試題試題2025年初中畢業(yè)班綜合練習數(shù)學問卷本問卷分選擇題和非選擇題兩部分，共三大題25小題，滿分120分．問卷時間為120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必在答題卡第1頁上用黑色字跡的鋼筆或簽字筆填寫自己的學校、班級、姓名、試室號、座位號、準考證號，再用2B鉛筆把準考證號對應的號碼標號涂黑．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，涉及作圖的題目，用2B鉛筆畫圖．答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；改動的答案也不能超出指定的區(qū)域．不準使用鉛筆、圓珠筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．4．考生必須保持答題卡的整潔，問卷結束后，將本問卷和答題卡一并交回．第一部分選擇題（共30分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.“楊輝三角”、“洛書”、“趙爽弦圖”和“中國七巧板”均是中國古代數(shù)學的重要成就，至今仍在數(shù)學教育、智力訓練和文化傳承中發(fā)揮影響．觀察以下代表四者的標志性圖形，其中屬于中心對稱圖形的是（）A. B.C. D.2.科學家通過觀測宇宙背景輻射的溫度變化來推測光的傳播方式以及宇宙的形狀．在宇宙中，宇宙背景輻射分布的非常均勻，但不同區(qū)域的宇宙背景輻射仍存在微小的溫度差異，熱點和冷點之間的溫差約為．0.0002用科學記數(shù)法記為（）A. B. C. D.3.如圖，A是某公園的進口，B，C，D，E，F(xiàn)是不同的出口，若小華從A處進入公園，隨機選擇出口離開公園，則恰好從北面出口離開的概率為（）A B. C. D.4.下列各式，計算正確的是（）A. B. C. D.5.若的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則（）A.2 B.1 C.0 D.6.如圖，內(nèi)接于是的一條弦，，連接，若，則的度數(shù)為（）A.30° B.40° C.45° D.50°7.如圖，梯子，梯子與地面的夾角為，則兩梯腳之間的距離為（）A. B. C. D.8.如圖，四邊形為菱形，垂直平分，若，，則的長為（）A. B. C. D.9.已知a是方程實數(shù)根，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.不能確定10.觀察圖中數(shù)字的排列規(guī)律．按照此規(guī)律繼續(xù)排列，若數(shù)字2025出現(xiàn)在第m列第n行的位置，則m和n的值分別是（）第1列第2列第3列第4列…第1行12910…第2行43811…第3行56712…第4行16151413…第5行17…………A.1，45 B.45，1 C.44，2 D.2，44第二部分非選擇題（共90分）二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分．）11.已知3是一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一個根，則a=_____．12.如果a－b＝2，ab＝3，那么a2b－ab2＝_________；13.我國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結來記錄數(shù)量，即“結繩記數(shù)”．如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結，滿七進一，用來記錄孩子自出生后的天數(shù)，如圖1，孩子出生后的天數(shù)（天），請根據(jù)圖2，計算孩子自出生后的天數(shù)是______天．14.在半圓中，C是直徑上一點，，，點C關于弦的對稱點也在上，那么的值為______．15.在溫度不變的條件下，通過對汽缸（圖1）活塞重復加壓，測得汽缸內(nèi)氣體壓強與體積成反比例函數(shù)關系，其函數(shù)圖像如圖2所示．若壓強由加壓到，則氣體體積壓縮了______．16.如圖，將正方形紙片沿折疊，使點C的對稱點E落在邊上，點D的對稱點為點F，交于點G，連接交于點H，連接．下列四個結論中：①；②；③平分；④，正確的是________（填序號即可）．三、解答題（本大題共9小題，滿分72分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.解方程：．18.如圖，點E，F(xiàn)在直線上，，，．求證：．19.如圖，為的直徑，垂直平分線段，交于點D，交于點C，連接、、．（1）求證：等邊三角形；（2）點E在線段的延長線上，且，試判斷與的位置關系，并說明理由．20.我校對九年級學生參與“力學”“熱學”“光學”“電學”四個類別的物理實驗情況進了抽樣調(diào)查，每位同學僅選其中一個類別，根據(jù)調(diào)查結果繪制了如圖所示的不完整的頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計圖（圖1），請根據(jù)圖表提供的信息，解答下列問題：類別頻數(shù)（人數(shù)）頻率力學熱學10光學30電學15（1）直接寫出頻數(shù)分布表中、的值：______，______；（2）直接寫出表示參與“光學”實驗的扇形圓心角的度數(shù)______°；（3）參與“電學”實驗的同學在做“燈泡亮了”的實驗時，提出如下問題：如圖2，電路圖上有四個開關，，，和一個小燈泡，閉合開關或同時閉合開關，，都可使小燈泡發(fā)光．若隨機閉合其中的兩個開關，用畫樹狀圖或列表的方法求小燈泡發(fā)光的概率．21.電影《哪吒之魔童鬧海》成為首部進入全球票房榜前五，登頂全球動畫票房榜榜首的亞洲影！與之相關的周邊也在市場上熱銷起來，某書店計劃同時購進哪吒磁性書簽和金屬書簽．已哪吒磁性書簽的單價比金屬書簽的單價多20元，用2400元購買哪吒磁性書簽的數(shù)量與用800購買金屬書簽的數(shù)量相同．（1）求哪吒磁性書簽和金屬書簽的單價；（2）為滿足顧客需求，書店老板從廠家一次性購進哪吒磁性書簽和金屬書簽共200個，且購買的費用不超過3600元，求最多可以購進哪吒磁性書簽多少個？22.某數(shù)學小組開展項目式學習，從生活中搬重物爬樓梯困難入手，跨學科研究三輪爬梯車（如圖①）的設計原理和優(yōu)化設計．圖②是該數(shù)學小組設計的一個爬梯車模型，有兩個輪子水平放置在地面EF上，圖中，和分別代表3個輪子，3個輪子的半徑均為，點O為支點，，且，拉桿．（1）求的長；（2）在使用爬梯車時，拉桿傾斜，從條件①或條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求把手D到地面的距離的長．條件①：與夾角；條件②：點O到的距離為．注：如果選擇條件①和條件②分別作答，按第一個解答計分．（參考數(shù)據(jù)：，，．）23.如圖，已知，，（1）尺規(guī)作圖：在邊求作點D，使得（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）連接，若，求與的面積比．24.在中，，邊繞點逆時針旋轉得到線段，連接，過點作垂足為，連接．（1）如圖1若，時，求及的長；（2）如圖2，當時，求證：；（3）如圖3，當時，按要求重新作圖并回答：、、是否依然存在（2）中的等量關系？如果存在，請說明理由．否則，請說明三者存在什么樣的關系？并說明理由．25.已知一次函數(shù)與二次函數(shù)（b、c是常數(shù)）相交于A、B兩點，點A是x軸上的點，點B是y軸上的點，點C為拋物線的頂點．點P在拋物線上，其橫坐標為m．（1）求該二次函數(shù)解析式及頂點C的坐標；（2）若拋物線在P、B之間的部分（包含P、B兩點）最高點與最低點的縱坐標差為4時，求m的取值范圍；（3）點M是直線上的點，且軸，把點M往右平移兩個單位，再往下平移6個單位得到點N．是否存在不與點C重合的點P，使得？若存在，請求出面積相等時m的值；若不存在，請說明理由．2025年初中畢業(yè)班綜合練習數(shù)學問卷本問卷分選擇題和非選擇題兩部分，共三大題25小題，滿分120分．問卷時間為120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必在答題卡第1頁上用黑色字跡的鋼筆或簽字筆填寫自己的學校、班級、姓名、試室號、座位號、準考證號，再用2B鉛筆把準考證號對應的號碼標號涂黑．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，涉及作圖的題目，用2B鉛筆畫圖．答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；改動的答案也不能超出指定的區(qū)域．不準使用鉛筆、圓珠筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．4．考生必須保持答題卡的整潔，問卷結束后，將本問卷和答題卡一并交回．第一部分選擇題（共30分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.“楊輝三角”、“洛書”、“趙爽弦圖”和“中國七巧板”均是中國古代數(shù)學的重要成就，至今仍在數(shù)學教育、智力訓練和文化傳承中發(fā)揮影響．觀察以下代表四者的標志性圖形，其中屬于中心對稱圖形的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了中心對稱圖形的判斷，根據(jù)定義逐項判定，即將一個圖形繞某點旋轉后能與本身重合，這樣的圖形叫做中心對稱圖形．【詳解】解：A、因為圖形繞某點旋轉后不能與本身重合，所以A不符合題意；B、因為圖形繞某點旋轉后不能與本身重合，所以B不符合題意；C、因為圖形繞某點旋轉后能與本身重合，所以C符合題意；D、因為圖形繞某點旋轉后不能與本身重合，所以D不符合題意．故選：C．2.科學家通過觀測宇宙背景輻射的溫度變化來推測光的傳播方式以及宇宙的形狀．在宇宙中，宇宙背景輻射分布的非常均勻，但不同區(qū)域的宇宙背景輻射仍存在微小的溫度差異，熱點和冷點之間的溫差約為．0.0002用科學記數(shù)法記為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了負整數(shù)指數(shù)科學記數(shù)法，對于一個絕對值小于1的非0小數(shù)，用科學記數(shù)法寫成的形式，其中，n是正整數(shù)，n等于原數(shù)中第一個非0數(shù)字前面所有0的個數(shù)（包括小數(shù)點前面的0）．【詳解】解：．故選：C．3.如圖，A是某公園的進口，B，C，D，E，F(xiàn)是不同的出口，若小華從A處進入公園，隨機選擇出口離開公園，則恰好從北面出口離開的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了概率公式的應用，熟練掌握概率公式是解題的關鍵．根據(jù)共有5個出口，北面有兩個出口，直接利用概率公式得出答案．【詳解】解：∵共有5個出口，其中北面有B，C兩個出口，∴恰好從北面出口離開的概率為，故選：D．4.下列各式，計算正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪乘除法，冪乘方，合并同類項，解題的關鍵在于正確掌握相關運算法則．根據(jù)相關運算法則逐項計算判斷，即可解題．【詳解】解：A、不是同類項，不能合并，原選項計算錯誤，不符合題意；B、，原選項計算錯誤，不符合題意；C、，原選項計算正確，符合題意；D、，原選項計算錯誤，不符合題意；故選：C．5.若的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則（）A.2 B.1 C.0 D.【答案】B【解析】【分析】本題考查無理數(shù)的整數(shù)部分與小數(shù)部分的確定以及平方差公式的應用，解題關鍵是利用平方數(shù)大小關系確定的范圍，從而得到其整數(shù)部分與小數(shù)部分．1．利用，，，確定的范圍為，得出整數(shù)部分，小數(shù)部分．將、的值代入，利用平方差公式計算出結果．【詳解】，，，，的整數(shù)部分，小數(shù)部分，原式，故選：B．6.如圖，內(nèi)接于是的一條弦，，連接，若，則的度數(shù)為（）A.30° B.40° C.45° D.50°【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了同弧所對的圓周角相等，等邊對等角等知識點，解題的關鍵是掌握同弧所對的圓周角相等．利用同弧所對的圓周角相等和等邊對等角即可解答此題．【詳解】解：，且，，，，，故選：C．7.如圖，梯子，梯子與地面的夾角為，則兩梯腳之間的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，正確構造直角三角形是解題的關鍵．過點作于點，先由等腰三角形得到，再解即可表示，即可求解．【詳解】解：過點作于點，∵，∴，∵，∴，故選：D．8.如圖，四邊形為菱形，垂直平分，若，，則的長為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，線段垂直平分線的定義，勾股定理，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，設，則，得到，求出，得到，求出，即可得到答案．【詳解】解：四邊形為菱形，，設，則，垂直平分，，中，中，，，，∴∴，故選：A．9.已知a是方程的實數(shù)根，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.不能確定【答案】A【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，畫出函數(shù)和的大致圖象，結合函數(shù)交點位置判斷即可．【詳解】解：函數(shù)和的大致位置如圖：根據(jù)圖形可得函數(shù)和交點的橫坐標，∴的解，∵a是方程的實數(shù)根，∴，故選：A．10.觀察圖中數(shù)字的排列規(guī)律．按照此規(guī)律繼續(xù)排列，若數(shù)字2025出現(xiàn)在第m列第n行的位置，則m和n的值分別是（）第1列第2列第3列第4列…第1行12910…第2行43811…第3行56712…第4行16151413…第5行17…………A.1，45 B.45，1 C.44，2 D.2，44【答案】B【解析】【分析】本題是對數(shù)字變化規(guī)律的考查，觀察出奇數(shù)列、偶數(shù)行的數(shù)的變化規(guī)律是解題的關鍵．由表格得：第奇數(shù)列的第一行的數(shù)為所在列數(shù)的平方，然后向下每一行遞減一個數(shù)至與列數(shù)相同的行止，第偶數(shù)行的第一列的數(shù)是所在行數(shù)的平方，然后向右每一列遞減1至與行數(shù)相同的列止，因為，根據(jù)此規(guī)律即可得到，，即可得到答案．【詳解】解：由表格得，第一行的第1、3、5列的數(shù)分別為1、9、25，為所在列數(shù)的平方，然后向下每一行遞減1至與列數(shù)相同的行止，第一列的第2、4、6行的數(shù)分別為4、16、36，為所在行數(shù)的平方，然后向右每一列遞減1至與行數(shù)相同的列止，，數(shù)字2025出現(xiàn)在第行第列的位置，，故選：B．第二部分非選擇題（共90分）二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分．）11.已知3是一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一個根，則a=_____．【答案】-3【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義把代入x2﹣2x+a＝0即可求得答案.【詳解】將代入x2﹣2x+a＝0得：，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程解的定義，本題逆用一元二次方程解的定義是解題的關鍵.12.如果a－b＝2，ab＝3，那么a2b－ab2＝_________；【答案】6【解析】【分析】首先將a2b－ab2提取公因式，在代入計算即可.【詳解】解：代入a－b＝2，ab＝3則原式=故答案為6.【點睛】本題主要考查因式分解的計算，關鍵在于提取公因式，這是基本知識點，應當熟練掌握.13.我國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結來記錄數(shù)量，即“結繩記數(shù)”．如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結，滿七進一，用來記錄孩子自出生后的天數(shù)，如圖1，孩子出生后的天數(shù)（天），請根據(jù)圖2，計算孩子自出生后的天數(shù)是______天．【答案】123【解析】【分析】本題考查有理數(shù)的知識，解題的關鍵是掌握有理數(shù)的混合運算，根據(jù)題意中的計算方法，列式計算，即可．【詳解】解：由題意得，圖2，計算孩子自出生后的天數(shù)，故答案為：123．14.在半圓中，C是直徑上一點，，，點C關于弦的對稱點也在上，那么的值為______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了圓的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，軸對稱圖形的性質(zhì)，勾股定理，連接交于E，由軸對稱的性質(zhì)可得，，則，再證明得到，則可求出，設，則，，由勾股定理得，解方程即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接交于E，由軸對稱的性質(zhì)可得，，∴，∴，∵是的直徑，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，設，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，解得或（舍去），∴，故答案為：．15.在溫度不變的條件下，通過對汽缸（圖1）活塞重復加壓，測得汽缸內(nèi)氣體壓強與體積成反比例函數(shù)關系，其函數(shù)圖像如圖2所示．若壓強由加壓到，則氣體體積壓縮了______．【答案】90【解析】【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的應用，求反比例函數(shù)關系式，熟練掌握相關知識是解題的關鍵；先求出反比例函數(shù)關系式，再分別求出氣體體積，比較得出答案．【詳解】解：設反比例函數(shù)關系式為，∵反比例函數(shù)圖像經(jīng)過點，∴，解得，所以反比例函數(shù)關系為．當時，；當時，，∴．所以氣體體積壓縮了90．故答案為：90．16.如圖，將正方形紙片沿折疊，使點C的對稱點E落在邊上，點D的對稱點為點F，交于點G，連接交于點H，連接．下列四個結論中：①；②；③平分；④，正確的是________（填序號即可）．【答案】①③④．【解析】【分析】①用有兩個角對應相等的兩個三角形相似進行判定即可；②過點C作CM⊥EG于M，通過證明△BEC≌△MEC進而說明△CMG≌△CDG，可得S△CEG=S△BEC+S△CDG>S△BEC＋S四邊形CDQH；③由折疊可得:∠GEC=∠DCE，由AB∥CD可得∠BEC=∠DCE，結論③成立；④連接DH，MH，HE，由△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG可知：∠BCE=∠MCE,∠MCG=∠DCG，則∠ECG=∠ECM+∠GCM=∠BCD，由于EC⊥HP，則∠CHP=45°，由折疊可得:∠EHP=∠CHP=45°，利用勾股定理可得EG2-EH2=GH2，由CM⊥EG，EH⊥CG，得到∠EMC=∠EHC=90°，所以E，M，H，C四點共圓，通過△CMH≌△CDH，易證△GHQ∽△GDH，則得GH2=GQ·GD，從而說明④成立．【詳解】解：①∵四邊形ABCD正方形,∴∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°由折疊可知:∠GEP=∠BCD=90°，∠F=∠D=90∴∠BEP+∠AEG=90°，∵∠A=90°∴∠AEG+∠AGE=90°，∴∠BEP=∠AGE，∵∠FGQ=∠AGE，∴∠BEP=∠FGQ，∵∠B=∠F=90，∴△PBE~△QFG，故①說法正確，符合題意；②過點C作CM⊥EG于M，由折疊可得:∠GEC=∠DCE，∵AB∥CD，∴∠BEC=∠DCE，∠BEC=∠GEC，△BEC和△MEC中，∵∠B=∠EMC=90°，∠BEC=∠GEC，CE=CE∴△BEC≌△MEC(AAS)∴CB=CM，S△BEC=S△MBC，∵CG=CG，∴Rt△CMG≌Rt△CDG(HL)，∴S△CMG=S△CDG，∴S△CEG=S△BEC+S△CDG>S△BEC+S四邊形CDQH∴②說法不正確，不符合題意；③由折疊可得:∠GEC=∠DCE，∵AB∥CD，∴∠BEC=∠DCE，∴∠BEC=∠GEC，即EC平分∠BEG∴③說法正確，符合題意；④連接DH，MH，HE，如圖：∵△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG，∴∠BCE=∠MCE，∠MCG=∠DCG，∴∠ECG=∠ECM+∠GCM=∠BCD=45°，∵EC⊥HP，∴∠CHP=45°，∴GHQ=∠CHP=45°，由折疊可得:∠EHP=∠CHP=45°，∴EH⊥CG∴EG2-EH2=GH2由折疊可知:EH=CH∴EG2-CH2=GH2，∵CM⊥EG，EH⊥CG，∴∠EMC=∠EHC=90°，∴E，M，H，C四點共圓，∴∠HMC=∠HEC=45°，在△CMH和△CDH中，∵CM=CD，∠MCG=∠DCG，CH=CH∴△CMH≌△CDH(SAS)∴∠CDH=∠CMH=45°，∵∠CDA=90°，∴∠GDH=45°∵∠GHQ=∠CHP=45°，∴∠GHQ=∠GDH=45°，∵∠HGQ=∠DGH，∴△GHQ∽△GDH，∴，∴GH2=GQ·GD∴GE2-CH2=GQ·GD故④說法正確，符合題意；綜上可得，正確的結論有:①③④故答案為：①③④．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、翻折問題、勾股定理、三角形全等的判定與性質(zhì)、三角形的相似的判定與性質(zhì)．翻折問題是全等變換，由翻折得到對應角相等，對應邊相等是解題的關鍵．三、解答題（本大題共9小題，滿分72分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.解方程：．【答案】，【解析】【分析】本題考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可．【詳解】解：由得，∴或，∴，．18.如圖，點E，F(xiàn)在直線上，，，．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，熟練掌握各知識點并靈活運用是解題的關鍵．先證明，得到，即可得到．【詳解】證明：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．19.如圖，為的直徑，垂直平分線段，交于點D，交于點C，連接、、．（1）求證：是等邊三角形；（2）點E在線段的延長線上，且，試判斷與的位置關系，并說明理由．【答案】（1）見解析（2）相切，理由見解析【解析】【分析】（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)得到，然后結合即可得到是等邊三角形；（2）首先得出，然后由求出，然后求出，即可證明出與相切．【小問1詳解】解：∵垂直平分線段，∴又∵∴∴是等邊三角形；【小問2詳解】解：∵是等邊三角形∴∵，∴，∴，∵是的半徑，∴與相切．【點睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等邊對等角，三角形外角的性質(zhì)，切線的判定等知識，解題的關鍵是掌握以上知識點．20.我校對九年級學生參與“力學”“熱學”“光學”“電學”四個類別的物理實驗情況進了抽樣調(diào)查，每位同學僅選其中一個類別，根據(jù)調(diào)查結果繪制了如圖所示的不完整的頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計圖（圖1），請根據(jù)圖表提供的信息，解答下列問題：類別頻數(shù)（人數(shù)）頻率力學熱學10光學30電學15（1）直接寫出頻數(shù)分布表中、的值：______，______；（2）直接寫出表示參與“光學”實驗的扇形圓心角的度數(shù)______°；（3）參與“電學”實驗的同學在做“燈泡亮了”的實驗時，提出如下問題：如圖2，電路圖上有四個開關，，，和一個小燈泡，閉合開關或同時閉合開關，，都可使小燈泡發(fā)光．若隨機閉合其中的兩個開關，用畫樹狀圖或列表的方法求小燈泡發(fā)光的概率．【答案】（1）45，（2）108（3）【解析】【分析】此題考查了頻數(shù)與頻率，畫樹狀圖或列表的方法求概率，求扇形統(tǒng)計圖中扇形的圓心角等知識，熟練掌握這些知識是解題的關鍵．（1）根據(jù)光學的人數(shù)和頻率即可得出總人數(shù)，再用總人數(shù)乘以即可求出a的值，然后用參與“熱學”實驗的人數(shù)除以總人數(shù)即可求出頻率，進而完成頻數(shù)分布表即可；（2）用乘以參與“光學”實驗的人數(shù)所占的頻率即可得出答案；（3）依據(jù)題意先畫樹狀圖得出所有等可能的出現(xiàn)結果，然后根據(jù)概率公式求出該事件的概率．【小問1詳解】解：（人），，∴參與“熱學”實驗的頻率為，故答案為：45；；【小問2詳解】解：參與“光學”實驗的扇形圓心角的度數(shù)是：；故答案為：108；【小問3詳解】解：畫樹狀圖，如圖共有12種等可能的情況，能使小燈泡發(fā)光的有6種情況，則．21.電影《哪吒之魔童鬧?！烦蔀槭撞窟M入全球票房榜前五，登頂全球動畫票房榜榜首的亞洲影！與之相關的周邊也在市場上熱銷起來，某書店計劃同時購進哪吒磁性書簽和金屬書簽．已哪吒磁性書簽的單價比金屬書簽的單價多20元，用2400元購買哪吒磁性書簽的數(shù)量與用800購買金屬書簽的數(shù)量相同．（1）求哪吒磁性書簽和金屬書簽的單價；（2）為滿足顧客需求，書店老板從廠家一次性購進哪吒磁性書簽和金屬書簽共200個，且購買的費用不超過3600元，求最多可以購進哪吒磁性書簽多少個？【答案】（1）金屬書簽的單價為10元，則哪吒磁性書簽的單價為30元；（2）最多可以購進哪吒磁性書簽80個．【解析】【分析】本題主要考查了分式方程的實際應用，一元一次不等式的實際應用，正確理解題意列出方程和不等式是解題的關鍵．（1）設金屬書簽的單價為x元，則哪吒磁性書簽的單價為元，根據(jù)題意列出分式方程求解即可；（2）設最多可以購進哪吒磁性書簽m個，則購進金屬書簽個，根據(jù)題意列出一元一次不等式求解即可．【小問1詳解】設金屬書簽的單價為x元，則哪吒磁性書簽的單價為元根據(jù)題意得，解得經(jīng)檢驗，是原方程的解∴∴金屬書簽的單價為10元，則哪吒磁性書簽的單價為30元；【小問2詳解】設最多可以購進哪吒磁性書簽m個，則購進金屬書簽個根據(jù)題意得，解得∴最多可以購進哪吒磁性書簽80個．22.某數(shù)學小組開展項目式學習，從生活中搬重物爬樓梯的困難入手，跨學科研究三輪爬梯車（如圖①）的設計原理和優(yōu)化設計．圖②是該數(shù)學小組設計的一個爬梯車模型，有兩個輪子水平放置在地面EF上，圖中，和分別代表3個輪子，3個輪子的半徑均為，點O為支點，，且，拉桿．（1）求的長；（2）在使用爬梯車時，拉桿傾斜，從條件①或條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求把手D到地面的距離的長．條件①：與的夾角；條件②：點O到的距離為．注：如果選擇條件①和條件②分別作答，按第一個解答計分．（參考數(shù)據(jù)：，，．）【答案】（1）（2）選擇條件①．條件②：【解析】【分析】本題考查解直角三角形的實際應用；（1）過作于，連接交于，根據(jù)題意可得平行地面，則，，再由，，可得，，，根據(jù)直角三角形和勾股定理可以求出，則；（2）過作于，則四邊形是矩形，得到，再分別選擇兩個條件，求出的長，最后根據(jù)計算即可．【小問1詳解】解：過作于，連接交于，∵和輪子的半徑均為，∴點和點到地面距離都是，∴平行地面，∴，，∵，，∴，，，∴，∴，∴；【小問2詳解】解：過作于，則四邊形是矩形，∴，選擇條件①：與的夾角，∴，∵拉桿，∴，∴把手D到地面的距離．選擇條件②：點O到的距離為，即∵，∴，∴把手D到地面的距離．23.如圖，已知，，（1）尺規(guī)作圖：在邊求作點D，使得（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）連接，若，求與的面積比．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)，尺規(guī)作一個角等于已知角，熟練掌握各知識點并靈活運用是解題的關鍵．（1）按照尺規(guī)作一個角等于已知角的方法作圖即可；（2）先根據(jù)正切求得，設，由勾股定理得，證明，再由相似三角形面積比等于相似比的平方求解．【小問1詳解】解：如圖，點即為所求：【小問2詳解】解：∵，∴，設，∴，∵，，∴∴．24.在中，，邊繞點逆時針旋轉得到線段，連接，過點作垂足為，連接．（1）如圖1若，時，求及的長；（2）如圖2，當時，求證：；（3）如圖3，當時，按要求重新作圖并回答：、、是否依然存在（2）中的等量關系？如果存在，請說明理由．否則，請說明三者存在什么樣的關系？并說明理由．【答案】（1），（2）證明見解析（3）不存在（2）中的等量關系，存在的關系【解析】【分析】（1）由旋轉的性質(zhì)得，是等腰直角三角形，易得，因此、、、四點共圓，推出，得，，在中，，可得，，即可求出，根據(jù)及，即可求及的長；（2）由旋轉的性質(zhì)得，是等腰直角三角形，易得，因此、、、四點共圓，得，易得，是等腰直角三角形，過點作交于點，