第7節(jié)拋物線

【課標(biāo)要求】（1）掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì)（范圍、對稱

性、頂點、離心率）；（3）了解拋物線的簡單應(yīng)用.

知識點一拋物線的定義

把平面內(nèi)與一個定點尸和一條定直線/（/不經(jīng)過點尸）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點尸叫做拋

物線的焦點，直線/叫做拋物線的準(zhǔn)線.

提醒定義中易忽視”定點不在定直線上”這一條件，當(dāng)定點在定直線上時，動點的軌跡是過定點且與定直線垂直

的直線.

【例1］（1）已知動圓P與定圓C:（無一2）2+尸=1相外切，又與定直線/：X=—1相切，那么動圓的圓心尸的軌

跡方程是（C）

A.y2—4xB.y2——4x

C.9=8尤D./=-8x

解析：（1）設(shè)尸點坐標(biāo)為（x,y）,C（2,0）,動圓的半徑為r,則根據(jù)兩圓相外切及直線與圓相切的性質(zhì)可

得，|PCl=l+r,尸在直線的右側(cè)，故尸到定直線的距離d=x+l=r,所以|PC|—d=l,即J（%—2）?+y2

—（x+1）=1,化簡得V=8x.故選C.

（2）（2025?湖北十一校聯(lián)考）已知尸是拋物線C：V=8x的焦點，過拋物線C上一點M作其準(zhǔn)線的垂線，垂足

為N,若則點M的橫坐標(biāo)為6.

解析：⑵如圖，由拋物線的定義知，=所以/MNF=NMFN=/NFO=g4MFN為正三角

形.因為2P=8,所以p=4,所以INFI=忌=2。=8,所以IMFI=INFI=8,又IMFI=XM+^=^M+2,

所以砧=6.

規(guī)律方法

“看到準(zhǔn)線想焦點，看到焦點想準(zhǔn)線”，許多拋物線問題均可根據(jù)定義獲得簡捷、直觀的求解.“由數(shù)想形,

由形想數(shù)，數(shù)形結(jié)合”是靈活解題的一條捷徑.

練1⑴已知拋物線尸后（加>0）上的點（尤o,2）到該拋物線焦點E的距離為甘，貝?！ㄊ―）

A.4B.3

C.-D.i

43

解析：（1）由題意知，拋物線、=冠（m>0）的準(zhǔn)線方程為y=—高，根據(jù)拋物線的定義，可得點（xo,2）到

焦點f的距離等于到準(zhǔn)線y=一a的距離，可得2+去=今，解得m

(2)(人A選一P135例4改編)。為坐標(biāo)原點，/為拋物線C：尸=4魚犬的焦點，P為C上一點，若IP/N=

4V2,則△”)尸的面積為2株.

解析：(2)由1PBi=XP+V2=4V2,可得不=3&，.?.抄=±2乃..?.SAPOF=}IOFI-II=2V3.

知識點二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

標(biāo)準(zhǔn))2=2pxy2=~2pxx1=2pyj^=-2py

方程7>0)(p>0)(p>0)(p>0)

二

圖形-「\Fxr

開口

向右向左向上向下

方向

【例2】(1)拋物線過點(3,-4),則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=5x或/=一%；

解析：(1);點(3,-4)在第四象限，.?.拋物線開口向右或向下，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(p>0)或

/=-2°iy(°i>0).把點(3,—4)的坐標(biāo)分別代入/=2。彳和/=-2pu中，得(-4)2=2。?3,32——

2Pl?(—4),則2p=”，20i=J.所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；^=鼻?或/=—%.

3434

(2)如圖，過拋物線y2=2px(p>0)的焦點下的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點A,B,C,若IBCI=2I

BF\,且IAFI=3,則拋物線的方程為y2=3x.

解析：(2)如圖，分別過點A,8作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于點E,D,設(shè)IBFI=a,則IBCI=2a,由拋物線的

定義得IBDI=a,故/BCD=30°,.?.在RtAACE中，2IAEI=IACI,VIA￡I=IAFI=3,IACI=3

+3a,；.3+3a=6,解得a=l,'：BD//FG,與=|，,P胃因此拋物線的方程為V=3x.

規(guī)律方法

求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法

(1)定義法：若題目已給出拋物線的方程(含有未知數(shù)p),那么只需求出p即可；

(2)待定系數(shù)法：若題目未給出拋物線的方程，對于焦點在無軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一設(shè)為

QW0)；焦點在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為/=ay(aWO),a的正負(fù)由題設(shè)來定，這樣就減少了不必要

的討論.

練2(1)拋物線y2=2px(p>0)的焦點到直線y=x+l的距離為/，貝|p=(B)

A.1B.2

C.2V2D.4

(2)設(shè)拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點，焦點F在y軸正半軸上，點P在拋物線C上，IPFI=|,若以線段尸尸為

直徑的圓過坐標(biāo)軸上距離原點為1的點，則該拋物線C的方程為/=2y或W=8y.

解析：(1)拋物線y2=2px(p>0)的焦點坐標(biāo)為號，0),它到直線y=x+l的距離為d=喧券=迎，解得〃

=2或〃=一6(舍去)，故選B.

(2)由題意設(shè)拋物線方程為r=2加(p>0),P(如州)，F(xiàn)(0,§),圓的半徑為，由州+與=［得州=

2422

辭,并且線段PE中點的縱坐標(biāo)是也蘆=|,所以以線段尸尸為直徑的圓與x軸相切，切點坐標(biāo)為(一1,0)或

(1,0),所以加=±2,即點P的坐標(biāo)為(±2,乎),代入拋物線方程(p>0),得4=20?平，解

得p=l或p=4,即當(dāng)點F在y軸正半軸時，拋物線方程是f=2y或r=8y.

知識點三拋物線的幾何性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)y1=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=~2py

方程(p>0)(p>0)(p>0)(p>0)

工

f/小

圖形個IL

xWO,y20,yWO,

范圍

焦點(p0)T0)(0,臺(0,-p

準(zhǔn)線Ft

V

yJ=~-2yJ=-2

方程

對稱軸x軸y軸

頂點(0,0)

離心率e=_1

【例3】(1)已知。為坐標(biāo)原點，拋物線C：丁=2?(p>0)的焦點為RP為C上二點，PF與x軸垂直，。為無

軸上一點，且PQLOP.若IFQI=6,則C的準(zhǔn)線方程為(A)

33

A.x=--B.%=一

22

C.y=-13D.y=3|

解析：(1)法一由題易得I。川=§,IPFI=p,ZOPF=ZPQF,所以tanZOPF=tanZPQF,所以="=

2IPFI

p

/，即￡=自解得p=3,所以C的準(zhǔn)線方程為x=一|.

法二由題易得IOFI=^,IPFI=p,\PF\2=\OF\?\FQ\,即p2=^6,解得p=3或p=0(舍去)，

所以C的準(zhǔn)線方程為x=一去

（2）（2022?全國乙卷文6題）設(shè)廠為拋物線C：y2=4x的焦點，點A在C上，點8（3,0）,若IA川=I

BPI,則IABI=（B）

A.2B.2V2

C.3D.3V2

解析：（2）法一由題意可知下（1,0）,準(zhǔn)線方程為x=-1,設(shè)A（9，yo）,由拋物線的定義可知IAFI=手

+1,又I=3-1=2,由IAFI=I,可得苧+1=2,解得比=土2,所以A（1,2）或A（1,一2）,

/22

不妨取A（1,2）,故IABI=1（1—3）+（2-0）=2魚，故選B.

法二由題意可知F（1,0）,IBFI=2,所以IAFI=2,拋物線通徑為4,所以IA7N=2為通徑的一半，所

以AE_Lx軸，所以IASI=Jz2+22=2V2,故選B.

規(guī)律方法

拋物線性質(zhì)的應(yīng)用技巧

（1）利用拋物線方程確定其焦點、準(zhǔn)線時，關(guān)鍵是將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）要結(jié)合圖形分析，靈活運用平面圖形的性質(zhì)簡化運算.

練3（1）（多選）（2025?八省聯(lián)考）已知尸（2,0）是拋物線C：丁=2。尤的焦點，M是C上的點，。為坐標(biāo)原

點.則（ABC）

A.p=4

B.\MF\^\OF\

C.以M為圓心且過產(chǎn)的圓與C的準(zhǔn)線相切

D.當(dāng)NOFM=120°時，△OEM的面積為2/

（2）（2025?天津和平一模）圓/+V+6y—16=0與拋物線/=2py（p>0）的準(zhǔn)線相交于A,8兩點.若IA8I

=6,則拋物線的焦點坐標(biāo)為（0,7）.

解析：（1）因為尸（2,0）是拋物線C：y2=22x的焦點，所以（=2,即得p=4,A選項正確；設(shè)M（尤o，加）在

y2=8x上，所以必20,所以IMFI=演）+々2^=IOFI,B選項正確；因為以M為圓心且過尸的圓半徑為I

MFI=x0+2,等于M與C的準(zhǔn)線的距離，所以以M為圓心且過尸的圓與C的準(zhǔn)線相切，C選項正確；不妨設(shè)點

M在第一象限，當(dāng)/OEM=120°時，尤o>2,=tan60°=百，且據(jù)=8孫泗>0,所以百羽一8比一16次=

0,解得泗=4行或"=一誓（舍），所以△的面積為SAOFM=9OFIX|yoI=4W，D選項錯誤.故選

A、B、C.

（2）如圖，拋物線d=2py（p>0）的準(zhǔn)線方程為y=-］圓d+V+Gy—16=0即/+（y+3）2=25,圓心坐

標(biāo)為（0,—3）,半徑為5,由垂徑定理可得

[-3-(-|)]2+(笥b2=52,即q—3)2=16,得p=14或p=—2(舍去)，故拋物線的方程為r=

28y,焦點坐標(biāo)為(0,7).

提能點拋物線中的最值(范圍)問題

【例4](1)已知點尸為拋物線丁=—4x上的動點，設(shè)點尸到直線/：x=l的距離為力，到直線龍+廠4=0的距離

為必，則"+必的最小值為(B)

A?B.延

22

C.2D.V2

(2)設(shè)尸是拋物線丁=心上的一個動點，尸為拋物線的焦點，若B(3,2),則1PBi+IPEI的最小值為—

4.

解析：(1)直線/：x=l為拋物線y2=一以的準(zhǔn)線，點尸到準(zhǔn)線的距離等于點尸到焦點F的距離，過焦點尸作直

線x+y—4=0的垂線，如圖所示，當(dāng)點尸為所作直線與拋物線的交點時,%+刈的值最小，為點尸到直線x+y—

4=。的距離.丁戶(一1.0).I-1+0-4I5vg

=2°

工

-4-3-2-1Jo12345x

r

(2)如圖，過點2作8。垂直于準(zhǔn)線，交準(zhǔn)線于點交拋物線于點Pi，連接PiF,則IPi。I=I尸/I.又P

(1,0),貝I有1PBi+1PP121Pb81+1PiQ1=12。1=4,BPIPBI+IPFI的最小值為4.

J

N^B(3,2)

!?'，，?

TfFx

變式若將本例(2)中的“B(3,2)”改為“B(3,4)”，則1尸21+1PP1的最小值為2乘.

解析：由題意可知點8(3,4)在拋物線的外部，因為\PB\+\PF\的最小值即為B,尸兩點間的距離，所

以1尸21+1尸尸1211=22+42=2V5,即IPBI+IPFI的最小值為2西.

規(guī)律方法

與拋物線有關(guān)的最值問題的兩個轉(zhuǎn)化策略

(1)將拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點到焦點的距離，構(gòu)造出“兩點之間線段最短”“三角形兩邊之和大

于第三邊”，使問題得以解決；

(2)將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點的連線中垂線段最短”解決.

練4(1)(2025?滄州一模)已知點尸為拋物線r=8y上一點，過點P作圓C：/+(y—5)2=1的兩條切線，

切點分別為N,貝Ucos/MPN的最小值為(D)

A.更B.2C.2DE

231012

(2)已知拋物線C：y=2px(0>0)的焦點為P,P(2,1)為拋物線C內(nèi)側(cè)一點，M為C上的一動點，IMPI

+\MF\的最小值為T，則p=3.

解析：(1)因為/MPN=2NMPC,sinZMPC=-^^-=-^—,設(shè)尸G,-),則IPCI2=產(chǎn)+(《一5)2=--

IPCIIPCI8864

2

-t+25

4

=—（?—8）當(dāng)r=8時，PC2正，此時NMPN最大，COS/MPN最小，且（cOs/MPN）

642+24,IImin=min=l-

2sin2ZMPC=l-2X（土）2=￡.故選D.

(2)根據(jù)題意畫圖，過點M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為4過尸點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為4，由拋物線的定義可

知，IA/PI+IMPI=IMPI+IMAI,由于M為C上的一動點，則IMPI+IMEI=IMPI+IMAI

21PAiI=xP+^=|,當(dāng)且僅當(dāng)尸，M,A三點共線時，取等號,此時2+?='|,解得p=3.

課時跟蹤檢測

國雙基過關(guān)

一、單項選擇題

1.拋物線C丁=4%的焦點為R點尸是。上一點，若I尸尸1=5,則點尸到y(tǒng)軸的距離為()

A.4B.3

C.2D.1

解析：A根據(jù)題意，點廠的坐標(biāo)為(1,0),故I尸尸I=入尸+1=5,即xp=4f即點尸到y(tǒng)軸的距離為4.故選

A.

2.若動點M(尤，y)到點尸(4,0)的距離比它到直線x+5=0的距離小1,則點M的軌跡方程是()

A.尤+4=0B.x—4=0

C.9=8尤D.y2=i6x

解析：D依題意可知，點M到點尸的距離等于點M到直線x=—4的距離，因此其軌跡是拋物線，且p=8,頂

點在原點，焦點在x軸正半軸上，所以其方程為V=i6x.故選D.

3.頂點在原點，且過點尸(-2,3)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

兒戶》

B.f=》

C.y2：-%或

D.y2=］或/=一》

解析：C設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是產(chǎn)=質(zhì)或/=歿，代入點P(—2,3),解得％=—￡m=|,所以產(chǎn)=—%或

4.已知面積為遙的等邊△OA8(。為坐標(biāo)原點)的三個頂點都在拋物線V=2px(p>0)上，貝Up=()

A.但B一

62

C.|D.2V3

解析：A因為等邊AOAB的面積為百，所以1。41=2,不妨設(shè)點A是第一象限的點，則結(jié)合拋物線的對稱性

可知A(舊，1),所以1=2%，解得p=*故選A.

5.躍鯉橋，為單孔石拱橋，該石拱橋內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線型，如圖.當(dāng)水面寬度為24米時，該石拱橋的拱頂離水面

的高度為12米，若以該石拱橋的拱頂為坐標(biāo)原點，橋面為無軸(不考慮拱部頂端的厚度)，豎直向上為y軸正方

向建立直角坐標(biāo)系，則該拋物線的焦點坐標(biāo)是()

A.(0?-3)B.(0,-6)

C.(0,-12)D.(0,-24)

解析：A如圖，A2為水面寬，BC為拱頂離水面的高度，故IABI=24,IBCI=12,故2(12,—12).設(shè)拋

物線的方程為1=—2抄(p>0),則144=-2pX(-12),即〃=6,故焦點坐標(biāo)為(0,—3).故選A.

6.已知A(3,2),拋物線C：V=8x的焦點為尸，P是拋物線C上任意一點，則△PAB周長的最小值為()

A.3V2B.5+2V2

C.5+V5D.3+2V2

解析：C由題意，拋物線的準(zhǔn)線為尤=—2,過點P作P"垂直于準(zhǔn)線且交準(zhǔn)線于H,則=由題

可知，APA廠的周長為IAPI+IPAI+I尸川=IA尸I+IPAI+I尸小，又I4尸I=麻，如圖，IAPI

+\PA\+\PH\^\AF\+\AH\,當(dāng)A,尸，X三點共線時，△的周長最小，且最小值為5+V5.故選

7.(2025?哈爾濱模擬)過拋物線9=2%上的一點尸作圓C：(%—4)2+>2=1的切線，切點為A,B,則I

ABI?IPCI的最小值是()

A.4B.2V6

C.6D.4V2

解析：B設(shè)尸(狀，yo)，則羽=2尤0，圓C的圓心C(4,0),半徑r=l,由PA,PB切圓C于點A,B,得

PCLAB,PA1AC,則IABI-IPCI=2SPACB=4SAPAC=2IPAI?IACI=2」IPCI,-1=

22

2^(x0-4)+yo-l=2^%2-6%0+15=2J(%0-3)+62V6,當(dāng)且僅當(dāng)頰=3時取等號，所以IABI?I

PCI的最小值為2瓜故選B.

二、多項選擇題

8.(2025?南京模擬)在平面直角坐標(biāo)系O孫中，點尸是拋物線C：^=ax(a>0)的焦點，點A(p1),B

(a,b)(6>0)在拋物線C上，則下列結(jié)論正確的是()

A.C的準(zhǔn)線方程為x=￥

B.b=yjl

C.OA?OB=2

D1+1_16隹

\AF\^\BF\15

a2

解析：BD點1)(a>0),B(a,b)(b>0)在拋物線C上，貝U「一萬’解得『一則拋物線C：

2(b2=a2,

/=y[2x,A(―,1),B(V2,V2),拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=—比，故A錯誤，B正確；OA-OB=—Xy/2

242

+1X夜=1+夜，故C錯誤；拋物線C的焦點F(g0),則I4門=/(比一與)2+(0—1)2=迫,I

22

BFI=J(^-V2)+(0-V2)=^(則擊+<=誓+等=譬.故D正確.故選B、D.

9.(2024?新高考H卷10題)拋物線C：9=4彳的準(zhǔn)線為/,尸為C上動點.過尸作。A：一+(>-4)2=1的一條

切線，Q為切點.過尸作/的垂線，垂足為A則()

A./與0A相切

B.當(dāng)P,A,8三點共線時，IPQI=V15

C.當(dāng)IPBI=2時，PA±AB

D.滿足IPAI=I尸8I的點尸有且僅有2個

解析：ABD對于A,易知I：x=~l,故/與。A相切，A正確；對于B,A(0,4),OA的半徑r=l,當(dāng)尸，

A,8三點共線時，P(4,4),所以IPAI=4,IPQIIPAI2-r2=^42-12=715,故B正確；對于

C,當(dāng)I尸8I=2時，P(1,2),B(-1,2)或P(1,-2),B(-1,—2),易知PA與AB不垂直，故C錯

誤；

2

對于D,法一(直接法)設(shè)P仁t，力，由PB_L/可得8(―1,力，又A(0,4),\PA\=\PB\,根據(jù)兩

4

點間的距離公式，I-+(t-4)2=-+1,整理得/-16r+30=0,A=162-4X30=136>0,則關(guān)于f的方程有

7164

兩個解，即存在兩個這樣的尸點，D選項正確.故選A、B、D.

法二(利用拋物線定義轉(zhuǎn)化)根據(jù)拋物線的定義，IP8I=IPFI,這里/(1,0),于是IPAI=I尸8I時

尸點的存在性問題轉(zhuǎn)化成IPAI=IPPI時P點的存在性問題，A(0,4),F(1,0),AF中點(52),AF

中垂線的斜率為一，-=[,于是AF的中垂線方程為：y=%+*與拋物線y2=4x聯(lián)立可得y2—i6y+30=0,A=

162-4X30=136>0,即AP的中垂線和拋物線有兩個交點，即存在兩個P點，使得IPAI=I尸/I,D選項正

確.

三、填空題

10.若在拋物線/=—4尤上存在一點P,使其到焦點廠的距離與到點A(—2,1)的距離之和最小，則該點的坐標(biāo)

為(一：，1).

解析：如圖，:丁二一八，；.p=2,焦點坐標(biāo)為(一1,0).依題意可知當(dāng)A,尸及P到準(zhǔn)線的垂足。三點共線

時，點尸到點尸與點尸到點A的距離之和最小，故點尸的縱坐標(biāo)為1.將y=l代入拋物線方程求得x=—%則點

尸的坐標(biāo)為(一)1).

4

11.已知拋物線r：V=4x的焦點為R準(zhǔn)線為/,點M在「上，MNLl,/NFM=30°,則點M的橫坐標(biāo)為—

1

3—,

解析：如圖所示，過點尸作切,可用于點”，顯然拋物線「V=4x的焦點為尸(1,0),準(zhǔn)線為/：尤=-1,由

拋物線定義有IM/N=IMNI,結(jié)合NNFM=30°得廣=180°-2X30°=120°,而IMFI=IWNI=

xM+\,\MH\=\MF\cos60°=|(xM+l),所以IMNI+IM”I=xM+l+j(x“+l)=1-(-1)=

2<=^M=一.

3

12.(2024?上海閔行模擬)已知曲線C由拋物線_?=4y及拋物線x2=—4y組成，若A(4,3),B(4,—3),

D,E是曲線C上關(guān)于x軸對稱的兩點，A,B,D,E四點不共線，其中點。在第一象限，則四邊形ABEO周長的

最小值為4+4西.

解析：設(shè)拋物線/=4y的焦點為R則p=2,二/(0,1),根據(jù)對稱可知四邊形4BED為等腰梯形，，四邊形

ABED的周長CABED=\AB\+\DE\+2\AD\=6+2抄+2IADI=6+2(IDFI—￡)+2\AD\=4+2

(IOFI+IADI)24+2\AF\,當(dāng)且僅當(dāng)A,D,尸三點共線時，等號成立，又IA尸I=)42+22=275,

四邊形ABED周長的最小值為4+4V5.

四、解答題

13.已知焦點在y軸，頂點在原點的拋物線Ci經(jīng)過點尸(2,2),以Ci上一點C2為圓心的圓過定點A(0,1),

記M,N為圓C2與無軸的兩個交點.

(1)求拋物線Ci的方程；

(2)當(dāng)圓心C2在拋物線上運動時，試判斷IMN\是否為一定值？請證明你的結(jié)論.

解：(1)由題意，設(shè)拋物線方程為/=2py(0>0),

代入P(2,2),得p=l,

二拋物線G的方程為x2=2y.

(2)設(shè)圓的圓心C2(“，b),則/=26,且圓的半徑r=Ja2+(b—1)”,

...圓被無軸截得的弦長為IMNI=2Jr2—b2=2Ja2+b2~2b+l—b2=2Ja2—2b+1=24=2,即IMNI=

2,

/.IMNI是一定值.

14.已知橢圓G和拋物線C2的焦點均在x軸上，G的中心和C2的頂點均為坐標(biāo)原點。，從Ci,C2上分別取兩個

點，將其坐標(biāo)記錄于下表中：

X1V22

y202V2

（1）求C1和C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若Ci和C2交于不同的兩點A,B,求初?麗的值.

2

解：（1）設(shè)拋物線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px（p＞0）,則2p=；,

結(jié)合表格數(shù)據(jù)，因為弓=烏答=4,

所以點（1,2）,（2,2V2）在拋物線C2上，且2p=4,解得p=2,

所以拋物線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x.

將點（返，-）,（V2,0）代入橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程馬+[=1（a＞匕＞0）中，

22az

工+3=1

得，,24bz，解