§4.10解三角形及其應(yīng)用舉例課標(biāo)要求能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.測(cè)量中的幾個(gè)有關(guān)術(shù)語(yǔ)術(shù)語(yǔ)名稱(chēng)術(shù)語(yǔ)意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線之間的夾角叫做方位角，方位角θ的范圍是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)α例：坡角與坡比坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(θ為坡角)；坡面的垂直高度與水平長(zhǎng)度之比叫坡比(坡度)，即i＝hl＝tan1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)西南方向與南偏西45°方向相同.()(2)仰角和俯角都是鉛垂線與目標(biāo)視線所成的角，其范圍為0，π2.(3)方位角是從正北方向起按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角.()(4)若從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為α＋β＝180°.()2.如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°方向，燈塔B在觀察站南偏東60°方向，則燈塔A在燈塔B()A.北偏東10°方向 B.北偏西10°方向C.南偏東80°方向 D.南偏西80°方向3.如圖，在高速公路建設(shè)中需要確定隧道的長(zhǎng)度，工程技術(shù)人員已測(cè)得隧道兩端的兩點(diǎn)A，B到點(diǎn)C的距離AC＝BC＝1km，且C＝120°，則A，B兩點(diǎn)間的距離為km.

4.如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C，D，測(cè)得∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝102m，并在C處測(cè)得塔頂A的仰角為45°，則塔高AB＝.

1.對(duì)于立體測(cè)量問(wèn)題，通常要轉(zhuǎn)化為兩類(lèi)平面問(wèn)題，一是豎直放置的平面，通常要解直角三角形；另一類(lèi)是水平放置的平面，通常要解斜三角形.2.謹(jǐn)防兩個(gè)易誤點(diǎn)(1)注意仰角與俯角是相對(duì)水平視線而言的，是在鉛垂面上所成的角；(2)明確方位角及方向角的含義，避免因混淆概念而出錯(cuò).題型一測(cè)量距離問(wèn)題例1(1)(2024·廈門(mén)模擬)一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處.在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是()A.102海里 B.103海里C.202海里 D.203海里(2)在高速公路建設(shè)中經(jīng)常遇到開(kāi)通穿山隧道的工程，如圖所示，A，B，C為某山腳兩側(cè)共線的三點(diǎn)，在山頂P處測(cè)得三點(diǎn)的俯角分別為α＝45°，β＝45°，γ＝30°，現(xiàn)需要沿直線AC開(kāi)通穿山隧道DE，測(cè)得AD＝30米，BC＝200(3－1)米，EB＝20米，估計(jì)隧道DE的長(zhǎng)度為()A.2002米 B.300米C.350米 D.400米思維升華距離問(wèn)題的解題策略選擇合適的輔助測(cè)量點(diǎn)，構(gòu)造三角形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求某個(gè)三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題，從而利用正、余弦定理求解.跟蹤訓(xùn)練1(2024·運(yùn)城模擬)如圖，某區(qū)域地面有四個(gè)5G基站，分別為A，B，C，D.已知C，D兩個(gè)基站建在河的南岸，距離為20km，基站A，B在河的北岸，測(cè)得∠ACB＝60°，∠ACD＝105°，∠ADC＝30°，∠ADB＝60°，則A，B兩個(gè)基站的距離為()A.106km B.30(3－1)kmC.15km D.105km題型二測(cè)量高度問(wèn)題例2(1)(2024·杭州模擬)雷鋒塔(如圖1)位于浙江省杭州市西湖區(qū)，是“西湖十景”之一、中國(guó)九大名塔之一，為中國(guó)首座彩色銅雕寶塔.如圖2，某同學(xué)為測(cè)量雷鋒塔的高度CD，在雷鋒塔的正西方向找到一座建筑物AB，高約為36m，在地面上點(diǎn)E處(A，C，E三點(diǎn)共線)測(cè)得建筑物頂部B，雷鋒塔頂部D的仰角分別為30°和45°，在B處測(cè)得塔頂部D的仰角為15°，則雷鋒塔的高度約為()A.50m B.62m C.72m D.88m(2)(2024·南京模擬)如圖，某中學(xué)校園內(nèi)的景觀樹(shù)已有百年歷史，小明為了測(cè)量景觀樹(shù)高度，他選取與景觀樹(shù)根部C在同一水平面的A，B兩點(diǎn)，在A點(diǎn)測(cè)得景觀樹(shù)根部C在北偏西60°的方向上，沿正西方向步行40米到B處，測(cè)得樹(shù)根部C在北偏西15°的方向上，樹(shù)梢D的仰角為30°，則景觀樹(shù)的高度為()A.106米 B.203米C.2033米 D.20思維升華高度問(wèn)題的易錯(cuò)點(diǎn)(1)圖形中為空間關(guān)系，極易當(dāng)作平面問(wèn)題處理，從而致錯(cuò)；(2)對(duì)仰角、俯角等概念理解不夠深入，從而把握不準(zhǔn)已知條件而致錯(cuò).跟蹤訓(xùn)練2(2024·長(zhǎng)沙模擬)湖南省衡陽(yáng)市的來(lái)雁塔，始建于明萬(wàn)歷十九年(1591年)，因鴻雁南北遷徙時(shí)常在境內(nèi)停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布為重點(diǎn)文物保護(hù)單位.為測(cè)量來(lái)雁塔的高度，因地理?xiàng)l件的限制，分別選擇C點(diǎn)和一建筑物DE的樓頂E為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，已知點(diǎn)A為塔底，A，C，D在同一水平面上，來(lái)雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面(如圖所示).測(cè)得CD＝18m，AD＝15m，在C點(diǎn)處測(cè)得E點(diǎn)的仰角為30°，在E點(diǎn)處測(cè)得B點(diǎn)的仰角為60°，則來(lái)雁塔AB的高度約為(3≈1.732，精確到0.1m)()A.35.0m B.36.4mC.38.4m D.39.6m題型三測(cè)量角度問(wèn)題例3如圖所示，遙感衛(wèi)星發(fā)現(xiàn)海面上有三個(gè)小島，小島B位于小島A北偏東75°距離60海里處，小島B北偏東15°距離(303－30)海里處有一個(gè)小島C.(1)求小島A到小島C的距離；(2)如果有游客想直接從小島A出發(fā)到小島C，求游船航行的方向.思維升華角度問(wèn)題的解題方法首先應(yīng)明確方向角的含義，在解應(yīng)用題時(shí)，分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫(huà)出示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步，通過(guò)這一步可將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成可用數(shù)學(xué)方法解決的問(wèn)題，解題中也要注意體會(huì)正、余弦定理“聯(lián)袂”使用的優(yōu)點(diǎn).跟蹤訓(xùn)練3甲船在A處觀察乙船，乙船在它北偏東60°方向，相距a海里的B處，乙船向正北方向行駛，若甲船速度是乙船速度的3倍，甲船為了盡快追上乙船，朝北偏東θ方向前進(jìn)，則θ＝.

答案精析落實(shí)主干知識(shí)自主診斷1.(1)√(2)×(3)√(4)×2.D[由題可知，∠CAB＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°方向.]3.3解析在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理ABsin得AB＝BCsinCsinA＝2＝3(km).4.20m解析在△BCD中，∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝102m，由正弦定理CDsin∠可得102可得CB＝202×22＝20(m)在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，所以塔高AB＝CB＝20m.探究核心題型例1(1)A[依題意，如圖，在△ABC中，∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ABC＝40°＋65°＝105°，則∠ACB＝45°，AB＝40×3060＝20(海里)由正弦定理得BCsin∠即BCsin30°因此BC＝20×1222＝10所以B，C兩點(diǎn)間的距離是102海里.](2)C[如圖所示，∵α＝β＝45°，∴∠APB＝90°，∠PAB＝∠PBA＝45°，∴△PAB為等腰直角三角形，∴在△PBC中，∠PCB＝30°，∠BPC＝15°，BC＝200(3－1)，由正弦定理知PB＝BC·＝200(3-1)×1∴AB＝2PB＝400，∴DE＝AB－AD－EB＝400－30－20＝350.]跟蹤訓(xùn)練1A[在△ACD中，∠CAD＝180°－105°－30°＝45°，由正弦定理得CDsin45°AD＝CD＝20＝10(3＋1)，在△BCD中，易知∠BCD＝45°，∠BDC＝90°，所以∠CBD＝45°，所以BD＝CD＝20，在△ABD中，由余弦定理得AB＝AD2＋BD例2(1)C[在Rt△ABE中，BE＝ABsin30°＝72在Rt△DCE中，ED＝CDsin45°＝由圖可知∠BED＝180°－30°－45°＝105°，易知∠EBD＝45°，在△BED中，∠EDB＝180°－105°－45°＝30°，根據(jù)正弦定理可得BEsin30°則CD＝sin45°sin30°×722＝(2)D[依題意可得如圖圖形，在△ABC中，∠BAC＝90°－60°＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，AB＝40，由正弦定理得BCsin30°解得BC＝40×122在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，所以CD＝BCtan30°＝202×33所以景觀樹(shù)的高度為2063米跟蹤訓(xùn)練2B[如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，交AB于點(diǎn)F，在Rt△ECD中，因?yàn)椤螮CD＝30°，所以DE＝CD·tan∠ECD＝18×tan30°＝63，在Rt△BEF中，因?yàn)椤螧EF＝60°，易知EF＝AD＝15，所以BF＝EF·tan∠BEF＝15×tan60°＝153，則AB＝BF＋AF＝BF＋DE＝153＋63＝213≈36.4.]例3解(1)在△ABC中，AB＝60，BC＝303－30，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，根據(jù)余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝602＋(303－30)2－2×60×(303－30)·cos120°＝5400，所以AC＝306.所以小島A到小島C的距離是306海里.(2)根據(jù)正弦定理得ACsin∠所以306解得sin∠ACB＝22