第頁專題7圓切線與圓最值歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u【題型一】圓最值1：圓上動(dòng)點(diǎn)與圓心 1【題型二】圓最值2：直線動(dòng)點(diǎn)與圓 3【題型三】圓最值3：阿波羅尼斯圓 5【題型四】圓最值:4：將軍飲馬型 8【題型五】圓最值5：定角范圍 10【題型六】圓最值6：最短距離 13【題型七】切線1:入射與反射光線 15【題型八】切線2：切點(diǎn)弦方程 17【題型九】切線3：切點(diǎn)弦過定點(diǎn) 19【題型十】切線4：切線長最值范圍 21【題型十一】切線5：切線三角形與四邊形面積最值 23【題型十二】切線6：切點(diǎn)弦長最值 25【題型十三】切線7：向量范圍 28【題型十四】切線轉(zhuǎn)化綜合 30培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練 33培優(yōu)第二階——能力提升練 39培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練 45【題型一】圓最值1：圓上動(dòng)點(diǎn)與圓心【典例分析】已知圓，圓，點(diǎn)M、N分別是圓、圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B．9 C．7 D．【答案】B【分析】分析可知，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，可得出，求出的最大值，即可得解.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為．，又，，．點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，，所以，，故選：B．【提分秘籍】基本規(guī)律一般情況下，圓上的動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值，可以轉(zhuǎn)化為與圓心有關(guān)，通過加減半徑解決。解題時(shí)要注意幾何法的合理利用，同時(shí)還要注意轉(zhuǎn)化方法的運(yùn)用【變式訓(xùn)練】1.點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，，且的最大值為，若，，則的最小值為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】由題意曲線為圓，，且表示曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，結(jié)合圓的特征可得點(diǎn)，由此可得，于是，故，以此為基礎(chǔ)并由基本不等式可得所求的最小值．【詳解】曲線可化為，表示圓心為，半徑為的圓．，可以看作點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，圓上一點(diǎn)到的距離的最大值為，即點(diǎn)是直線與圓的離點(diǎn)最遠(yuǎn)的交點(diǎn)，所以直線的方程為，由，解得或（舍去），∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，且，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)等號(hào)成立．故選A．2.已知點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題設(shè)分析知的軌跡為(不與重合)，要求的取值范圍，只需求出到圓上點(diǎn)的距離范圍即可.【詳解】由題設(shè)，在以為直徑的圓上，令，則(不與重合)，所以的取值范圍，即為到圓上點(diǎn)的距離范圍，又圓心到的距離，圓的半徑為2，所以的取值范圍為，即.故選：C3.已知點(diǎn)，且點(diǎn)在圓上，為圓心，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．的最小值為 B．當(dāng)最大時(shí)，的面積為2C．的最大值為 D．的最大值為【答案】B【分析】根據(jù)題意，可知當(dāng)為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)，可求出取得最小值，可判斷A選項(xiàng)；當(dāng)與圓相切時(shí)，最大，此時(shí)與重合，可求出的面積，即可判斷B選項(xiàng)；由于，當(dāng)最大時(shí)，也最大，可知當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且在，之間時(shí)，求出的最大值，即可判斷C選項(xiàng)；當(dāng)為射線與圓的交點(diǎn)時(shí)，求得取得最大值，即可判斷D選項(xiàng).【詳解】解：如圖，當(dāng)為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)取得最小值為，故A正確；由題可知點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)與圓相切時(shí)，最大，此時(shí)與重合，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，為圓心，則，所以當(dāng)最大時(shí)，也最大，當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且在，之間時(shí)，其最大值為，故C正確；當(dāng)為射線與圓的交點(diǎn)時(shí)，取得最大值，故D正確．故選：B.【題型二】圓最值2：直線動(dòng)點(diǎn)與圓【典例分析】已知圓：，點(diǎn)，則點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最小距離為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】寫出圓的圓心和半徑，求出距離的最小值，再結(jié)合圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離最小值的方法即可求解.【詳解】由圓：，得圓，半徑為，所以，所以點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最小距離為.故選：C.【提分秘籍】基本規(guī)律一般情況下，直線動(dòng)點(diǎn)與圓上點(diǎn)的最值關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離?！咀兪接?xùn)練】1.已知點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，直線與軸?軸分別交于兩點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出圓心、半徑，根據(jù)直線與圓的位置可知，當(dāng)最小時(shí)，與圓相切，最后用勾股定理求即可【詳解】圓化成標(biāo)準(zhǔn)形式為，故圓心為，半徑為2，直線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，如下圖所示：則當(dāng)最小時(shí)，與圓相切，連接，可知，由勾股定理可得，故選：A2.若直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則當(dāng)周長最小時(shí)，k＝（

）A． B． C．1 D．－1【答案】C【分析】由直線方程可得直線恒過定點(diǎn)，由圓的幾何性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，周長最小，由此可求的值.【詳解】直線的方程可化為。所以直線恒過定點(diǎn)，因?yàn)?。所以點(diǎn)在圓內(nèi)，由圓的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，最小，周長最小，又，所以，此時(shí)．故選：C．3.已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則當(dāng)弦最短時(shí)，圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．內(nèi)切 B．外離 C．外切 D．相交【答案】B【分析】由直線過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)弦最短時(shí)直線垂直，根據(jù)斜率乘積為求出，進(jìn)而求出圓的方程，再根據(jù)圓心距與兩圓半徑的關(guān)系確定答案.【詳解】易知直線即過定點(diǎn)，因?yàn)?，故在圓內(nèi).故弦最短時(shí)直線垂直，又，所以，解得，此時(shí)圓的方程是.兩圓圓心之間的距離，半徑分別為5，3又，所以這兩圓外離.故選：B.【題型三】圓最值3：阿波羅尼斯圓【典例分析】已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，求出點(diǎn)和的軌跡，結(jié)合平面向量的加法以及模長的計(jì)算，即可求解.【詳解】設(shè)，則，，因，所以，即，因此點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，同理可得點(diǎn)也在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上.又因，所以當(dāng)和重合，且、、三點(diǎn)共線時(shí)，取得最值，因此，.故選：B.【提分秘籍】基本規(guī)律解題時(shí)，往往會(huì)遇到“隱形圓問題”，常規(guī)的處理辦法是找出動(dòng)點(diǎn)所在的軌跡（通常為圓），常見的“隱形圓”有：（1）到定點(diǎn)的距離為定長的動(dòng)點(diǎn)的軌跡；（2）如果為定點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓（阿波羅尼斯圓）（3）如果中，為定長，為定值，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為一段圓弧．【變式訓(xùn)練】1.已知邊長為2的等邊三角形，是平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則三角形面積的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，寫出的坐標(biāo)，利用列式得關(guān)于的等式，可得點(diǎn)的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，寫出直線的方程，計(jì)算和點(diǎn)距離直線的最小距離，代入三角形面積公式計(jì)算.【詳解】以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，因?yàn)?，所以，得，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，當(dāng)點(diǎn)距離直線距離最大時(shí)，面積最大，已知直線的方程為：，，點(diǎn)距離直線的最小距離為：，所以面積的最小值為.故選：A2.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為（，且），那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)，間的距離為，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，，由，可得點(diǎn)P的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，又，其中可看作圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，從而根據(jù)圓的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：由題意，設(shè)，，因?yàn)?，所以，即，所以點(diǎn)P的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，因?yàn)椋渲锌煽醋鲌A上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，所以，所以，即的最大值為，故選：A3.已知兩定點(diǎn)，如果平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)滿足條件，則的最大值是_____【答案】【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，再由幾何條件，可得軌跡方程，進(jìn)一步可得所求解.【詳解】設(shè)，由，可得，整理得:，即所以（表示中邊上的高），顯然，所以最大值為.故答案為:.【題型四】圓最值:4：將軍飲馬型【典例分析】已知圓上的動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)，則的最小值為A． B． C． D．【答案】D【分析】取點(diǎn)，連接，由，可得，推出，在中，，推出的最小值為的長.【詳解】如圖，取點(diǎn)，連接，，，，，，，因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立,的最小值為的長，，，故選D.【提分秘籍】基本規(guī)律滿足已知圓上點(diǎn)M與兩定點(diǎn)A,B，則型距離，可以借助特殊點(diǎn)借助三角形相似來轉(zhuǎn)為為兩點(diǎn)之間的距離求解。【變式訓(xùn)練】1.已知圓是以點(diǎn)和點(diǎn)為直徑的圓，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)，點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題設(shè)可知圓：，在坐標(biāo)系中找到，應(yīng)用三角線相似將轉(zhuǎn)化到，再利用三角形的三邊關(guān)系確定目標(biāo)式的最大值即可.【詳解】由題設(shè)，知：且，即圓的半徑為4，∴圓：，如上圖，坐標(biāo)系中則，∴，即△△，故，∴，在△中，∴要使最大，共線且最大值為的長度.∴.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：首先求出圓方程，找到定點(diǎn)使，進(jìn)而將轉(zhuǎn)化到其它線段，結(jié)合三角形三邊關(guān)系求目標(biāo)式的最值.2.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他對(duì)圓錐曲線有深刻系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)A，B的距離之比為λ(λ＞0，λ≠1)，那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓．下面我們來研究與此相關(guān)的一個(gè)問題，已知圓O：x2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)M和定點(diǎn)A，B(1，1)，則2|MA|＋|MB|的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】討論點(diǎn)M在x軸上與不在x軸上兩種情況，若點(diǎn)M不在x軸上，構(gòu)造點(diǎn)K(－2，0)，可以根據(jù)三角形的相似性得到，進(jìn)而得到2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|，最后根據(jù)三點(diǎn)共線求出答案.【詳解】①當(dāng)點(diǎn)M在x軸上時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－1，0)或(1，0)．若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－1，0)，則2|MA|＋|MB|＝2×＋；若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，0)，則2|MA|＋|MB|＝2×＋．②當(dāng)點(diǎn)M不在x軸上時(shí)，取點(diǎn)K(－2，0)，如圖，連接OM，MK，因?yàn)閨OM|＝1，|OA|＝，|OK|＝2，所以．因?yàn)椤螹OK＝∠AOM，所以△MOK∽△AOM，則，所以|MK|＝2|MA|，則2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|．易知|MB|＋|MK|≥|BK|，所以|MB|＋|MK|的最小值為|BK|．因?yàn)锽(1，1)，K(－2，0)，所以(2|MA|＋|MB|)min＝|BK|＝．又<1＋<4，所以2|MA|＋|MB|的最小值為．故選：C3.已知?jiǎng)狱c(diǎn)在圓上，若點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為________.【答案】【解析】中兩系數(shù)不相同，需要轉(zhuǎn)化為，可作出圖形，取點(diǎn)，利用相似三角形性質(zhì)得，這樣有，結(jié)合圖形得出結(jié)論．【詳解】當(dāng)在軸上時(shí)，有，，，，當(dāng)不在軸上時(shí)，在軸上取點(diǎn)，連接，則，又，所以，所以，即，所以，三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立．綜上的最小值為．故答案為：．【題型五】圓最值5：定角范圍【典例分析】已知圓為圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且為弦AB的中點(diǎn)，，，當(dāng)A，B在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終有為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】先確定點(diǎn)是在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，根據(jù)當(dāng)A，B在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終有為銳角，可知點(diǎn)應(yīng)在以的中點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓外，由此可列出關(guān)于參數(shù)的不等式，即可求得答案.【詳解】連接,則,所以點(diǎn)M在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，設(shè)的中點(diǎn)為，則，且,因?yàn)楫?dāng)A，B在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終有為銳角，所以以為圓心，1為半徑的圓與以為圓心，2為半徑的圓相離，故，解得或，即，故選:A.【提分秘籍】基本規(guī)律和圓的切線有關(guān)的角度問題，難度較難大。圓有關(guān)的角度恒成立求參數(shù)范圍問題，可通過數(shù)形結(jié)合的方式將角度問題轉(zhuǎn)化為長度問題，尋求恒成立的臨界條件，由此構(gòu)建不等式求解出參數(shù)范圍.【變式訓(xùn)練】1.設(shè)點(diǎn)，若在圓上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】以為一邊作正方形，然后把問題轉(zhuǎn)化為正方形的中心在圓上或圓內(nèi)，從而求出的取值范圍.【詳解】以為一邊作正方形，若對(duì)角線與圓有交點(diǎn)，則滿足條件的存在，此時(shí)正方形的中心在圓上或圓內(nèi)，即，所以，所以，所以.故選：D.2.已知圓和兩點(diǎn)，，．若圓上存在點(diǎn)，使得，則的最小值為（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】由，知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，又點(diǎn)在圓上，故點(diǎn)是圓與圓的交點(diǎn)，因此可得兩圓的位置關(guān)系是相切或相交.由兩圓的位置關(guān)系可以得到代數(shù)關(guān)系，從而求出的取值范圍，進(jìn)而找到的最小值.【詳解】解：，點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，又點(diǎn)在圓上，故點(diǎn)是圓與圓的交點(diǎn)，因此可得兩圓的位置關(guān)系是相切或相交，即，解得：．的最小值為4．故選：D．3.在平面直角坐標(biāo)系中，為直線：上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，，以為直徑的圓與直線交于另一點(diǎn).若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為______________.【答案】．【解析】由直徑所對(duì)的圓周角為可求得直線的方程，進(jìn)而解得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用向量的數(shù)量積即可求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.【詳解】解：如圖所示：點(diǎn)在以為直徑的圓上，，即，，又均在直線，，，又，：，聯(lián)立：，解得：，；設(shè)，則，，，又，，即，解得：或（舍去），故點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍為：.故答案為：.【題型六】圓最值6：最短距離【典例分析】已知點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為A． B． C． D．【答案】D【分析】由于兩圓不在直線的同側(cè)，先做出圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓，把轉(zhuǎn)化為，若最大，必須最大，最小.【詳解】如圖：依題意得點(diǎn)在直線上，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn),點(diǎn)在圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓上，則，設(shè)圓的圓心為，因?yàn)?，，所以，?dāng)五點(diǎn)共線，在線段上，在線段上時(shí)“=”成立.因此，的最大值為4.【提分秘籍】基本規(guī)律最短距離，可以轉(zhuǎn)化為：1.三角形兩邊之差小于第三邊，共線，則可以取等號(hào)。2.利用光學(xué)性質(zhì)，借助對(duì)稱轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間距離?！咀兪接?xùn)練】1.一束光線，從點(diǎn)A(-2，2)出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓C：上的最短路徑的長度是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)，再求點(diǎn)與圓C上的點(diǎn)距離最小值即可.【詳解】依題意，圓C的圓心，半徑，點(diǎn)A(-2，2)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)，連交x軸于點(diǎn)O，交圓C于點(diǎn)B，如圖，圓外一點(diǎn)與圓上的點(diǎn)距離最小值是圓外這點(diǎn)到圓心距離減去圓的半徑，于是得點(diǎn)與圓C上的點(diǎn)距離最小值為，在x軸上任取點(diǎn)P，連，PC交圓C于點(diǎn)，而，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P與O重合時(shí)取“=”，所以最短路徑的長度是.故選：A2.已知點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】作出關(guān)于直線的對(duì)稱圓，把轉(zhuǎn)化到與直線同側(cè)的，數(shù)形結(jié)合找到取最大值的位置，求出的最大值.【詳解】如圖所示，圓的圓心為，半徑為3，圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓為圓B，其中設(shè)圓心B坐標(biāo)為，則，解得：，故圓B的圓心為，半徑為1，由于此時(shí)圓心A與圓心B的距離為4，等于兩圓的半徑之和，所以兩圓外切，此時(shí)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，且，所以，在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)P，B，A，，F(xiàn)五點(diǎn)共線時(shí)，且在圓B左側(cè)，點(diǎn)F在圓A右側(cè)時(shí)，最大，最大值為故選：C【題型七】切線1:入射與反射光線【典例分析】自點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過軸反射，其反射光線所在直線正好與圓相切，則反射光線所在直線的所有斜率之和為（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】求出圓心與半徑，點(diǎn)A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求得結(jié)論.【詳解】圓可化為，圓心為，半徑為．點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，所以設(shè)反射光線所在直線的方程為，即．由反射光線正好與圓相切，得，即，解得，于是．故選：C.【提分秘籍】基本規(guī)律入射光線與反射光線，可以分別找對(duì)應(yīng)光線上點(diǎn)關(guān)于“鏡面”對(duì)稱點(diǎn)來求解?！咀兪接?xùn)練】1.已知圓：，從點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)直線反射后，光線恰好平分圓的周長，則入射光線所在直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)光路可逆，易知圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，在入射光線上，由此可求得結(jié)果.【詳解】圓：，圓心為，由已知，反射光線經(jīng)過，故C點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)M在入射光線上．設(shè)，則，解得，即，且光.源，所以入射光線的斜率，故選：C.2.一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)直線反射后與圓相切，則反射光線所在直線的方程的斜率為（

）A． B．或 C． D．或【答案】C【分析】先求得關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，由此設(shè)出反射光線所在直線的方程，利用圓心到反射光線所在直線的距離等于半徑列方程，由此求得反射光線所在直線的斜率.【詳解】設(shè)，，直線的斜率為，所以直線和直線垂直；的中點(diǎn)坐標(biāo)為即，在直線上，所以點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，由題可知反射光線所在直線的斜率存在，點(diǎn)在反射光線所在直線上．設(shè)反射光線所在直線方程為，即．∵圓的方程可化為，圓心為，半徑為1，，解得，即．故選：C3.過點(diǎn)的直線經(jīng)x軸反射后與圓相切，則切線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可知切線的斜率存在，可設(shè)切線的斜率為，由點(diǎn)斜式得切線，再根據(jù)直線與圓相切，圓心到的距離為代入計(jì)算．【詳解】圓的圓心，半徑點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，則過點(diǎn)與圓相切的直線即為所求．由題意可知切線的斜率存在，可設(shè)切線的斜率為則的方程為即圓心到的距離為，解得，【題型八】切線2：切點(diǎn)弦方程【典例分析】過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】求出以、為直徑的圓的方程，將兩圓的方程相減可得公共弦的方程．【詳解】圓的圓心為，半徑為1，以、為直徑的圓的方程為，因?yàn)檫^點(diǎn)圓的兩條切線切點(diǎn)分別為A，B，所以，是兩圓的公共弦，將兩圓的方程相減可得公共弦的方程，故選：A．【提分秘籍】基本規(guī)律切點(diǎn)弦方程求解，可以有如下兩種思路1.公共弦法：過圓外一點(diǎn)作圓的切線，則切點(diǎn)與四點(diǎn)共圓，線段就是圓的一條直徑．兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程．2二級(jí)結(jié)論法：(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一點(diǎn)P(x0，y0)做切線，切點(diǎn)所在直線方程（切點(diǎn)弦方程）為：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.【變式訓(xùn)練】1.過點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為、，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，可知圓的圓心為，半徑，由切線長公式求出的長，進(jìn)而可得以為圓心，為半徑為圓，則為兩圓的公共弦所在的直線，聯(lián)立兩個(gè)圓的方程，兩方程作差后計(jì)算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，可知圓的圓心為，半徑，過點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為、，而，則，則以為圓心，為半徑為圓為，即圓，所以為兩圓的公共弦所在的直線，則有，作差變形可得：；即直線的方程為.故選：B.2.過直線上任一點(diǎn)P作圓O：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若直線AB與圓M：恒有公共點(diǎn)，則t的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出切線方程，然后求出直線AB方程，根據(jù)直線和圓有公共點(diǎn)解出t的取值范圍.【詳解】解：設(shè)，，，過直線上任意一點(diǎn)P作圓O：的兩條切線分別為，，則，，結(jié)合，可得切線，切線，又，從而直線AB的方程為，且過定點(diǎn)，因?yàn)橹本€AB與圓M：恒有公共點(diǎn)，故有定點(diǎn)在圓M上或是圓內(nèi)，故可得，解得，則t的取值范圍是.故選：B3.過直線上一動(dòng)點(diǎn)M，向圓引兩條切線，A、B為切點(diǎn)，則圓的動(dòng)點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為（

）A． B．6C．8 D．【答案】A【分析】根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)在直線上，可得點(diǎn)A、B在以O(shè)P為直徑的圓上，求出該圓的方程，聯(lián)立圓O的方程得出直線AB的方程，進(jìn)而可得直線AB恒過定點(diǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)C、N之間的距離，結(jié)合圓C的方程和兩點(diǎn)坐標(biāo)求距離公式計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】由題意知，設(shè)點(diǎn)在直線上，則，過點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，則，所以點(diǎn)A、B在以O(shè)P為直徑的圓上，且該圓的方程為：，又圓O的方程為，這兩個(gè)圓的方程相減，得公共弦AB的方程為，即，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且即時(shí)該方程恒成立，所以直線AB恒過定點(diǎn)，所以點(diǎn)M到直線AB距離的最大值即為點(diǎn)C、N之間的距離加上圓C的半徑，又，，所以，即點(diǎn)M到直線AB距離的最大值為.故選：A【題型九】切線3：切點(diǎn)弦過定點(diǎn)【典例分析】已知圓，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)向圓引兩條切線為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過定點(diǎn).A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)可得以為直徑的圓的方程，兩圓方程相減，可得其公共弦，化為，由可得結(jié)果.【詳解】設(shè)是圓的切線，是圓與以為直徑的兩圓的公共弦，可得以為直徑的圓的方程為，

①又，②

①-②得，化為，由，可得總滿足直線方程，即過定點(diǎn)，故選B.【提分秘籍】基本規(guī)律把圓的切線問題轉(zhuǎn)化為求兩圓的公共弦問題，然后就能得到直線的方程，再利用含參直線過定點(diǎn)的解題策略求定點(diǎn)坐標(biāo)即可.【變式訓(xùn)練】1.圓：，點(diǎn)為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)分別為、，則直線過定點(diǎn)A． B． C． D．【答案】B【詳解】不妨設(shè)，畫出圖象如下圖所示，根據(jù)直角三角形射影定理可知，即直線方程為，四個(gè)選項(xiàng)中，只有選項(xiàng)符合，故選.2.已知圓，直線，P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，圓心C的坐標(biāo)為，可得以線段為直徑的圓N的方程，兩圓方程作差，得兩圓公共弦的方程可得答案．【詳解】因?yàn)镻為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，所以可設(shè)，由題意可得圓心C的坐標(biāo)為，以線段為直徑的圓N的圓心為，半徑為，所以方程為，兩圓方程作差，即得兩圓公共弦的方程為，，所以直線過定點(diǎn)．故選：A.3.已知圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且與直線相切，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)向圓引兩條切線，，、為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意設(shè)的坐標(biāo)為，由切線的性質(zhì)得點(diǎn)A、在以為直徑的圓上，求出圓的方程，將兩個(gè)圓的方程相減求出公共弦所在的直線方程，再求出直線過的定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由點(diǎn)是直線上的任一點(diǎn)，所以設(shè)，因?yàn)閳A的兩條切線、，切點(diǎn)分別為A、，所以，，則點(diǎn)A、在以為直徑的圓上，即是圓和圓的公共弦，則圓心的坐標(biāo)是，且半徑的平方是，所以圓的方程是，又由，兩式相減，可得，即公共弦所在的直線方程是，即，由，解得，所以直線恒過定點(diǎn).故選：A.【題型十】切線4：切線長最值范圍【典例分析】已知是直線上一點(diǎn)，是圓的一條切線，是切點(diǎn)，若長度的最小值為，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由切線的性質(zhì)可得，利用勾股定理可知當(dāng)長度取最小值時(shí)，的長度取得最小值，即圓心到直線的距離為，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得正實(shí)數(shù)的值.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，該圓的圓心為，半徑為，由圓的切線的性質(zhì)可知，由勾股定理可得，因?yàn)?，則，即圓心到直線的距離為，所以，，，解得.故選：D.【提分秘籍】基本規(guī)律圓的切線(1)過圓上一點(diǎn)作圓的切線有且只有一條；(2)過圓外一點(diǎn)作圓的切線有且只有兩條，若僅求得一條，除了考慮運(yùn)算過程是否正確外，還要考慮斜率不存在的情況，以防漏解．（3）求圓外定點(diǎn)的切線長，多轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)、切點(diǎn)、圓心所在三角形?！咀兪接?xùn)練】1.若過直線上一點(diǎn)向圓：作一條切線切于點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．4 C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，求出圓的圓心與半徑，由切線長公式可得，當(dāng)取得最小值時(shí)，的值最小，由點(diǎn)到直線的距離分析的最小值，進(jìn)而計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，圓，其圓心為，半徑，過點(diǎn)向圓作一條切線切于點(diǎn)，則，當(dāng)取得最小值時(shí)，的值最小，而的最小值為點(diǎn)到直線的距離，則，則的最小值為，故選：D2.已知圓，點(diǎn)在直線上，過直線上的任一點(diǎn)引圓的兩條切線，若切線長的最小值為2，則直線的斜率（

）A．2 B． C．或 D．2或【答案】C【解析】根據(jù)勾股定理由切線長最小值求出的最小值為，即圓心到直線的距離為，設(shè)出直線的方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離列式可解得結(jié)果.【詳解】圓的圓心為，半徑為，因?yàn)榍芯€長的最小值為2，所以，所以圓心到直線的距離為，所以直線必有斜率，設(shè)，即，所以圓心到直線的距離為，所以，整理得，解得或.故選：C3.已知圓，直線，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，直線，分別與圓相切于點(diǎn)，，當(dāng)切線長最小時(shí)，弦的長度為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，當(dāng)取得最小值時(shí)，切線長有最小值，即時(shí)，再由得到答案.【詳解】由條件得圓，圓心，半徑，因?yàn)椋援?dāng)取得最小值時(shí)，切線長有最小值，易知當(dāng)時(shí)，有最小值為，所以的最小值為，所以.故選：.【題型十一】切線5：切線三角形與四邊形面積最值【典例分析】已知定直線l的方程為，點(diǎn)Q是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作圓的一條切線，是切點(diǎn)，C是圓心，若面積的最小值為，則此時(shí)直線l上的動(dòng)點(diǎn)E與圓C上動(dòng)點(diǎn)F的距離的最小值為（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】由題意可得直線l的方程為，再求出圓C的圓心坐標(biāo)與半徑，由面積的最小值為求得，再由點(diǎn)到直線的距離公式求解k，可得直線l的方程，進(jìn)一步求得直線l上的動(dòng)點(diǎn)E與圓C上動(dòng)點(diǎn)F的距離的最小值．【詳解】解：由題意可得直線l的方程為，圓C的圓心，半徑為1，如圖：，又，當(dāng)取最小值時(shí)，取最小值，此時(shí)，可得，，則，解得，則直線l的方程為，則直線l上的動(dòng)點(diǎn)E與圓C上動(dòng)點(diǎn)F的距離的最小值為．故選：B．【提分秘籍】基本規(guī)律切點(diǎn)四邊形可以轉(zhuǎn)化為圓外定點(diǎn)、切點(diǎn)、圓心所在三角形?！咀兪接?xùn)練】1.過直線上一點(diǎn)P作圓M：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若使得四邊形PAMB的面積為的點(diǎn)P有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】利用圓的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，結(jié)合題意可得，即得.【詳解】由圓M：可知，圓心，半徑為1，∴，∴四邊形PAMB的面積為，∴，要使四邊形PAMB的面積為的點(diǎn)P有兩個(gè)，則，解得.故選：A.2.過圓：上一點(diǎn)作圓：的切線，切點(diǎn)分別為，則四邊形面積的最小值為（

）A． B．2 C． D．3【答案】C【分析】由于，進(jìn)而可知求出的最小值即可，而最小即為求的最小值，從而可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知點(diǎn)，，，四點(diǎn)共圓，，因?yàn)椋?dāng)?shù)闹底钚r(shí)，最小，，，故四邊形的最小值為．故選：C.3.已知圓O：，點(diǎn)P是橢圓C：上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓O的兩條切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，直線AB分別交軸、軸于點(diǎn)M、N，則的面積的最小值是A． B．1 C． D．【答案】A【詳解】令,由切線公式可得直線PA:,直線PB:,所以P滿足和,所以可得直線AB的方程為①.由①式得,所以O(shè)MN面積②另帶入②得則,所以當(dāng)sin2β=1時(shí)面積最小,此時(shí)Smin=.【題型十二】切線6：切點(diǎn)弦最值【典例分析】已知是半徑為1的動(dòng)圓上一點(diǎn)，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，，則當(dāng)取最大值時(shí)，△的外接圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題設(shè)，確定的軌跡方程，結(jié)合已知可得，再根據(jù)切線的性質(zhì)、勾股定理及面積法得到關(guān)于的關(guān)系式且△的外接圓以線段為直徑，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系及其動(dòng)點(diǎn)距離最值情況，寫出外接圓的方程.【詳解】由，則動(dòng)圓心的軌跡方程為.為圓上的動(dòng)點(diǎn)，又，∴，∵，，，∴，∴當(dāng)最小時(shí)，最小，當(dāng)最大時(shí)，最大.當(dāng)時(shí)，取最大值，△的外接圓以線段為直徑，而中點(diǎn)，即中點(diǎn)為，∴外接圓方程為，即.故選：A【提分秘籍】基本規(guī)律求切點(diǎn)弦長度（范圍）：1.抓化為定點(diǎn)、切點(diǎn)、圓心三點(diǎn)三角形，可以借助勾股定理（或者三角函數(shù)正余弦）求解。2.轉(zhuǎn)化為圓心到切點(diǎn)弦距離最值求解【變式訓(xùn)練】1.若為直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)引圓的兩條切線，（切點(diǎn)為，），則線段的長度的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先設(shè)圓，圓心，，根據(jù)題意得到當(dāng)最小時(shí)，最小，利用余弦定理即可得到，再根據(jù)點(diǎn)在直線無限遠(yuǎn)取值時(shí)，，直徑，即可得到答案.【詳解】設(shè)圓，，圓心，，要使的長度最小，則最小，即最小.因?yàn)?，所以?dāng)最小時(shí)，最小.又因?yàn)?，所以?dāng)最小時(shí)，最小.因?yàn)?，所以?則.當(dāng)點(diǎn)在直線無限遠(yuǎn)取值時(shí)，，直徑，所以.故選：C2.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)滿足，過作單位圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則線段長度的取值范圍是______.【答案】.【分析】設(shè)，由圓的切點(diǎn)弦所在直線方程可知的方程為，進(jìn)而可求圓心到距離，從而求出弦長，結(jié)合已知可求出弦長的取值范圍.【詳解】解：設(shè)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)過點(diǎn)與圓相切直線的斜率，則過點(diǎn)與圓相切直線方程為，即，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)切線方程或滿足.綜上所述，過點(diǎn)與圓相切直線方程為；同理，過點(diǎn)與圓相切直線方程為，設(shè)，則直線的方程為，此時(shí)圓心到距離.所以.由可知，，則，所以.故答案為:.3.已知圓與直線，過l上任意一點(diǎn)P向圓C引切線，切點(diǎn)為A，B，若線段長度的最小值為，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，則，則由題意可求得，從而可得，而的最小值是圓心到直線的距離，然后列方程可求出實(shí)數(shù)m的值【詳解】圓，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，又，所以，又，所以，即，又，所以．故選：D．【題型十三】切線7：向量范圍【典例分析】已知P是函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則的最小值為（

）A． B． C．0 D．【答案】A【分析】結(jié)合圖示，將轉(zhuǎn)化為和有關(guān)的函數(shù)形式，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性以及的取值范圍，可求解出的最小值.【詳解】設(shè)即的圓心為，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為，如圖所示：因?yàn)椋?，所以，設(shè)，所以，取等號(hào)時(shí)，又由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性可知其在上單調(diào)遞增，所以，故選：A.【提分秘籍】基本規(guī)律圓切線求向量，屬于有難度的題型，借助于定（動(dòng)）點(diǎn)、切點(diǎn)和圓心所構(gòu)成的直角三角形來轉(zhuǎn)化求解。涉及到長度，夾角等較多因素。【變式訓(xùn)練】1.已知圓，，過圓上一點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別是E、F，則的最小值是A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】本題首先可以通過圓的方程得出圓的圓心軌跡，然后畫出圓的圓心軌跡圖像以及圓的圖像，通過圖像可以得出線段的取值范圍以及的解析式，最后通過函數(shù)性質(zhì)即可得出結(jié)果．【詳解】由可得：圓的圓心在圓的圓周上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，則，由圖可知：，，由在上為增函數(shù)可知，當(dāng)時(shí)，取最小值6，故選A．2.過點(diǎn)作圓C：的切線，切點(diǎn)分別為A，B，則的最小值為A． B． C． D．【答案】C【詳解】圓C：的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，∴，∴，，∴，∴，設(shè)，則，則，∴恒成立，∴在單調(diào)遞增，∴，∴的最小值為故選C.3.過點(diǎn)P向圓C:作切線，切點(diǎn)分別為A，B.則的最小值為（

）A． B．6 C． D．【答案】B【分析】將圓的方程配成標(biāo)準(zhǔn)式，畫出草圖，設(shè)，則，又，所以，利用平面直角坐標(biāo)系下任意兩點(diǎn)的距離公式及二次函數(shù)的性質(zhì)得到，再根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：圓C:，即圓C:，圓心為，半徑如圖，設(shè)，由對(duì)稱性且，所以因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以令，則，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以故選：B【題型十四】切線轉(zhuǎn)化綜合【典例分析】已知圓,直線,若直線上存在點(diǎn)，過點(diǎn)引圓的兩條切線,使得,則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．[,]C． D．）【答案】D【分析】由題意結(jié)合幾何性質(zhì)可知點(diǎn)P的軌跡方程為，則原問題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離小于等于半徑，據(jù)此求解關(guān)于k的不等式即可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍.【詳解】圓C（2,0），半徑r＝，設(shè)P（x，y），因?yàn)閮汕芯€，如下圖，PA⊥PB，由切線性質(zhì)定理，知：PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝PB，所以，四邊形PACB為正方形，所以，｜PC｜＝2，則：，即點(diǎn)P的軌跡是以（2,0）為圓心，2為半徑的圓.直線過定點(diǎn)（0，－2），直線方程即，只要直線與P點(diǎn)的軌跡（圓）有交點(diǎn)即可，即大圓的圓心到直線的距離小于等于半徑，即：，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍是）.本題選擇D選項(xiàng).【變式訓(xùn)練】1.已知點(diǎn)P是直線l：上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P引圓C：的兩條切線PM，PN，M，N為切點(diǎn)，當(dāng)?shù)淖畲笾禐闀r(shí)，則r的值為A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】結(jié)合題意，找出該角取最大值的時(shí)候PC的長度，建立方程，計(jì)算結(jié)果，即可．【詳解】結(jié)合題意，繪制圖像，可知當(dāng)取到最大值的時(shí)候，則也取到最大值，而，當(dāng)PC取到最小值的時(shí)候，取到最大值，故PC的最小值為點(diǎn)C到該直線的最短距離，故，故，解得，故選D．2.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，若直線：上有且只有一個(gè)點(diǎn)滿足：過點(diǎn)作圓C的兩條切線PM，PN，切點(diǎn)分別為M，N，且使得四邊形PMCN為正方形，則正實(shí)數(shù)m的值為（

）A．1 B． C．3 D．7【答案】C【解析】根據(jù)四邊形PMCN為正方形可得，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離為可求得結(jié)果.【詳解】由可知圓心，半徑為，因?yàn)樗倪呅蜳MCN為正方形，且邊長為圓的半徑，所以，所以直線：上有且只有一個(gè)點(diǎn)，使得，即，所以圓心到直線的距離為，所以，解得或（舍）.故選：C3.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，，動(dòng)點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)分別作圓的切線，切點(diǎn)分別為，若滿足的點(diǎn)有且只有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】.【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，將原問題轉(zhuǎn)化為直線與圓相交的問題，求解關(guān)于b的不等式即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意O(0,0),O1(4,0).設(shè)P(x,y)，則∵PB=2PA，，∴(x?4)2+y2=4(x2+y2)，∴x2+y2+=0，圓心坐標(biāo)為,半徑為，∵動(dòng)點(diǎn)P在直線x+y?b=0上，滿足PB=2PA的點(diǎn)P有且只有兩個(gè)，∴直線與圓x2+y2+=0相交，∴圓心到直線的距離，∴，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.分階培優(yōu)練分階培優(yōu)練培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練1.若x，y滿足，則的最小值是（

）A．5 B． C． D．無法確定【答案】C【分析】由為圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，結(jié)合圓的性質(zhì)即得.【詳解】由，可得，表示以為圓心，以為半徑的圓，設(shè)原點(diǎn)，，則（為圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方）的最小值是．故選：C．2.過點(diǎn)的直線與圓：交于，兩點(diǎn)，當(dāng)弦取最大值時(shí)，直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】要使過點(diǎn)的直線被圓所截得的弦取最大值時(shí)，則直線過圓心，然后根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程寫出答案即可【詳解】圓：化為所以圓心坐標(biāo)要使過點(diǎn)的直線被圓所截得的弦取最大值時(shí)，則直線過圓心由直線方程的兩點(diǎn)式得：，即故選：A3.若兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面積為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，再確定軌跡即可計(jì)算作答.【詳解】設(shè)，依題意，，化簡(jiǎn)整理得：，因此，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面積為.故選：D4.唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在區(qū)域?yàn)?，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為___________．【答案】##【分析】先求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)到圓心的距離減去半徑即為最短.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則的中點(diǎn)為，,故解得，由知軍營所在區(qū)域中心為，要使從點(diǎn)到軍營總路程最短，即為點(diǎn)到軍營最短的距離為，“將軍飲馬”的最短總路程為，故答案為：5.在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點(diǎn)，，點(diǎn)在軸的正半軸上移動(dòng)，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由平面幾何知識(shí)可知，當(dāng)過、兩點(diǎn)的圓與軸相切時(shí)，切點(diǎn)即為所求點(diǎn)，再由切割線定理可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo).【詳解】當(dāng)過、兩點(diǎn)的圓與軸相切時(shí)，切點(diǎn)即為所求點(diǎn).易得過、兩點(diǎn)的直線方程為，其與軸交點(diǎn)為，易得，，由切割線定理得，所以，進(jìn)而可得，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3.故選：C.6.一束光線，從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)軸反射到圓上的最短路徑的長度是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，交圓于點(diǎn)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可確定為所求的最短距離，由可求得結(jié)果.【詳解】由圓的方程可得：圓心坐標(biāo)，半徑，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)為，則，連接交軸于點(diǎn)，交圓于點(diǎn)，則為所求的最短距離，證明如下：任取軸上一點(diǎn)，則（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)），，即最短路徑的長度為.故選：A.7.已知從點(diǎn)發(fā)出的一束光線，經(jīng)x軸反射后，反射光線恰好平分圓：的圓周，則反射光線所在的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)反射性質(zhì)，結(jié)合圓的性質(zhì)、直線斜率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，圓的圓心坐標(biāo)為，設(shè)是x軸上一點(diǎn)，因?yàn)榉瓷涔饩€恰好平分圓的圓周，所以反射光線經(jīng)過點(diǎn)，由反射的性質(zhì)可知：，于是，所以反射光線所在的直線方程為：，故選：A8.過點(diǎn)D(1,－2)作圓C：(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則弦AB所在直線的方程為（

）A．2y－1＝0 B．2y＋1＝0C．x＋2y－1＝0 D．x－2y＋1＝0【答案】B【分析】由題設(shè)寫出CD為直徑的圓的方程，將其與圓C作差即可得弦AB所在直線的方程.【詳解】由圓C：(x－1)2＋y2＝1知：其圓心為C(1,0)，半徑為1.連接CD，以線段CD為直徑的圓的方程為(x－1)(x－1)＋(y＋2)(y－0)＝0，整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝1.將兩圓的方程相減，可得公共弦AB所在直線的方程為2y＋1＝0.故選：B.9.已知圓：，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)向圓引兩條切線?，?為切點(diǎn)，則直線過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，由切線性質(zhì)得四點(diǎn)共圓，是其直徑，可得圓方程，是此圓與圓的公共弦，因此只要兩圓方程相減可得直線方程，由方程可得定點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】由題意，設(shè)，則以為直徑的圓方程為，即，由得，這就是直線的方程，直線方程整理為，由，得，所以直線過定點(diǎn)．10.若圓上總存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則過圓外一點(diǎn)向圓所作的切線長的最小值是（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】依題意可知?jiǎng)狱c(diǎn)在直線：上移動(dòng)，當(dāng)與直線垂直時(shí)，最小，從而切線長最小.由點(diǎn)到直線距離公式求得的最小值，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】圓：，圓心為，半徑.依題意知，直線過圓心，所以，即動(dòng)點(diǎn)在直線：上移動(dòng).所以，當(dāng)與直線垂直時(shí)，最小，從而切線長最小，.此時(shí)，切線長的最小值為.故選：D.11.已知直線：與圓：()相離，過直線上的動(dòng)點(diǎn)做圓的一條切線，切點(diǎn)為，若面積的最小值是，則（

）A．1 B． C．1或 D．2【答案】C【分析】求出圓心到直線的距離，即可得切線長的最小值，從而得面積最小值，由此可得半徑．【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)最小時(shí)，最?。淖钚≈禐?，所以，解得或，又直線與圓相離，所以，所以或．故選：C．12.若為直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)引圓的兩條切線，（切點(diǎn)為，），則線段的長度的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先設(shè)圓，圓心，，根據(jù)題意得到當(dāng)最小時(shí)，最小，利用余弦定理即可得到，再根據(jù)點(diǎn)在直線無限遠(yuǎn)取值時(shí)，，直徑，即可得到答案.【詳解】設(shè)圓，，圓心，，要使的長度最小，則最小，即最小.因?yàn)?，所以?dāng)最小時(shí)，最小.又因?yàn)?，所以?dāng)最小時(shí)，最小.因?yàn)?，所以?則.當(dāng)點(diǎn)在直線無限遠(yuǎn)取值時(shí)，，直徑，所以.故選：C13.已知圓的圓心為為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為___________．【答案】16【分析】先求得圓心到直線的距離，由轉(zhuǎn)化為，從而得出結(jié)論.【詳解】解：圓心到直線的距離為因?yàn)?，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為16．14.已知點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，，其中，為切點(diǎn)，若的最大值為120°，則的值為（

）A． B． C．4 D．6【答案】B【分析】由切線得四邊形的性質(zhì)，要使得最大，則最小，的最小值即為圓心到直線的距離，再由已知角的大小可求得．【詳解】由題意，，，所以最大時(shí)，最小．由題意知，又，所以，．故選：B．培優(yōu)第二階——能力提升練1.已知圓，點(diǎn)，分別是圓，圓上的動(dòng)點(diǎn)，為軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用圓的方程求出圓心坐標(biāo)和半徑，利用對(duì)稱性和三點(diǎn)共線求最值的方法即可得出結(jié)果.【詳解】解：由題意可知，圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑為，要使得取最大值，需的值最大，的值最小.其中的最大值為,的最小值為則的最大值為點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，，所以的最大值為.故選：C2.直線分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓上，則面積的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】底邊為定值，求出點(diǎn)P到距離的范圍即可求出面積的取值范圍.【詳解】圓心到直線距離，所以點(diǎn)P到距離即高的范圍，又可求得，所以面積的取值范圍為.故選：A.3.阿波羅尼斯約公元前年證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓．后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)P與A，B距離之比滿足：，當(dāng)P、A、B三點(diǎn)不共線時(shí)，面積的最大值是（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)P的軌跡方程，探求點(diǎn)P與直線AB的最大距離即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，，設(shè)，因，則，化簡(jiǎn)整理得：，因此，點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，點(diǎn)P不在x軸上時(shí)，與點(diǎn)A，B可構(gòu)成三角形，當(dāng)點(diǎn)P到直線(軸)的距離最大時(shí)，的面積最大，顯然，點(diǎn)P到軸的最大距離為，此時(shí)，，所以面積的最大值是．故選：C4.在平面直角坐標(biāo)系中，和是圓上的兩點(diǎn)，且，點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】取中點(diǎn)為，延長至，使得，求出，根據(jù)已知求出的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，再利用數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍.【詳解】，取中點(diǎn)為，，且，延長至，使得，所以，因?yàn)?，所以的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，因?yàn)?，所?故選：A5.已知是圓的一條弦，且，是的中點(diǎn)，當(dāng)弦在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線上存在兩點(diǎn)，使得恒成立，則線段長度的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件先確定出點(diǎn)的軌跡方程，然后將問題轉(zhuǎn)化為“以為直徑的圓要包括圓”，由此利用圓心到直線的距離結(jié)合點(diǎn)的軌跡所表示圓的半徑可求解出的最小值.【詳解】由題可知：，圓心，半徑，又，是的中點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程，圓心為點(diǎn)，半徑為，若直線上存在兩點(diǎn)，使得恒成立，則以為直徑的圓要包括圓，點(diǎn)到直線的距離為，所以長度的最小值為，故選：B．6.已知點(diǎn)，Q為圓上一點(diǎn)，點(diǎn)S在x軸上，則的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】本題目是數(shù)形結(jié)合的題目，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的原則，可以將轉(zhuǎn)換為，連接，找到點(diǎn)的位置，從而求出線段和的最小值【詳解】將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，如下圖所示：作點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接與圓相交于點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)，此時(shí)，的值最小，且，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得：點(diǎn)坐標(biāo)為，半徑，所以，，所以最小值為9故選：C7.已知圓，從點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)直線反射后，恰好經(jīng)過圓心，則入射光線的斜率為（

）A． B． C． D．4【答案】A【解析】化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得圓心坐標(biāo)與半徑，由關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在入射光線上，由兩點(diǎn)求斜率公式求解.【詳解】解：由，得，圓心為，由已知，反射光線經(jīng)過，故點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在入射光線上.且光源，入射光線的斜率.故選：.8.已知圓О的方程為，過圓О外一點(diǎn)作圓O的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面幾何知識(shí)可知點(diǎn)O，A，P，B在以O(shè)P為直徑的圓上，求出該圓的方程，再將兩圓的方程相減，即可得到直線AB的方程．【詳解】由題意知點(diǎn)O，A，P，B在以O(shè)P為直徑的圓上，易求該圓的方程為，AB為圓與圓的公共弦，將這兩圓的方程相減，得，即AB的方程為.故選：B．9.已知圓的圓心為原點(diǎn)，且與直線相切.點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)引圓的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，如圖所示，則直線恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B． C． D．【答案】A【分析】由圓的圓心為原點(diǎn)且與直線相切即得圓的方程，又，是它的切線，可知，一定在以為直徑為圓心的圓上，即為兩圓的公共弦，即可求出直線的方程，進(jìn)而找到定點(diǎn)【詳解】依題意知，圓的半徑且圓心為∴圓的方程為∵，是圓的兩條切線?！?，，即，在以為直徑的圓上若設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為∴以為直徑的圓的方程為，，化簡(jiǎn)得，∵為兩圓的公共弦?！嘀本€的方程為，，即∴直線恒過定點(diǎn)。故選：A10.已知直線是圓的對(duì)稱軸，過點(diǎn)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則等于（

）A．4 B． C． D．3【答案】A【分析】根據(jù)直線是圓的對(duì)稱軸，則圓心在直線l上，求得，由過點(diǎn)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，利用勾股定理即可求得.【詳解】由方程得，圓心為，因?yàn)橹本€l是圓C的對(duì)稱軸，所以圓心在直線l上，所以，所以A點(diǎn)坐標(biāo)為，則，所以.故選：A．11.已知點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，是圓的兩條切線，是切點(diǎn)若四邊形的最小面積是，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】四邊形面積最小時(shí)，即是最小，也就是取最小值，為點(diǎn)到直線的距離，從而得出結(jié)果．【詳解】解：由題意得，圓的方程為：，圓心半徑，直線過定點(diǎn)，，面積最小時(shí)，即是最小，也就是取最小值，為點(diǎn)到直線的距離．此時(shí)，，解得故選D．12.過x軸正半軸上一作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【分析】連接交于點(diǎn)，先判斷出最小時(shí)，最大，最小，再由勾股定理求出，進(jìn)而求得的最小值.【詳解】如圖，連接交于點(diǎn)，易得，，由，最小時(shí)，最大，又，可得，即，最大時(shí)，最小，最小；又，則，故的最小值為1.故選：A.13.已知圓，圓，過圓M上任意一點(diǎn)P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則的最小值是A． B．3 C． D．【答案】D【分析】?jī)蓤A的圓心距為5，大于兩圓的半徑之和，可以知道兩圓相離，結(jié)合下圖（見解析）的最小值是的值，求出即可．【詳解】由題意，圓的圓心為（1，0），半徑為1，圓的圓心（，），半徑為2，所以，而，所以兩圓相離．，要使取得最小值，需要和越小，且越大才能取到，設(shè)直線和圓交于兩點(diǎn)（如下圖）．則的最小值是.=，，則.所以.故選D.14.已知圓：，直線：，若在直線上任取一點(diǎn)作圓的切線，，切點(diǎn)分別為，，則最小時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將最小轉(zhuǎn)化為，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】由得，所以圓心，半徑，在中，，當(dāng)最小時(shí)，最小，最大，最小，此時(shí)，的最小值為圓心到直線的距離：，此時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以圓心到直線的距離為，所以兩平行直線與之間的距離為，因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為，所以原點(diǎn)到直線的距離為.故選：A培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練1.已知點(diǎn)，分別為圓：，：上的動(dòng)點(diǎn)，為軸上一點(diǎn)，則的最小值（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，求出關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，結(jié)合，以及兩點(diǎn)之間線段最短，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，易知，因?yàn)殛P(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，所以，因此的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)為直線與x的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)．故選：B．2.已知直線與x軸和y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓上，當(dāng)最大時(shí)，△APB的面積為（

）A． B．1 C．2 D．【答案】C【分析】先求圓A的方程，當(dāng)最大時(shí)，直線PB是圓的切線，結(jié)合切線方程即可求出結(jié)果．【詳解】由已知，圓A的方程為，當(dāng)最大時(shí)，此時(shí)直線PB是圓的切線，即直線PB的方程為：或，當(dāng)直線PA的方程為時(shí)，△APB的面積為，當(dāng)直線PA的方程為時(shí)，△APB的面積為，故選：C．3.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)滿足.設(shè)點(diǎn)的軌跡為，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．軌跡的方程為B．在軸上存在異于的兩點(diǎn)，使得C．在上存在點(diǎn)，使得D．當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，射線是的角平分線【答案】C【分析】根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)之間的距離公式以及角平分線的性質(zhì)，一一判斷即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，設(shè)，由，得，化簡(jiǎn)得，因此A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，假設(shè)在軸上存在異于的兩點(diǎn)，使得，設(shè)，，則，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，因此，解得或（舍），即在軸上存在異于的兩點(diǎn)，使得，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，若在上存在點(diǎn)，使得，設(shè)，則，化簡(jiǎn)得，與聯(lián)立，方程組無解，故在上不存在點(diǎn)，使得，因此C錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，，可知射線是的角平分線，故D正確.故選：C.4.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集