重難點(diǎn)專題圓錐曲線定點(diǎn)問題十二大題型匯總題型1直線過定點(diǎn)之y=kx+m型 1題型2直線過定點(diǎn)之x=ty+m型 3題型3直線過定點(diǎn)之求直線方程型 4題型4特殊到一般法 6題型5斜率和問題 8題型6斜率積問題 題型7斜率比值問題 題型8多斜率問題 題型9與角度有關(guān)的定點(diǎn)問題 14題型10直線過定點(diǎn)之類比法 16題型11定點(diǎn)與恒成立問題 18題型12圓過定點(diǎn)問題 定點(diǎn)問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與曲線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于x或y的一元二次方程的形式；②利用Δ>0求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達(dá)定理整理；④由所得等式恒成立可整理得到定點(diǎn).技巧：若直線方程為y—y0=k(x—x0),則直線過定點(diǎn)(x0,y0);若直線方程為y=kx+b(b為定值),則直線過定點(diǎn)(0,b).【例題1】已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F1(—3,0)，且C經(jīng)過點(diǎn)P(3,．(1)求C的方程；(2)設(shè)C與y軸正半軸交于點(diǎn)D，直線l:y=kX+m與C交于A、B兩點(diǎn)（l不經(jīng)過D點(diǎn)且AD丄BD．證明：直線l經(jīng)過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【變式1-1】1.（2023上·遼寧朝陽(yáng)·高三建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┮阎?jiǎng)狱c(diǎn)MX,y到定點(diǎn)N3,0)的距離與M到定直線：X的距離之比為，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)已知曲線C與y軸的正半軸交于點(diǎn)A，不與X軸垂直的直線l交曲線C于E,F兩點(diǎn)（E，F(xiàn)異于點(diǎn)A直線AE,AF分別與X軸交于P,Q兩點(diǎn)，若P,Q的橫坐標(biāo)的乘積為，則直線l是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.【變式1-1】2.（2023上·廣西玉林·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知橢圓Ea>b>0的左焦點(diǎn)為F1—2,0，且點(diǎn)(6,1)在橢圓E上.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)橢圓E的上、下頂點(diǎn)分別為M,N，點(diǎn)Pn,4(n∈R,n≠0)，若直線PM,PN與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)S,T，證明：直線ST過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo).【變式1-1】3.（2023上·江蘇·高三江蘇省梁豐高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知A—2,0，B2,0，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件：直線PA與直線PB斜率之積等于—，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為E．(1)求E的方程；定點(diǎn)？若是，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說明理由．【變式1-1】4.（2023上·河北張家口·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知橢圓Ca>b>0過點(diǎn)A(—2,1)，且離心率e(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)A作與y=tx2(t<0)相切的兩條直線，分別交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，求證：直線PQ恒過定點(diǎn)．1.直線AB方程為x=ty+m，聯(lián)立曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)整理得到只關(guān)于t、m的方程，即可求出t、m的關(guān)系，即可進(jìn)一步討論直線AB過定點(diǎn)的情況；2.設(shè)直線時(shí)注意考慮AB斜率不存在的情況，聯(lián)立方程也要注意討論判別式.【例題2】已知圓c:x—12+y2=，一動(dòng)圓與直線x=—相切且與圓c外切．(1)求動(dòng)圓圓心P的軌跡T的方程；(2)若經(jīng)過定點(diǎn)Q(6,0)的直線l與曲線T交于A,B兩點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，過M作x軸的平行線與曲線T相交于點(diǎn)N，試問是否存在直線l，使得NA丄NB？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式2-1】1.已知橢圓c:+=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左頂點(diǎn)為A，且滿足EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up0(-),F)-EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up0(--),1)2=2EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up0(-----),AF)，橢圓c上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),P)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(---),F)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),P)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),A)(3)已知直線l:y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M，N(均不是長(zhǎng)軸的端點(diǎn))，AH⊥MN，EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up0(--),A)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up0(----),MH)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up0(-),H)【變式2-1】2.（2022·遼寧沈陽(yáng)·二模）已知橢圓c:+=1a>b>0)的焦距為2，且經(jīng)2過點(diǎn)P1,3．2(1)求橢圓C的方程；(2)經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)F且斜率為kk≠0)的動(dòng)直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，試問x軸上是否存在異于點(diǎn)F的定點(diǎn)T，使AF.BT=BF.AT恒成立？若存在，求出T點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由．【變式2-1】3.（2023上·北京豐臺(tái)·高三北京市第十二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(—3,0),F2(3,0)，離心率為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)M為橢圓C的左頂點(diǎn)，直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，若MA丄MB，求證：直線AB過定點(diǎn)．【變式2-1】4.（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考開學(xué)考試）已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為F1,0，設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段0A的中點(diǎn)為D，且滿足BD=DF.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（異于點(diǎn)A）.證明：直線PQ過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).在解析幾何中，有些含有參數(shù)的直線或曲線的在解析幾何中，有些含有參數(shù)的直線或曲線的方程，不論參數(shù)如何變化，其都過某定點(diǎn)，這類問題稱為定點(diǎn)問題．證明直線（曲線）過定點(diǎn)的基本思想是是確定方程，即使用一個(gè)參數(shù)表示直線（曲線）方程，根據(jù)方程的成立與參數(shù)值無關(guān)得出x,y的方程組，以方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)就是直線（曲線）所過的定點(diǎn)．核心方程是指已知條件中的等量關(guān)系．的距離為，過點(diǎn)F作雙曲線C的兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明：直線MN必過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo).【變式3-1】1.在△PAB中，已知A—2,0、B2,0，直線PA與PB的斜率之積為，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)設(shè)Q為曲線C上一點(diǎn)，直線AP與BQ交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，求證：直線PQ過定點(diǎn).【變式3-1】2.（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）設(shè)橢圓C：a>b>0的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，且焦距為2．點(diǎn)P在橢圓上且異于A、B兩點(diǎn)．若直線PA與PB的斜率之積為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)F(—1,0)作不與X軸重合的直線與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)，直線m的方程為：X=—2a，過點(diǎn)M作ME垂直于直線m，交m于點(diǎn)E．判斷直線EN是否過定點(diǎn)，并說明理由．【變式3-1】3.（2023上·江蘇連云港·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為(—25,0)，離心率為5，點(diǎn)A1，A2為C的左，右頂點(diǎn)．P為直線X=1上的動(dòng)點(diǎn)，PA1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為M，PA2與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N．(1)求C的方程；(2)證明：直線MN過定點(diǎn)．【變式3-1】4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為直線y＝x－2上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作拋物線C：x2＝y(tǒng)的兩條切線MA，MB，切點(diǎn)分別為A，B，N為AB的中點(diǎn)．(1)證明：MN⊥x軸．(2)直線AB是否恒過定點(diǎn)？若是，求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．【變式3-1】5.（2023上·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，周長(zhǎng)為8的△ABC的頂點(diǎn)，A(—3,0)為橢圓E的左焦點(diǎn)，頂點(diǎn)B，C在E上，且邊BC過E的右焦點(diǎn).(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)橢圓E的上、下頂點(diǎn)分別為M，N，點(diǎn)Pm,2m∈R,m≠0),若直線PM，PN與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)S，T，證明：直線ST過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo).特殊到一般法：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).【例題4】（2023上·山東·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，已知點(diǎn)T1(3,—5)和點(diǎn)T2(—5,21)在雙曲線C:—=1(a>0,b>0)上，雙曲線C的左頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)La2,0且不與x軸重合的直線l與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ與圓O:x2+y2=a2分別交于M，N兩點(diǎn).(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2，求k1k2的值；(3)證明：直線MN過定點(diǎn).【變式4-1】1.（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)F為拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)P(—2,4,PF=5，過點(diǎn)P作直線與拋物線E順次交于A,B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作斜率為的直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)C．(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：直線BC過定點(diǎn)．【變式4-1】2.（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線l：X與點(diǎn)F(2,0)，過直線l上的(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；直線BN是否經(jīng)過x軸上一定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．【變式4-1】3.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F1,0的距離比它到直線x=-2的距離小1，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C，過點(diǎn)F且斜率為k（K≠0）的直線交曲線C于(1)求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A，探究直線AN是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.【變式4-1】4.（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，已知橢圓W的離心率為，橢圓W上的點(diǎn)與點(diǎn)P0,2的距離的最大值為4.(1)求橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)B在直線X=4上，點(diǎn)B關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)為B1，直線PB,PB1分別交橢圓W于C,D兩點(diǎn)（不同于P點(diǎn)）.求證：直線CD過定點(diǎn).【變式4-1】5.（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知F1，的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)P(—2,23)為雙曲線C上的點(diǎn)，且△PF1F2的面積為215.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)原點(diǎn)O到直線l的距離為，直線l交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，試問：以線段AB為直徑的圓是否經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)？若經(jīng)過，求出該定點(diǎn)；若不經(jīng)過，請(qǐng)說明理由.與定點(diǎn)問題有關(guān)的基本結(jié)論（1）若直線l與拋物線y2=2px交于點(diǎn)A,B，則OA⊥OB兮直線l（2）若直線l與拋物線y2=2px交于點(diǎn)A,B，則KOA.KOB=m兮直線l過定點(diǎn)P(p+（3）設(shè)點(diǎn)P(2pt02,2pt0)是拋物線y2=2px上一定點(diǎn)，M,N是該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則PM⊥（4）設(shè)點(diǎn)A(x0,y0)是拋物線y2=2px上一定點(diǎn)，M,（5）過橢圓+=1a>b>0)的左頂點(diǎn)P作兩條互相垂直的直線與該橢圓交于點(diǎn)A,B，（6）過橢圓a>0,b>0的左頂點(diǎn)P作兩條互相垂直的直線與該橢圓交于（7）設(shè)點(diǎn)Pm,n是橢圓C：+=1(a>b>0)上一定點(diǎn)，點(diǎn)A，B是橢圓C上不同于P的兩點(diǎn)，若KPA+KPB=λλ≠0，則直線AB過定點(diǎn)（8）設(shè)點(diǎn)Pm,n是雙曲線C：—=1(a>0,b>0)一定點(diǎn)，點(diǎn)A，B是雙曲線C上不同于P的兩點(diǎn)，若kPA+kPB=λλ≠0，則直線A2b2ma2λ.【例題5】橢圓Ea>b>0)的離心率為，右焦點(diǎn)為F2c,0，點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)，且PF2的最大值為（1）求橢圓E的方程；（2）過A0,1作斜率分別為k1，k2的兩條直線分別交橢圓于點(diǎn)M，N，且k1+k2=4，證明：直線MN恒過定點(diǎn)．【變式5-1】1.（2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）已知拋物線C：y2=2px過點(diǎn)A2,4．(1)求拋物線C的方程；(2)P，Q是拋物線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AP的斜率與直線AQ的斜率之和為4，證明：直線PQ恒過定點(diǎn)．【變式5-1】2.（2023上·湖北隨州·高三隨州市曾都區(qū)第一中學(xué)校考開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓心為C的動(dòng)圓過點(diǎn)(2,0)，且在y軸上截得的弦長(zhǎng)為4，記C的軌跡為曲線E．(1)求E的方程；(2)已知A(1,2)及曲線E上的兩求證：直線BD經(jīng)過定點(diǎn)．【變式5-1】3.（2023·河北張家口·統(tǒng)考三模）已知點(diǎn)P4,3為雙曲線Ea>0,b>0)上一點(diǎn)，E的左焦點(diǎn)F1到一條漸近線的距離為3.(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)不過點(diǎn)P的直線y=kx+t與雙曲線E交于A,B兩點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率和為1，證明：直線y=kx+t過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).【變式5-1】4.（2023下·湖南岳陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）已知雙曲線C四點(diǎn)P11,1，P21,0，P3(2,3)，P4(2,—3)中恰有三點(diǎn)在雙曲線C上.(1)求C的方程；(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn)，若直線P2A與直線P2B的斜率的和為—1.證明：l過定點(diǎn).【例題6】已知點(diǎn)M為橢圓C：3x2+4y2=12的右頂點(diǎn)，點(diǎn)A，B是橢圓C上不同的兩點(diǎn)（均異于點(diǎn)M且滿足直線MA與直線MB斜率之積為.（1）求橢圓C的離心率及焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）試判斷直線AB是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若否，說明理由.【變式6-1】1.（2020下·山西運(yùn)城·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）拋物線E:y2=2px（p>0斜率為1的直線l過拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn).（1）試判斷直線l與拋物線E的位置關(guān)系，并加以證明；（2）若p=2，過A1,2分別作斜率為k1，k2的兩條直線l1，l2，分別交拋物線于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)，且k1.k2=8，證明：直線MN恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).【變式6-1】2.（2024上·山東臨沂·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知拋物線E:y2=2px(p>0)，P(4,y0)為E上位于第一象限的一點(diǎn)，點(diǎn)P到E的準(zhǔn)線的距離為5．(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為E的焦點(diǎn)，A，B為E上異于P的兩點(diǎn)，且直線PA與PB斜率乘積（i）證明：直線AB過定點(diǎn)；（ii）求FA.FB的最小值．【變式6-1】3.（2023上·陜西西安·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知橢圓C的右頂點(diǎn)為M2,0，離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)不經(jīng)過點(diǎn)M的直線l與C交于A,B兩點(diǎn)，且直線MA和MB的斜率之積為1，證明：直線l過定點(diǎn).【變式6-1】4.（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知為O坐標(biāo)原點(diǎn)，A2,0,B0,1,C(0,—1,D2,1)，OE=λOA,DF=λDA,0<λ≤1，CE(1)求點(diǎn)P的軌跡G；(2)直線y=X+m(m≠0)和曲線G交與M，N兩點(diǎn)，試判斷是否存在定點(diǎn)Q使KMQKNQ如果存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，不存在請(qǐng)說明理由.【例題7】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓Ca>b>(1)求橢圓C的方程；(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過F2的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，求△OAB面積的最大值；(3)若橢圓上另有一點(diǎn)M，使得直線MA1與A2B斜率K1、K2滿足K2=2K1，請(qǐng)分析直線BM是否恒過定點(diǎn).【變式7-1】1.（2023·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)A—2,0,B2,0，動(dòng)點(diǎn)M(X,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程，并說明C是什么曲線；(2)設(shè)P,Q為曲線C上的兩動(dòng)點(diǎn)，直線AP的斜率為KAP，直線BQ的斜率為KBQ，且KAP=7KBQ.①求證：直線PQ恒過一定點(diǎn)；②設(shè)△PQB的面積為S，求S的最大值.【變式7-1】2.（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓C：(X+5)2+y2=4，定點(diǎn)D(5,0)，如圖所示，圓C上某一點(diǎn)D1恰好與點(diǎn)D關(guān)于直線PQ對(duì)稱，設(shè)直線PQ與直線D1C的交點(diǎn)為T.(1)求證：TC—TD為定值，并求出點(diǎn)T的軌跡E方程；(2)設(shè)A—1,0，M為曲線E上一點(diǎn)，N為圓X2+y2=1上一點(diǎn)（M，N均不在X軸上）.直線AM，AN的斜率分別記為k1，k2，且k1=—4k2.求證：直線MN過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo).【變式7-1】3.（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考二模）已知橢圓E:+=1(a>b>0)的離心率為，其左、右頂點(diǎn)分別為A,B,左右焦點(diǎn)為F1,F2,點(diǎn)P為橢圓上異于A,B的動(dòng)點(diǎn)，且△PF1F2的面積最大值為3.(1)求橢圓E的方程及kPA.kPB的值kPA、kPB分別指直線PA、PB的斜率）(2)設(shè)動(dòng)直線l交橢圓E于M,N兩點(diǎn)，記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2，且k1=k2.①求證：直線MN過定點(diǎn)；②設(shè)△AMN、△BMN的面積分別為S1,S2，求S1—S2的取值范圍.【變式7-1】4.（2023·貴州黔西·?？家荒＃┮阎p曲線C:—=1(a>0,b>0)的離心率是5，點(diǎn)P(3,—42)在雙曲線C上．(1)求雙曲線C的方程；的斜率分別記為k1,k2，且4k2+k1=0，判斷：直線MN是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．題型8多斜率問題【例題8】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩定點(diǎn)A—4,0，B4,0，M是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之間，且2MN2=AN.NB．(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡Γ;(2)設(shè)過P0,1的直線交曲線Γ于C，D兩點(diǎn)，Q為平面上一動(dòng)點(diǎn)，直線QC，QD，QP的斜率分別為k1，k2，k0，且滿足問：動(dòng)點(diǎn)Q是否在某一定直線上？若在，求出該定直線的方程；若不在，請(qǐng)說明理由．【變式8-1】1.（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓Ca>(1)求橢圓C的方程；(2)橢圓C上是否存在異于P2的兩點(diǎn)M，N使得直線P2M與P2N的斜率之和與直線MN的斜率（不為零）的2倍互為相反數(shù)？若存在，請(qǐng)判斷直線MN是否過定點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式8-1】2.（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）已知雙曲線C1的一條漸近線為y=—x，橢圓C2：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，其中a>b>0.過點(diǎn)P2,1的動(dòng)直線l1交C1于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)Р的動(dòng)直線l2交C2于M，N兩點(diǎn).(1)求雙曲線C1和橢圓C2的方程；(2)是否存在定點(diǎn)Q，使得四條直線QA，QB，QM，QN的斜率之和為定值?若存在，求出點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【變式8-1】3.（2023·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知離心率為的橢圓C的左焦點(diǎn)為F，左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，上頂點(diǎn)為B，且△A1BF的外接圓半徑大小為3．(1)求橢圓C方程；(2)設(shè)斜率存在的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)（P，Q位于x軸的兩側(cè)記直線A1P、A2P、A2Q、A1Q的斜率分別為k1、k2、k3、k4，若k則直線l是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．【變式8-1】4.（2023·四川涼山·二模）在平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)A1(—3,0),A2(3,0)連線斜率之積為(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；(2)已知點(diǎn)F1(—1,0),F2(1,0)，過點(diǎn)P作軌跡E的切線其斜率記為k(k≠0)，當(dāng)直線PF1,PF2斜率存在時(shí)分別記為k1,k2．探索是否為定值．若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．P(x,y)是異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，kAP，kBP分別是直線AP，BP的斜率，且滿足kAP.kBP(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(2)在線段AB上是否存在定點(diǎn)E，使得過點(diǎn)E的直線交P的軌跡于M，N兩點(diǎn)，且對(duì)直線x=4上任意一點(diǎn)Q，都有直線QM，QE，QN的斜率成等差數(shù)列.若存在，求出定點(diǎn)E，若不存在，請(qǐng)說明理由.題型9與角度有關(guān)的定點(diǎn)問題【例題9】（2023·陜西西安·?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xoy中，已知?jiǎng)訄AC與圓o1:x2—2x+y2=0內(nèi)切，且與直線x=—2相切，設(shè)動(dòng)圓圓心C的軌跡為曲線E．(1)求E的方程；(2)已知P4,y0(y0>0)是曲線E上一點(diǎn)，A,B是曲線E上異于點(diǎn)P的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線PA?PB的傾斜角分別為α?β,且α+β=，請(qǐng)問：直線AB是否經(jīng)過定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出該定點(diǎn)，若不是，請(qǐng)說明理由.【變式9-1】1.（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線x2—y2=1，過點(diǎn)M(1,—1)的直線l與該雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)A,B．(1)當(dāng)直線l的斜率為時(shí)，求AB；(2)是否存在定點(diǎn)P(t,t—2)(t≠1)，使得匕MPA=匕MPB？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式9-1】2.（2023·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)A是圓C:(x—1)2+y2=16上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)F(—1,0)，線段AF的垂直平分線交AC于點(diǎn)P．(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；(2)若過點(diǎn)G3,0且斜率不為O的直線l交（1）中軌跡E于M、N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B(2,0)．問：x軸上是否存在定點(diǎn)T，使得匕MTO=匕NTB恒成立．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)T的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式9-1】3.（2023上·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線C:—=1(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2，點(diǎn)P在雙曲線上，若PF1PFb，且雙曲線焦距為4．(1)求雙曲線C的方程；(2)如果Q為雙曲線C右支上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸負(fù)半軸上是否存在定點(diǎn)M使得【變式9-1】4.（2022上·貴州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C：+=1(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，C的右頂點(diǎn)A到右焦點(diǎn)的距離為1.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如圖，已知點(diǎn)P(,0)，直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)E，F(xiàn)E，F(xiàn)兩點(diǎn)都在X軸上方O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且匕APE=匕OPF.證明直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).【變式9-1】5.（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線Ca>0,b>0的虛軸長(zhǎng)為2，點(diǎn)M(0,1)到C的漸近線的距離為．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)若斜率不為零的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，y軸恰是匕AMB的平分線，試問：直線l是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．【例題10】（2023上·四川成都·高三校考階段練習(xí)）已知橢圓Ca>b>0的的周長(zhǎng)為8.(1)求橢圓C的方程；(2)過直線X=4上一點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，①證明：直線MN過定點(diǎn)；②求S△DMN的最大值.【變式10-1】1.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓Ca>b>0)的焦距為2，圓X2+y2=4與橢圓C恰有兩個(gè)公共點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知結(jié)論：若點(diǎn)x0,y0為橢圓+=1上一點(diǎn)，則橢圓在該點(diǎn)處的切線方程為+=1．若橢圓C的短軸長(zhǎng)小于4，過點(diǎn)T(8,t)作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B，求證：直線AB過定點(diǎn)．【變式10-1】2.（2023上·廣東惠州·高三?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的拋物線C經(jīng)過點(diǎn)2,4.(1)求C的方程；(2)若C關(guān)于x軸對(duì)稱，焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)4,2且與x軸不垂直的直線l交C于M，N兩點(diǎn)，直線MF交C于另一點(diǎn)A，直線NF交C于另一點(diǎn)B，求證：直線AB過定點(diǎn).【變式10-1】3.（2023·福建·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,—2).已知點(diǎn)P是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，PA+PF的最小值為4.(1)求拋物線C的方程：(2)若直線PA與C交于另一點(diǎn)Q，經(jīng)過點(diǎn)B(3,—6)和點(diǎn)Q的直線與C交于另一點(diǎn)T，證明：直線PT過定點(diǎn).【變式10-1】4.（2023·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)訄AM恒過定點(diǎn)8F0,1，圓心M到直線y=—1的距離為d,d=MF+1．8(1)求M點(diǎn)的軌跡C的方程；(2)過直線y=x—1上的動(dòng)點(diǎn)Q作C的兩條切線l1,l2，切點(diǎn)分別為A,B，證明：直線AB恒過定點(diǎn)．【變式10-1】5.（2023·貴州·校聯(lián)考二模）拋物線C1:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于橢圓C2:x2+16y2=1的短軸長(zhǎng)．(1)求拋物線C1的方程；(2)設(shè)D1,t是拋物線C1上位于第一象限的一點(diǎn)，過D作E:(x—2)2+y2=r2（其中0<r<1）的兩條切線，分別交拋物線C1于點(diǎn)M,N,證明：直線MN經(jīng)過定點(diǎn)．【例題11】（2023上·四川眉山·高三仁壽一中?？计谀E圓E的離心率是，點(diǎn)M(2,1)是橢圓E上一點(diǎn)，過點(diǎn)P0,1的動(dòng)直線l與橢圓相交于A,B兩點(diǎn).(1)求橢圓E的方程；(2)求△AOB面積的最大值；(3)在平面直角坐標(biāo)系XOy中，是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，使恒成立？存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【變式11-1】1.（2024·陜西寶雞·?？家荒＃┰O(shè)拋物線C：y2=2pX(p>0)，直線X—2y+1=0與C交于A，B兩點(diǎn)，且AB(1)求p；EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),M)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),M)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-→),B)【變式11-1】2.（2022上·新疆烏魯木齊·高三烏魯木齊市第70中?？计谥校┰O(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓Ca>b>0的左、右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，MF2與X軸垂直.直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N，且直線MN的斜率為(1)求橢圓C的離心率；(2)設(shè)A0,1是橢圓C的上頂點(diǎn)，直線l：y=kX+m(m≠±1)與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P、Q，直線AP與X軸交于點(diǎn)S，直線AQ與X軸交于點(diǎn)T.若OS.OT=2，求證：直線l經(jīng)過定點(diǎn).【變式11-1】3.（2022上·四川綿陽(yáng)·高三鹽亭中學(xué)?？计谥校┮阎獟佄锞€的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為X軸，且經(jīng)過點(diǎn)P(1,2).(1)求拋物線方程;并求出定點(diǎn)坐標(biāo).【變式11-1】4.（2023上·云南昆明·高三云南民族大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓 的離心率是，其左?右焦點(diǎn)分別為F1,F2，過點(diǎn)B0,b且與直線BF2垂直的直線交X軸負(fù)半軸于D.EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),F)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(→),2)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),F)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-→),0)(2)若點(diǎn)D—3,0，過橢圓Γ右焦點(diǎn)F2且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l與橢圓Γ交于P,Q兩點(diǎn)，點(diǎn)M是點(diǎn)P關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)，在X軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)N，使得M,Q,N三點(diǎn)共線？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【變式11-1】5.（2022·遼寧沈陽(yáng)·二模）已知橢圓Ca>b>0的焦距為2，且2經(jīng)過點(diǎn)P1,3．2(1)求橢圓C的方程；(2)經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)F且斜率為k(k≠0)的動(dòng)直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，試問x軸上是否存在異于點(diǎn)F的定點(diǎn)T，使AF.BT=BF.AT恒成立？若存在，求出T點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由．圓過定點(diǎn)問題圓過定點(diǎn)問題的常見類型是以AB為直徑的圓過定點(diǎn)P，求解思路是把問題轉(zhuǎn)化為PA丄PB，EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up0(-),P)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up0(-),A)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up0(-),P)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(—2,0)，離心率為.(1)求雙曲線C的方程；(2)A1,A2分別是雙曲線的左右頂點(diǎn)，T是雙曲線C上異于A1，A2的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線TA1,TA2分別于直線X=1交于Q1,Q2兩點(diǎn)，問以Q1,Q2為直徑的圓是否過定點(diǎn)，若是，求出此定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說明理由.【變式12-1】1.（2023上·貴州黔西·高三興義第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線C:y2=2PXP>0，過焦點(diǎn)的直線l與拋物線C交于兩點(diǎn)A，B，當(dāng)直線l的傾斜角為時(shí)，AB=16.(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程；(2)記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線X=—2分別與直線OA，OB交于點(diǎn)M，N，求圓過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).【變式12-1】2.（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓Ca>b>0的離心率為且直線y=X+b是拋物線C2:y2=4X的一條切線．(1)求橢圓C1的方程；(2)過點(diǎn)S的動(dòng)直線L交橢圓C1于A,B兩點(diǎn)，試問：在直角坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T？若存在，求出T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式12-1】3.（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）已知過點(diǎn)P(2,0)的直線l與拋物線E:y2=(1)求拋物線E的方程；(2)若C為E上異于點(diǎn)A,B的任意一點(diǎn)，且直線AC,BC與直線X=—2交于點(diǎn)D,R，證明：以DR為直徑的圓過定點(diǎn).【變式12-1】4.如圖，橢圓Ea>b>0的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，離心率e過F1的直線交橢圓于A?B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長(zhǎng)為8.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x=4相交于點(diǎn)Q，試探究：在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【變式12-1】5.（2023上·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Dx,y與定點(diǎn)F2,0的距離和D到定直線x的距離的比是常數(shù)2，設(shè)動(dòng)點(diǎn)D的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)已知定點(diǎn)pt,0，0<t<1，過點(diǎn)P作垂直于x軸的直線l，過點(diǎn)P作斜率大于0的直線l'與曲線C交于點(diǎn)G，H，其中點(diǎn)G在x軸上方，點(diǎn)H在x軸下方．曲線C與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，直線AG，AH與直線l分別交于點(diǎn)M，N，若A，O，M，N四點(diǎn)共圓，求t的值．【變式12-1】6.（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C，直線l過C的右焦點(diǎn)F且與C交于M,N兩點(diǎn)．(1)若M,N兩點(diǎn)均在雙曲線C的右支上，求證：為定值；(2)試判斷以MN為直徑的圓是否過定點(diǎn)？若經(jīng)過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．1.（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓Ea>b>0的離心率是，上、EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),P)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),A)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),P)(1)求E的方程；(2)直線l與圓O相切且與E相交于M，N兩點(diǎn)，證明：以MN為直徑的圓恒過定點(diǎn).2.（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C的左頂點(diǎn)為A，過右焦點(diǎn)F且平行于y軸的弦PQ=AF=3．(1)求△APQ的內(nèi)心坐標(biāo)；EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),M)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-→),R)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),N)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),M)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),D)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),R)若存在，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．3.（2023·廣東梅州·統(tǒng)考三模）已知雙曲線Ca>0,b>0的右焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)分別為F，A，B0,b，AF=1，點(diǎn)M在線段AB上，且