第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學(xué)年寧夏吳忠市青銅峽市寧朔中學(xué)高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=21+i?i，則z?A.5 B.3 C.5 D.2.已知向量a=(2,1)，b=(?2,4)，則|aA.2 B.3 C.4 D.53.從裝有3個(gè)紅球和5個(gè)黃球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球，那么“至少有1個(gè)紅球”的對立事件是(

)A.至少有2個(gè)紅球 B.至少有2個(gè)黃球 C.都是黃球 D.至多1個(gè)紅球4.某校對全校300名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則這些同學(xué)的數(shù)學(xué)成績大于等于60分的人數(shù)為(

)A.270 B.240 C.180 D.1505.在△ABC中，BC=2，AC=1+3，AB=6，則A.45° B.60° C.120° D.135°6.如圖1，在直角梯形ABCD中，BC/?/AD，AB⊥AD，BC=12，AD=13，AB=23，E為線段BC上的一點(diǎn)，BE=9，過E作AB的平行線交AD于F，將矩形ABEF翻折至與梯形ECDF垂直得到六面體ABCDFE，如圖2，則六面體ABCDFE的體積為(

)

A.3332 B.273 7.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為BA.π2 B.π3 C.π48.

兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為32π3，兩個(gè)圓錐的高之比為1：3，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為(

)A.3π B.4π C.9π D.12π二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知一組數(shù)據(jù)如下：2，3，4，4，7，則下列說法中正確的是(

)A.這組數(shù)據(jù)的極差為5 B.這組數(shù)據(jù)的方差為2.5

C.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)等于平均數(shù) D.這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為3.510.已知事件A，B，且P(A)=0.4，P(B)=0.5，則(

)A.事件A與事件B互為對立事件

B.若事件A與事件B互斥，則P(A∪B)=0.9

C.若事件A與事件B互斥，則P(AB)=0.2

D.若P(A?B?)=0.311.在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=2A.A1D⊥B1C

B.B1C⊥平面A1BD

C.AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.|?3+4i|=______．13.設(shè)向量a，b夾角的余弦值為13，且|a|=1，|b|=3，則(214.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，BD的垂直平分線過點(diǎn)A，且滿足CD=2AB，cos∠CAD=2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

為增強(qiáng)市民節(jié)能環(huán)保意識(shí)，某市面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者，現(xiàn)從符合條件的500名志愿者中隨機(jī)抽取100名志愿者，他們的年齡情況如表所示：分組(單位：歲)頻數(shù)頻率[20,25)50.05[25,30)①0.20[30,35)35②[35,40)300.30[40,45)100.10總計(jì)1001.00(Ⅰ)頻率分布表中的①②位置應(yīng)填什么數(shù)據(jù)？

(Ⅱ)補(bǔ)全如圖所示的頻率分布直方圖，再根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這500名志愿者中年齡在[30,35)歲的人數(shù)；

(Ⅲ)現(xiàn)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣從[30,35)、[35,40)、[40,45)的樣本中共抽取n名志愿者，已知從[40,45)中抽取了2人，求n的值．16.(本小題15分)

在△ABC中，b2+c2?a2=423bc．

(1)求cosA的值；17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，AB⊥BC，AB=BC=1，AD=2，PA⊥平面ABCD，PA=2．

(1)求證：CD⊥平面PAC；

(2)求二面角P?CD?A的正弦值．18.(本小題17分)

如圖，四棱錐P?ABCD的底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC=3．

(1)證明：平面PCD⊥平面PAD；

(2)求點(diǎn)B到平面PAD的距離．19.(本小題17分)

在一次奧運(yùn)會(huì)男子乒乓球單打比賽中，運(yùn)動(dòng)員甲和乙進(jìn)入了決賽，決賽采取7局4勝制.已知每局比賽甲獲勝的概率為23，乙獲勝的概率為13，且每局比賽結(jié)果互不影響．

(1)求只需進(jìn)行四局比賽的概率；

(2)已知前兩局比賽甲均告負(fù)，求甲最終能逆轉(zhuǎn)獲得冠軍的概率．參考答案1.A

2.D

3.C

4.B

5.A

6.D

7.D

8.B

9.ACD

10.BD

11.AC

12.5

13.11

14.3π415.(Ⅰ)①應(yīng)填0.20×100=20，②應(yīng)填35100=0.35；

(Ⅱ)因?yàn)閇25,30)區(qū)間的頻率為0.20，

所以該組的高為0.25=0.04，

所以補(bǔ)全頻率分布直方圖如下：

這500名志愿者中年齡在[30,35)歲的人數(shù)為0.35×500=175；

(Ⅲ)因?yàn)閇30,35)、[35,40)、[40,45)的人數(shù)比例為0.07：0.06：0.02=7：6：2，

所以從[40,45)中抽取了2人，從[30,35)、[35,40)中分別抽取了7人和6人，

16.(1)因?yàn)閎2+c2?a2=423bc，

由余弦定理可得b2+c2?a2=2bccosA，

可得cosA=223；

(2)因?yàn)?csinA=2asinB，

由正弦定理得3ac=2ab，

所以b=17.(1)因?yàn)锳B=BC=1，AB⊥BC，所以AC=2，∠BAC=45°，

又AB⊥BC，AD//BC，所以∠DAC=45°，

所以CD2=CA2+DA2?2CA?DA?cos∠DAC=2+4?2×2×2×22=2．

所以CD=2．

因?yàn)锳D2=AC2+CD2，

所以△ACD為直角三角形，且CD⊥CA．

又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，

所以PA⊥CD．

又因?yàn)镻A，CA?平面PAC，PA∩CA=A，

所以CD⊥平面PAC．

(2)因?yàn)镃D⊥平面PAC，CA，CP?平面PAC，

所以CD⊥CP，18.(1)證明：因?yàn)镻C⊥底面ABCD，

所以PC⊥AD，又CD⊥AD，且PC∩CD=C，

所以AD⊥平面PCD，又AD?平面PAD，

所以平面PCD⊥平面PAD；

(2)根據(jù)題意建系如圖：

則B(0,2,0)，A(2,2,0)，D(2,0,0)，P(0,0,3)，

所以BA=(2,0,0),AP=(?2,?2,3),AD=(0,?2,0)，

設(shè)平面PAD的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)，

則AP?n=0AD?n=0，即19.(1)設(shè)事件Ai=“