第一節(jié)兩個計數(shù)原理、排列與組合高三一輪復習講義湘教版第十章計數(shù)原理與概率課程標準1.通過實例，了解分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及其意義.

2.通過實例，理解排列、組合的概念.

3.能利用計數(shù)原理推導排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.0403考教銜接精研教材課時測評02考點探究提升能力教材梳理夯實基礎01內容索引教材梳理夯實基礎1.兩個計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理(1)如果完成一件事有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，…，在第n類辦法中有mn種不同的方法，每種方法都能獨立完成這件事，那么完成這件事共有N=____________________種不同的方法.(2)我們把分類加法計數(shù)原理簡稱為分類計數(shù)原理，或加法原理.(1)如果完成一件事需要分成n個步驟，第一步有m1種不同的方法，第二步有m2種不同的方法，…，第n步有mn種不同的方法，每個步驟都完成才算做完這件事，那么完成這件事共有N=_______________________種不同的方法.(2)我們把分步乘法計數(shù)原理簡稱為分步計數(shù)原理，或乘法原理.m1+m2+…+mnm1×m2×…×mn2.排列與組合(1)概念名稱定義排列從n個不同元素中取出m(m≤n)個不同的元素按照________________排成一列組合______________地構成一組排列數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n)個不同的元素，所有_____________的個數(shù)叫作從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號_____表示組合數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n)個不同的元素，____________________________叫作從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號_______表示一定的順序不論次序不同排列

所有不同組合的個數(shù)

(2)排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質公式性質1n!

常用結論

(2)解決排列、組合問題的十種技巧①特殊元素優(yōu)先安排.②合理分類與準確分步.③排列、組合混合問題要先選后排.④相鄰問題捆綁處理.⑤不相鄰問題插空處理.⑥定序問題倍縮法處理.⑦分排問題直排處理.⑧“小集團”排列問題先整體后局部.⑨構造模型.⑩正難則反，等價轉化.自主檢測

√√√2.如圖，從甲地到乙地有3條路，從乙地到丁地有2條路；從甲地到丙地有3條路，從丙地到丁地有4條路.從甲地到丁地的不同路線共有A．12條

B．15條

C．18條

D．72條√若路線為甲乙丁則有3×2=6(條)，若路線為甲丙丁則有3×4=12(條)，故共有6+12=18(條).故選C．

151或4

4.五名學生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，則不同的報名方法的種數(shù)為

.五名學生爭奪四項比賽的冠軍(冠軍不并列)，則獲得冠軍的可能性有

種.

五名學生參加四項體育比賽，每人限報一項，可逐個學生落實，每個學生有4種報名方法，共有45種不同的報名方法.五名學生爭奪四項比賽的冠軍，可對4個冠軍逐一落實，每個冠軍有5種獲得的可能性，共有54種獲得冠軍的可能性.4554返回考點探究提升能力考點一兩個計數(shù)原理

自主練透由題意，每一位乘客都有4種選擇，故乘客下車的可能方式有4×4×4×4×4×4=46(種).故選B．1.某公交車上有6位乘客，沿途有4個車站，乘客下車的可能方式有

A．64種

B．46種

C．24種

D．360種√2.(2025·山東泰安模擬)用0，1，2，3，4可以組成沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為A．36

B．48

C．60

D．72√

3.(2025·河北石家莊模擬)用紅、黃、藍3種顏色給6個相連的圓涂色，如圖，若每種顏色只能涂2個圓，且相鄰2個圓所涂顏色不能相同，則不同的涂法種數(shù)為

A．24

B．30

C．36

D．42√

4.(2024·新課標Ⅱ卷)在如圖的4×4的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有

種選法.在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是

.

2411211213140122233421322334315243444第一步，從第一行任選一個數(shù)，共有4種不同的選法；第二步，從第二行選一個與第一個數(shù)不同列的數(shù)，共有3種不同的選法；第三步，從第三行選一個與第一、二個數(shù)均不同列的數(shù)，共有2種不同的選法；第四步，從第四行選一個與第一、二、三個數(shù)均不同列的數(shù)，只有1種選法.由分步乘法計數(shù)原理知，不同的選法種數(shù)為4×3×2×1=24.先按列分析，每列必選出一個數(shù)，故所選4個數(shù)的十位上的數(shù)字分別為1，2，3，4.再按行分析，第一、二、三、四行個位上的數(shù)字的最大值分別為1，3，3，5，故從第一行選21，從第二行選33，從第三行選43，從第4行選15，此時個位上的數(shù)字之和最大.故選中方格中的4個數(shù)之和的最大值為21+33+43+15=112.11213140122233421322334315243444利用兩個計數(shù)原理解決應用問題的一般思路1.弄清完成一件事是做什么.2.確定是先分類后分步，還是先分步后分類.3.弄清分步、分類的標準是什么.4.利用兩個計數(shù)原理求解.規(guī)律方法考點二排列問題

師生共研典例1

求解排列問題的四種常用方法規(guī)律方法對點練1.(1)(2025·廣西柳州模擬)現(xiàn)從4名男志愿者和3名女志愿者中，選派2人分別去甲、乙兩地擔任服務工作，若被選派的人中至少有一名男志愿者，則不同的選派方法共有

種(用數(shù)字作答).

36(2)(2023·全國甲卷)有5名志愿者參加社區(qū)服務，共服務周六、周日兩天，每天從中任選2人參加服務，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務的選擇種數(shù)為A．120

B．60

C．40

D．30√

(3)(2024·九省適應性測試)甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有

A．20種

B．16種

C．12種

D．8種

√考點三組合問題

師生共研典例2(1)(多選)從6名男生和4名女生中選出4人去參加一項創(chuàng)新大賽，則下列說法正確的有A．如果4人全部為男生，那么有30種不同的選法B．如果4人中男生、女生各有2人，那么有30種不同的選法C．如果男生中的甲和女生中的乙必須在內，那么有28種不同的選法D．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內，那么有140種不同的選法√√

(2)(2023·新課標Ⅰ卷)某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有

種(用數(shù)字作答).

64兩類組合問題的解題方法規(guī)律方法對點練2.(1)(2020·新高考Ⅰ卷)6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有A．120種

B．90種

C．60種

D．30種√

√√

考點四排列與組合的綜合問題

多維探究角度1

相鄰、相間問題(1)(2022·新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有A．12種

B．24種

C．36種

D．48種√

典例3(2)高中數(shù)學新教材有必修一、二，選擇性必修一、二、三，共5本書，把這5本書放在書架上排成一排，必修一、必修二不相鄰的排列方法種數(shù)是A．

72

B．

144

C．

48

D．

36

√

角度2

定序問題有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，將7名學生排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列(不一定相鄰)，不同的排法共有

種.

840典例4角度3

分組、分配問題(1)中國書法歷史悠久，源遠流長，書法作為一門藝術，以文字為載體，不斷地反映著和豐富著華夏民族的自然觀、宇宙觀和人生觀，談到書法藝術，就離不開漢字，漢字是書法藝術的精髓，漢字本身具有豐富的意象和可塑的規(guī)律性，使?jié)h字書寫成為一門獨特的藝術，我國書法大體可分為篆、隸、楷、行、草五種書體，如圖，以“國”字為例，現(xiàn)有5張分別寫有一種書體的臨摹紙，將其全部分給3名書法愛好者，每人至少1張，則不同的分法種數(shù)為

A．60

B．90

C．120

D．150√典例5

(2)中國空間站的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙.假設中國空間站要安排6名航天員開展實驗，其中每個艙安排2人.若甲、乙兩人不被安排在同一個艙內做實驗，則不同的安排方案共有A．20種

B．36種

C．72種

D．84種√

求解排列、組合應用問題的常用方法規(guī)律方法捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內部排列插空法對于不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中定序問題對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列對點練3.(1)(多選)已知A，B，C，D，E五個人并排站在一起，則下列說法正確的有A．若A，B不相鄰，共有72種排法B．若A不站在最左邊，B不站在最右邊，有72種排法C．若A在B右邊有60種排法D．若A，B兩人站在一起有48種排法√√

√(2)某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目，2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是A．72

B．120

C．144

D．168√

(3)將9名大學生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天參加社區(qū)公益活動，每天分別安排3人，每人參加一次，則不同的安排方案共有______種(用數(shù)字作答).

1680返回考教銜接精研教材真題再現(xiàn)(2023·全國乙卷)甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有A．30種

B．60種

C．120種

D．240種√

返回教材呈現(xiàn)(湘教版選擇性必修一P193例4)6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的分法：(1)分給甲、乙、丙三人，每人2本；(2)分為三份，每份2本.點評：這兩題考查相同的知識點，設問的本質也是一樣的，都是考查計數(shù)原理和組合的相關知識，問題背景也非常相似.課時測評1.小黑點表示網(wǎng)絡的結點，結點之間的連線表示它們有網(wǎng)絡相連.連線上標注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時間內可以通過的最大信息量.現(xiàn)在從結點A向結點B傳遞信息，信息可分開沿不同的路線同時傳遞，則單位時間內傳遞的最大信息量為A．9

B．21

C．12

D．8√由圖形可以看出，從A→B，可以分成兩種情況、A→D→B或A→C→B，這兩類方法中各自包含的單位時間內通過的信息量分別是5，3，根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，傳遞的最大信息量為5+3=8.故選D．2.北京大興國際機場是一座跨地域、超大型的國際航空綜合交通樞紐，目前建有4條跑道，分別叫西一跑道、西二跑道、東一跑道、北一跑道，如圖所示.若有2架飛往不同目的地的飛機要從以上4條跑道中不同的2條跑道同時起飛，則不同的安排方法種數(shù)為A．16

B．12 C．9

D．8√

3.(2025·廣東廣州模擬)如圖，在兩行三列的網(wǎng)格中放入標有數(shù)字1，2，3，4，5，6的六張卡片，每格只放一張卡片，則“只有中間一列兩個數(shù)字之和為5”的不同的排法有

A．96種

B．64種

C．32種

D．16種√

4.(2024·山東聊城二模)班主任從甲、乙、丙三位同學中安排四門不同學科的課代表，要求每門學科有且只有一位課代表，每位同學至多擔任兩門學科的課代表，則不同的安排方案共有A．36種

B．48種

C．54種

D．60種√

5.(2024·安徽黃山模擬)為紀念我國偉大數(shù)學家祖沖之在圓周率上的貢獻，國際上把3.141

592

6稱為“祖率”，某教師為了增加學生對“祖率”的印象，以“祖率”為背景設計如下練習：讓同學們把小數(shù)點后的7位數(shù)字1，4，1，5，9，2，6進行隨機排列，整數(shù)部分不變，那么可以得到小于3.14的不同數(shù)有A．480個

B．120個

C．240個

D．720個√

6.數(shù)學對于一個國家的發(fā)展至關重要，發(fā)達國家常常把保持數(shù)學領先地位作為他們的戰(zhàn)略需求.現(xiàn)某大學為提高數(shù)學系學生的數(shù)學素養(yǎng)，特開設了“古今數(shù)學思想”，“世界數(shù)學通史”，“數(shù)學方法論”，“幾何原本”，“什么是數(shù)學”五門選修課程，要求數(shù)學系每位同學每學年至多選3門，大一到大三三學年必須將五門選修課程選完，則每位同學的不同選修方式有A．150種

B．210種

C．300種

D．360種√

7.(多選)現(xiàn)有4個編號為1，2，3，4的不同的球和4個編號為1，2，3，4的不同的盒子，把球全部放入盒子內.則下列說法正確的是A．恰有1個盒子不放球，共有72種放法B．每個盒子內只放一個球，且球的編號和盒子的編號不同的放法有9種C．有2個盒子內不放球，另外兩個盒子內各放2個球的放法有36種D．恰有2個盒子不放球，共有84種放法√√√

√√

9.甲、乙、丙3人站到共有6級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)為A．90

B．120

C．210

D．216√

10.(2024·福建龍巖模擬)從集合M={1，2，3，4，5，6，7，8，9}中分別取2個不同的數(shù)作為對數(shù)的底數(shù)與真數(shù)，一共可得到

個不同的對數(shù)值.

5311.(2025·江西省重點中學盟校第一次聯(lián)考)在數(shù)學中，有一個被稱為自然常數(shù)(又叫歐拉數(shù))的常數(shù)e≈2.71

828.小明在設置銀行卡的數(shù)字密碼時，打算將自然常數(shù)的前6位數(shù)字2，7，1，8，2，8進行某種排列得到密碼.如果排列時要求兩個2相鄰，兩個8不相鄰，那么小明可以設置的不同密碼共有

個.

3612.將6名同學分成兩個學習小組，每組至少兩人，則不同的分組方法共有_____種.

2513.4張卡片的正、反面分別寫有數(shù)字1，2；1，3；4，5；6，7.將這4張卡片排成一排，可構成不同的四位數(shù)的個數(shù)為A．288

B．336

C．368

D．412√

√

15.(多選)某人設計一項單人游戲，規(guī)則如下：如圖所示，先將一棋子放在正方形ABCD(邊長為2