2025年春季期高二年級期末考試數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3．考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4．本卷命題范圍：一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，計(jì)數(shù)原理，數(shù)學(xué)探究，隨機(jī)變量及其分布，成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，數(shù)學(xué)建模，集合與常用邏輯用語，一元二次函數(shù)、方程和不等式，函數(shù)的概念與性質(zhì).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，又，所?故選：A.2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【詳解】由條件概率公式可得，.故選：B.3.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2【答案】B【詳解】因?yàn)椋?，又，所?故選：B.4.曲線在處的切線方程是（）A. B.C. D.【答案】A【詳解】因?yàn)椋?，所以．又?dāng)時(shí)，，故切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以切線方程為．故選：A.5.已知函數(shù)滿足，且，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【詳解】，.故選：C.6.設(shè)隨機(jī)變量，且，隨機(jī)變量，則（

）A. B. C.2 D.3【答案】B【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，所以，解得，所以,因?yàn)?，所?故選：B7.隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來，越來越多的網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)開始使用推薦系統(tǒng)來給用戶提供更加個(gè)性化的服務(wù).某公司在研發(fā)平臺(tái)軟件的推薦系統(tǒng)時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)收集的數(shù)據(jù)量為x（）萬條時(shí)，平臺(tái)軟件收入為元.已知每收集1萬條數(shù)據(jù)，公司需要花費(fèi)成本100元，當(dāng)該軟件獲得最高收益時(shí)，收集的數(shù)據(jù)量應(yīng)為（）A.17萬條 B.16萬條 C.15萬條 D.14萬條【答案】C【詳解】設(shè)收益為y元，則，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)y在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即當(dāng)收集數(shù)據(jù)量為15萬條時(shí)，該軟件能獲得最高收益.故選：C.8.如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在用7種顏色給5個(gè)小區(qū)域（，，，，）涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法有（）A.2520種 B.3360種 C.3570種 D.4410種【答案】D【詳解】分4步進(jìn)行分析：①對于區(qū)域，有7種顏色可選；②對于區(qū)域，與區(qū)域相鄰，有6種顏色可選；③對于區(qū)域，與、區(qū)域相鄰，有5種顏色可選；④對于區(qū)域、若與顏色相同，區(qū)域有5種顏色可選，若與顏色不相同，區(qū)域有4種顏色可選，區(qū)域有4種顏色可選，則區(qū)域、有種選擇.綜上所述，不同的涂色方案有種.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.學(xué)生食堂提供共4種主食和共5種配菜，李明同學(xué)想點(diǎn)2種主食與2種配菜，則（）A.不選主食的方法種數(shù)為30 B.主食和配菜都選的方法種數(shù)為12C.配菜至少選1種的方法種數(shù)為54 D.主食，配菜只選2種的方法種數(shù)為21【答案】ABD【詳解】對于A，不選主食的方法種數(shù)為，A正確；對于B，主食和配菜都選的方法種數(shù)為，B正確；對于C，配菜至少選1種的方法種數(shù)為，C錯(cuò)誤；對于D，主食，配菜只選2種的方法種數(shù)為，D正確．故選：ABD．10.下列關(guān)于的二項(xiàng)展開式，說法正確的是（）A.展開式共有10項(xiàng) B.展開式二項(xiàng)式系數(shù)之和為1024C.展開式的常數(shù)項(xiàng)為8064 D.展開式的第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大【答案】BD【詳解】由題意可知，展開式共有11項(xiàng)，故A錯(cuò)誤；展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，故B正確；展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以展開式的第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故D正確.故選：BD.11.已知正數(shù)a，b滿足，則（）A. B. C. D.【答案】BC【詳解】由題意，對于A，，因?yàn)椋?，故A錯(cuò)誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，當(dāng)時(shí)，有最小值，而，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的定義域是________．【答案】【詳解】由題意，解得且，所以函數(shù)的定義域是.故答案為：.13.函數(shù)的極小值點(diǎn)為________．【答案】【詳解】，令，即，∴；令，即，∴．∴的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．因此時(shí)函數(shù)取得極小值.函數(shù)的極小值點(diǎn)為.故答案為：14.某校有10名同學(xué)進(jìn)入“一帶一路”知識(shí)競賽的半決賽環(huán)節(jié)，半決賽設(shè)置三道題目，選手按的順序回答題目，只要答對2道題目，即可進(jìn)入決賽，若每位選手答對、題目的概率分別為，且每道題目答對與否互不影響.設(shè)人進(jìn)入決賽的概率為，當(dāng)取得最大值時(shí)，________.【答案】7【詳解】每位同學(xué)進(jìn)入總決賽的概率為，設(shè)表示人進(jìn)人總決賽，則，則.當(dāng)取得最大值時(shí)，需滿足解得：，又，所以當(dāng)取得最大值時(shí)，.故答案為：7四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知命題：“，使得不等式成立”是假命題．（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）設(shè)m的取值范圍為集合A，集合，若是的充分條件，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）（2）【小問1詳解】因?yàn)槊}是假命題，所以命題的否定“，使得不等式成立”真命題，則，解得，故實(shí)數(shù)m的取值范圍；小問2詳解】若是的充分條件，則，，解得，即.16.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是和；（2）【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，，，由，可得或，由，可得，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是和；【小問2詳解】解法1：由恒成立，可得：對，，即，，令，可得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．解法2：由恒成立，可得：，，令，當(dāng)時(shí)，可得，即在上單調(diào)遞增，又，即不能恒成立，不合題意；當(dāng)時(shí)，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．所以，因?yàn)楹愠闪ⅲ瑒t需使恒成立，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．17.隨著互聯(lián)網(wǎng)的高速發(fā)展和新媒體形式的不斷豐富，微短劇作為一種新興的文化載體，正逐漸成為拓展文化消費(fèi)空間的重要途徑．某媒體為了了解微短劇消費(fèi)者的年齡分布，隨機(jī)調(diào)查了200名消費(fèi)者，得到如下列聯(lián)表：年齡不超過40歲年齡超過40歲合計(jì)是微短劇消費(fèi)者3045不是微短劇消費(fèi)者合計(jì)100200（1）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“是微短劇消費(fèi)者”與“年齡不超過40歲”有關(guān)聯(lián)？（2）記2020~2024年的年份代碼依次為1，2，3，4，5，下表為2020~2023年中國微短劇市場規(guī)模及2024年中國微短劇預(yù)測的市場規(guī)模（單位：億元）與的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年份代碼x12345市場規(guī)模y9.436.8101.7373.9m根據(jù)上表數(shù)據(jù)求得關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，求相關(guān)系數(shù)，并判斷該經(jīng)驗(yàn)回歸方程是否有價(jià)值．參考公式：，其中，．回歸方程，其中，，，相關(guān)系數(shù)．若，則認(rèn)為經(jīng)驗(yàn)回歸方程有價(jià)值．【答案】（1）認(rèn)為“是微短劇消費(fèi)者”與“年齡不超過40歲”有關(guān)聯(lián)（2），該經(jīng)驗(yàn)回歸方程有價(jià)值．【小問1詳解】補(bǔ)全列聯(lián)表如下：

年齡不超過40歲年齡超過40歲合計(jì)微短劇消費(fèi)者301545不是微短劇消費(fèi)者7085155合計(jì)100100200假設(shè)“是微短劇消費(fèi)者”與“年齡不超過40歲”無關(guān)聯(lián)，因?yàn)?，根?jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為“是微短劇消費(fèi)者”與“年齡不超過40歲”有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05．【小問2詳解】由x的取值依次為1，2，3，4，5，可得，，因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸方程為，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以該?jīng)驗(yàn)回歸方程有價(jià)值．18.某網(wǎng)紅景點(diǎn)為促進(jìn)本地旅游，在五一期間舉行購票抽獎(jiǎng)活動(dòng)，根據(jù)網(wǎng)上購票與景點(diǎn)購票，設(shè)置兩種不同的抽獎(jiǎng)方案．方案1：通過網(wǎng)上購票的游客，可進(jìn)入景點(diǎn)網(wǎng)頁中設(shè)置的小程序抽獎(jiǎng)，每個(gè)顧客可抽獎(jiǎng)2次，每次抽獎(jiǎng)可隨機(jī)獲得0元、10元、20元的獎(jiǎng)金，且抽到0元，10元，20元的概率均為．方案2：通過景點(diǎn)購票的游客，可從裝有3個(gè)紅球和7個(gè)白球的抽獎(jiǎng)箱中，不放回地取球3次，每次取1個(gè)球，第次取到紅球，可得10i元獎(jiǎng)金，取到白球沒有獎(jiǎng)金．（1）游客甲通過網(wǎng)上購票，記甲抽獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金總金額為X元，求；（2）游客乙通過景點(diǎn)購票，記乙抽獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金為Y元，求Y的分布列；（3）試從游客所得獎(jiǎng)金金額的期望值分析，游客選擇哪種購票方式更劃算．【答案】（1）（2）答案見解析（3）游客選擇網(wǎng)上購票更劃算【小問1詳解】，即兩次都抽到20元的紅包，或1次抽到10元的紅包，1次抽到20元的紅包，每次抽到任意紅包的概率均為，所以．【小問2詳解】由題意得的可能取值為0，10，20，30，40，50，60，，，，，所以的分布列為：0102030405060【小問3詳解】通過景點(diǎn)購票，由（2）得，的可能取值為0，10，20，30，40，，，，所以，故，所以游客選擇網(wǎng)上購票更劃算.19.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）證明：.【答案】（1）答案見解析（2）（3）證明見解