中考試題2025年長沙市初中學(xué)業(yè)水平考試試卷數(shù)學(xué)注意事項：1．答題前，請考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，并認(rèn)真核對條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號、考室和座位號：2．必須在答題卡上答題，在草稿紙、試題卷上答題無效；3．答題時，請考生注意各大題題號后面的答題提示；4．請勿折疊答題卡，保持字體工整、筆跡清晰、卡面清潔；5．答題卡上不得使用涂改液、涂改膠和貼紙；6．本學(xué)科試卷共25個小題，考試時量120分鐘，滿分120分．一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的．請在答題卡中填涂符合題意的選項．本大題共10個小題，每小題3分，共30分）1.人類探索浩瀚宇宙的步伐從未停止，天文學(xué)家已經(jīng)探明一年之中地球與太陽之間的距離隨時間變化而變化，地球與太陽之間的平均距離約為，用科學(xué)記數(shù)法將數(shù)據(jù)表示為（）A. B. C. D.2.下圖是由五個大小相同的正方體搭成的幾何體，它的左視圖是（）A B. C. D.3.在實際生活中，常用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量．如果把向東走80米記作米，那么向西走60米記作（）A.米 B.米 C.米 D.米4.下列運算正確的是（）A. B.C. D.5.2020年，我國承諾，力爭于2030年前實現(xiàn)“碳達(dá)峰”，2060年前實現(xiàn)“碳中和”．倡導(dǎo)低碳生活是每個公民的社會責(zé)任．某班環(huán)保小組為了解同學(xué)們?nèi)ツ旮髯约彝ピ缕骄疤甲阚E”的情況，收集了本組8名同學(xué)的家庭月平均用電產(chǎn)生的耗碳量（單位：千克）數(shù)據(jù)，依次為：．則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（）A. B. C. D.6.智慧農(nóng)業(yè)廣泛應(yīng)用智能機器人．某品牌智能機器人的一個機械手平均每分鐘采摘10個蘋果．若該機器人搭載m個機械手（），則該機器人平均每分鐘采摘的蘋果個數(shù)為（）A. B. C. D.7.如圖，，直線與直線，分別交于點E，F(xiàn)，直線與直線交于點G．若，，則度數(shù)為（）A. B. C. D.8.如圖，，為的弦，連接，，．若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.9.如圖，將沿折痕折疊，使點B落在邊上的點E處，若，則的周長為（）A.5 B.6 C.6.5 D.710.中國式現(xiàn)代化取得了彪炳史冊偉大成就，極大地提升了我國的綜合國力與國際影響力．據(jù)世界銀行公布的2024年各國GDP數(shù)據(jù)，可知2024年中國GDP總量為萬億美元．附：世界銀行公布的2024年GDP排名前20名的部分國家數(shù)據(jù)表國家GDP總量（單位：萬億美元）國家GDP總量（單位：萬億美元）德國4.59巴西2.33印度3.93俄羅斯2.05英國3.49韓國1.76法國313瑞士0.93預(yù)計2025年中國GDP總量的增長率為左右，請你根據(jù)以上信息估算：2025年中國GDP的增長量與下列哪個國家2024年GDP總量最接近？（）A.法國 B.瑞士 C.巴西 D.英國二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11.分解因式：______．12.為了解某校學(xué)生利用全國中小學(xué)智慧教育平臺輔助學(xué)習(xí)的情況，從該校全體名學(xué)生中，隨機調(diào)查了名學(xué)生，統(tǒng)計結(jié)果顯示僅有3名學(xué)生從未使用該平臺輔助學(xué)習(xí)．由此，估計該校全體學(xué)生中，從未使用該平臺輔助學(xué)習(xí)的學(xué)生有______名．13.分式方程的解為______．14.如圖，為的弦，于點C，連接，若，，則的長為______．15.如圖，五邊形中，，，，則______°．16.衣服穿戴整不整齊，系好第一?？圩雍苤匾嗌倌赀~開人生第一步就要走正道，要嚴(yán)格遵守國家法律法規(guī)．同樣的道理，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)首先就必須遵守數(shù)學(xué)中的基本法則．例如：下面命題的推理過程所得出的錯誤結(jié)論就是由于不遵守數(shù)學(xué)的基本法則導(dǎo)致的．命題：如果a，b，c為實數(shù)，且滿足．那么．推理過程如下：第一步：根據(jù)上述命題條件有；①第二步：根據(jù)七年級學(xué)過的整式運算法則有；②第三步：把②代入①，可得；③第四步：把③兩邊利用移項、去括號法則、加法交換律等，變形可得；④第五步：把④兩邊同時除以，得．⑤請你判斷上述推理過程中，第______步是錯誤的，它違背了數(shù)學(xué)的基本法則．三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分，第22、23題每小題9分，第24、25題每小題10分，共72分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.計算：．18.解不等式組：19.如圖，在中，，以點C為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交于點M，交于點N，再分別以點M，N為圓心，大于的長度為半徑作弧，兩弧相交于點P，作射線交于點D．（1）求的度數(shù)；（2）若，求長．20.2025年5月18日，湖南省第三屆大中小學(xué)閱讀教育論壇在長沙舉行．論壇聚焦美育與閱讀融合．為探索美育與閱讀融合的新路徑，某校舉行了以“美育與閱讀融合”為主題的知識競賽，競賽成績以等級式呈現(xiàn)，隨機抽取了部分參賽學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計，得到如下兩幅待完善的統(tǒng)計圖表．（A代表優(yōu)秀、B代表良好、C代表一般、D代表合格．）等級頻數(shù)頻率AmBCnD6根據(jù)圖表中所給信息，解答下列問題：（1）本次調(diào)查隨機抽取了______名學(xué)生的成績；表中______，______；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，“A等”所對應(yīng)的扇形的圓心角為______度；（3）若該校八年級一班和二班恰好各有2名學(xué)生的參賽成績是“A等”，從這4名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生參加以“美育與閱讀融合”為主題的校級閱讀分享活動，請用列表法或樹狀圖法求選出的2名學(xué)生恰好來自同一個班級的概率．21.如圖，正方形中，點E，F(xiàn)分別在，上，且．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）連接，若，，求的長．22.為落實科技興農(nóng)政策，某鄉(xiāng)辦食品企業(yè)應(yīng)用新科技推動農(nóng)產(chǎn)品由粗加工向精加工轉(zhuǎn)變．根據(jù)市場需求，該食品企業(yè)將收購的農(nóng)產(chǎn)品加工成A，B兩種等級的農(nóng)產(chǎn)品對外銷售，已知銷售6千克A等級農(nóng)產(chǎn)品和4千克B等級農(nóng)產(chǎn)品共收入元，銷售4千克A等級農(nóng)產(chǎn)品和2千克B等級農(nóng)產(chǎn)品共收入元．（不考慮加工損耗）（1）求每千克A等級農(nóng)產(chǎn)品和每千克B等級農(nóng)產(chǎn)品的銷售單價分別為多少元？（2）若該食品企業(yè)以每千克8元購進(jìn)千克農(nóng)產(chǎn)品，全部加工后對外銷售，要求總利潤不低于元，則至少需加工A等級農(nóng)產(chǎn)品多少千克？23.如圖，某景區(qū)內(nèi)兩條互相垂直的道路a，b交于點M，景點A，B在道路a上，景點C在道路b上．為了進(jìn)一步提升景區(qū)品質(zhì)，景區(qū)管委會在道路b上又開發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點D．經(jīng)測得景點C位于景點B的北偏東方向上，位于景點A的北偏東方向上，景點B位于景點D的南偏西方向上．已知．（1）求的度數(shù)；（2）求景點C與景點D之間的距離．（結(jié)果保留根號）24.我們約定：當(dāng)滿足，且時，稱點與點為一對“對偶點”．若某函數(shù)圖象上至少存在一對“對偶點”，就稱該函數(shù)為“對偶函數(shù)”．請你根據(jù)該約定，解答下列問題：（1）請你判斷下列說法是否正確（在題后相應(yīng)的括號中，正確的打“√”，錯誤的打“×”）：①函數(shù)（k是非零常數(shù)）的圖象上存在無數(shù)對“對偶點”；（）②函數(shù)一定不是“對偶函數(shù)”；（）③函數(shù)的圖象上至少存在兩對“對偶點”．（）（2）若關(guān)于x的一次函數(shù)與（都是常數(shù)，且）均是“對偶函數(shù)”，求這兩個函數(shù)的圖象分別與兩坐標(biāo)軸圍成的平面圖形的面積之和；（3）若關(guān)于x的二次函數(shù)是“對偶函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍．25.如圖1，點O是以為直徑的半圓的圓心，與均為該半圓的切線，C，D均為直徑上方的動點，連接，且始終滿足．（1）求證：與該半圓相切；（2）當(dāng)半徑時，令，，，，比較m與n的大小，并說明理由；（3）在（1）的條件下，如圖2，當(dāng)半徑時，若點E為與該半圓的切點，與交于點G，連接并延長交于點F，連接，，令，，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．（不考慮自變量x的取值范圍）

2025年長沙市初中學(xué)業(yè)水平考試試卷數(shù)學(xué)注意事項：1．答題前，請考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，并認(rèn)真核對條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號、考室和座位號：2．必須在答題卡上答題，在草稿紙、試題卷上答題無效；3．答題時，請考生注意各大題題號后面的答題提示；4．請勿折疊答題卡，保持字體工整、筆跡清晰、卡面清潔；5．答題卡上不得使用涂改液、涂改膠和貼紙；6．本學(xué)科試卷共25個小題，考試時量120分鐘，滿分120分．一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的．請在答題卡中填涂符合題意的選項．本大題共10個小題，每小題3分，共30分）1.人類探索浩瀚宇宙的步伐從未停止，天文學(xué)家已經(jīng)探明一年之中地球與太陽之間的距離隨時間變化而變化，地球與太陽之間的平均距離約為，用科學(xué)記數(shù)法將數(shù)據(jù)表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值時，n是負(fù)數(shù)．熟記相關(guān)結(jié)論即可．【詳解】解：∵，故選：B．2.下圖是由五個大小相同的正方體搭成的幾何體，它的左視圖是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查三視圖，左視圖即為從左面看到圖形，據(jù)此即可解答．【詳解】解：它的左視圖是．故選：A．3.在實際生活中，常用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量．如果把向東走80米記作米，那么向西走60米記作（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】A【解析】【分析】本題考查正負(fù)數(shù)表示相反意義的量．根據(jù)正負(fù)數(shù)表示相反意義的量，向東記為正數(shù)，則向西記為負(fù)數(shù)，據(jù)此即可求解．【詳解】解：將向東走80米記作米，說明“向東”為正方向，與之相反的“向西”應(yīng)為負(fù)方向．因此，向西走60米應(yīng)記作米．故選：A．4.下列運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了整式的運算和二次根式的加法運算，掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．【詳解】解：A：與不是同類項，無法合并，故A錯誤；B：中，與的字母部分不同，無法合并，故B錯誤；C：根據(jù)積的乘方法則，=，等式成立，故C正確；D：、、均非同類二次根式，無法直接相減，故D錯誤；故選：C5.2020年，我國承諾，力爭于2030年前實現(xiàn)“碳達(dá)峰”，2060年前實現(xiàn)“碳中和”．倡導(dǎo)低碳生活是每個公民的社會責(zé)任．某班環(huán)保小組為了解同學(xué)們?nèi)ツ旮髯约彝ピ缕骄疤甲阚E”的情況，收集了本組8名同學(xué)的家庭月平均用電產(chǎn)生的耗碳量（單位：千克）數(shù)據(jù)，依次為：．則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了眾數(shù)的求解，根據(jù)眾數(shù)的定義，即一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，統(tǒng)計各數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)即可求解；【詳解】解：∵出現(xiàn)的次數(shù)最多（3次），∴眾數(shù)為，故選：B6.智慧農(nóng)業(yè)廣泛應(yīng)用智能機器人．某品牌智能機器人的一個機械手平均每分鐘采摘10個蘋果．若該機器人搭載m個機械手（），則該機器人平均每分鐘采摘的蘋果個數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了列代數(shù)式，每個機械手每分鐘采摘10個蘋果，m個機械手同時工作時，總采摘數(shù)為每個機械手的效率之和．【詳解】解：當(dāng)機器人搭載m個機械手時，總效率為每個機械手效率的累加，即：總采摘數(shù)，故選：D．7.如圖，，直線與直線，分別交于點E，F(xiàn)，直線與直線交于點G．若，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，角的和差．根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，進(jìn)而根據(jù)角的和差即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴．故選：B8.如圖，，為的弦，連接，，．若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】該題考查了圓周角定理，根據(jù)同弧所對圓周角等于圓心角的一半得出，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，故選：C．9.如圖，將沿折痕折疊，使點B落在邊上的點E處，若，則的周長為（）A.5 B.6 C.6.5 D.7【答案】D【解析】【分析】本題考查軸對稱的性質(zhì)，根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)得到，，從而，從而即可解答．【詳解】解：由折疊可得，，∴，∴．故選：D．10.中國式現(xiàn)代化取得了彪炳史冊的偉大成就，極大地提升了我國的綜合國力與國際影響力．據(jù)世界銀行公布的2024年各國GDP數(shù)據(jù)，可知2024年中國GDP總量為萬億美元．附：世界銀行公布的2024年GDP排名前20名的部分國家數(shù)據(jù)表國家GDP總量（單位：萬億美元）國家GDP總量（單位：萬億美元）德國4.59巴西2.33印度3.93俄羅斯2.05英國3.49韓國1.76法國3.13瑞士0.93預(yù)計2025年中國GDP總量的增長率為左右，請你根據(jù)以上信息估算：2025年中國GDP的增長量與下列哪個國家2024年GDP總量最接近？（）A.法國 B.瑞士 C.巴西 D.英國【答案】B【解析】【分析】本題考查了有理數(shù)的運算，計算2025年中國GDP的增長量即可求解；【詳解】解：2025年中國GDP的增長量為：萬億美元．∴瑞士的GDP總量萬億美元與增長量萬億美元最接近；故選：B二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11.分解因式：______．【答案】【解析】【分析】本題考查了提公因式法分解因式，注意計算的準(zhǔn)確性即可；【詳解】解：，故答案為：12.為了解某校學(xué)生利用全國中小學(xué)智慧教育平臺輔助學(xué)習(xí)的情況，從該校全體名學(xué)生中，隨機調(diào)查了名學(xué)生，統(tǒng)計結(jié)果顯示僅有3名學(xué)生從未使用該平臺輔助學(xué)習(xí)．由此，估計該校全體學(xué)生中，從未使用該平臺輔助學(xué)習(xí)的學(xué)生有______名．【答案】【解析】【分析】本題考查了由樣本所占百分比估計總體的數(shù)量，計算出樣本中從未使用該平臺輔助學(xué)習(xí)的學(xué)生所占比例即可求解．【詳解】解：∵，∴估計該校全體學(xué)生中，從未使用該平臺輔助學(xué)習(xí)的學(xué)生有名．故答案為：．13.分式方程的解為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了解分式方程，首先去分母把分式方程化為整式方程，解整式方程求出未知數(shù)的值，再把求出的值代入最簡公分母檢驗是否增根即可．【詳解】解：，去分母得：，去括號得：，移項得：，合并同類項得：，系數(shù)化為得：，檢驗：當(dāng)時，可得：，是原分式方程的解．故答案為：．14.如圖，為的弦，于點C，連接，若，，則的長為______．【答案】6【解析】【分析】本題考查了解直角三角形，由題意得是等邊三角形；得出，根據(jù)即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∴是等邊三角形；∴；∵，∴，故答案為：．15.如圖，五邊形中，，，，則______°．【答案】205【解析】【分析】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和求法，根據(jù)其公式解題即可．【詳解】解：多邊形的內(nèi)角和為，∴五邊形的內(nèi)角和為，，故答案為：205．16.衣服穿戴整不整齊，系好第一?？圩雍苤匾嗌倌赀~開人生第一步就要走正道，要嚴(yán)格遵守國家法律法規(guī)．同樣的道理，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)首先就必須遵守數(shù)學(xué)中的基本法則．例如：下面命題的推理過程所得出的錯誤結(jié)論就是由于不遵守數(shù)學(xué)的基本法則導(dǎo)致的．命題：如果a，b，c為實數(shù)，且滿足．那么．推理過程如下：第一步：根據(jù)上述命題條件有；①第二步：根據(jù)七年級學(xué)過的整式運算法則有；②第三步：把②代入①，可得；③第四步：把③兩邊利用移項、去括號法則、加法交換律等，變形可得；④第五步：把④兩邊同時除以，得．⑤請你判斷上述推理過程中，第______步是錯誤的，它違背了數(shù)學(xué)的基本法則．【答案】⑤【解析】【分析】本題考查了等式的性質(zhì)，熟記相關(guān)結(jié)論即可．【詳解】解：∵等式兩邊同時乘或除以同一個不為0的整式，或是等式左右兩邊同時乘方，等式仍然成立．∴對于等式；當(dāng)時，該等式恒成立；當(dāng)，兩邊同時除以，得；∵，∴∴上述推理過程中，第⑤步是錯誤的；故答案為：⑤．三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分，第22、23題每小題9分，第24、25題每小題10分，共72分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.計算：．【答案】【解析】【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，涉及了零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，注意計算的準(zhǔn)確性即可．【詳解】解：原式18.解不等式組：【答案】【解析】【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【詳解】解：解不等式①，得．解不等式②，得．∴不等式組的解集為．19.如圖，在中，，以點C為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交于點M，交于點N，再分別以點M，N為圓心，大于的長度為半徑作弧，兩弧相交于點P，作射線交于點D．（1）求的度數(shù)；（2）若，求的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了角平分線、三角形的內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識點，熟記相關(guān)結(jié)論即可.（1）由題意得，根據(jù)是的角平分線即可求解；（2）求出，得到；求出．．推出．即可求解；【小問1詳解】解：，．由作圖可知，是的角平分線，．【小問2詳解】解：在中，由三角形內(nèi)角和定理得，，，在中，，．．．．，．20.2025年5月18日，湖南省第三屆大中小學(xué)閱讀教育論壇在長沙舉行．論壇聚焦美育與閱讀融合．為探索美育與閱讀融合的新路徑，某校舉行了以“美育與閱讀融合”為主題的知識競賽，競賽成績以等級式呈現(xiàn)，隨機抽取了部分參賽學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計，得到如下兩幅待完善的統(tǒng)計圖表．（A代表優(yōu)秀、B代表良好、C代表一般、D代表合格．）等級頻數(shù)頻率AmBCnD6根據(jù)圖表中所給信息，解答下列問題：（1）本次調(diào)查隨機抽取了______名學(xué)生的成績；表中______，______；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，“A等”所對應(yīng)的扇形的圓心角為______度；（3）若該校八年級一班和二班恰好各有2名學(xué)生的參賽成績是“A等”，從這4名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生參加以“美育與閱讀融合”為主題的校級閱讀分享活動，請用列表法或樹狀圖法求選出的2名學(xué)生恰好來自同一個班級的概率．【答案】（1）（2）（3）見解析，【解析】【分析】本題考查了頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計圖信息關(guān)聯(lián)問題，以及概率問題，旨在考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力．（1）根據(jù)頻數(shù)分布表求出總?cè)藬?shù)即可求解；（2）根據(jù)A等級所占比例即可求解；（3）畫出樹狀圖，確定可能出現(xiàn)的所有結(jié)果以及滿足條件的結(jié)果數(shù)，即可求解．小問1詳解】解：由頻數(shù)分布表可得，總?cè)藬?shù)為：（人）；∴，，故答案為：【小問2詳解】解：“A等”所對應(yīng)的扇形的圓心角為：，故答案為：【小問3詳解】解：記“選出的2名學(xué)生恰好來自同一個班級”為事件A，設(shè)一班的2名學(xué)生為甲和乙，二班的2名學(xué)生為丙和丁，畫出樹狀圖：一共有種等可能的結(jié)果，其中事件A包含4種可能的結(jié)果．．21.如圖，正方形中，點E，F(xiàn)分別在，上，且．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）連接，若，，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】該題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識點，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．（1）根據(jù)四邊形正方形，得出且．結(jié)合，得出．結(jié)合，即可證明四邊形是平行四邊形．（2）過點作于點．根據(jù)四邊形是正方形，，得出．結(jié)合，證出四邊形是矩形．得出．結(jié)合，得出．在中，由勾股定理求出．【小問1詳解】證明：∵四邊形是正方形，∴且．又，．．又．∴四邊形是平行四邊形．【小問2詳解】解：過點作于點．∵四邊形是正方形，，．又，∴四邊形是矩形．．又，．在中，由勾股定理得．22.為落實科技興農(nóng)政策，某鄉(xiāng)辦食品企業(yè)應(yīng)用新科技推動農(nóng)產(chǎn)品由粗加工向精加工轉(zhuǎn)變．根據(jù)市場需求，該食品企業(yè)將收購的農(nóng)產(chǎn)品加工成A，B兩種等級的農(nóng)產(chǎn)品對外銷售，已知銷售6千克A等級農(nóng)產(chǎn)品和4千克B等級農(nóng)產(chǎn)品共收入元，銷售4千克A等級農(nóng)產(chǎn)品和2千克B等級農(nóng)產(chǎn)品共收入元．（不考慮加工損耗）（1）求每千克A等級農(nóng)產(chǎn)品和每千克B等級農(nóng)產(chǎn)品的銷售單價分別為多少元？（2）若該食品企業(yè)以每千克8元購進(jìn)千克農(nóng)產(chǎn)品，全部加工后對外銷售，要求總利潤不低于元，則至少需加工A等級農(nóng)產(chǎn)品多少千克？【答案】（1）A等級農(nóng)產(chǎn)品每千克銷售單價為元，B等級農(nóng)產(chǎn)品每千克銷售單價為元（2）要求總利潤不低于元，則至少需加工A等級農(nóng)產(chǎn)品千克【解析】【分析】本題考查了二元一次方程組、一元一次不等式在實際問題中的應(yīng)用，正確理解題意即可．（1）設(shè)A等級農(nóng)產(chǎn)品每千克銷售單價為元，B等級農(nóng)產(chǎn)品每千克銷售單價為元，由題意得即可求解；（2）設(shè)需加工A等級農(nóng)產(chǎn)品千克，則需加工B等級農(nóng)產(chǎn)品千克，由題意得．即可求解；【小問1詳解】解：設(shè)A等級農(nóng)產(chǎn)品每千克銷售單價為元，B等級農(nóng)產(chǎn)品每千克銷售單價為元，由題意得解得答：A等級農(nóng)產(chǎn)品每千克銷售單價為元，B等級農(nóng)產(chǎn)品每千克銷售單價為元．【小問2詳解】解：設(shè)需加工A等級農(nóng)產(chǎn)品千克，則需加工B等級農(nóng)產(chǎn)品千克，由題意得．解得，答：要求總利潤不低于元，則至少需加工A等級農(nóng)產(chǎn)品千克．23.如圖，某景區(qū)內(nèi)兩條互相垂直的道路a，b交于點M，景點A，B在道路a上，景點C在道路b上．為了進(jìn)一步提升景區(qū)品質(zhì)，景區(qū)管委會在道路b上又開發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點D．經(jīng)測得景點C位于景點B的北偏東方向上，位于景點A的北偏東方向上，景點B位于景點D的南偏西方向上．已知．（1）求的度數(shù)；（2）求景點C與景點D之間的距離．（結(jié)果保留根號）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題主要考查了直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）由題意可得，．從而得出，根據(jù)即可求解．（2）根據(jù)，得出．由（1）得．則，故．在中，解直角三角形求出，，從而求出．再根據(jù)，求出，即可求解．【小問1詳解】解：如圖，由題意可得，．．．【小問2詳解】解：，．由（1）得．．又，．在中，，，，．．，．．∴景點C與景點D之間的距離為．24.我們約定：當(dāng)滿足，且時，稱點與點為一對“對偶點”．若某函數(shù)圖象上至少存在一對“對偶點”，就稱該函數(shù)為“對偶函數(shù)”．請你根據(jù)該約定，解答下列問題：（1）請你判斷下列說法是否正確（在題后相應(yīng)的括號中，正確的打“√”，錯誤的打“×”）：①函數(shù)（k是非零常數(shù)）的圖象上存在無數(shù)對“對偶點”；（）②函數(shù)一定不是“對偶函數(shù)”；（）③函數(shù)的圖象上至少存在兩對“對偶點”．（）（2）若關(guān)于x的一次函數(shù)與（都是常數(shù)，且）均是“對偶函數(shù)”，求這兩個函數(shù)的圖象分別與兩坐標(biāo)軸圍成的平面圖形的面積之和；（3）若關(guān)于x的二次函數(shù)是“對偶函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）①（√）；②（√）；③（×）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題目中給出的“對偶點”，“對偶函數(shù)”的定義結(jié)合反比例函數(shù)，一次函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析得出結(jié)果；（2）由題意可得，，得出從而求出，，得出兩個一次函數(shù)的圖象分別與兩坐標(biāo)軸圍成的平面圖形是有公共直角頂點的分別位于二、四象限的兩個等腰直角三角形，畫出圖形得出結(jié)果；（3）由題意可得，且時，有，整理得到，利用關(guān)于的一元二次方程必有實數(shù)根，分別根據(jù)判別式等于零和大于零求解即可．【小問1詳解】解：，且，，，，，，①函數(shù)（k是非零常數(shù)）的圖象上，，滿足，，故①正確；②由題意可得，，則點與點且是一對“對偶點”，函數(shù)的圖像如下圖：函數(shù)中不存在“對偶點”，一定不是“