1.極點(diǎn)極線入門一．基本原理1.從橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程到極點(diǎn)極線橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)：由橢圓定義可知：橢圓可以看成點(diǎn)集，于是，假設(shè)焦點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，點(diǎn)，那么：①將①式左端的一個根號移到右端，再兩邊平方整理可得：②對②式繼續(xù)平方，再整理可得：③由定義可知：，令，那么可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程④.這樣我們將定義代數(shù)，坐標(biāo)化后便推得焦點(diǎn)在軸上橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程④.定位到②式，⑤.⑤式表明橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離與到直線的距離之比是離心率.其中：橢圓的焦點(diǎn)為時,相應(yīng)的準(zhǔn)線是；焦點(diǎn)為時,相應(yīng)的準(zhǔn)線是；焦點(diǎn)為時,相應(yīng)的準(zhǔn)線是；焦點(diǎn)為時,相應(yīng)的準(zhǔn)線是.雙曲線的情況類似,這里就不再贅述了.進(jìn)一步，已知圓錐曲線，則稱點(diǎn)和直線是圓錐曲線的一對極點(diǎn)與極線.根據(jù)極點(diǎn)極線的代數(shù)定義我們可以知道，對于橢圓，與點(diǎn)對應(yīng)的極線方程為.特別地，點(diǎn)對應(yīng)的極線方程為：，即右焦點(diǎn)所對應(yīng)的極線方程為右準(zhǔn)線.同理，可得雙曲線與拋物線的極點(diǎn)與極線方程，這里用表格形式給出相關(guān)結(jié)論.曲線類型極點(diǎn)極線結(jié)論2.從直線上任意一點(diǎn)向橢圓的左右頂點(diǎn)引兩條割線與橢圓交于兩點(diǎn)，則直線恒過定點(diǎn).結(jié)論3.極點(diǎn)與極線作法：（1）如圖，是不在圓錐曲線上的點(diǎn)，過點(diǎn)引兩條割線依次交圓錐曲線于四點(diǎn)，連接交于，連接交于，則直線為點(diǎn)對應(yīng)的極線．（2）若為圓錐曲線上的點(diǎn)，則過點(diǎn)的切線即為極線．由圖1可知，同理為點(diǎn)對應(yīng)的極線，為點(diǎn)所對應(yīng)的極線．稱為自極三點(diǎn)形．若連接交圓錐曲線于點(diǎn)，則恰為圓錐曲線的兩條切線．事實(shí)上，下圖給出了兩切線交點(diǎn)對應(yīng)的極線的一種作法．PPEFGHMANB二．典例分析例1.（2020全國1卷）已知分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，為的上頂點(diǎn)，，點(diǎn)為直線上的動點(diǎn)，與的另一個交點(diǎn)為，與的另一個交點(diǎn)為.（1）求的方程；（2）證明：直線過定點(diǎn).解析：（1）的方程為.（2）解法1：（設(shè)線法）由（1）知，，設(shè)，則直線的方程是，聯(lián)立，由韋達(dá)定理，代入直線的方程為得：，即，，直線的方程是，聯(lián)立方程，由韋達(dá)定理，代入直線的方程為得，即，，直線的斜率，直線的方程是，整理得：，故直線過定點(diǎn)，．解法2.（設(shè)點(diǎn)法）假設(shè).則由及三點(diǎn)共線可得：將上面兩式相除，再平方可得：①，由于均在橢圓上，故滿足：②，將②代入①可得：，整理可得：③，假設(shè)直線的方程為代入橢圓方程得：將代入③中，可得：，于是，直線的方程為，故其過定點(diǎn).例2．（2023年新高考2卷）已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．（1）求的方程；（2）記的左、右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與的左支交于兩點(diǎn)，在第二象限，直線與交于點(diǎn)．證明:點(diǎn)在定直線上.解析：（1）設(shè)雙曲線方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，則由可得，，雙曲線方程為.（2）由(1)可得，設(shè)，顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，且，與聯(lián)立可得，且，則，

直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得：，由可得，即，據(jù)此可得點(diǎn)在定直線上運(yùn)動.2.調(diào)和線束的斜率形式及應(yīng)用1.基本結(jié)論若四點(diǎn)成調(diào)和點(diǎn)列，在這四點(diǎn)所在直線外任取一點(diǎn)，所形成的的四條射線，，，，稱為調(diào)和線束.對于一組調(diào)和線束，本節(jié)給出其斜率之間所滿足的基本關(guān)系，并進(jìn)一步用此結(jié)論去解決一些與極點(diǎn)極線有關(guān)的斜率恒等式.結(jié)論[1]:如圖1.若調(diào)和線束，，，的方程為.那么.圖1圖22.基本應(yīng)用此處，我們選擇比較經(jīng)典的兩個問題，即2013年江西高考的文理科圓錐曲線題目來作為上述結(jié)論應(yīng)用的范例.例1.如圖2，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率，直線的方程為.（1）求橢圓的方程；（2）AB是經(jīng)過右焦點(diǎn)F的任一弦（不經(jīng)過點(diǎn)P），設(shè)直線AB與直線相交于點(diǎn)M，記PA，PB，PM的斜率分別為.問：是否存在常數(shù)λ，使得？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由.證明：由于直線是點(diǎn)關(guān)于橢圓的極線，所以成調(diào)和點(diǎn)列，分別設(shè)直線為，那么四直線的交比,利用交比的性質(zhì)可得，又由于，故，即，證畢.詳解：（1）橢圓的方程為.（2）由題意可設(shè)的斜率為，則直線的方程為①，代入橢圓方程并整理，得，設(shè)，則有：②，在方程①中令得，的坐標(biāo)為.從而.注意到共線，則有，即有.所以可入可得：，又，所以.故存在常數(shù)符合題意.結(jié)論：已知橢圓，過定點(diǎn)作一直線交橢圓于兩點(diǎn)，交點(diǎn)的極線于點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且點(diǎn)橫坐標(biāo)為,則直線的斜率成等差數(shù)列.參考文獻(xiàn)：[1].田朋朋.三直線斜率等差性質(zhì)的本質(zhì)與推廣.[J].數(shù)學(xué)通訊.2019.11.3.2023年全國乙卷解析幾何的極點(diǎn)極線結(jié)構(gòu)一．極點(diǎn)極線主要結(jié)論在下面述試題的證明中，主要涉及到標(biāo)號為①，②，③，④的四個結(jié)論的引用，此處逐次給出證明，從而完善整個題目的理論背景.1.極點(diǎn)與極線的定義：已知圓錐曲線，則稱點(diǎn)和直線是圓錐曲線的一對極點(diǎn)和極線．事實(shí)上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換(另一變量也是如此)即可得到點(diǎn)極線方程．2.調(diào)和點(diǎn)列與極點(diǎn)極線[1]設(shè)點(diǎn)關(guān)于圓錐曲線的極線為，過點(diǎn)任作一割線交于，交于，則①；反之，若有①成立，則稱點(diǎn)調(diào)和分割線段，或稱關(guān)于調(diào)和共軛.3．已知調(diào)和線束，，，，若有一條直線平行于調(diào)和線束中的一條，且與剩余三條分別交于三點(diǎn)，那么這三點(diǎn)中的內(nèi)點(diǎn)平分該線段.4.在極點(diǎn)極線結(jié)構(gòu)中，我們需關(guān)注四個點(diǎn)的極線，以及線段上的點(diǎn)所形成的極線，如下圖所示典例分析（2023年全國乙卷T20）已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．（1）求的方程；（2）過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．分析：如圖，點(diǎn)B關(guān)于橢圓的極線恰為，由上述結(jié)論2，則四點(diǎn)為調(diào)和點(diǎn)列，則為調(diào)和線束，由于軸，則由結(jié)論3可得：軸截調(diào)和線束于，則為中點(diǎn).【詳解】（1）由題意可得，解得，所以橢圓方程為.（2）由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)，聯(lián)立方程，消去y得：，則，解得，可得，因?yàn)?，則直線，令，解得，即,同理可得，則，所以線段的中點(diǎn)是定點(diǎn).4.自極三角形的應(yīng)用一．極點(diǎn)極線基礎(chǔ)自極三角形1.若為圓錐曲線上的點(diǎn)，則過點(diǎn)的切線即為極線．由圖1可知，同理為點(diǎn)對應(yīng)的極線，為點(diǎn)所對應(yīng)的極線．稱為自極三點(diǎn)形．若連接交圓錐曲線于點(diǎn)，則恰為圓錐曲線的兩條切線．2.若為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，則，即均平行于點(diǎn)和點(diǎn)對應(yīng)的極線.PPEFGHMANB二．典例分析（2022武漢二調(diào)）過坐標(biāo)原點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為，直線恰為拋物線的準(zhǔn)線.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，拋物線上四點(diǎn)，滿足：，設(shè)中點(diǎn)為.（?。┣笾本€的斜率；（ⅱ）設(shè)面積為，求的最大值.解析：（1）（2）（i）由于梯形兩底的中點(diǎn)，兩對角線的交點(diǎn)，兩腰延長線的交點(diǎn)，四點(diǎn)共線（證略），設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，故且平行于關(guān)于拋物線的極線：，故，由點(diǎn)差法可知：，故的斜率的斜率為0.（ⅱ）.點(diǎn)到直線的距離，因此.當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.三．武漢二調(diào)結(jié)論推廣設(shè)拋物線的內(nèi)接梯形，，交于，兩腰的延長線交于，過做的二切線，切點(diǎn)為，則;三點(diǎn)共線.5.極點(diǎn)極線中的面積與面積比問題（2023屆豐臺區(qū)一模）．已知橢圓的一個頂點(diǎn)為，焦距為2．（1）求橢圓E的方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓E交于B，C兩點(diǎn)，過點(diǎn)B，C分別作直線的垂線（點(diǎn)B，C在直線l的兩側(cè)）．垂足分別為M，N，記，，的面積分別為，，，試問：是否存在常數(shù)t，使得，，總成等比數(shù)列？若存在，求出t的值．若不存在，請說明理由．解析：（1）（2）設(shè)與交于點(diǎn)，利用調(diào)和點(diǎn)列可得由三角形相似可得：，故為調(diào)和點(diǎn)列，故為調(diào)和線束，于是為中點(diǎn).由三角形相似可得：，由于，故可得所以，即有，則有.以，即有，所以，與上式對比即可得：成立.綜上所述，可得如下結(jié)論：如圖，已知橢圓，過點(diǎn)做直線與橢圓交于兩點(diǎn)，再過兩點(diǎn)分別向直線引垂線，垂足記為，設(shè)的面積分別為，則有.解析：（1）根據(jù)已知可得，所以，所以橢圓E的方程為.（2）由已知得，的斜率存在，且在軸的同側(cè)，設(shè)直線的方程為，，不妨設(shè)，則由得所以因?yàn)?，所以，，要使，，總成等比?shù)列，則應(yīng)有解得，所以存在，使得，，總成等比數(shù)列.6.拋物線的切線及應(yīng)用一．基本原理1．單切線如圖，點(diǎn)為拋物線的準(zhǔn)線與軸交點(diǎn)，為拋物線上任意一點(diǎn)，則最小當(dāng)且僅當(dāng)為拋物線的切線.2.雙切線如圖，過點(diǎn)向拋物線引兩條切線，切點(diǎn)分別為，則有：結(jié)論1.直線的方程為.結(jié)論2.若為準(zhǔn)線上任一一點(diǎn)，則直線過拋物線的焦點(diǎn).反之，過的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，以分別為切點(diǎn)做兩條切線，則這兩條切線的交點(diǎn)的軌跡即為拋物線的準(zhǔn)線.此時有.結(jié)論3.直線的中點(diǎn)為，則平行于拋物線的對稱軸.3.三切線如圖，過點(diǎn)做拋物線的切線，切點(diǎn)為，過點(diǎn)做拋物線切線與分別交于，即可得到拋物線的三切線模型.二．典例分析例1．已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，，點(diǎn)為拋物線上一動點(diǎn)，當(dāng)最小時，點(diǎn)恰好在以，為焦點(diǎn)的雙曲線上，則該雙曲線的實(shí)軸長為（

）A． B．C． D．解析：由題意是拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，過作，垂足為，則，，由題意最小，是銳角，因此最小時，是拋物線的切線，設(shè)直線方程為，由，得（*），，，由對稱性，不妨取，方程（*）為，，，所以，故雙曲線的實(shí)軸長為，故選：D．例2.已知經(jīng)過點(diǎn)的橢圓的上焦點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)重合,過橢圓上一動點(diǎn)作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)分別為、.（1）求和的方程;（2）當(dāng)在橢圓位于軸下方的曲線上運(yùn)動時,試求面積的最大值.解析：（2）拋物線的方程為,即,對該函數(shù)求導(dǎo)得設(shè)點(diǎn)、、，直線的方程為，即同理可知,直線的方程為由于點(diǎn)為這兩條直線的公共點(diǎn),則，所以,點(diǎn)、的坐標(biāo)滿足方程，所以,直線的方程為聯(lián)立,可得:由韋達(dá)定理可得:所以點(diǎn)到直線的距離為，所以 ，由題可得:，所以當(dāng)時,的面積取最大值7.基于極點(diǎn)極線的命題研究極點(diǎn)極線背景的解析幾何試題一直都是高考的熱點(diǎn)題目，本文對一道2020武漢第三次質(zhì)檢試題給出極點(diǎn)極線證法，并作出一般推廣.一．試題呈現(xiàn)（武漢質(zhì)檢試題）已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，的周長為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)是直線上一動點(diǎn)，若與軸分別交于點(diǎn)，，則是否為定值，若是，求出該定值，若不是，說明理由.解：（1）依題意，由橢圓的定義可得的周長為，即，所以，故橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，，，由得，顯然，則，，直線，令得，即，同理，，同理：，于是：，所以為定值.二．一般推廣結(jié)論：過橢圓的右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，已知是直線上的一動點(diǎn)，若分別于軸分別交于點(diǎn)，記橢圓的右焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則.先給出一個引理[1]:設(shè)點(diǎn)關(guān)于圓錐曲線的極線為，過作曲線的任一割線交于兩點(diǎn)，交于，則調(diào)和分割，即四點(diǎn)成調(diào)和點(diǎn)列.證明：如圖，由引理可得：為調(diào)和點(diǎn)列，則為調(diào)和線束，直線軸與調(diào)和線束分別交于四點(diǎn)，根據(jù)調(diào)和線束的性質(zhì)可得：四點(diǎn)是調(diào)和點(diǎn)列，即，即，即，代入各點(diǎn)坐標(biāo)可得：，證畢.參考文獻(xiàn)：[1]王文彬.極點(diǎn)，極線與圓錐曲線試題的命制[J].數(shù)學(xué)通訊，2015(4):62-66.8.橢圓左右端點(diǎn)有關(guān)的極點(diǎn)極線結(jié)構(gòu)算法研究近日在研究2020年全國高考1卷20題時，覺得一種算法比較有趣，相較于傳統(tǒng)的做法，此類解法在運(yùn)算量上優(yōu)勢明顯，還凸顯了解析幾何設(shè)而不求，整體代入的核心思想.經(jīng)過對此算法的進(jìn)一步研究，發(fā)現(xiàn)其具有一般性的規(guī)律：即在于橢圓左右端點(diǎn)有關(guān)的極點(diǎn)極線結(jié)構(gòu)中使用此法會具有明顯的計算優(yōu)勢.下面我們通過例題予以分析.一．案例分析例1.（2020全國1卷20題）已知分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，為的上頂點(diǎn)，，點(diǎn)為直線上的動點(diǎn)，與的另一個交點(diǎn)為，與的另一個交點(diǎn)為.（1）求的方程；（2）證明：直線過定點(diǎn).解析：（1）的方程為.（2）假設(shè).則由及三點(diǎn)共線可得：將上面兩式相除，再平方可得：....①由于均在橢圓上，故滿足：...②將②代入①可得：，整理可得：...③假設(shè)直線的方程為代入橢圓方程可得：將代入③中，可得：，于是，直線的方程為，故其過定點(diǎn).點(diǎn)評：此題的計算方法相較于計算點(diǎn)坐標(biāo)再得直線的方程而言，計算量小了很多.而該算法的基本思想就是設(shè)而不求，整體代入.利用三點(diǎn)共線可得斜率相等，再代入點(diǎn)在橢圓上的已知條件完成.解法2.由橢圓方程可得：，，，，，橢圓方程為：（2）證明：設(shè)，則直線的方程為：，即：聯(lián)立直線的方