思想方法專題：勾股定理中的三種主要數(shù)學(xué)思想

（3類熱點題型講練）

目錄

【類型一方程思想】............................................................................1

口.幾何問題中的方程思想】.................................................................1

【2.實際應(yīng)用中的方程思想】................................................................3

【類型二分類討論思想】.......................................................................5

【類型三轉(zhuǎn)化思想】...........................................................................5

典型例題

【類型一方程思想】

適用情況:

1.直角三角形中兩條邊長未知，當(dāng)兩邊長存在一定數(shù)量關(guān)系；

2.直接三角形中存在公共邊（或作高，構(gòu)造公共邊）；

3.折疊問題；

4.實際應(yīng)用問題.

【1.幾何問題中的方程思想】

1.如圖，及△A3C中，ZC=90°,AB比AC長1,BC=3,則AC=

2.如圖，在AABC中，AB=1Q,BC=9,AC=17,則邊上的高為

C

B

3.如圖，在AABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,E是邊BC上一點，將AABE沿AE折疊，使點8的

對應(yīng)點5'恰好落在邊AC上，則3E的長等于.

4.如圖，在AASC中，/ACB=90。，D、E分別為A3,AC上一點，將△BCD,VADE分別沿8、OE折

疊，點A、B恰好重合于點A處.若BC=3,AC=5,則AE=.

5.如圖，已知長方形A5CD中，AD=6,AB=S,P是AD邊上的點，將AAB尸沿3尸折疊，使點A落在點E

上，PE、3E與。。分別交于點。、F,且OD=OE,則AP=

6.已知AABC中，AB=AC=5,3C=8,點。在BC邊上.請從A,3兩題中任選一題作答.

A.如圖1,若AD_LA3；

B.如圖2,若皮）=45；

我選擇A題，則AD的長為:

我選擇B題，則4）的長為.

【2.實際應(yīng)用中的方程思想】

1.如圖，數(shù)學(xué)興趣小組要測量學(xué)校旗桿的高度，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到地面并多出一段（如

圖1）,同學(xué)們首先測量了多出的這段繩子長度為1米，再將繩子拉直（如圖2）,測出繩子末端C到旗桿底

部2的距離為5米，求旗桿的高度.

圖1圖2

2.如圖，《九章算術(shù)》中記載了一個“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何?

意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈=10尺），現(xiàn)被風(fēng)折斷，尖端落在地上，竹尖與竹根的距離三尺，求

折斷處離地面的高度.

3.如圖，在筆直的鐵路上48兩點相距7km,C,。為兩村莊，DA=3km,CB=4km,DA±A,CBA.AB

于艮現(xiàn)要在上建一個中轉(zhuǎn)站E,使得C,。兩村到E站的距離相等，求AE的長.

AEB

D\4

4.如圖，一只小鳥旋停在空中A點，A點到地面的高度AB=8米，A點到地面C點(B,C兩點處于同一

水平面)的距離AC=10米.

⑴求出的長度；

(2)若小鳥豎直下降到達(dá)。點(。點在線段上)，此時小鳥到地面C點的距離與下降的距離相同，求小鳥

下降的距離.

5.如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的高度相等的墻，一根竹竿斜靠在左墻時，竹竿底端。到左墻角的距離OC

為2米，頂端2距墻頂?shù)木嚯xA3為1米，若保持竹竿底端位置不動，將竹竿斜靠在右墻時，竹竿底端到右

墻角的距離O尸為3米，頂端E距墻頂￡＞的距離DE為2米，點A、B、C在一條直線上，點D、E、尸在一條

直線上，AC±CF,DF±CF.求：

⑴墻的高度；

(2)竹竿的長度.

6.在一條東西走向的河的一側(cè)有一村莊C,河邊原有兩個取水點A,B,其中AB=AC,由于某種原由C

到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點》(A、H、8在一條直線上)，并

新修一條路C”，測得C3=1.5千米，CH=1.2千米，HB=0.9千米.

(1)問CH是否為從村莊C到河邊的最近路？請通過計算加以說明.

(2)求原來的路線AC的長.

【類型二分類討論思想】

適用情況：

1.高在三角形內(nèi)，外不明確；

2.直角邊、斜邊不明確；

3.動態(tài)問題或存在性問題中，直角頂點的位置不明確.

1.在RtaABC中，AB=AC,點。是直線上一點，BD=1,AD=3,連接C。，則線段的長為.

2.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,點尸為射線2c上一點，將△ACP沿AP所在直線翻

折，點c的對應(yīng)點為點G，如果點G在射線剛上，那么PC=

3.已知AABC中，AB^15,AC=13,2c邊上的高AD=12,求2C邊的長.

4.如圖，在RtaABC中，ZC=90°,AB=5m,AC=3m,動點P從點8出發(fā)沿射線BC以lm/s的速度

移動，設(shè)運動的時間為

⑴求BC邊的長；

（2）當(dāng)AAB尸為直角三角形時，求f的值.

【類型三轉(zhuǎn)化思想】

適用情況：

1.最短路徑問題（未知轉(zhuǎn)化為已知，化曲為直）;

2.等線段轉(zhuǎn)化（幾何證明）.

1.如圖,兩個村子在筆直河岸的同側(cè),A、B兩村到河岸的距離分別為AC=2km,網(wǎng)＞=5km,CD=6km,

現(xiàn)在要在河岸8上建一水廠E向A、B兩村輸送自來水，要求水廠E到4、B兩村的距離之和最短.

(1)在圖中作出水廠E的位置(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)求水廠E到A、3兩村的距離之和的最小值.

A

clD

2.綜合與實踐

【問題情境】

數(shù)學(xué)綜合與實踐活動課上，老師提出如下問題：一個三級臺階，它每一級的長、寬、高分別為20、3、2,A

和8是一個臺階兩個相對的端點.

【探究實踐】

老師讓同學(xué)們探究：如圖①，若A點處有一只螞蟻要到2點去吃可口的食物，那么螞蟻沿著臺階爬到B點

的最短路程是多少？

(1)同學(xué)們經(jīng)過思考得到如下解題方法：如圖②，將三級臺階展開成平面圖形，可得到長為20,寬為15

的長方形，連接48,經(jīng)過計算得到長度為,就是最短路程.

【變式探究】

(2)如圖③，是一只圓柱形玻璃杯，該玻璃杯的底面周長是30c7”，高是8cm,若螞蟻從點A出發(fā)沿著玻

璃杯的側(cè)面到點B,則螞蟻爬行的最短距離為.

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖④，圓柱形玻璃杯的高9on,底面周長為16ctt1,在杯內(nèi)壁離杯底4c熱的點A處有一滴蜂蜜，

此時，一只螞蟻正好在外壁上，離杯上沿且與蜂蜜相對的點B處，則螞蟻從外壁8處到內(nèi)壁A處所

爬行的最短路程是多少？(杯壁厚度不計)

3.我們把對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”.

圖1圖2

（1）性質(zhì)探究：如圖1,已知四邊形A5CD中，AC1BD,垂足為。，求證：AB2+CD2=AD2+BC2.

⑵解決問題：如圖2,在Rt^ASC中，ZACB=90°,AB=5近,BC=4及,分別以44BC的邊BC和48向

外作等腰RSBCE和等腰RtABAD,連接DE,求。E的長.

參考答案

思想方法專題：勾股定理中的三種主要數(shù)學(xué)思想

（3類熱點題型講練）

目錄

【類型一方程思想】............................................................................1

口.幾何問題中的方程思想】................................................................1

【2.實際應(yīng)用中的方程思想】................................................................3

【類型二分類討論思想】.......................................................................5

【類型三轉(zhuǎn)化思想】............................................................................5

典型例題

【類型一方程思想】

適用情況：

5.直角三角形中兩條邊長未知，當(dāng)兩邊長存在一定數(shù)量關(guān)系;

6.直接三角形中存在公共邊（或作高，構(gòu)造公共邊）；

7.折疊問題；

8.實際應(yīng)用問題.

【1.幾何問題中的方程思想】

1.如圖，中，ZC=90°,AB比AC長1,BC=3,則AC=

【答案】4

【分析】本題考查了勾股定理.在Rt^ABC中，由勾股定理列出方程，解方程即可.

【詳解】解：?.?43比AC長1,

.-.AB=AC+1,

在RtaABC中，由勾股定理得：AC2+BC2^AB2,

BPAC2+32=(AC+1)2,

解得：AC=4,

故答案為：4.

2.如圖，在13ABe中，4B=10,BC=9,AC=J7,則BC邊上的高為.

【答案】8

【解析】

【分析】

作AD_L8c交BC的延長于點Z),在RtdWB中，AD2+DB2=AB2,在RtAADC中,AD?+DC?=AC?,根

AB--DB-AC2-DC1列出方程即可求解.

【詳解】

如圖，作AZJLBC交BC的延長于點。，

則即為2C邊上的高，

22

在RtAADB中，AD+DB~=AB,

12

在RtAADC中,AD?+DC=AC,

AB2-DB-=AC2-DC-,

AB=10,BC=9,AC=17,

:.102-DB2=172—（￡（8+9）2,

解得。3=6,

AD=yjAB2-DB2=7102-62=8

故答案為：8.

【點睛】

本題考查了勾股定理，掌握三角形的高，直角三角形是解題的關(guān)鍵.

3.（23-24七年級下?山東淄博?期末）如圖，在AASC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,E是邊BC上一點,

將AABE沿AE折疊，使點3的對應(yīng)點9恰好落在邊AC上，則BE的長等于.

【分析】本題考查了勾股定理與折疊，熟練掌握勾股定理與折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.先利用勾股定理可得

AC=5,再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AB'=AB=3,B'E=BE,ZAB'E=ZABC=90°,從而可得CB'=AC—AB'=2,

設(shè)B，E=BE=x,從而可得CE=4-x,然后在RsCEB'中利用勾股定理即可得.

【詳解】解：??,WC=9O°,A8=3,BC=4,

;.AC=-JBC2+AB2=5,

由折疊的性質(zhì)得：AB'=AB=3,B'E=BE,ZAB'E=AABC=90°,

:.CB'=AC-AB'=2,ZCB'E=90°,

設(shè)B'E=BE=x,則CE=3C—3E=4-x,

在RtACEB'中，B'E2+B'C2=CE~,即x?+2?=（4-尤）？，

3

解得x=\,

3

即BE的長為E，

-3

故答案為：—■

4.（23-24七年級下?廣東深圳?期末）如圖,在AABC中，ZACB=90°,ZXE分別為4B,AC上一點，將ABCD,

VADE分別沿8、OE折疊，點A、B恰好重合于點A處.若3c=3,AC=5,則AE=.

B

【分析】本題考查了翻折的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握翻折的性質(zhì)與勾股定理解三角形.根

據(jù)翻折的性質(zhì)得到=?八<??3,由ZA+/B=90。，即可得到？E4電1EAD1D^C90?,

Q

由折疊的性質(zhì)可得：AE=AE,A<fC=BC=3,設(shè)AE=x,在RME4尢中，根據(jù)勾股定理即可求出AE=§,

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得，ZEAD=ZA,IDA^C?B,

E1NAC3=9O。，

0ZA+ZB=9O°,

?E4D90?,

由折疊的性質(zhì)可得：AE=AE,A^C=BC=3,

設(shè)AE=x,則EC=AC-AE=5-x,

在Rt^E4四中，A?+A'C2=EC2,

即：x2+32=（5-A：）2,

Q

解得：尤=g,

EIA￡=|,

Q

故答案為：m.

5.（23-24七年級下?重慶?階段練習(xí)）如圖，已知長方形A3CD中，AO=6,AB=8,尸是AD邊上的點，將白鈣尸

沿3尸折疊，使點A落在點E上，PE、BE與8分別交于點O、F,且OD=OE,則AP=.

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的運用，關(guān)鍵在于折疊所對應(yīng)的邊角相等，利用方程

的思想解題.根據(jù)題意證明VOZ）尸四VO￡F,再設(shè)出未知數(shù)，利用勾股定理列出方程解出即可.

【詳解】解：回四邊形ABCD是長方形，

0?A?C?D907,CDAB=8,3C=AD=6,

由折疊的性質(zhì)得：EP=AP,BE=AB=8,?E?A90?,

在△口）尸和AO￡F中，

AD=NE

<OD=OE,

ZDOP=ZEOF

0AOD/^AC>EF（ASA）

[?]PD=FE,OP=OF,

?DF=EP=AP,

設(shè)AP=%，貝!JDF=x,FE=PD=6-x

團(tuán)CF=CD-DF=8-x,BF=BE-FE=x+2,

在Rt^BCF中，BC~+CF2=BF2,BP62+（8-x）2=（x+2）2

解得：x=￡.

24

故答案為：—.

6.（23-24八年級上?江蘇南京?階段練習(xí)）已知AABC中，AB=AC=5,8C=8,點。在邊上.請從A,

3兩題中任選一題作答.

圖1圖2

A.如圖1,若

B.如圖2,若5￡>=AB；

我選擇A題，則AD的長為；

我選擇8題，則的長為.

【答案】v回

4

【分析】本題考查等腰三角形，勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)，三線合一，勾股

定理的應(yīng)用，即可.

選擇A題：過點A作AEL3C交2c于點E,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，則3E=CE=!BC,根據(jù)勾股定理,

則AB1=BE2+AE2，求出AE；再根據(jù)AD2=AE2+DE1，AD2+AB2=DB2>即可;選擇3題:過A作AE_L

交BC于點E,根據(jù)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，則BE=CE=3BC,根據(jù)勾股定理求出AE,根據(jù)3D==5,

求出EQ,最后再根據(jù)勾股定理即可.

【詳解】選擇A題：

過點A作AEJL3C交BC于點E,

SBE=CE=-BC=4,

2

在RSABE中，AB2BE2+AE2，

052=42+AE2,

解得：AE=3>

在RSADE中，AD2=BD2+AE2>

設(shè)

E1A￡>2=ED1+AE2=x2+32,

0A￡>±AB,

AB-+AD1=BD1,

BAD2=BD2-AB2=(x+4)2-52,

0(X+4)2-52=X2+32,

選擇B題：

過點A作AE,3c交5c于點E,

A

0BE=CE=-BC=4,

2

在RSABE中，AB2=BE2+AE2

52=42+AE2,

解得：AE=3,

回BD=AB=5,

回ED+BE=BD=5,

回EZ)=1,

在Rt^ADE,AD2=AE2+Er>2=32+12,

0AD=A/1O.

故答案為：Tio.

【2.實際應(yīng)用中的方程思想】

1.(23-24八年級下?內(nèi)蒙古巴彥淖爾?期末)如圖，數(shù)學(xué)興趣小組要測量學(xué)校旗桿的高度，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在

旗桿頂端的繩子垂到地面并多出一段(如圖1),同學(xué)們首先測量了多出的這段繩子長度為1米，再將繩子

拉直(如圖2),測出繩子末端C到旗桿底部8的距離為5米，求旗桿的高度.

圖1圖2

【答案】旗桿高12米

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題關(guān)鍵.設(shè)為x米，則AC=(x+l)米，根據(jù)勾

股定理列方程求出x的值，即可求解.

【詳解】解：設(shè)48為x米，則AC=(x+l)米，

在Rt/XABC中，AB~+BC2=AC2,

：BC=5,

%2+52=(%+1)2,

解得：x=12,

即旗桿高12米.

2.（23-24八年級下.安徽安慶?期末）如圖，《九章算術(shù)》中記載了一個“折竹抵地"問題：今有竹高一丈，末

折抵地，去本三尺，問折者高幾何?意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈=10尺），現(xiàn)被風(fēng)折斷，尖端落在

地上，竹尖與竹根的距離三尺，求折斷處離地面的高度.

【答案】4.55尺

【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，在一個直角三角形中，兩條

直角邊分別為b,斜邊為c,那么/+62=02.設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10-幻尺，根據(jù)勾

股定理列出方程，解方程即可.

【詳解】解：設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10-幻尺，

根據(jù)勾股定理得尤2+32=（10-x）2,

解得：x=4.55

答：折斷處離地面的高度是4.55尺.

3.（23-24八年級下.廣東珠海?期中）如圖，在筆直的鐵路上A、B兩點相距7km,C,。為兩村莊，

DA=3km,CB=4km,DA±AB^A,于艮現(xiàn)要在A3上建一個中轉(zhuǎn)站E,使得C,D兩村到E站

的距離相等，求AE的長.

AEB

D\

''C

【答案】AE的長為4km

【分析】本題考查的是勾股定理，比較簡單，需要熟練掌握勾股定理的基礎(chǔ)知識.

先設(shè)=則3E=7-x,再根據(jù)勾股定理計算即可得出答案.

【詳解】解：設(shè)=則3E=7-x,

由勾股定理得：

在中，DE2^AD2+AE2^32+X2,

在Rtz^BC石中，CE2=BC2+BE2=42+(7-x)2,

由題意可知：DE=CE,

所以32+f=42+(7一幻2,

解得：x=4

即AE的長為4km.

4.(23-24八年級下?新疆喀什?期中)如圖，一只小鳥旋停在空中A點，A點到地面的高度AB=8米，A點

到地面。點(3,。兩點處于同一水平面)的距離AC=10米.

AK

B'---—

⑴求出BC的長度；

⑵若小鳥豎直下降到達(dá)。點(。點在線段48上)，此時小鳥到地面C點的距離與下降的距離相同，求小鳥

下降的距離.

【答案】⑴6米

(2)小鳥下降的距離為米

【分析】本題主要考查了勾股定理的實際應(yīng)用，熟練的掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

(1)在直角三角形中運用勾股定理即可解答；

(2)在中，根據(jù)勾股定理即可解答.

【詳解】(1)由題意知？390?,

EIAB=8米，AC=10米.

在RtAABC中AB?+BC2=AC2

,,,BC=-J102—82=6米，

(2)設(shè)")=x,

,?,到達(dá)。點(。點在線段AB上)，此時小鳥到地面C點的距離與下降的距離相同，AB=8

二則CD=AD=x,BD=8-x,

在Rt^BDC中，DC2=BD2+BC2,

:.x2=(8-x)2+62,

25

解得尤=二，

4

25

；?小鳥下降的距離為彳格

5.(23-24八年級下?安徽合肥?期中)如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的高度相等的墻，一根竹竿斜靠在左墻時,

竹竿底端。到左墻角的距離0C為2米，頂端2距墻頂?shù)木嚯xA8為1米，若保持竹竿底端位置不動，將竹

竿斜靠在右墻時，竹竿底端到右墻角的距離。尸為3米，頂端E距墻頂。的距離。E為2米，點A、B、C在

一條直線上,點、D、E、尸在一條直線上，ACYCF,DF±CF.求:

⑴墻的高度；

(2)竹竿的長度.

【答案】⑴4米

Q)g米

【分析】本題主要考查勾股定理的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)兩種不同狀態(tài)竹竿長不變列等式及正確計

算.

(1)設(shè)墻高尤米，則3C=(x-l)米，EF=(x-2)米，在RtABCO和RtAEFO中，根據(jù)勾股定理可列出關(guān)

于x的方程，再求解即可；

(2)把(1)中的x代入勾股定理即可得到答案.

【詳解】(1)解：設(shè)墻高x米，則3c=(x—l)米，EF=(x-2)米，

在RtABCO中，BO1=BC2+CO2=(x-l)2+22,

在RUEFO中，EO2=EF2+產(chǎn)。2=(X-2)2+32,

由題意可知BO—E0,

ffl(x-l)2+22=(X-2)2+32,

解得：x=4,

答：墻的高度為4米；

(2)解：80={(4-1)2+22=如米.

答：竹竿的長度為米.

6.在一條東西走向的河的一側(cè)有一村莊C,河邊原有兩個取水點A,B,其中AB=AC,由于某種原由C

到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點8(4H、2在一條直線上)，并

新修一條路CH,測得C3=1.5千米，CH=1.2千米，=千米.

⑴問CH是否為從村莊C到河邊的最近路？請通過計算加以說明.

(2)求原來的路線AC的長.

【答案】⑴C8是從村莊C到河邊的最近路；理由見解析；

⑵原來的路線AC的長為1.25千米.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)勾股定理的逆定理證明國CHB是直角三角形即可；

(2)設(shè)AC=x千米，在R/fflAC”中，由已知得AC=x,AH^x-0.9,CH=L2,再根據(jù)勾股定理解答即可.

(1)

解：是，理由是：在回CH2中，

EIC/72+BH2=1,22+0.92=2.25,BC=2.25,

0C//2+B/^=BC2,

盟CE必是直角三角形，

回。/是從村莊C到河邊的最近路；

⑵

設(shè)AC=x千米，

在RZEIACH中，由已知得AC=x,AH=x-0.9,CH=L2,

由勾股定理得：A^AtP+Cti1

貸=(尤-0.9)2+1.22,

解這個方程，得x=L25,

答：原來的路線AC的長為1.25千米.

【點睛】

本題考查勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理的逆定理和定理解答.

【類型二分類討論思想】

適用情況：

4.高在三角形內(nèi)，外不明確；

5.直角邊、斜邊不明確；

6.動態(tài)問題或存在性問題中，直角頂點的位置不明確.

1.（2024?黑龍江哈爾濱?二模）在RtAABC中，AB=AC,點。是直線A5上一點，BD=1,AD=3,

連接8,則線段8的長為—.

【答案】5或G

【分析】了勾股定理，分①當(dāng)。在線段A8上時，②當(dāng)。在線段A3延長線上時，再由勾股定理即可求解,

熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】由題意得：ZA=90°,

①如圖，當(dāng)。在線段A8上時，

0AB=AC=AD+BD=l+3=4,

在RtAACD中由勾股定理得：CD=7AC2+AD2=742+32=5，

②如圖，當(dāng)。在線段A3延長線上時，

SAB=AC=AD-BD=3-1=2,

在RtAACD中由勾股定理得：CD=^AC+AD1=g。=屈，

綜上可知：CD的長為5或巧.

2.（23-24八年級下?湖北孝感?期末）如圖，在RtaABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,點P為射線BC上

一點，將△ACP沿"所在直線翻折，點C的對應(yīng)點為點G，如果點G在射線54上，那么PC=.

A

【分析】本題考查勾股定理，翻折等知識，分兩種情況：點P在2C上和點尸在2C延長線上，并分別畫出

圖形，在RGBPC'中利用勾股定理列方程解出即可，熟練運用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：在直角三角形ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,

由勾股定理，得AB=4AC?+BC?=后+42=5,

點尸為射線8C上一點，分兩種情況：

①點尸在3c上時，如圖，

設(shè)CP=x,由翻折可知CP=尤，

BP=BC-CP=4-x,

BC=AB-AC=AB-AC=5-3=2,

在RMBPC中，

由勾股定理，^BP2=BC'2+PC1,

即（4-X）2=22+X2,

解得：x=1

②點尸在BC的延長線上時，如圖，

設(shè)CP=V，由翻折可知c'P=y,

BP=BC+CP=4+y,

BC'=AB+AC'=AB+AC=5+3=8

在RUBPC'中，

由勾股定理，^BD2=BC2+DC'2,

即（4+4=千+廣

解得：y=6,

3

故答案為：|■或6.

3.（23-24八年級下?安徽合肥?期末）已知AABC中，AB=15,AC=13,3c邊上的高AD=12,求BC邊

的長.

【答案】的長為14或4.

【分析】本題主要考查了勾股定理，分兩種情況討論：①當(dāng)為銳角三角形時，②當(dāng)“SC為鈍角三

角形時，根據(jù)勾股定理即可求解，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：分兩種情況討論：

①當(dāng)AABC為銳角三角形時，如圖：

0ZADB=ZADC=90°,

0AB=15,AC=13,AD=12

在RtAABZ）中，BD=-JAB2-AD-=7152-122=9,

在RtAADC中，CD=VAC2-AD2=V132-122=5-

E18C=3D+CD=9+5=14；

②當(dāng)為鈍角三角形時，如圖：

0ZADB=9O°,

團(tuán)AB=15,AC=13,AD=12

在RtAABD中，BD=-JAB2-AD2=V152-122=9,

在RtAADC中，CD=VAC2-AD2=A/132-122=5>

團(tuán)3。=%>一。。=9一5=4,

綜上所述，8C的長為14或4.

4.（23-24八年級下?河北張家口?期中）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=5m,AC=3m,動點P從

點B出發(fā)沿射線BC以Im/s的速度移動，設(shè)運動的時間為/s.

⑴求BC邊的長；

⑵當(dāng)AABP為直角三角形時，求/的值.

【答案】（l）4cm

⑵4或亍25

【分析】本題主要考查了勾股定理：

（1）利用勾股定理求解即可得；

（2）先求出研=/加，再分①當(dāng)/AP3=90。，②當(dāng)N54P=90。兩種情況，利用勾股定理求解即可得.

【詳解】（1）解：在RtAABC中，ZACB=90°,AB=5cm,AC=3cm,

團(tuán)由勾股定理得BC=A/52-32=4（cm）；

（2）解：由題意知BP=rcm.

①當(dāng)/AP3=90。時，如圖，點P與點C重合，BP=BC=4cm,

②當(dāng)NA4P=90。時，如圖2,CP=BP-BC=(t-4)cm,AC=3cm.

在RtAACP中，AP2=AC2+CP2=32+(r-4)2,

在RtABAP中，AP?=BP2_AB2=/一52,

032+(f-4)2=/2-52,

解得f=￡25

4

綜上所述，當(dāng)為直角三角形時，/的值為4或一.

【類型三轉(zhuǎn)化思想】

適用情況：

3.最短路徑問題（未知轉(zhuǎn)化為已知，化曲為直）；

4.等線段轉(zhuǎn)化（幾何證明）.

1.（22-23八年級下?廣東廣州?期中）如圖，A、B兩個村子在筆直河岸的同側(cè)，A、8兩村到河岸的距離分別

為AC=2km,BD=5km,CD=6km,現(xiàn)在要在河岸上建一水廠E向A、8兩村輸送自來水，要求水

廠E到A、8兩村的距離之和最短.

B

A

clD

⑴在圖中作出水廠￡的位置（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）求水廠E到A、8兩村的距離之和的最小值.

【答案】⑴見解析

【分析】（1）延長AC,取4C=AC,再連接A3,與8交于點E即可；

（2）作出以A3為斜邊的直角△ABF,求出直角邊，利用勾股定理求出結(jié)果.

【詳解】（1）解：如圖所示：點E即為水廠的位置；

(2)如圖，作出以A3為斜邊的直角ZSAM,

由(1)可知：AE=AE,

由題意可得：AC=2km,BD=5km,CD=6km,

回A'C=AC=2km,BF=5+2=7km,AF=CD=6km,

團(tuán)水廠E到A、8兩村的距離之和的最小值為A:B=病方"=Akm.

B

【點睛】本題考查了應(yīng)用與設(shè)計作圖，勾股定理，主要利用軸對稱的性質(zhì)，找出點A關(guān)于8的對稱點是確

定建水廠位置的關(guān)鍵.

2.(23-24八年級下?山東聊城?期中)綜合與實踐

【問題情境】

數(shù)學(xué)綜合與實踐活動課上，老師提出如下問題：一個三級臺階，它每一級的長、寬、高分別為20、3、2,A

和B是一個臺階兩個相對的端點.

【探究實踐】

老師讓同學(xué)們探究：如圖①，若A點處有一只螞蟻要到B點去吃可口的食物，那么螞蟻沿著臺階爬到8點

的最短路程是多少？

(1)同學(xué)們經(jīng)過思考得到如下解題方法：如圖②，將三級臺階展開成平面圖形，可得到長為20,寬為15

的長方形，連接A3,經(jīng)過計算得到A8長度為,就是最短路程.

【變式探究】

(2)如圖③，是一■只圓柱形玻璃杯，該玻璃杯的底面周長是30高是8c,",若螞蟻從點A出發(fā)沿著玻

璃杯的側(cè)面到點B,則螞蟻爬行的最短距離為.

圖①圖②圖③圖④

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖④，圓柱形玻璃杯的高9?！ǎ酌嬷荛L為16。〃，在杯內(nèi)壁離杯底4c機(jī)的點A處有一滴蜂蜜，

此時，一只螞蟻正好在外壁上，離杯上沿1cm,且與蜂蜜相對的點2處，則螞蟻從外壁2處到內(nèi)壁A處所

爬行的最短路程是多少？(杯壁厚度不計)

【答案】(1)25；(2)17cm；(3)B處