2.1認(rèn)識一元二次方程（第2課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)1.教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課是北師大版九年級上冊數(shù)學(xué)第二章《一元二次方程》第一節(jié)“認(rèn)識一元二次方程”第2課時(shí)，內(nèi)容包括：一元二次方程的解及一元二次方程的解的估算。2.內(nèi)容解析學(xué)生在學(xué)習(xí)一元二次方程之前已經(jīng)掌握了一元一次方程等的概念、解法及應(yīng)用。一元二次方程和一元一次方程在形式上有相似性，這為學(xué)生通過類比學(xué)習(xí)一元二次方程提供了良好的認(rèn)知基礎(chǔ)。本節(jié)課在上一課時(shí)對一元二次方程概念的認(rèn)知基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探究一元二次方程解的情況。在已有方程求解認(rèn)知基礎(chǔ)上，拓展到一元二次方程領(lǐng)域，讓學(xué)生理解求解本質(zhì)是尋找使方程成立的未知數(shù)的值。學(xué)生在之前學(xué)習(xí)一元一次方程、二元一次方程時(shí)，已掌握代入檢驗(yàn)方程解的基本方法。本節(jié)課在此基礎(chǔ)上，通過多次代入不同數(shù)值進(jìn)行嘗試，觀察結(jié)果與目標(biāo)值的差距，逐步縮小范圍以逼近近似解。此過程能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感和推理能力，這為后續(xù)學(xué)習(xí)精確解法及理解方程與函數(shù)的聯(lián)系奠定基礎(chǔ)，是從認(rèn)識到應(yīng)用方程的重要過渡。基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：理解一元二次方程解的含義，掌握代入數(shù)值嘗試、逐步逼近等尋找方程解或近似解的方法。1.教學(xué)目標(biāo)（1）通過對實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程及探究其解的過程，能準(zhǔn)確說出一元二次方程解的含義，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。?（2）通過代入數(shù)值嘗試、逐步逼近等方法尋找一元二次方程解或近似解的實(shí)踐，能熟練運(yùn)用這些方法解決相關(guān)問題，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)。?（3）通過結(jié)合實(shí)際問題情境探究方程解的情況，能分析解的合理性并解釋其實(shí)際意義，發(fā)展數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。2.目標(biāo)解析（1）生能清晰且準(zhǔn)確地表述出一元二次方程解的定義，能判斷一個(gè)給定的數(shù)值是否為某個(gè)一元二次方程的解，在面對不同的一元二次方程時(shí)，都能依據(jù)定義進(jìn)行相關(guān)判斷，體現(xiàn)出對這一概念的準(zhǔn)確把握。?（2）學(xué)生能熟練運(yùn)用代入數(shù)值嘗試的方法，通過多次代入不同數(shù)值，觀察方程左右兩邊的結(jié)果，逐步縮小范圍以找到一元二次方程的解或近似解；在解決相關(guān)問題時(shí)，能清晰地展現(xiàn)出推理過程，運(yùn)算過程準(zhǔn)確無誤，能高效解決類似的求解問題。?（3）學(xué)生在面對實(shí)際問題轉(zhuǎn)化而成的一元二次方程時(shí)，能結(jié)合問題的實(shí)際背景，分析所找到的解是否符合實(shí)際情況，能清晰地解釋解在該實(shí)際情境中的具體意義，比如在面積問題中，解所代表的長度是否合理等，體現(xiàn)出將數(shù)學(xué)知識與實(shí)際情境相結(jié)合的能力。學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)系統(tǒng)掌握了一元一次方程、二元一次方程組等的解的概念，明確知道“使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是方程的解”，并且能夠熟練運(yùn)用移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等方法求解一元一次方程，對二元一次方程組也能通過代入消元、加減消元等方法求解，這為理解一元二次方程解的含義奠定了一定的基礎(chǔ)。但由于一元二次方程的形式相對復(fù)雜，未知數(shù)的最高次數(shù)為2，學(xué)生對其解的探究較為陌生。在教學(xué)過程中，預(yù)估學(xué)生會遇到一些困難：在運(yùn)用代入嘗試、逐步逼近法時(shí)，很多學(xué)生可能不知道如何合理選擇初始數(shù)值，導(dǎo)致多次嘗試后仍不能有效縮小范圍，浪費(fèi)時(shí)間且效率低下；部分學(xué)生在計(jì)算過程中容易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤，影響對結(jié)果的判斷；在結(jié)合實(shí)際情境分析解的合理性時(shí)，學(xué)生往往容易只關(guān)注方程的數(shù)學(xué)解，而忽略實(shí)際意義對解的限制，比如在計(jì)算人數(shù)、長度等問題時(shí)，出現(xiàn)負(fù)數(shù)解也認(rèn)為是合理的，不能將數(shù)學(xué)解與實(shí)際情況有效關(guān)聯(lián)。1.針對學(xué)生在代入嘗試、逐步逼近法中難以合理選擇初始數(shù)值的問題，可引導(dǎo)學(xué)生先觀察方程特點(diǎn)，如系數(shù)大小、常數(shù)項(xiàng)等，結(jié)合實(shí)際情境確定未知數(shù)的大致取值范圍，再從范圍中點(diǎn)或整數(shù)開始嘗試，同時(shí)示范如何根據(jù)計(jì)算結(jié)果（如左邊大于右邊則減小數(shù)值，反之增大數(shù)值）調(diào)整范圍；2.對于運(yùn)算錯(cuò)誤，可通過小組互查、錯(cuò)題展示分析等方式，強(qiáng)調(diào)運(yùn)算步驟的規(guī)范性，還可讓學(xué)生總結(jié)易錯(cuò)點(diǎn)，強(qiáng)化計(jì)算準(zhǔn)確性；3.在分析解的合理性時(shí)，可結(jié)合具體實(shí)例，明確實(shí)際問題中量的限制條件（如長度為正、人數(shù)為非負(fù)整數(shù)等），引導(dǎo)學(xué)生對比解與實(shí)際條件，通過提問“這個(gè)解在實(shí)際中可能存在嗎”等引發(fā)思考，加深對解的實(shí)際意義的理解?；谝陨戏治觯_定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：估算一元二次方程的解。1.復(fù)習(xí)回顧（1）什么樣的方程是一元二次方程？其一般形式是什么？只含有一個(gè)未知數(shù)x的整式方程，并且都可以化為ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù),a≠0)的形式，這樣的方程叫作一元二次方程.我們把a(bǔ)x2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù),a≠0)稱為一元二次方程的一般形式.其中ax２,bx,c分別稱為二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，a,b分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù).（2）請寫出一個(gè)一元二次方程，并指出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。（3）再出示幾個(gè)方程，如“5x2-3x=0、3x+2=5、x2+2y-1=0”，讓學(xué)生判斷是否為一元二次方程，并說明依據(jù)。（設(shè)計(jì)意圖：強(qiáng)化學(xué)生對上一課時(shí)一元二次方程概念及一般形式的掌握，鞏固對相關(guān)要素的識別能力，為本節(jié)課探究一元二次方程的解做好知識銜接，確保學(xué)生在已有知識基礎(chǔ)上進(jìn)入新知識學(xué)習(xí)。）（教學(xué)建議：采用提問與搶答結(jié)合的方式，調(diào)動學(xué)生積極性。對學(xué)生的舉例和判斷，重點(diǎn)關(guān)注其是否準(zhǔn)確把握“只含一個(gè)未知數(shù)、未知數(shù)最高次數(shù)是2、整式方程”這三個(gè)要點(diǎn)，及時(shí)糾正錯(cuò)誤認(rèn)知。）2.情景引入問題：某學(xué)校要建一個(gè)面積為120m2的矩形花壇，已知花壇的長比寬多2m，求花壇的長和寬各是多少？你能列方程求解嗎？學(xué)生：設(shè)花壇的寬為xm，則長為(x+2)m.根據(jù)題意可得方程x(x+2)=120，整理得到x2+2x-120=0.提問：如何確定這個(gè)方程中x的值，即如何找到方程的解呢？（設(shè)計(jì)意圖：通過課本實(shí)際情境，讓學(xué)生經(jīng)歷“實(shí)際問題—列方程—整理方程”的過程，體會一元二次方程的實(shí)際意義，自然引出本節(jié)課“探究一元二次方程的解”的主題。）（教學(xué)建議：引導(dǎo)學(xué)生自主分析數(shù)量關(guān)系，鼓勵學(xué)生嘗試列出方程，對于整理方程的過程，可讓學(xué)生口述步驟，教師板書示范，強(qiáng)調(diào)移項(xiàng)要變號等細(xì)節(jié)。）探究點(diǎn)1一元二次方程的解1.問題探究提問：結(jié)合我們剛才列出的方程x2+2x-120=0，思考一下，什么是一元二次方程的解呢？引導(dǎo)學(xué)生通過類比一元一次方程解的含義，總結(jié)得出：一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，就被稱作一元二次方程的解，也叫做方程的根。追問：試判斷一下，x=10是不是方程x2+2x-120=0的解呢？計(jì)算過程：當(dāng)x=10時(shí)，左邊=102+2×10-120=0=右邊，所以x=10是方程x2+2x-120=0的解。（設(shè)計(jì)意圖：通過引導(dǎo)學(xué)生類比已學(xué)的一元一次方程解的含義，自主總結(jié)出一元二次方程解的概念，幫助學(xué)生建立新舊知識之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)知識的遷移。借助具體方程的驗(yàn)證過程，讓學(xué)生直觀感受“解”的本質(zhì)——使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，從而深化對概念的理解，為后續(xù)學(xué)習(xí)求解方法奠定認(rèn)知基礎(chǔ)。）（教學(xué)建議：在提問后，給學(xué)生留出充足的思考和討論時(shí)間，鼓勵他們結(jié)合已有知識大膽表達(dá)想法。當(dāng)學(xué)生類比出現(xiàn)偏差時(shí)，不要直接否定，而是通過舉例進(jìn)行引導(dǎo)，讓學(xué)生在對比中修正認(rèn)知。在驗(yàn)證解時(shí)，可讓學(xué)生自主計(jì)算并展示過程，教師重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)“左右兩邊相等”這一關(guān)鍵條件，強(qiáng)化對概念的精準(zhǔn)把握。同時(shí)，可補(bǔ)充一個(gè)反例讓學(xué)生進(jìn)一步明確“不相等則不是解”，加深對概念的辨析。）練一練1.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一個(gè)根是3，求a的值.解：由題意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得32+3a+a=0∴9+4a=0∴4a=-9∴a=?探究點(diǎn)2估算一元二次方程的近似解1.議一議對于前一課時(shí)第一個(gè)問題，你能設(shè)法估計(jì)四周未鋪地毯部分的寬度x（m）嗎？我們知道x滿足方程（8-2x）（5-2x）=18.(1)x可能小于0嗎?x可能大于4嗎?可能大于2.5嗎?說說你的理由.解：x不可能小于0。根據(jù)題意，8-2x和5-2x分別表示地毯的長和寬，所以8-2x>0，5-2x>0，因此x不可能大于4，也不可能大于2.5.(2)x的大致范圍是多少？解：x的大致范圍是0<x<2.5.(3)完成下表：(4)你知道地毯花邊的寬x(m)是多少嗎?還有其他求解方法嗎?與同伴進(jìn)行交流．解：因?yàn)樗髮挾葂的大致范圍是0<x<2.5，所以所求寬度是1m時(shí)，可使方程(8-2x)(5-2x)=18成立.還可以將18分解因數(shù)為6×3，用8-2x＝6和5-2x＝3的方法求出其解為x＝1.2.做一做在前一課的問題中，梯子底端滑動的距離x(m)滿足方程（x+6）2+72=102,也就是x2+12x-15=0.（1）小明認(rèn)為底端也滑動了1m，他的說法正確嗎？為什么？解：將x=1代入方程x2+12x-15=0，左邊=12+12×1-15=-2≠0，所以小明的說法不正確.（2）底端滑動的距離可能是2m嗎？可能是3m嗎？為什么？解：將x=2代入方程x2+12x-15=0，左邊=22+12×2-15=13≠0，將x=3代入方程x2+12x-15=0，左邊=32+12×3-15=30≠0，所以底端滑動的距離不可能是2m和3m.（3）你能猜出滑動距離x（m）的大致范圍嗎？解：∵x=1時(shí)，方程左邊=-2＜0，x=2時(shí)，方程左邊=13＞0，∴x的大致范圍是1<x<2.（4）x的整數(shù)部分是幾？十分位是幾？小亮把他的求解過程整理如下：∴1<x<1.5.進(jìn)一步計(jì)算：所以1.1＜x＜1.2,因此x整數(shù)部分是1,十分位是1.歸納總結(jié)：求一元二次方程近似解的一般步驟：（1）根據(jù)實(shí)際問題確定解的大致范圍，并據(jù)此合理列表，算出對應(yīng)的ax2+bx+c值；（2）根據(jù)表格確定解的范圍，當(dāng)相鄰兩個(gè)數(shù)，一個(gè)使ax2+bx+c＞0，一個(gè)使ax2+bx+c＜0，那么ax2+bx+c=0的解就在這兩個(gè)數(shù)之間.（設(shè)計(jì)意圖：借助層層深入的探究活動，幫助學(xué)生透徹理解一元二次方程解的含義，熟練掌握代入嘗試法和逐步逼近法的基本思路，全方位培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和估算能力，充分彰顯北師大版教材“從具體到抽象”的知識呈現(xiàn)特色。）?（教學(xué)建議：代入嘗試環(huán)節(jié)，組織學(xué)生分組進(jìn)行計(jì)算，并認(rèn)真記錄結(jié)果。通過小組內(nèi)的對比討論，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。在逐步逼近法教學(xué)時(shí)，重點(diǎn)突出“縮小范圍”的核心思想，指導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察數(shù)值變化與結(jié)果符號之間的關(guān)系，切實(shí)體會“夾逼”方法的運(yùn)用技巧。）練一練2.小亮同學(xué)在探究一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的近似解時(shí)，填好了下面的表格：根據(jù)以上信息，請你確定方程ax2+bx+c＝0＝0的一個(gè)解的范圍是3.24<x<3.25.典例分析例1：若關(guān)于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0,有一個(gè)根為0，求m的值.解：將x=0代入方程m2-4=0，解得m=±2.∵m+2≠0，∴m≠-2，綜上所述：m=2.例2：請求出一元二次方程x2－2x－1＝0的正數(shù)根(精確到0.1)．解析：先列表取值，初步確定正數(shù)根x在哪兩個(gè)整數(shù)之間，然后再用類似的方法逐步確定出x的近似正數(shù)根．解：(1)列表，依次取x＝0，1，2，3，…x0123…x2－2x－1－1－2－12…由上表可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)2＜x＜3時(shí)，－1＜x2－2x－1＜2；(2)繼續(xù)列表，依次取x＝2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，…x2.12.22.32.42.5…x2－2x－1－0.79－0.56－0.31－0.040.25…由上表可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)2.4＜x＜2.5時(shí)，－0.04＜x2－2x－1＜0.25；(3)取x＝2.45，則x2－2x－1≈0.1025.∴2.4＜x＜2.45，∴x≈2.4.（設(shè)計(jì)意圖：例1通過根據(jù)方程的解求參數(shù)，加深學(xué)生對一元二次方程解的含義的理解，學(xué)會利用解的定義解決相關(guān)問題；例2則強(qiáng)化學(xué)生對逐步逼近法的運(yùn)用，提高估算能力，讓學(xué)生進(jìn)一步掌握求一元二次方程近似解的方法，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣。）（教學(xué)建議：在講解例1時(shí)，要強(qiáng)調(diào)“解滿足方程”這一核心要點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生將解代入方程建立關(guān)于參數(shù)的方程進(jìn)行求解；對于例2，讓學(xué)生自主嘗試取值、計(jì)算和縮小范圍，教師適時(shí)引導(dǎo)，提醒學(xué)生注意取值的合理性和計(jì)算的準(zhǔn)確性，鼓勵學(xué)生分享自己的估算思路和過程。）1.以-2為根的方程是（）A.x2+2x-2＝0B.x2-x-2＝0C.x2+x+2＝0D.x2+x-2＝02.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+a＝0有一個(gè)根是-2，那么a的值是（）A.2 B.-1C.-2 D.103.已知x＝1為方程ax2+bx+c＝0（a，b，c為常數(shù)，且a≠0)的根，則a+b+c的值是（）A.-2B.0C.-1D.14.下列關(guān)于x的一元二次方程(a-2)x2+x+a2-4＝0的一個(gè)根是0，則a的值為（）A.2B.-2C.2或-2D.145.根據(jù)下列表格的對應(yīng)值可知，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c為常數(shù))一個(gè)解x的范圍是()x[來源:學(xué)3.233.243.253.26ax2＋bx＋c－0.06－0.020.030.09A.3＜x＜3.2B.3.23＜x＜3.24C.3.24＜x＜3.25D.3.25＜x＜3.266.已知一元二次方程x2－2x－4＝0，求它的近似解.(精確到個(gè)位)參考答案1.D2.A3.B4.B5.C6.解：列表計(jì)算：x－2－101234x2－2x－44－1－4－5－4－14所以－2<x<－1或3<x<4.進(jìn)一步計(jì)算：x-1.1-1.2-1.3-1.4x2－2x－4-0.59-0.160.290.76x3.13.23.33