易求錯(cuò)的極限題目及答案一、選擇題（共30分）1.極限的概念和性質(zhì)（10分）-極限的定義是：如果對于任意的正數(shù)ε，都存在正數(shù)δ，使得當(dāng)0<|x-a|<δ時(shí)，有|f(x)-L|<ε，則稱函數(shù)f(x)在x趨近于a時(shí)的極限為L。根據(jù)這個(gè)定義，下列說法正確的是（）。A.函數(shù)f(x)在x趨近于a時(shí)的極限為L，意味著f(a)=L。B.如果函數(shù)f(x)在x趨近于a時(shí)的極限為L，那么對于任意的正數(shù)ε，都存在正數(shù)δ，使得當(dāng)0<|x-a|<δ時(shí)，有|f(x)-L|<ε。C.如果函數(shù)f(x)在x趨近于a時(shí)的極限為L，那么對于任意的正數(shù)ε，都存在正數(shù)δ，使得當(dāng)|x-a|<δ時(shí)，有|f(x)-L|<ε。D.函數(shù)f(x)在x趨近于a時(shí)的極限為L，意味著f(x)在x趨近于a時(shí)的函數(shù)值可以任意接近L，但不一定等于L。答案：B2.極限的運(yùn)算法則（10分）-極限的運(yùn)算法則包括：如果lim(x→a)f(x)=L，lim(x→a)g(x)=M，則有：A.lim(x→a)[f(x)+g(x)]=L+MB.lim(x→a)[f(x)-g(x)]=L-MC.lim(x→a)[f(x)g(x)]=LMD.lim(x→a)[f(x)/g(x)]=L/M，前提是g(a)≠0-根據(jù)上述法則，下列說法正確的是（）。A.選項(xiàng)A、B、C、D都正確。B.選項(xiàng)A、B、C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。C.選項(xiàng)A、B、C、D都錯(cuò)誤。D.選項(xiàng)A、B、C正確，選項(xiàng)D在g(a)≠0時(shí)正確。答案：D3.無窮小量與無窮大量（10分）-無窮小量是指當(dāng)x趨近于某個(gè)值時(shí)，函數(shù)值趨近于0的量；無窮大量是指當(dāng)x趨近于某個(gè)值時(shí)，函數(shù)值趨近于無窮大的量。下列說法正確的是（）。A.如果f(x)是無窮小量，那么1/f(x)是無窮大量。B.如果f(x)是無窮大量，那么1/f(x)是無窮小量。C.如果f(x)和g(x)都是無窮小量，那么f(x)+g(x)也是無窮小量。D.如果f(x)是無窮小量，g(x)是無窮大量，那么f(x)g(x)的極限不一定存在。答案：D二、填空題（共30分）1.極限的計(jì)算（15分）-計(jì)算下列極限：1.1.lim(x→0)(sin(x)/x)=________1.2.lim(x→∞)(1/x)=________1.3.lim(x→1)(x^2-1)/(x-1)=________答案：1.1.11.2.01.3.22.極限的性質(zhì)應(yīng)用（15分）-利用極限的性質(zhì)計(jì)算下列極限：2.1.lim(x→2)[(x-2)(x+3)]=________2.2.lim(x→0)[x(1/x)]=________2.3.lim(x→1)[(x-1)/(x^2-1)]=________答案：2.1.42.2.12.3.1/2三、簡答題（共40分）1.極限的夾逼定理（10分）-簡述極限的夾逼定理，并給出一個(gè)應(yīng)用夾逼定理計(jì)算極限的例子。答案：-極限的夾逼定理：如果對于任意的x∈(a,b)，都有f(x)≤g(x)≤h(x)，并且lim(x→c)f(x)=lim(x→c)h(x)=L，那么lim(x→c)g(x)=L。-例子：計(jì)算lim(x→0)(sin(x)/x)。由于對于任意的x∈(-π/2,π/2)，都有-1≤sin(x)/x≤1，并且lim(x→0)(-1)=lim(x→0)(1)=0，所以根據(jù)夾逼定理，lim(x→0)(sin(x)/x)=0。2.極限的洛必達(dá)法則（15分）-簡述極限的洛必達(dá)法則，并給出一個(gè)應(yīng)用洛必達(dá)法則計(jì)算極限的例子。答案：-極限的洛必達(dá)法則：如果lim(x→c)f(x)=0，lim(x→c)g(x)=0，或者lim(x→c)f(x)=±∞，lim(x→c)g(x)=±∞，并且f'(x)和g'(x)在x趨近于c時(shí)的極限存在，那么lim(x→c)f(x)/g(x)=lim(x→c)f'(x)/g'(x)。-例子：計(jì)算lim(x→∞)(x^2+3x)/(x^2+2x+1)。由于lim(x→∞)(x^2+3x)=∞，lim(x→∞)(x^2+2x+1)=∞，所以可以應(yīng)用洛必達(dá)法則。求導(dǎo)得到f'(x)=2x+3，g'(x)=2x+2，所以lim(x→∞)(x^2+3x)/(x^2+2x+1)=lim(x→∞)(2x+3)/(2x+2)=1。3.極限的連續(xù)性（15分）-簡述函數(shù)在某點(diǎn)的連續(xù)性，并給出一個(gè)判斷函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)性的例子。答案：-函數(shù)在某點(diǎn)的連續(xù)性：如果函數(shù)f(x)在x=a處的極限存在，并且等于f(a)，那么稱f(x)在x=a處連續(xù)。-例子：判斷函數(shù)f(x)=x^2在x=2處的連續(xù)性。由于lim(x→2)x^2=4，并且f(2)=2^2=4，所以f(x)在x=2處連續(xù)。四、計(jì)算題（共50分）1.極限的計(jì)算（20分）-計(jì)算下列極限：4.1.lim(x→0)(1-cos(x))/x^24.2.lim(x→∞)(x^3-3x^2+2x)/(x^3+2x^2-x)答案：4.1.1/24.2.12.極限的應(yīng)用（30分）-應(yīng)用極限的概念和性質(zhì)，解決下列問題：5.1.證明對于任意的正數(shù)a和b，都有l(wèi)im(x→∞)(a^x+b^x)/(a^x-b^x)=1。5.2.證明對于任意的正數(shù)a和b，都有l(wèi)im(x→0)(a^x-b^x)/x=ln(a/b)。答案：5.1.證明：由于a^x和b^x在x趨近于∞時(shí)，a^x和b^x的增長速度不同，所以可以應(yīng)用洛必達(dá)法則。求導(dǎo)得到分子的導(dǎo)數(shù)為a^xln(a)+b^xln(b)，分母的導(dǎo)數(shù)為a^xln(a)-b^xln(b)。當(dāng)x趨近于∞時(shí)，a^x和b^x的增長速度不同，所以分子和分母的極限都趨近于∞，可以再次應(yīng)用洛必達(dá)法則。求導(dǎo)得到分子的導(dǎo)數(shù)為a^x(ln(a))^2+b^x(ln(b))^2，分母的導(dǎo)數(shù)為a^x(ln(a))^2-b^x(ln(b))^2。當(dāng)x趨近于∞時(shí)，a^x的增長速度大于b^x，所以分子和分母的極限都趨近于∞(ln(a))^2。所以lim(x→∞)(a^x+b^x)/(a^x-b^x)=(ln(a))^2/(ln(a))^2=1。5.2.證明：由于a^x和b^x在x趨近于0時(shí)，a^x和b^x的極限都趨近于1，