(yàn)結(jié)果不受影響11.卡方檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量χ2的值越大，說明什么？A.觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)的差異越小B.觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)的差異越大C.數(shù)據(jù)越符合假設(shè)分布D.數(shù)據(jù)越偏離假設(shè)分布12.在卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)中，如果p值大于0.05，通常意味著什么？A.數(shù)據(jù)完全符合假設(shè)分布B.數(shù)據(jù)與假設(shè)分布存在顯著差異C.無(wú)法得出有效結(jié)論D.數(shù)據(jù)可能存在異常值13.卡方檢驗(yàn)的期望頻數(shù)是如何計(jì)算的？A.樣本量乘以類別比例B.總樣本量除以類別數(shù)量C.類別比例乘以總樣本量D.類別數(shù)量除以總樣本量14.在進(jìn)行卡方檢驗(yàn)時(shí)，如果某個(gè)類別的期望頻數(shù)小于5，應(yīng)該怎么辦？A.直接進(jìn)行檢驗(yàn)，不受影響B(tài).增加樣本量，使期望頻數(shù)大于5C.放棄該類別，只檢驗(yàn)其他類別D.使用其他統(tǒng)計(jì)方法替代卡方檢驗(yàn)15.卡方檢驗(yàn)的拒絕域的大小取決于什么？A.顯著性水平αB.樣本量的大小C.統(tǒng)計(jì)量χ2的值D.期望頻數(shù)的大小16.在卡方同質(zhì)性檢驗(yàn)中，如果拒絕原假設(shè)，說明什么？A.各組的觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)存在顯著差異B.各組的觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)不存在顯著差異C.各組的期望頻數(shù)之間存在顯著差異D.各組的觀察頻數(shù)之間不存在顯著差異17.卡方檢驗(yàn)的p值是依據(jù)什么計(jì)算的？A.統(tǒng)計(jì)量χ2的分布B.樣本量的大小C.期望頻數(shù)的大小D.觀察頻數(shù)的大小18.在進(jìn)行卡方檢驗(yàn)時(shí)，如果數(shù)據(jù)不符合獨(dú)立性假設(shè)，應(yīng)該怎么辦？A.直接進(jìn)行檢驗(yàn)，不受影響B(tài).增加樣本量，使數(shù)據(jù)符合獨(dú)立性假設(shè)C.使用其他統(tǒng)計(jì)方法替代卡方檢驗(yàn)D.放棄該數(shù)據(jù)，只檢驗(yàn)其他數(shù)據(jù)19.卡方檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量χ2的分布是什么？A.正態(tài)分布B.t分布C.卡方分布D.F分布20.在卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)中，如果拒絕原假設(shè)，說明什么？A.數(shù)據(jù)完全符合假設(shè)分布B.數(shù)據(jù)與假設(shè)分布存在顯著差異C.無(wú)法得出有效結(jié)論D.數(shù)據(jù)可能存在異常值二、簡(jiǎn)答題（本大題共5小題，每小題4分，共20分。請(qǐng)將答案寫在答題紙上。）1.簡(jiǎn)述卡方檢驗(yàn)的基本原理和適用條件。2.解釋卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)和卡方同質(zhì)性檢驗(yàn)的區(qū)別。3.描述卡方檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量χ2的計(jì)算過程。4.說明卡方檢驗(yàn)的p值的意義及其判斷標(biāo)準(zhǔn)。5.列舉卡方檢驗(yàn)在實(shí)際應(yīng)用中的三個(gè)例子，并簡(jiǎn)要說明其作用。三、計(jì)算題（本大題共3小題，每小題6分，共18分。請(qǐng)將計(jì)算過程和答案寫在答題紙上。）1.某研究者調(diào)查了100名不同年齡段的消費(fèi)者對(duì)某種新產(chǎn)品的偏好情況，結(jié)果如下表所示。假設(shè)檢驗(yàn)水平為0.05，請(qǐng)問不同年齡段的消費(fèi)者對(duì)新產(chǎn)品的偏好是否存在顯著差異？|偏好程度|18-25歲|26-35歲|36-45歲|46歲以上||----------|--------|--------|--------|--------||非常喜歡|15|20|10|5||比較喜歡|25|30|20|10||一般|30|25|25|20||不喜歡|10|15|15|15|2.某公司想要了解其產(chǎn)品的包裝顏色是否會(huì)影響消費(fèi)者的購(gòu)買意愿。他們隨機(jī)調(diào)查了200名消費(fèi)者，結(jié)果如下表所示。假設(shè)檢驗(yàn)水平為0.01，請(qǐng)問包裝顏色與購(gòu)買意愿之間是否存在顯著關(guān)聯(lián)？|購(gòu)買意愿|藍(lán)色包裝|紅色包裝|綠色包裝||----------|--------|--------|--------||購(gòu)買|60|50|40||不購(gòu)買|40|50|60|3.某學(xué)校想要了解其學(xué)生的視力狀況。他們隨機(jī)調(diào)查了300名學(xué)生，結(jié)果如下表所示。假設(shè)檢驗(yàn)水平為0.10，請(qǐng)問不同性別的學(xué)生的視力狀況是否存在顯著差異？|視力狀況|男生|女生||----------|----|----||正常|150|120||輕度近視|60|80||中度近視|30|40||高度近視|20|30|四、分析題（本大題共2小題，每小題8分，共16分。請(qǐng)將答案寫在答題紙上。）1.某研究者進(jìn)行了一項(xiàng)關(guān)于吸煙與肺癌發(fā)病率的調(diào)查，結(jié)果如下表所示。假設(shè)檢驗(yàn)水平為0.05，請(qǐng)問吸煙與肺癌發(fā)病率之間是否存在顯著關(guān)聯(lián)？請(qǐng)解釋你的結(jié)論，并說明在實(shí)際應(yīng)用中的意義。|吸煙情況|肺癌發(fā)病率|非肺癌發(fā)病率||----------|----------|----------||吸煙|30|70||不吸煙|10|90|2.某公司想要了解其產(chǎn)品的廣告效果。他們進(jìn)行了為期一個(gè)月的廣告宣傳，隨機(jī)調(diào)查了500名消費(fèi)者，結(jié)果如下表所示。假設(shè)檢驗(yàn)水平為0.01，請(qǐng)問廣告宣傳是否顯著提高了產(chǎn)品的知名度？請(qǐng)解釋你的結(jié)論，并說明在實(shí)際應(yīng)用中的意義。|廣告效果|知名度提高|知名度未提高||----------|----------|----------||廣告宣傳|200|100||未宣傳|100|200|五、論述題（本大題共1小題，共16分。請(qǐng)將答案寫在答題紙上。）結(jié)合實(shí)際生活中的一個(gè)例子，詳細(xì)說明卡方檢驗(yàn)在統(tǒng)計(jì)推斷中的應(yīng)用過程，包括假設(shè)檢驗(yàn)的步驟、統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算、p值的判斷以及結(jié)論的解釋。請(qǐng)務(wù)必突出卡方檢驗(yàn)在解決實(shí)際問題中的具體作用和意義，并盡量展現(xiàn)你對(duì)卡方檢驗(yàn)原理的深入理解和靈活運(yùn)用能力。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：B解析：當(dāng)期望頻數(shù)過小時(shí)，卡方檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量會(huì)變得非常敏感，即使是很小的差異也會(huì)被放大，導(dǎo)致檢驗(yàn)結(jié)果過于激進(jìn)，更容易拒絕原假設(shè)。這是因?yàn)榭ǚ綑z驗(yàn)的公式中涉及到觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)的平方差，當(dāng)期望頻數(shù)很小時(shí)，平方差會(huì)顯得特別大，從而使得χ2值增大。2.答案：B解析：卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)主要用于分析兩個(gè)分類變量之間是否存在關(guān)聯(lián)。例如，我們可以檢驗(yàn)性別（男/女）與是否喜歡某種顏色（喜歡/不喜歡）之間是否存在關(guān)聯(lián)。如果選擇A，比較兩個(gè)連續(xù)變量的相關(guān)性，應(yīng)該使用相關(guān)系數(shù)或回歸分析；選擇C，評(píng)估一個(gè)分類變量的均值差異，應(yīng)該使用t檢驗(yàn)或方差分析；選擇D，檢驗(yàn)正態(tài)分布的均值是否顯著偏離假設(shè)值，應(yīng)該使用z檢驗(yàn)或t檢驗(yàn)。3.答案：B解析：卡方檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量χ2的計(jì)算公式為χ2=Σ((O-E)2/E)，其中O表示觀察頻數(shù)，E表示期望頻數(shù)。分子部分(O-E)2表示觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)的平方差值，這是計(jì)算χ2值的關(guān)鍵部分。4.答案：A解析：在卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)中，自由度的計(jì)算方法是類別總數(shù)減1。例如，如果有5個(gè)類別，自由度就是5-1=4。自由度的大小會(huì)影響χ2分布的形狀，從而影響p值的計(jì)算。5.答案：B解析：當(dāng)卡方檢驗(yàn)的p值小于0.05時(shí)，通常意味著在顯著性水平α=0.05下，我們有足夠的證據(jù)拒絕原假設(shè)，認(rèn)為兩個(gè)分類變量之間存在顯著關(guān)聯(lián)。如果p值大于0.05，則沒有足夠的證據(jù)拒絕原假設(shè)，不能認(rèn)為兩個(gè)分類變量之間存在顯著關(guān)聯(lián)。6.答案：A解析：在進(jìn)行卡方檢驗(yàn)前，需要滿足以下前提條件：樣本量足夠大，且每個(gè)類別的期望頻數(shù)都不小于5。這是為了確?？ǚ綑z驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量χ2近似服從卡方分布。如果期望頻數(shù)過小，χ2分布的近似效果會(huì)變差，檢驗(yàn)結(jié)果可能不準(zhǔn)確。7.答案：B解析：卡方檢驗(yàn)的拒絕域位于統(tǒng)計(jì)量的右側(cè)。也就是說，當(dāng)χ2值大于某個(gè)臨界值時(shí)，我們會(huì)拒絕原假設(shè)。這個(gè)臨界值是根據(jù)顯著性水平和自由度從卡方分布表中查得的。8.答案：B解析：在卡方同質(zhì)性檢驗(yàn)中，假設(shè)檢驗(yàn)的原假設(shè)是各組的觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)不存在顯著差異。也就是說，我們假設(shè)不同組之間的分布是相同的。如果拒絕原假設(shè)，則說明至少有一組的觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)存在顯著差異。9.答案：B解析：卡方檢驗(yàn)的p值越小，說明檢驗(yàn)結(jié)果越顯著。p值表示在原假設(shè)成立的情況下，觀察到當(dāng)前數(shù)據(jù)或更極端數(shù)據(jù)的概率。如果p值很小，說明觀察到當(dāng)前數(shù)據(jù)或更極端數(shù)據(jù)的概率很小，因此我們有理由懷疑原假設(shè)不成立。10.答案：C解析：在進(jìn)行卡方檢驗(yàn)時(shí)，如果樣本量過小，可能會(huì)導(dǎo)致無(wú)法得出有效結(jié)論。這是因?yàn)闃颖玖窟^小，期望頻數(shù)可能會(huì)小于5，從而影響卡方檢驗(yàn)的準(zhǔn)確性。此外，樣本量過小也會(huì)導(dǎo)致統(tǒng)計(jì)量的方差增大，使得檢驗(yàn)結(jié)果不穩(wěn)定。11.答案：B解析：卡方檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量χ2的值越大，說明觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)的差異越大。這是因?yàn)棣?的計(jì)算公式中涉及到(O-E)2/E，當(dāng)O與E的差異越大時(shí)，(O-E)2也會(huì)越大，從而使得χ2值增大。12.答案：A解析：在卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)中，如果p值大于0.05，通常意味著數(shù)據(jù)完全符合假設(shè)分布。這是因?yàn)閜值表示在原假設(shè)成立的情況下，觀察到當(dāng)前數(shù)據(jù)或更極端數(shù)據(jù)的概率。如果p值大于0.05，說明觀察到當(dāng)前數(shù)據(jù)或更極端數(shù)據(jù)的概率較大，因此我們沒有理由懷疑原假設(shè)不成立。13.答案：C解析：卡方檢驗(yàn)的期望頻數(shù)是如何計(jì)算的？期望頻數(shù)是根據(jù)樣本量和類別比例計(jì)算得到的。具體來(lái)說，期望頻數(shù)=總樣本量×類別比例。例如，如果有100個(gè)樣本，某個(gè)類別的比例是0.2，那么該類別的期望頻數(shù)就是100×0.2=20。14.答案：B解析：在進(jìn)行卡方檢驗(yàn)時(shí)，如果某個(gè)類別的期望頻數(shù)小于5，應(yīng)該增加樣本量，使期望頻數(shù)大于5。這是因?yàn)榭ǚ綑z驗(yàn)的準(zhǔn)確性依賴于期望頻數(shù)的大小。如果期望頻數(shù)過小，χ2分布的近似效果會(huì)變差，檢驗(yàn)結(jié)果可能不準(zhǔn)確。增加樣本量可以提高期望頻數(shù)，從而提高檢驗(yàn)的準(zhǔn)確性。15.答案：A解析：卡方檢驗(yàn)的拒絕域的大小取決于顯著性水平α。顯著性水平α表示我們?cè)敢獬袚?dān)的犯第一類錯(cuò)誤（即錯(cuò)誤地拒絕原假設(shè)）的概率。常見的顯著性水平有0.05、0.01等。α越小，拒絕域越小，檢驗(yàn)結(jié)果越保守。16.答案：A解析：在卡方同質(zhì)性檢驗(yàn)中，如果拒絕原假設(shè)，說明各組的觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)存在顯著差異。也就是說，至少有一組的實(shí)際分布與假設(shè)分布存在顯著不同。如果不能拒絕原假設(shè)，則說明各組的實(shí)際分布與假設(shè)分布沒有顯著不同。17.答案：A解析：卡方檢驗(yàn)的p值是依據(jù)統(tǒng)計(jì)量χ2的分布計(jì)算的。具體來(lái)說，p值表示在原假設(shè)成立的情況下，觀察到當(dāng)前χ2值或更極端χ2值的概率。χ2分布的形狀取決于自由度的大小，因此p值的計(jì)算也依賴于自由度。18.答案：C解析：在進(jìn)行卡方檢驗(yàn)時(shí)，如果數(shù)據(jù)不符合獨(dú)立性假設(shè)，應(yīng)該使用其他統(tǒng)計(jì)方法替代卡方檢驗(yàn)。例如，如果數(shù)據(jù)存在關(guān)聯(lián)性，可以使用線性回歸或邏輯回歸等方法進(jìn)行分析?？ǚ綑z驗(yàn)的前提條件是數(shù)據(jù)之間相互獨(dú)立，如果不滿足這個(gè)條件，檢驗(yàn)結(jié)果可能不準(zhǔn)確。19.答案：C解析：卡方檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量χ2的分布是卡方分布。卡方分布是一種連續(xù)型分布，其形狀取決于自由度的大小。自由度越大，卡方分布越接近正態(tài)分布。卡方檢驗(yàn)正是利用了卡方分布的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。20.答案：B解析：在卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)中，如果拒絕原假設(shè)，說明數(shù)據(jù)與假設(shè)分布存在顯著差異。也就是說，實(shí)際數(shù)據(jù)的分布與假設(shè)的分布不同。如果不能拒絕原假設(shè)，則說明實(shí)際數(shù)據(jù)的分布與假設(shè)的分布沒有顯著不同。二、簡(jiǎn)答題答案及解析1.簡(jiǎn)述卡方檢驗(yàn)的基本原理和適用條件。答案：卡方檢驗(yàn)的基本原理是通過比較觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)的差異來(lái)檢驗(yàn)假設(shè)。具體來(lái)說，卡方檢驗(yàn)計(jì)算一個(gè)統(tǒng)計(jì)量χ2，其公式為χ2=Σ((O-E)2/E)，其中O表示觀察頻數(shù)，E表示期望頻數(shù)。如果χ2值較大，說明觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)的差異較大，我們有理由懷疑原假設(shè)不成立?？ǚ綑z驗(yàn)的適用條件包括：樣本量足夠大，且每個(gè)類別的期望頻數(shù)都不小于5；數(shù)據(jù)必須來(lái)自隨機(jī)抽樣；變量必須是分類變量。解析：卡方檢驗(yàn)的基本原理是通過比較觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)的差異來(lái)檢驗(yàn)假設(shè)。χ2值的計(jì)算公式中的分子部分(O-E)2表示觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)的平方差值，分母部分E表示期望頻數(shù)。χ2值越大，說明觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)的差異越大，從而更有理由拒絕原假設(shè)?？ǚ綑z驗(yàn)的適用條件包括樣本量足夠大，且每個(gè)類別的期望頻數(shù)都不小于5，這是為了確保χ2分布的近似效果；數(shù)據(jù)必須來(lái)自隨機(jī)抽樣，以保證樣本的代表性；變量必須是分類變量，因?yàn)榭ǚ綑z驗(yàn)是針對(duì)分類變量設(shè)計(jì)的。2.解釋卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)和卡方同質(zhì)性檢驗(yàn)的區(qū)別。答案：卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)用于分析兩個(gè)分類變量之間是否存在關(guān)聯(lián)，而卡方同質(zhì)性檢驗(yàn)用于比較多個(gè)總體中某個(gè)分類變量的分布是否相同。具體來(lái)說，獨(dú)立性檢驗(yàn)的原假設(shè)是兩個(gè)分類變量相互獨(dú)立，同質(zhì)性檢驗(yàn)的原假設(shè)是多個(gè)總體中某個(gè)分類變量的分布相同。如果拒絕獨(dú)立性檢驗(yàn)的原假設(shè)，說明兩個(gè)分類變量之間存在關(guān)聯(lián)；如果拒絕同質(zhì)性檢驗(yàn)的原假設(shè)，說明多個(gè)總體中某個(gè)分類變量的分布不同。解析：卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)和卡方同質(zhì)性檢驗(yàn)都是卡方檢驗(yàn)的應(yīng)用，但它們的研究目的不同。獨(dú)立性檢驗(yàn)關(guān)注的是兩個(gè)分類變量之間是否存在關(guān)聯(lián)，例如，我們可以檢驗(yàn)性別與是否喜歡某種顏色之間是否存在關(guān)聯(lián)。同質(zhì)性檢驗(yàn)關(guān)注的是多個(gè)總體中某個(gè)分類變量的分布是否相同，例如，我們可以比較三個(gè)班級(jí)的學(xué)生成績(jī)分布是否相同。獨(dú)立性檢驗(yàn)的原假設(shè)是兩個(gè)分類變量相互獨(dú)立，同質(zhì)性檢驗(yàn)的原假設(shè)是多個(gè)總體中某個(gè)分類變量的分布相同。如果拒絕獨(dú)立性檢驗(yàn)的原假設(shè)，說明兩個(gè)分類變量之間存在關(guān)聯(lián)；如果拒絕同質(zhì)性檢驗(yàn)的原假設(shè)，說明多個(gè)總體中某個(gè)分類變量的分布不同。3.描述卡方檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量χ2的計(jì)算過程。答案：卡方檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量χ2的計(jì)算過程如下：首先，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)和假設(shè)分布計(jì)算每個(gè)類別的期望頻數(shù)；然后，計(jì)算每個(gè)類別的觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)的差值；接著，將每個(gè)差值平方后除以對(duì)應(yīng)的期望頻數(shù)；最后，將所有類別的計(jì)算結(jié)果相加，得到χ2值。公式為χ2=Σ((O-E)2/E)。解析：卡方檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量χ2的計(jì)算過程分為四個(gè)步驟。首先，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)和假設(shè)分布計(jì)算每個(gè)類別的期望頻數(shù)。期望頻數(shù)是根據(jù)樣本量和類別比例計(jì)算得到的。例如，如果有100個(gè)樣本，某個(gè)類別的比例是0.2，那么該類別的期望頻數(shù)就是100×0.2=20。然后，計(jì)算每個(gè)類別的觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)的差值。接著，將每個(gè)差值平方后除以對(duì)應(yīng)的期望頻數(shù)。這是因?yàn)榭ǚ綑z驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量χ2是通過對(duì)每個(gè)類別的差值進(jìn)行加權(quán)求和得到的，權(quán)重為期望頻數(shù)。最后，將所有類別的計(jì)算結(jié)果相加，得到χ2值。4.說明卡方檢驗(yàn)的p值的意義及其判斷標(biāo)準(zhǔn)。答案：卡方檢驗(yàn)的p值表示在原假設(shè)成立的情況下，觀察到當(dāng)前χ2值或更極端χ2值的概率。如果p值小于顯著性水平α，則拒絕原假設(shè)；如果p值大于或等于α，則不能拒絕原假設(shè)。常見的顯著性水平有0.05、0.01等。p值越小，說明檢驗(yàn)結(jié)果越顯著。解析：卡方檢驗(yàn)的p值是依據(jù)統(tǒng)計(jì)量χ2的分布計(jì)算的。具體來(lái)說，p值表示在原假設(shè)成立的情況下，觀察到當(dāng)前χ2值或更極端χ2值的概率。p值的意義在于幫助我們判斷檢驗(yàn)結(jié)果是否顯著。如果p值小于顯著性水平α，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為觀察到的差異是顯著的；如果p值大于或等于α，則不能拒絕原假設(shè)，認(rèn)為觀察到的差異不是顯著的。常見的顯著性水平有0.05、0.01等。p值越小，說明檢驗(yàn)結(jié)果越顯著，我們?cè)接欣碛蓱岩稍僭O(shè)不成立。5.列舉卡方檢驗(yàn)在實(shí)際應(yīng)用中的三個(gè)例子，并簡(jiǎn)要說明其作用。答案：卡方檢驗(yàn)在實(shí)際應(yīng)用中的三個(gè)例子包括：1）檢驗(yàn)性別與是否喜歡某種顏色之間是否存在關(guān)聯(lián)；2）比較三個(gè)班級(jí)的學(xué)生成績(jī)分布是否相同；3）檢驗(yàn)吸煙與肺癌發(fā)病率之間是否存在關(guān)聯(lián)?？ǚ綑z驗(yàn)的作用在于幫助我們判斷分類變量之間是否存在關(guān)聯(lián)，或者多個(gè)總體中某個(gè)分類變量的分布是否相同。解析：卡方檢驗(yàn)在實(shí)際應(yīng)用中有很多例子。例如，1）檢驗(yàn)性別與是否喜歡某種顏色之間是否存在關(guān)聯(lián)。我們可以調(diào)查一定數(shù)量的男性和女性，詢問他們是否喜歡某種顏色，然后使用卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)來(lái)判斷性別與是否喜歡某種顏色之間是否存在關(guān)聯(lián)。2）比較三個(gè)班級(jí)的學(xué)生成績(jī)分布是否相同。我們可以調(diào)查三個(gè)班級(jí)的學(xué)生成績(jī)，然后使用卡方同質(zhì)性檢驗(yàn)來(lái)判斷三個(gè)班級(jí)的學(xué)生成績(jī)分布是否相同。3）檢驗(yàn)吸煙與肺癌發(fā)病率之間是否存在關(guān)聯(lián)。我們可以調(diào)查一定數(shù)量的吸煙者和不吸煙者，詢問他們是否患有肺癌，然后使用卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)來(lái)判斷吸煙與肺癌發(fā)病率之間是否存在關(guān)聯(lián)?？ǚ綑z驗(yàn)的作用在于幫助我們判斷分類變量之間是否存在關(guān)聯(lián)，或者多個(gè)總體中某個(gè)分類變量的分布是否相同。三、計(jì)算題答案及解析1.某研究者調(diào)查了100名不同年齡段的消費(fèi)者對(duì)某種新產(chǎn)品的偏好情況，結(jié)果如下表所示。假設(shè)檢驗(yàn)水平為0.05，請(qǐng)問不同年齡段的消費(fèi)者對(duì)新產(chǎn)品的偏好是否存在顯著差異？|偏好程度|18-25歲|26-35歲|36-45歲|46歲以上||----------|--------|--------|--------|--------||非常喜歡|15|20|10|5||比較喜歡|25|30|20|10||一般|30|25|25|20||不喜歡|10|15|15|15|答案：不同年齡段的消費(fèi)者對(duì)新產(chǎn)品的偏好存在顯著差異。解析：首先，計(jì)算每個(gè)類別的期望頻數(shù)?？倶颖玖繛?00，每個(gè)類別的期望頻數(shù)=總樣本量×類別比例。例如，非常喜歡類別的比例=(15+20+10+5)/100=0.5，因此非常喜歡類別的期望頻數(shù)=100×0.5=50。計(jì)算所有類別的期望頻數(shù)如下表所示：|偏好程度|18-25歲|26-35歲|36-45歲|46歲以上|期望頻數(shù)||----------|--------|--------|--------|--------|--------||非常喜歡|15|20|10|5|50||比較喜歡|25|30|20|10|50||一般|30|25|25|20|50||不喜歡|10|15|15|15|25|然后，計(jì)算χ2值。χ2=Σ((O-E)2/E)=((15-50)2/50)+((20-50)2/50)+((10-50)2/50)+((5-50)2/50)+((25-50)2/50)+((30-50)2/50)+((20-50)2/50)+((10-50)2/50)+((30-50)2/50)+((25-50)2/50)+((25-50)2/50)+((20-50)2/50)+((10-25)2/25)+((15-25)2/25)+((15-25)2/25)+((15-25)2/25)=4.5+4.5+4.5+4.5+4.5+4.5+4.5+4.5+4.5+4.5+4.5+4.5+4.5+4.5+4.5+4.5=72。自由度=(行數(shù)-1)×(列數(shù)-1)=(4-1)×(4-1)=9。查卡方分布表，χ2=72，自由度=9，p值<0.05。因此，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為不同年齡段的消費(fèi)者對(duì)新產(chǎn)品的偏好存在顯著差異。2.某公司想要了解其產(chǎn)品的包裝顏色是否會(huì)影響消費(fèi)者的購(gòu)買意愿。他們隨機(jī)調(diào)查了200名消費(fèi)者，結(jié)果如下表所示。假設(shè)檢驗(yàn)水平為0.01，請(qǐng)問包裝顏色與購(gòu)買意愿之間是否存在顯著關(guān)聯(lián)？|購(gòu)買意愿|藍(lán)色包裝|紅色包裝|綠色包裝||----------|--------|--------|--------||購(gòu)買|60|50|40||不購(gòu)買|40|50|60|答案：包裝顏色與購(gòu)買意愿之間存在顯著關(guān)聯(lián)。解析：首先，計(jì)算每個(gè)類別的期望頻數(shù)?？倶颖玖繛?00，每個(gè)類別的期望頻數(shù)=總樣本量×類別比例。例如，購(gòu)買類別的比例=(60+50+40)/200=0.75，因此購(gòu)買類別的期望頻數(shù)=200×0.75=150。計(jì)算所有類別的期望頻數(shù)如下表所示：|購(gòu)買意愿|藍(lán)色包裝|紅色包裝|綠色包裝|期望頻數(shù)||----------|--------|--------|--------|--------||購(gòu)買|60|50|40|150||不購(gòu)買|40|50|60|50|然后，計(jì)算χ2值。χ2=Σ((O-E)2/E)=((60-150)2/150)+((50-150)2/150)+((40-150)2/150)+((40-50)2/50)+((50-50)2/50)+((60-50)2/50)=36+36+36+0.4+0+0.4=109.8。自由度=(行數(shù)-1)×(列數(shù)-1)=(2-1)×(3-1)=2。查卡方分布表，χ2=109.8，自由度=2，p值<0.01。因此，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為包裝顏色與購(gòu)買意愿之間存在顯著關(guān)聯(lián)。3.某學(xué)校想要了解其學(xué)生的視力狀況。他們隨機(jī)調(diào)查了300名學(xué)生，結(jié)果如下表所示。假設(shè)檢驗(yàn)水平為0.10，請(qǐng)問不同性別的學(xué)生的視力狀況是否存在顯著差異？|視力狀況|男生|女生||----------|----|----||正常|150|120||輕度近視|60|80||中度近視|30|40||高度近視|20|30|答案：不同性別的學(xué)生的視力狀況不存在顯著差異。解析：首先，計(jì)算每個(gè)類別的期望頻數(shù)。總樣本量為300，每個(gè)類別的期望頻數(shù)=總樣本量×類別比例。例如，正常類別的比例=(150+120)/300=0.7，因此正常類別的期望頻數(shù)=300×0.7=210。計(jì)算所有類別的期望頻數(shù)如下表所示：|視力狀況|男生|女生|期望頻數(shù)||----------|----|----|--------||正常|150|120|210||輕度近視|60|80|70||中度近視|30|40|35||高度近視|20|30|35|然后，計(jì)算χ2值。χ2=Σ((O-E)2/E)=((150-210)2/210)+((120-210)2/210)+((60-70)2/70)+((80-70)2/70)+((30-35)2/35)+((40-35)2/35)+((20-35)2/35)+((30-35)2/35)=12.86+12.86+0.43+0.43+0.86+0.86+6.43+0.86=35.34。自由度=(行數(shù)-1)×(列數(shù)-1)=(4-1)×(2-1)=3。查卡方分布表，χ2=35.34，自由度=3，p值<0.10。因此，不能拒絕原假設(shè)，認(rèn)為不同性別的學(xué)生的視力狀況不存在顯著差異。四、分析題答案及解析1.某研究者進(jìn)行了一項(xiàng)關(guān)于吸煙與肺癌發(fā)病率的調(diào)查，結(jié)果如下表所示。假設(shè)檢驗(yàn)水平為0.05，請(qǐng)問吸煙與肺癌發(fā)病率之間是否存在顯著關(guān)聯(lián)？請(qǐng)解釋你的結(jié)論，并說明在實(shí)際應(yīng)用中的意義。|吸煙情況|肺癌發(fā)病率|非肺癌發(fā)病率||----------|----------|----------||吸煙|30|70||不吸煙|10|90|答案：吸煙與肺癌發(fā)病率之間存在顯著關(guān)聯(lián)。解析：首先，計(jì)算每個(gè)類別的期望頻數(shù)?？倶颖玖繛?00，每個(gè)類別的期望頻數(shù)=總樣本量×類別比例。例如，肺癌發(fā)病率類別的比例=(30+10)/200=0.2，因此肺癌發(fā)病率類別的期望頻數(shù)=200×0.2=40。計(jì)算所有類別的期望頻數(shù)如下表所示：|吸煙情況|肺癌發(fā)病率|非肺癌發(fā)病率|期望頻數(shù)||----------|----------|----------|--------||吸煙|30|70|40||不吸煙|10|90|60|然后，計(jì)算χ2值。χ2=Σ((O-E)2/E)=((30-40)2/40)+((70-70)2/70)+((10-60)2/60)+((90-90)2/90)=2.5+0+60+0=62.5。自由度=(行數(shù)-1)×(列數(shù)-1)=(2-1)×(2-1)=1。查卡方分布表，χ2=62.5，自由度=1，p值<0.05。因此，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為吸煙與肺癌發(fā)病率之間存在顯著關(guān)聯(lián)。在實(shí)際應(yīng)用中，這個(gè)結(jié)論提示我們吸煙可能會(huì)增加肺癌的發(fā)病率，因此應(yīng)該加強(qiáng)控?zé)熜麄?，提高公眾的健康意識(shí)。2.某公司想要了解其產(chǎn)品的廣告效果。他們進(jìn)行了為期一個(gè)月的廣告宣傳，隨機(jī)調(diào)查了500名消費(fèi)者，結(jié)果如下表所示。假設(shè)檢驗(yàn)水平為0.01，請(qǐng)問廣告宣傳是否顯著提高了產(chǎn)品的知名度？請(qǐng)解釋你的結(jié)論，并說明在實(shí)際應(yīng)用中的意義。|廣告效果|知名度提高|知名度未提高||----------|----------|----------||廣告宣傳|200|100||未宣傳|100|200|答案：廣告宣傳顯著提高了產(chǎn)品的知名度。解析：首先，計(jì)算每個(gè)類別的期望頻數(shù)?？倶颖玖繛?00，每個(gè)類別的期望頻數(shù)=總樣本量×類別比例。例如，知名度提高類別的比例=(200+100)/500=0.6，因此知名度提高類別的期望頻數(shù)=500×0.6=300。計(jì)算所有類別的期望頻數(shù)如下表所示：|廣告效果|知名度提高|知名度未提高|期望頻數(shù)||----------|----------|----------|--------||廣告宣傳|200|100|300||未宣傳|100|200|200|然后，計(jì)算χ2值。χ2=Σ((O-E)2/E)=((200-300)2/300)+((100-300)2/300)+((100-200)2/200)+((200-200)2/200)=33.33+33.33+50+0=116.66。自由度=(行數(shù)-1)×(列數(shù)-1)=(2-1)×(2-1)=1。查卡方分布表，χ2=116.66，自由度=1，p值<0.01。因此，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為廣告宣傳顯著提高了產(chǎn)品的知名度。在實(shí)際應(yīng)用中，這個(gè)結(jié)論提示我們廣告宣傳可以顯著提高