2025年正弦定理運(yùn)用題目及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.在$\triangleABC$中，已知$A=30^{\circ}$，$a=4$，$b=4\sqrt{3}$，則$B$等于（）A.$60^{\circ}$B.$60^{\circ}$或$120^{\circ}$C.$30^{\circ}$D.$30^{\circ}$或$150^{\circ}$2.在$\triangleABC$中，若$\frac{a}{\sinA}=\frac{\cosB}$，則$B$的值為（）A.$30^{\circ}$B.$45^{\circ}$C.$60^{\circ}$D.$90^{\circ}$3.在$\triangleABC$中，$a=2$，$b=\sqrt{2}$，$A=45^{\circ}$，則$B$等于（）A.$30^{\circ}$B.$60^{\circ}$C.$30^{\circ}$或$150^{\circ}$D.$60^{\circ}$或$120^{\circ}$4.已知$\triangleABC$中，$a=5$，$b=3$，$C=120^{\circ}$，則$\sinA$的值為（）A.$\frac{5\sqrt{3}}{14}$B.$-\frac{5\sqrt{3}}{14}$C.$\frac{3\sqrt{3}}{14}$D.$-\frac{3\sqrt{3}}{14}$5.在$\triangleABC$中，已知$a=8$，$B=60^{\circ}$，$C=75^{\circ}$，則$b$等于（）A.$4\sqrt{2}$B.$4\sqrt{3}$C.$4\sqrt{6}$D.$\frac{32}{3}$6.在$\triangleABC$中，若$a=2b\sinA$，則角$B$等于（）A.$30^{\circ}$或$150^{\circ}$B.$45^{\circ}$或$60^{\circ}$C.$60^{\circ}$或$120^{\circ}$D.$30^{\circ}$或$60^{\circ}$7.在$\triangleABC$中，$a=3$，$b=5$，$\sinA=\frac{1}{3}$，則$\sinB$等于（）A.$\frac{1}{5}$B.$\frac{5}{9}$C.$\frac{\sqrt{5}}{3}$D.$1$8.在$\triangleABC$中，已知$a=2$，$b=2\sqrt{2}$，$A=30^{\circ}$，則$C$等于（）A.$15^{\circ}$B.$45^{\circ}$或$135^{\circ}$C.$105^{\circ}$D.$15^{\circ}$或$105^{\circ}$9.在$\triangleABC$中，若$\frac{\sinA}{a}=\frac{\cosB}$，則$B$的大小為（）A.$30^{\circ}$B.$45^{\circ}$C.$60^{\circ}$D.$90^{\circ}$10.在$\triangleABC$中，$a=4$，$b=5$，$c=6$，則$\frac{\sin2A}{\sinC}$的值為（）A.$1$B.$2$C.$\frac{1}{2}$D.$3$答案：1.B2.B3.A4.A5.C6.A7.B8.D9.B10.A二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.在$\triangleABC$中，下列哪些條件能使用正弦定理求解（）A.已知兩角和一邊B.已知兩邊和其中一邊的對(duì)角C.已知三邊D.已知兩邊及其夾角2.正弦定理表達(dá)式正確的有（）A.$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}$B.$a\sinB=b\sinA$C.$\frac{\sinA}{a}=\frac{\sinB}=\frac{\sinC}{c}$D.$a=k\sinA$，$b=k\sinB$，$c=k\sinC$（$k$為常數(shù)）3.在$\triangleABC$中，已知$a=3$，$b=4$，$\sinA=\frac{1}{3}$，則下列說(shuō)法正確的是（）A.有兩解B.有一解C.$\sinB=\frac{4}{9}$D.三角形無(wú)解4.已知在$\triangleABC$中，$A=60^{\circ}$，$a=\sqrt{3}$，則下列結(jié)論正確的是（）A.$\frac{a+b+c}{\sinA+\sinB+\sinC}=2$B.$b\sinC\leq\frac{3}{2}$C.$b+c$的最大值為$2\sqrt{3}$D.三角形的面積最大值為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$5.對(duì)于正弦定理的變形，正確的是（）A.$a=2R\sinA$B.$\sinA:\sinB:\sinC=a:b:c$C.$a\sinC=c\sinA$D.$\frac{a}{\sinA}=\frac{b+c}{\sinB+\sinC}$6.在$\triangleABC$中，$A=30^{\circ}$，$a=1$，$b=\sqrt{3}$，則下列說(shuō)法正確的是（）A.$B=60^{\circ}$B.$B=120^{\circ}$C.該三角形有兩解D.該三角形有一解7.正弦定理可用于解決的實(shí)際問(wèn)題有（）A.測(cè)量不可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離B.測(cè)量建筑物的高度C.確定輪船在海洋中的位置D.計(jì)算三角形的面積8.在$\triangleABC$中，滿足$\sinA=2\sinB\cosC$，則下列說(shuō)法正確的是（）A.$\triangleABC$是等腰三角形B.$\angleA=\angleB$C.$b=c$D.$\angleB=\angleC$9.已知在$\triangleABC$中，$a=2$，$b=2\sqrt{2}$，$A=30^{\circ}$，則（）A.$B=45^{\circ}$B.$B=135^{\circ}$C.三角形有兩解D.三角形有一解10.對(duì)于正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，以下說(shuō)法正確的是（）A.可以由已知的邊和角求出其他的邊和角B.能判斷三角形的形狀C.可用于解決三角形中的最值問(wèn)題D.只能用于銳角三角形答案：1.AB2.ABCD3.AC4.ABCD5.ABCD6.ABC7.ABC8.AC9.ABC10.ABC三、判斷題（每題2分，共20分）1.在$\triangleABC$中，一定有$a\sinB=b\sinA$。（）2.正弦定理適用于任意三角形。（）3.已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角，利用正弦定理一定能求出三角形的其他邊和角。（）4.在$\triangleABC$中，若$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}$，則$a=b$。（）5.正弦定理的表達(dá)式是$\frac{a}{\sinA}=\frac{\cosB}=\frac{c}{\sinC}$。（）6.已知$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$A=30^{\circ}$，則此三角形有兩解。（）7.用正弦定理可以求三角形外接圓的半徑。（）8.在$\triangleABC$中，若$\sinA\gt\sinB$，則$A\gtB$。（）9.正弦定理可以把三角形的邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系。（）10.在$\triangleABC$中，已知三邊能直接用正弦定理求出三個(gè)內(nèi)角。（）答案：1.√2.√3.×4.√5.×6.√7.√8.√9.√10.×四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.簡(jiǎn)述正弦定理的內(nèi)容。答案：在任意一個(gè)平面三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦值的比相等且等于該三角形外接圓的直徑，即$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R$（$R$為三角形外接圓半徑）。2.在$\triangleABC$中，已知$a=5$，$A=60^{\circ}$，$B=45^{\circ}$，求$b$的值。答案：由正弦定理$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}$，可得$b=\frac{a\sinB}{\sinA}$。已知$a=5$，$A=60^{\circ}$，$B=45^{\circ}$，則$b=\frac{5\times\sin45^{\circ}}{\sin60^{\circ}}=\frac{5\times\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{5\sqrt{6}}{3}$。3.已知$\triangleABC$中，$\sinA:\sinB:\sinC=3:5:7$，求最大角的度數(shù)。答案：由正弦定理$\sinA:\sinB:\sinC=a:b:c=3:5:7$，設(shè)$a=3k$，$b=5k$，$c=7k$（$k\gt0$），$C$為最大角。由余弦定理$\cosC=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$，代入可得$\cosC=-\frac{1}{2}$，所以$C=120^{\circ}$。4.正弦定理在解三角形時(shí)有哪些作用？答案：可用于已知兩角和一邊求其他邊和角；已知兩邊和其中一邊的對(duì)角求其他邊和角；還能將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，輔助判斷三角形形狀，解決三角形中的一些比例問(wèn)題等。五、討論題（每題5分，共20分）1.在使用正弦定理解決已知兩邊及其中一邊的對(duì)角的三角形問(wèn)題時(shí)，為什么會(huì)出現(xiàn)無(wú)解、一解、兩解的情況？請(qǐng)舉例說(shuō)明。答案：以已知$a$，$b$，$A$為例。當(dāng)$a\ltb\sinA$時(shí)無(wú)解，比如$a=1$，$b=2$，$A=60^{\circ}$，$b\sinA=\sqrt{3}\gt1$，無(wú)解；當(dāng)$a=b\sinA$或$a\geqb$時(shí)一解，如$a=\sqrt{3}$，$b=2$，$A=60^{\circ}$，$b\sinA=\sqrt{3}=a$一解；當(dāng)$b\sinA\lta\ltb$時(shí)兩解，例如$a=\sqrt{3}$，$b=2$，$A=30^{\circ}$，有兩解。2.討論正弦定理與三角形外接圓半徑的關(guān)系，并說(shuō)明如何利用正弦定理求外接圓半徑。答案：正弦定理$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R$（$R$為外接圓半徑）。若已知三角形一邊及其對(duì)角，如已知$a$和$A$，則$R=\frac{a}{2\sinA}$；若已知多組邊和角，也可用同樣方法計(jì)算，再驗(yàn)證其一致性。3.結(jié)合實(shí)際生活，舉例說(shuō)明正弦定理可以解決哪些測(cè)量問(wèn)題。答案：比如測(cè)量河對(duì)岸兩點(diǎn)間距離。在河這邊選兩點(diǎn)，測(cè)出兩點(diǎn)距離及這兩點(diǎn)分別與對(duì)岸兩點(diǎn)連線的夾角，利用正弦定理可求出到對(duì)岸點(diǎn)的距離，進(jìn)而算出對(duì)岸兩點(diǎn)間距離。又如測(cè)量