14.2（第1課時(shí)）邊角邊（解析版）

目錄

類型一、利用SAS判定條件的選擇................................................................1

類型二、SAS的應(yīng)用.............................................................................4

類型三、用SAS證明三角形全等..................................................................5

類型四、全等的性質(zhì)和SAS綜合..................................................................6

夯基礎(chǔ)

類型一、利用SAS判定條件的選擇

1.如圖，使成立的條件是（

A.AB=ADf團(tuán)3二團(tuán)。B.AB=AD,^1ACB=ACD

C.BC=DC,回3AC二團(tuán)ZMCD.AB=ADf團(tuán)BAC二團(tuán)。AC

2.如圖，要用〃SAS〃證△ABCg/XADE1,若已知=BC=DE則還需條件（

A.ZB=ZDB.NC=NEC.Z1=Z2D./3=/4

3.如圖所示,^AC=DB,Z1=Z2,則可判定△ABC0Z\DCB,這是根據(jù)（）

A.SSSB.ASAC.AASD.SAS

4,下列條件中，能利用"5AS”判定回ABCEBAEC的是（）

A.AB=A'B',AC=A'C',0C=0Cz

B.AB=A'B',0A=0Az,BC=B'C'

C.AC=A'C',0C=aCz,BC=B'C'

D.AC=A'C',0A=0A,,BC=B'C'

5.如圖，已知AF是公共邊，用"SAS"證明AA。尸和及4跖全等，給出條件正確的是（）

A.AF平分回8ACB.DF=EFC.BF=CFD.0B=0C

6.數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小星制作了一個(gè)燕尾形的風(fēng)箏，如圖，AD=CD,ZADB=ZCDB,他準(zhǔn)備用刻度尺量

A3和3C的長是否相等.

小英卻說：“不用再測(cè)量，因?yàn)椤鰽BD回△CBO,所以AB=5C"

小英用到的判定三角形全等的方法是（）

D

A.SASB.AASC.SSSD.ASA

7.如圖，AB=AC,根據(jù)"SAS”判定，AB。=ACE,還需添加的條件是（）

8.如圖，點(diǎn)分別在線段A&AC上,C。與8E相交于。點(diǎn)，已知A8=AC,AZ）=AE,能直接判定ABE也,ACD

的方法是（）

A

D

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

9.如圖，已知BC=BE,Z1=Z2,由這三個(gè)條件，就可得出酎BE豳DSC,依據(jù)的判定方法是（

A.邊邊邊B.邊角邊

C.角邊角D.角角邊

10.如圖，AC和相交于。點(diǎn)，若。4=0。,用"SAS〃證明還需（

A.AB=DCB.OB=OCC.ZA=ZDD.ZAOB=ZDOC

11.嘉嘉先畫出了VABC,再利用尺規(guī)作圖畫出了使ADE且ABC.圖L圖3是其作圖過程.

A.SSSB.SASC.ASAD.AAS

類型二、SAS的應(yīng)用

12.如圖，將兩根鋼條4V、3日的中點(diǎn)。連在一起，使A4，、3笈可以繞著點(diǎn)。自由旋轉(zhuǎn)，則A8的長等于

內(nèi)槽寬A3,那么判定△OABgZVMB的理由是（）

13.小亮設(shè)計(jì)了如下測(cè)量一池塘兩端A8的距離的方案：先取一個(gè)可直接到達(dá)點(diǎn)A,B的點(diǎn)。，連接AO,BO,

延長49至點(diǎn)尸，延長30至點(diǎn)。，使得OP=AO,OQ=BO,再測(cè)出尸。的長度，即可知道A,B之間的

距離.他設(shè)計(jì)方案的理由是（）

14.在測(cè)量一個(gè)小口圓柱形容器的內(nèi)徑時(shí)，小明用"X型轉(zhuǎn)動(dòng)鉗”按如圖所示的方法進(jìn)行測(cè)量，其中。4=00,

OB=OC,則可判定Zvi。的△￡>%的依據(jù)是（）

A.SASB.AASC.ASAD.SSS

15.在生物實(shí)驗(yàn)課上，老師布置了"測(cè)量錐形瓶內(nèi)部底面內(nèi)徑”的任務(wù).小亮同學(xué)想到了以下這個(gè)方案：如圖，

用螺絲釘將兩根小棒AD,BC的中點(diǎn)。固定，利用全等三角形的性質(zhì)，只要測(cè)得C,D之間的距離，就可

知道內(nèi)徑A3的長度.此方案中，判定VA03和△DOC是全等三角形的依據(jù)是（）

B.SASC.ASAD.AAS

類型三、用SAS證明三角形全等

16.如圖，在VA3C和戶中，AB=DE,BE=CF,ZABC=NDEF（點(diǎn)、B,E,C,尸在同一條直線

上）.求證：ZXABC絲△￡>￡F.

17.如圖，在VABC和DEF中，點(diǎn)A,E,B,。在同一直線上，BC//EF,BC=EF,AE=BD.求

。在同一條直線上，AF=DC,AB=DE,ZA=ZD.求證：Z\ABC當(dāng)ADEF.

C,E在一條直線上，AC=DF,AC//DF,BF=EC.求證：AABC冬ADEF.

D

20.如圖，點(diǎn)、B,E,C,尸在同一條直線上，AB=DE,BE=CF,AB//DE.求證：0ABC00DEF.

AD

類型四、全等的性質(zhì)和SAS綜合

21.把VABC的中線AD延長到點(diǎn)E,使。E=AD，連接BE,如果AB=3,ACD的周長比△ABD的周長

大2,那么BE=________.

22.生活情境?滑滑梯如圖，有兩個(gè)長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度。尸相

等，且左邊滑梯水平方向的長度與右邊滑梯的高度相等，若NCBA=32。，則/跖D=.

23.如圖，點(diǎn)。是VABC的邊BC延長線上一點(diǎn)，BD=AB,DE//AB,DE=BC.求證：BE=AC.

24.如圖，點(diǎn)、B、E在線段上，AB=DE,BC//EF,BC=EF.求證：AF=DC.

25.如圖，點(diǎn)、B,C,D,尸在一條直線上，AB〃EF且AB=EF,BD=CF.

⑴求證：ABC沿.EFD；

⑵若ZA=35。，NF=25°,求NEDB的度數(shù).

26.如圖，AB=AD,AC平分/AD.求證：ZB=ZD.

27.如圖，點(diǎn)。和點(diǎn)C在線段BE上，AAB8AFED.

⑴求證：BD=EC；

（2）判斷線段與FC的關(guān)系并證明.

B

1.如圖，已知四邊形ABCD中，AB=15cm,3C=9cm,CD=10cm,/fl=NC,點(diǎn)E是線段班的三等

分點(diǎn)（靠近8處）.如果點(diǎn)尸在線段上以3cm/s的速度由點(diǎn)8向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)。在線段C。上由點(diǎn)C

向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng).若要使得BPE與YCQP全等,則點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為（)cm/s.

…10203或g

A.3B.3或工-C.—D.

3

則4+N2的度數(shù)為（)

A.90°B.180°C.270°D.360°

3.某校項(xiàng)目式學(xué)習(xí)小組開展項(xiàng)目活動(dòng)，過程如下：

項(xiàng)目主題：測(cè)量某水潭的寬度.

問題驅(qū)動(dòng)：能利用哪些數(shù)學(xué)原理來測(cè)量水潭的寬度？

組內(nèi)探究：由于水潭中間不易到達(dá)，無法直接測(cè)量，需要借助一些工具來測(cè)量，比如自制的直角三角形硬

紙板，米尺，測(cè)角儀，平面鏡等，甚至還可以利用無人機(jī)，確定方法后，先畫出測(cè)量示意圖，然后進(jìn)行實(shí)

地測(cè)量，并得到具體數(shù)據(jù)，從而計(jì)算水潭的寬度.

成果展示：下面是同學(xué)們進(jìn)行交流展示時(shí)的兩種測(cè)量方案：

方

方案一方案二

案

測(cè)B

量

D

示

圖①

圖圖②

測(cè)

如圖①.對(duì)量員在地面上找一點(diǎn)C,在

量如圖②，測(cè)量員在地面上找一點(diǎn)C,沿

BC連線的中點(diǎn)。處做好標(biāo)記，從點(diǎn)C出

說著向前走到點(diǎn)。處，使得CD=AC,

發(fā)，沿著與平行的直線向前走到點(diǎn)E

明沿著AC向前走到點(diǎn)E處，使得

處，使得點(diǎn)E與點(diǎn)A、D在一條直線上，

CE=BC,測(cè)出。、E兩點(diǎn)之間的距離

測(cè)出”的長度

測(cè)

量

CE=20m,BD=CD,CE〃ABAC=CD,BC=CE,DE=20m

結(jié)

果

⑴經(jīng)過同學(xué)們的討論及老師的點(diǎn)評(píng)，同學(xué)們認(rèn)識(shí)到兩種方案都是利用三角形全等測(cè)量水潭的寬度，我們學(xué)

習(xí)了以下三角形全等的條件：①SSS；②ASA或AAS；③SAS,請(qǐng)選擇一個(gè)序號(hào)說出上述兩種方案分別

應(yīng)用了哪種三角形全等的條件？

答;方案一：?方案二：.

(2)請(qǐng)寫出方案一計(jì)算水潭的寬度48的過程.

4.已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，分別以AC,8C為邊在線段AB同側(cè)作ACD和「BCE,S.CA=CD,CB=CE,

ZACD=NBCE,直線AE與3。交于點(diǎn)F.

(1)如圖1,求證：△ACE/ADCB；

(2)若〃CD=60。，則ZAFB=_；

(3)如圖2,若NACD=a,則NAFB=_.(用含。的式子表示)

1.已知，在四邊形ABC。中，AB=AD,ZB+ZD=180,E、/分別是BC、CD邊上的點(diǎn).且

NEAF.NBAD.探究線段3區(qū)EF、。廠的數(shù)量關(guān)系.

⑴為探究上述問題，小寧先畫出了其中一種特殊情況，如圖①當(dāng)/8=/。=90，小寧探究此問題的方法是:

延長EB到點(diǎn)G,使BG=。尸，連接AG,請(qǐng)你補(bǔ)全小寧的解題思路:先證明RABG”；再證明MEG^

；即可得出線段班、EF、￡序之間的數(shù)量關(guān)系是.

⑵如圖②，在四邊形ABC。中，AB=AD,23+N￡)=180,E、尸分別是邊3C、CD上的點(diǎn)，且

ZEAF=^ZBAD,(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)寫出證明過程;

⑶在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180,E、/分別是BC、CD所在直線上的點(diǎn)，且

=.請(qǐng)直接寫出BEEF、D尸線段之間的數(shù)量關(guān)系.

2.如圖①，AB=10cm,ACYAB,BDJ.AB,垂足分別為A、B,AC=7cm.點(diǎn)尸在線段上以3cm/s

的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)2出發(fā)在射線3D上運(yùn)動(dòng).它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為《s)(當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)結(jié)

束時(shí)，點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束).

DCD

⑴若點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)f=l時(shí)，△ACP與V8PQ是否全等？并判斷此時(shí)線段PC和

線段PQ的位置關(guān)系，請(qǐng)分別說明理由；

(2)如圖②，若"ACLAB,改為=點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s,其他條件不變,

當(dāng)△ACP與V8PQ全等時(shí)，求出相應(yīng)的無與，的值.

14.2（第1課時(shí)）邊角邊（解析版）

目錄

類型一、利用SAS判定條件的選擇................................................................1

類型二、SAS的應(yīng)用.............................................................................7

類型三、用SAS證明三角形全等..................................................................9

類型四、全等的性質(zhì)和SAS綜合...............................................1錯(cuò)誤!未定義書簽。

夯基礎(chǔ)

類型一、利用SAS判定條件的選擇

1.如圖，使AA8C0A4OC成立的條件是（）

A.AB=AD,0B=0DB.AB=AD,0ACB=AC￡）

C.BC=DC,SBAC=0DACD.AB=AD,5iBAC=^DAC

【答案】D

【分析】兩個(gè)三角形已經(jīng)有一條公共邊AC,將此條件與每個(gè)選項(xiàng)的條件結(jié)合，根據(jù)全等三角形的判定定理,

逐項(xiàng)判斷是否能夠判定AABC^iADC.

【詳解】A.AC=AC,AB=AD,EIB=E1D三個(gè)條件構(gòu)成“邊邊角"，不能判定/ABCMADC；

B.AB=AD,AC=AC,I3ACB=I3ACD三個(gè)條件構(gòu)成"邊邊角"，不能判定/ABCHJADC；

C.BC=AD,AC=AC,EIBAC=[3DAC三個(gè)條件構(gòu)成"邊邊角"，不能判定/ABC0JADC；

D.AB=AD,EBAC=0DAC,AC=AC三個(gè)條件構(gòu)成"邊角邊"，可以判定/ABC0/MQC；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定定理，熟記判定定理是關(guān)鍵，特別需要注意“邊邊角"不能判定全等.

2.如圖，要用"SAS"證△ABC絲A4DE,若已知AB=AD,BC=DE,則還需條件（）

A.ZB=ZDB.NC=/EC.N1=N2D./3=/4

【答案】A

【分析】根據(jù)題目中給出的條件=3C=DE,要用“SAS"進(jìn)行證明，還缺少條件是夾角：ZB=ZD,

篩選答案可選出A.

【詳解】解：還需條件NB=ND,

ZB=ZD,

.,.在VABC和VADE中:

AB=AD

NB=ND,

BC=DE

.1△ABC四△ADE(SAS).

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是要熟記判定定理：SSS,AAS,ASA,SAS.

3.如圖所示,^AC=DB,N1=N2,則可判定△ABC四△OCB,這是根據(jù)（）

C.AASD.SAS

【答案】D

【分析】本題考查了全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法.由AC=DB,Z1=Z2,

BC=BC,可證明△ABC之△OCB,據(jù)此解答即可.

【詳解】解：AC=DB,Z1=Z2,BC=BC,

ABC^DCB(SAS),

故選：D.

4.下列條件中，能利用"SAS"判定回ABCEBAEC的是（）

A.AB=A'B',AC=A'C',0C=0Cz

B.AB=A'B',0A=0Az,BC=B'C'

C.AC=A'C',0C=0C,BC=B'C'

D.AC=A'C',0A=0Az,BC=B'C'

【答案】C

【分析】依據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行判斷，并結(jié)合線段與角的位置關(guān)系準(zhǔn)確分析即可.

【詳解】解：A、邊邊角不能證明兩個(gè)三角形全等，故A錯(cuò)誤；

B、邊邊角不能證明兩個(gè)三角形全等，故B錯(cuò)誤；

C、AC=A'C,0C=0C,BC=B'C,符合ASA,故C正確；

D、邊邊角不能證明兩個(gè)三角形全等，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，已知A尸是公共邊，用"SAS"證明AA。尸和尸全等，給出條件正確的是（）

A.AF平分回B.DF=EFC.BF=CFD.

【答案】A

【分析】題中要求用"SAS"證明兩三角形全等，而其中AD=AE,AF為公共邊為已知條件，由此可知只需添加

E1BAF=I3CAF,即AF平分EIBAC即可.

【詳解】解：回AD=AE,AF為公共邊，

當(dāng)所給條件為AF平分回BAC,

fflBAF=0CAF,

EBADFEHAEF（SAS）,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及角平分線的定義的應(yīng)用，判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件

或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件.

6.數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小星制作了一個(gè)燕尾形的風(fēng)箏，如圖，AD=CD,=他準(zhǔn)備用刻度尺量

A5和8C的長是否相等.

小英卻說："不用再測(cè)量，因?yàn)椤鰽BD回△CBD,所以"=

小英用到的判定三角形全等的方法是（）

C.SSSD.ASA

【答案】A

【分析】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.根據(jù)全等

三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：在與△CBD中,

AD=CD

ZADB=ZCDB,

BD=BD

0ABD^CBD(SAS),

AB=BC,

故選：A.

7.如圖，AB=AC,根據(jù)"SAS”判定ABD=ACE,還需添加的條件是（

AD=AEC.BO—COD./B=NC

【答案】B

【分析】找到根據(jù)"SAS”判定ABD=ACE需要條件，作出證明即可.

【詳解】解：還需添加的條件是=理由是:

在和ZUCE中,

AB=AC

ZA=ZA,

AD=AE

0ABD=,ACE(SAS),

故選：B

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，點(diǎn)分別在線段A8,AC上,CO與8E相交于。點(diǎn)，已知A慶AC,A止AE,能直接判定ABE烏ACD

的方法是（)

B.ASAC.AASD.SSS

【答案】A

【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法SAS證明即可.

【詳解】解：回在ABE與ACD中,

AB=AC

ZA=ZA

AE=AD

0AABE名AACD(SAS),

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關(guān)鍵.選用哪

一種方法，取決于題目中的已知條件.

9.如圖，已知BC=BE,Z1=Z2,由這三個(gè)條件，就可得出0A8EEH0BC,依據(jù)的判定方法是（）

A.邊邊邊B.邊角邊

C.角邊角D.角角邊

【答案】B

【分析】根據(jù)SAS證明三角形全等即可解決問題.

【詳解】解：001=02,

a01+0￡BD=02+l?]￡BD,

^EABE=SDBC,

BA=BD

在0ABE和ODBC中，＜/ABE=ZDBC,

BE=BC

asABEaazwc(SAS),

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，屬于中考?？碱}型.

10.如圖，AC和8。相交于。點(diǎn)，若。4=OD,用"SAS"證明△4082△DOC還需（）

A.AB=DCB.OB=OCC.ZA=ZDD.ZAOB=ZDOC

【答案】B

【分析】本題考查了全等三角形的判定，根據(jù)判定方法SAS即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解題

的關(guān)鍵.

【詳解】解：在VA03和△DOC中，OA^OD,ZAOB=NDOC,

若要用SAS證明哈△￡?%,則需要添加條件。B=OC,

故選：B.

11.嘉嘉先畫出了VABC,再利用尺規(guī)作圖畫出了VADE,使ADE^ABC.圖L圖3是其作圖過程.

（3）以點(diǎn)A為圓心，先以AB

（2）以點(diǎn)N為圓心，以MN長為半徑畫弧，與邊AC交于

（1）以點(diǎn)A為圓心，以

長為半徑畫弧，與（1）中點(diǎn)、D,再以AC長為半徑畫弧,

適當(dāng)長為半徑畫弧，交

的弧交于點(diǎn)P,作射線AP.與射線AP交于點(diǎn)E連接DE.

AB于點(diǎn)M交AC于點(diǎn)N.

圖2

圖I

在嘉嘉的作法中，可直接判定ADE^ABC的依據(jù)是（）

A.SSSB.SASC.ASAD.AAS

【答案】B

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，全等三角形的判定.根據(jù)作圖痕跡，利用SAS即可證明...AOE-ASC.

【詳解】解：由作圖知，NEAD=NCAB,AD=AB,AE=AC,

回△ADE合AABC（SAS）,

故答案為：B.

類型二、SAS的應(yīng)用

12.如圖，將兩根鋼條4V、3日的中點(diǎn)。連在一起，使A4，、3笈可以繞著點(diǎn)。自由旋轉(zhuǎn)，則A8的長等于

內(nèi)槽寬A3,那么判定△OABgZVMB的理由是（）

A.SSSB.SASC.AASD.ASA

【答案】B

【分析】本題主要全等三角形的判定，由。是A4',39的中點(diǎn)，可得AO=4QBO=B'O,再有對(duì)頂角相

等，可以根據(jù)全等三角形的判定方法SAS,判定AOB^OA!B'.

【詳解】解：回。是A4',雨的中點(diǎn)，

SAO=A'O,BO=B'O,

在△Q43和△OA夕中，

'AO=40

-ZAOB=AA!OB',

BO=B'O

0AOB^OAB'（SAS）,

故選：B.

13.小亮設(shè)計(jì)了如下測(cè)量一池塘兩端A3的距離的方案：先取一個(gè)可直接到達(dá)點(diǎn)A,B的點(diǎn)。，連接AO,BO,

延長A0至點(diǎn)P,延長80至點(diǎn)。，使得OP=AO,OQ=BO,再測(cè)出尸。的長度，即可知道A,3之間的

距離.他設(shè)計(jì)方案的理由是（）

A.SASB.AASC.ASAD.SSS

【答案】A

【分析】本題考查了全等三角形的應(yīng)用；解答本題的關(guān)鍵是設(shè)計(jì)三角形全等，巧妙地借助兩個(gè)三角形全等,

尋找所求線段與已知線段之間的等量關(guān)系.根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：在△OP。和△OA8中，

OP=AO

<ZPOQ=ZAOB,

OQ=OB

團(tuán)△OP。%△QAB(SAS),

回PQ=AB.

故選：A.

14.在測(cè)量一個(gè)小口圓柱形容器的內(nèi)徑時(shí)，小明用〃X型轉(zhuǎn)動(dòng)鉗〃按如圖所示的方法進(jìn)行測(cè)量，其中Q4=OD,

OB=OC,則可判定的依據(jù)是（）

出AB

A.SASB.AASC.ASAD.SSS

【答案】A

【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法：邊角邊判定.

【詳解】解：AD,BC相較于點(diǎn)。，對(duì)頂角相等，即0A02=aD0C,

在回0A2和mODC中：

OA=OD

4。3=/。。。兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等，

OB=0C

S^AOB^ADOC（SAS）,

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定方法邊角邊（SAS）,有兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；熟

記判定方法是解題關(guān)鍵.

15.在生物實(shí)驗(yàn)課上，老師布置了“測(cè)量錐形瓶內(nèi)部底面內(nèi)徑”的任務(wù).小亮同學(xué)想到了以下這個(gè)方案：如圖，

用螺絲釘將兩根小棒A。，BC的中點(diǎn)。固定，利用全等三角形的性質(zhì)，只要測(cè)得C,。之間的距離，就可

知道內(nèi)徑A8的長度.此方案中，判定VA03和△DOC是全等三角形的依據(jù)是（）

A.SSSB.SASC.ASAD.AAS

【答案】B

【分析】本題考查了全等三角形的判定.根據(jù)題意確定全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵.

由題意可證△408名ADOC(SAS),然后作答即可.

【詳解】解：由題意知，OB=OC,ZAOB=ZDOC,OA^OD,

^△AOB當(dāng)△DOC(SAS),

故選：B.

類型三、用SAS證明三角形全等

16.如圖，在VA3C和一￡)￡戶中，AB=DE,BE=CF,ZABC=NDEF(點(diǎn)3,E,C,尸在同一條直線

上).求證：Z\ABC/ADEF.

【答案】見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解答本題的關(guān)鍵.根據(jù)"SAS"

判定即可.

【詳解】證明：BE=CF,

BE+EC=CF+EC,

即BC=EF,

在VABC和DEF中,

AB=DE

<ZABC=NDEF,

BC=EF

四。砂(SAS).

17.如圖，在VABC和DEF中，點(diǎn)A,E,B,。在同一直線上，BC//EF,BC=EF,AE=BD.求

證：/XABC絲△￡>￡1尸.

AC

匕

【答案】見解析

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定.根據(jù)=可得4?=小，再由3C〃取，可得

ZABC=ZDEF,再由邊角邊可證得△至C/ADEF,即可求解.

【詳解】證明：BC//EF,

:.ZABC=ADEF,

AE=BD,

:.AE+BE=BD+BE,^AB=DE,

在VABC和DEF中,

BC=EF

<NABC=ZDEF,

AB=DE

AABC^ADEF(SAS).

18.如圖，點(diǎn)A,F,C,。在同一條直線上，AF=DC,AB=DE,ZA=ZD.求證：△ABC9△■DE尸.

【答案】見詳解

【分析】本題考查了全等三角形的判定，根據(jù)AF=OC,WAC=DF,結(jié)合AB=DE,ZA=ZD,證明

△ABC絲AD郎(SAS),即可作答.

【詳解】解：SAF=DC,

^AF+FC=DC+FC,

則AC=DF,

SAB=DE,ZA=ZD,

團(tuán)△ABC四△DEF(SAS).

19.如圖，已知點(diǎn)8,F,C,E在一條直線上，AC=DF,AC//DF,BF=EC.求證：AABC瑪、DEF.

A

【答案】見解析

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，平行線的性質(zhì)，先證明3C=￡F,再由平行線的性質(zhì)可得

ZACB=NDFE,據(jù)此根據(jù)SAS即可證明四△DEF.

【詳解】證明：SBF=EC,

0BF+FC=￡C+FC,^BC=EF,

^\AC//FD,

^ZACB^ZDFE,

在VABC和，DEF中，

AC=DF

<ZACB=ZDFE

BC=EF

團(tuán)△ABC絲DE廠(SAS).

20.如圖，點(diǎn)B,E,C,尸在同一條直線上，AB=DE,BE=CF,AB//DE.求證：^ABC^DEF.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】證明：0B￡=CF,

^BE+EC=CF+EC.

即^BC^EF.

又0AB//OE,

00B=01.

在0ABC和回OEF中，

AB=DE

<ZB=Z1

BC=EF

00ABC00DEF(SAS).

AD

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理，平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

類型四、全等的性質(zhì)和SAS綜合

21.把VABC的中線延長到點(diǎn)E,^DE=AD,連接BE,如果AB=3,ACD的周長比△A3D的周長

大2,那么BE=.

【答案】5

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中線的定義，根據(jù)題意得出AC=5,進(jìn)而證明

NADC^EDB得出BE=AC=5,即可求解.

【詳解】解：如圖

E1AD是VABC的中線，

團(tuán)BD—CD,

團(tuán)ACD的周長比△ABD的周長大2,

I?]AD+Cr>+AC-(AB+BD+Ar>)=2,

^\AC-AB=2

團(tuán)AB=3

團(tuán)AC=5

^\AD=DE,BD=CD,ZADC=ZEDBf

RVADC印EDB

團(tuán)BE=AC=5

故答案為：5.

22.生活情境?滑滑梯如圖，有兩個(gè)長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度。產(chǎn)相

等，且左邊滑梯水平方向的長度A3與右邊滑梯的高度。石相等，若NCB4=32。，則NEFD=.

【答案】58。/58度

【分析】此題考查了全等三角形的應(yīng)用，做題時(shí)要注意找已知條件，根據(jù)已知選擇方法得出全等三角形是

解題關(guān)鍵.

由已知可根據(jù)SAS判定AABC沿ADEF,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：在VABC和qDEF中，

AB=DE

<ABAC=ZEDF=90°,

AC=DF

0AABC2△DEF(SAS),

0ZCBA=32°

0ZBC4=58°

0ZEfD=ZBG4=58°.

故答案為：58°.

23.如圖，點(diǎn)￡>是VABC的邊BC延長線上一點(diǎn)，BD=AB,DE//AB,DE=BC.求證：BE=AC.

【答案】見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)平行得到ZBDE=ZABC,再證明△3DE絲△ABC(SAS)即可.

【詳解】證明：SDE//AB,

0/BDE=NABC,

S1BD=AB,DE=BC,

0ABZ)E^Z\ABC(SAS),

團(tuán)BE=AC.

24.如圖，點(diǎn)8、E在線段AO上，AB=DE,BC//EF,BC=EF.求證：AF=DC.

B

C4c--------------------

【答案】見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì).

先由3C〃EP得到=利用SAS證明，AEF烏OBC，即可得到AF=OC.

【詳解】證明：因?yàn)?c〃跖，

所以/D3C=NAEF.

SAB=DE

SAE=DB

在△AEF和△￡>3C中，

AE=DB

"NDBC=ZAEF

BC=EF

0AEF咨DBC(SAS),

所以AF=DC.

25.如圖，點(diǎn)B,C,D,尸在一條直線上，AB〃跖且AB=EF,BD=CF.

(2)若NA=35。，ZF=25°,求NET汨的度數(shù).

【答案】⑴見解析

(2)60°

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)：

(1)先由平行線的性質(zhì)得到NB=NP,再證明BC=DP,即可利用SAS證明ABC今砂D；

(2)先根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得NE=NA=35。，再由三角形外角求出NEDB的度數(shù)，再即可得到答案.

【詳解】(1)證明：國AB〃EF,

0Zfi=ZF,

團(tuán)BD=CF,

SBD-CD=CF-CD,

SBC=FD,

又回AB=EF,

0(SAS)；

(2)解:^_ABC^EFD,ZF=25°

0ZE=ZA=35°.

0ZF=25°,

0NEDB=NE+/F=60°.

26.如圖，AB=AD,AC^^-^BAD.求證：ZB=ZD.

【答案】見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)角平分線得到/54C=/D4C,再由SAS證明△BAC四△DAC,即可得到NB=".

【詳解】證明：回AC平分4AD,

SZBAC=ZDAC,

EIAB=AD,AC=AC,

054cg04c(SAS),

^ZB=ZD.

27.如圖，點(diǎn)。和點(diǎn)C在線段BE上，AABC^AFED.

⑴求證：BD=EC；

(2)判斷線段AD與尸C的關(guān)系并證明.

【答案】⑴見解析

(2)平行且相等

【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的判定，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可解答.

(2)AD//FC,AD=FC.由AABC必FED，可得AC=尸￡),ZACD=/FDC,繼而證明^ACD^/\FDC,

即可解答.

【詳解】(1)證明：.ABC絳FED,

BC=ED,

/.BD=CE；

(2)解：AD//FC,AD=FC.

理由如下：

.ABC學(xué)八FED,

:.AC=FD,NACD=NFDC,

DC=CD,

ACD^FDC,

:.NADC=NFCD,AD=FC,

:.AD//FC.

——?B?——

1.如圖，已知四邊形ABC。中，AB=15cm,BC=9cm,CD=10cm,N3=NC,點(diǎn)E是線段54的三等

分點(diǎn)（靠近8處）.如果點(diǎn)P在線段3C上以3cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)。在線段C。上由點(diǎn)C

向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng).若要使得BPE與VCQP全等,則點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度為（）cm/s.

【答案】B

【分析】設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒，點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度為vcm/s，則3P=3tcm,CQ=vtcm,CP=SC-fiP=（9-3?）cm,

根據(jù)三等分點(diǎn)求出BE=gA8=5cm,根據(jù)全等三角形的判定得出：①當(dāng)BE=CP,BP=CQ時(shí)；②當(dāng)

BE=CQ,BP=CP^；能夠使得,.BPE與VCQP全等，分別列方程求解，即可求出點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度.

【詳解】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度為wm/s,

則BP=Stem,CQ=vtcm,CP=BC-BP=（9-）cm,

,點(diǎn)￡是線段B4的三等分點(diǎn)（靠近3處），

,BE=—AB=—xl5cm=5cm,

33

,/B=NC,

..要使..瓦方與VCQ尸全等，則必須滿足5￡=C尸，BP=CQ^BE=CQ,BP=CP,

分兩種情況：

①當(dāng)3E=C尸，BP=C。時(shí)，

5=9—3%,3t=vt9

,4

解得：t=—,v=3,

3

即點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度為3cm/s；

②當(dāng)BE=CQ,5尸=。尸時(shí)，

5=4,3t=9—3,，

解得：v=￥，

23

即點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為gcm/s；

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度為3cm/s或gcm/s時(shí)，能夠使得與VCQP全等，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了列代數(shù)式，線段"等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，全等三角形的判定，解一元一次方程等知識(shí)

點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判定方法并運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，在2x2的正方形網(wǎng)格中，則N1+N2的度數(shù)為（）

A.90°B.180°C.270°D.360°

【答案】A

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)，結(jié)合全等

三角形的判定定理得出BAC^EAD,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和直角三角形的兩個(gè)銳角互余即可求解.

【詳解】解：如圖：

DB

AC^AD

，ABAC=ZEAD=90°,

AB=AE

ffl3AC空皿)(SAS),

EIZABC=Z1,

0ZABC+Z2=9O°,

0Z1+Z2=9OO.

故選：A.

3.某校項(xiàng)目式學(xué)習(xí)小組開展項(xiàng)目活動(dòng)，過程如下：

項(xiàng)目主題：測(cè)量某水潭的寬度.

問題驅(qū)動(dòng)：能利用哪些數(shù)學(xué)原理來測(cè)量水潭的寬度？

組內(nèi)探究：由于水潭中間不易到達(dá)，無法直接測(cè)量，需要借助一些工具來測(cè)量，比如自制的直角三角形硬

紙板，米尺，測(cè)角儀，平面鏡等，甚至還可以利用無人機(jī)，確定方法后，先畫出測(cè)量示意圖，然后進(jìn)行實(shí)

地測(cè)量，并得到具體數(shù)據(jù)，從而計(jì)算水潭的寬度.

成果展示：下面是同學(xué)們進(jìn)行交流展示時(shí)的兩種測(cè)量方案：

方

方案_方案二

案

<

測(cè)

y

量

示

C

圖6

圖圖②

測(cè)如圖①.對(duì)量員在地面上找一點(diǎn)C,在如圖②，測(cè)量員在地面上找一點(diǎn)C,沿

量連線的中點(diǎn)。處做好標(biāo)記，從點(diǎn)C出著BC向前走到點(diǎn)。處，使得CD=AC,

說發(fā)，沿著與平行的直線向前走到點(diǎn)E沿著AC向前走到點(diǎn)E處，使得

明處，使得點(diǎn)石與點(diǎn)A、。在一條直線上，CE=BC,測(cè)出。、E兩點(diǎn)之間的距離

測(cè)出CE的長度

測(cè)

量

CE=20m,BD=CD,CE//ABAC=CD,BC=CE,DE=20m

結(jié)

果

⑴經(jīng)過同學(xué)們的討論及老師的點(diǎn)評(píng)，同學(xué)們認(rèn)識(shí)到兩種方案都是利用三角形全等測(cè)量水潭的寬度，我們學(xué)

習(xí)了以下三角形全等的條件：①SSS；②ASA或AAS；③SAS,請(qǐng)選擇一個(gè)序號(hào)說出上述兩種方案分別

應(yīng)用了哪種三角形全等的條件？

答；方案一：,方案二：.

(2)請(qǐng)寫出方案一計(jì)算水潭的寬度48的過程.

【答案】⑴②，③

(2)見解析

【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角相等，熟練掌握三角形全等的判定

與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)全等三角形的判定方法，進(jìn)行判斷即可；

(2)先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得==再根據(jù)AAS定理證出,根據(jù)全等三角

形的性質(zhì)即可得。

【詳解】(1)方案一：回

0ZA=ZE,ZB=ZC,

ZA=NE

<NB=NC,

BD=CD

回BDA^,CDE(AAS),

l3AB=CE=20m.

方案二：在△C4B和CDE中，

AC=DC

<ZACB=NDCE,

BC=EC

ElCAB^.CDE(SAS),

0AB=DE=20m.

故答案為：②，③

(2)團(tuán)CE/AB,

團(tuán)ZA=NE,N5=NC,

在△52M和JCDE中，

ZA=ZE

<ZB=ZC,

BD=CD

團(tuán)BD^CDE(AAS),

^AB=CE=20m.

4.已知點(diǎn)C為線段A3上一點(diǎn)，分別以AC,BC為邊在線段A3同側(cè)作ACD和MCE,且C4=CD,CB=CE,

ZACD=/BCE,直線AE與交于點(diǎn)R

(1)如圖1,求證：△ACE四△OCB；

(2)若〃CD=60。，則ZAFB=_；

(3)如圖2,若NACD=a,則NAFB=_.(用含“的式子表示)

【答案】⑴見詳解

(2)120°

(3)180°-a

【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等；

(1)由SAS可判定△ACE絲△OCB,即可得證；

(2)由全等三角形的性質(zhì)得/C4E=/CD3,由三角形的外角性質(zhì)得NC4E+NCBD=60。，即可求解;

(3)由全等三角形的性質(zhì)得/C4E=/CD3,由三角形的外角性質(zhì)得NC4E+NCBD=e,即可求解；

掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)證明：ZACD=NBCE,

ZACD+ZDCE=NBCE+NDCE,

ZACE=ZDCB,

在△ACE和ADCB中

CA=CD

<NACE=ZDCB,

CE=CB

..AACE^ADCB(SAS)；

(2)解：ZACD=60°,

ZCDB+ZCBD=60°f

_ACEADCB,

.?.NCAE=NCDB,

.\ZCAE+ZCBD=60°,

/.ZAFB=180°-(ZCAE+ZCBD)

=120。，

故答案為：120。；

(3)解：:ZACD=a9

.\ZCDB+ZCBD=af

ACE-DCB,

:.ZCAE=ZCDB,

/.Z.CAE+Z.CBD=a,

ZAFB=180°-(ZG4E+ZCBD)

=180?！?。，

故答案為：180。-a.

1.已知，在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=18Q，E、/分別是5C、CD邊上的點(diǎn).且

ZEAF^^ZBAD.探究線段BE、EF、。小的數(shù)量關(guān)系.

⑴為探究上述問題，小寧先畫出了其中一種特殊情況，如圖①當(dāng)ZB=NO=90,小寧探究此問題的方法是:

延長EB到點(diǎn)G,使BG=D尸，連接AG,請(qǐng)你補(bǔ)全小寧的解題思路:先證明A4JG當(dāng)；再證明AAEG絲

;即可得出線段BE、EF、。產(chǎn)之間的數(shù)量關(guān)系是.

(2)如圖②，在四邊形ABCD中，AB=AD,23+N￡)=180,E、尸分別是邊3C、CD上的點(diǎn)，且

NEAF=gNBAD,(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)寫出證明過程；

⑶在四邊形ABCD中，AB=AD,/B+/D=180,E、/分別是3C、CD所在直線上的點(diǎn)，且

=請(qǐng)直接寫出EF、DP線段之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】11aDF,^AEF,EF=BE+FD

⑵成立，理由見解析

⑶EF=BE-FD或EF=FD-BE或EF=BE+FD；

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)依據(jù)題意，補(bǔ)全小寧的解題思路即可；

(2)延長EB到點(diǎn)G,使BG=O尸，連接AG，先證明△ABG?AAZ卯(SAS),再證明_AEG至一AE尸(SAS),

即可得出線段BE、EF、ED之間的數(shù)量關(guān)系；

(3)分三種情況討論，分別采用截長補(bǔ)短，先利用證明三角形全等，再進(jìn)行線段的和差計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：補(bǔ)全小寧的解題思路如下：

先證明一ABG竺ADB；再證明.AEGWAEF；即可得出線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系是跖=3￡+ED,

故答案為：A