第一章《勾股定理》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)題【題型1利用勾股定理探究圖形面積】1.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分別以邊AC、BC向外作正方形ACDE和正方形BFGC，連接EF、AF．若已知AB2?ACA．三角形ABF B．三角形ACF C．三角形AEF D．三角形ABC2.如圖是用八個(gè)全等的直角三角形排成的“弦圖”．記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若正方形EFGHA．16 B．17 C．18 D．203.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC≥BC，以AB為邊在三角形外部作正方形ABDE．在正方形ABDE內(nèi)部作正方形ALKJ、正方形DPQR，AL=AC，DP=BC，S1、S2、S3分別表示四邊形EPMJ、四邊形BLNR、四邊形KMQN的面積，S1、S4.我國三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽利用四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖1所示的圖形，其中四邊形ABED和四邊形CFGH都是正方形，巧妙地用面積法得出了直角三角形三邊長a，b，c之間的一個(gè)重要結(jié)論：a2(1)請(qǐng)你將數(shù)學(xué)家趙爽的說理過程補(bǔ)充完整：已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c．求證：a證明：由圖1可知S正方形∵S正方形ABED正方形CFGH邊長為______，∴c即a2(2)如圖2，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，以AB為直角邊在AB的右側(cè)作等腰直角△ABD，其中AB=BD，∠ABD=90°，過點(diǎn)D作DE⊥CB，垂足為點(diǎn)E．你用兩種不同的方法表示梯形ACED的面積，并證明a2(3)將圖1中的四個(gè)直角三角形中較短的直角邊分別向外延長相同的長度，得到如圖3所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”．若a=12，b=9，“數(shù)學(xué)風(fēng)車”外圍輪廓（圖中實(shí)線部分）的總長度為108，求這個(gè)風(fēng)車圖案的面積．【題型2由勾股定理求線段長度】1.如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，F(xiàn)是CD的延長線上一點(diǎn)，連接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于點(diǎn)M．若BE=DF=2，則A．245 B．345 C．4852.如圖，在△ABC中，AB邊的垂直平分線DE分別交AB、AC邊于點(diǎn)D和點(diǎn)E，且BC(1)連接BE，求證：∠C=90°；(2)若AC=4,BC=2，求CE的長．3.如圖，在△ABC中，AB=5,AC=4,BC=3，DE是AB的垂直平分線，DE分別交AC、AB于點(diǎn)E、D．(1)求證：△ABC是直角三角形；(2)求AE的長．4.如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)P在其內(nèi)部，且BP=12，CP=5，∠CPB=150°，將△ABP繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△CBD．(1)求點(diǎn)P與點(diǎn)D之間的距離；(2)求線段AP的長．【題型3勾股數(shù)（樹）的運(yùn)用】1.有一個(gè)邊長為1的大正方形，經(jīng)過1次“生長”后，在它的左右肩上生出兩個(gè)小正方形，其中三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過1次“生長”后，形成的圖形如圖1所示．如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”如圖2所示，若“生長”了2025次后，形成的圖形中所有的正方形的面積和是（

）A．2026 B．2025 C．22025 D．2.下列四組數(shù)中是勾股數(shù)的一組是（）A．13，14，15 B．0.3，C．5，12，13 D．32，423.勾股定理a2+b2=c2本身就是一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程，滿足這個(gè)方程的正整數(shù)解a,b,c4.如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角都是直角三角形．若A，B，C，D的邊分別是【題型4網(wǎng)格中判斷直角三角形】1.如圖，在4×4網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都相等，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn).格點(diǎn)C與圖中的格點(diǎn)A，B可構(gòu)成直角三角形，則這樣的格點(diǎn)C有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)2.如圖，△ABD和△ABC的頂點(diǎn)均在邊長為1的小正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上，則∠BAC的度數(shù)為（

）A．120° B．135° C．150° D．165°3.如圖，點(diǎn)A，B，C，D均在正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上，則∠DAC?∠BAC=°．4.如圖，∠1，∠2在網(wǎng)格上位置，則∠1+∠2=【題型5利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）】1.如圖，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，△ABC的頂點(diǎn)A在△ECD的斜邊DE上．下列結(jié)論：其中正確的有（

）①△ACE≌△BCD

②BD+AD=DE③∠DAB=∠BCD

④AA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2.對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O．若AD=1,BC=4，則AB2

3.如圖1，AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，連接EF，∠MEN=90°，點(diǎn)N在CD上．(1)若∠BEN=20°，求∠AEM的度數(shù)；(2)若EN平分∠BEF交CD于點(diǎn)N，求證：點(diǎn)F是MN的中點(diǎn)；(3)如圖2，過點(diǎn)F作FH⊥CD交EN于點(diǎn)H，猜想線段EM，EH，HN有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由．4.我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）如圖①，已知四邊形ABCD是垂美四邊形，請(qǐng)?zhí)骄績山M對(duì)邊AB2+C（2）如圖②，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接BE,CG,EG，已知AC=4,AB=5，求G【題型6利用勾股定理解決折疊問題】1.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=6，將它的銳角A翻折，使得點(diǎn)A落在邊BC的中點(diǎn)D處，折痕交AC邊于點(diǎn)E，交AB邊于點(diǎn)F，則DEA．2 B．3 C．259 D．2.如圖在矩形ABCD中，BC=8，CD=6，將△BCD沿對(duì)角線BD翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，BC′交AD于點(diǎn)E，則△BDE3.如圖，在矩形ABCD中，AB=12，BC=10，點(diǎn)E、F分別在AB、DC上，且AB=3BE，CD=3CF，點(diǎn)P為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP，將△DAP沿DP所在直線翻折得到△DA′P，當(dāng)點(diǎn)A′恰好落在直線EF上時(shí)，4.如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=8，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，連接CD，將△BCD沿CD翻折得到△B′CD，過點(diǎn)A作AF∥BC交DB′于點(diǎn)E，交CB′于點(diǎn)【題型7勾股定理的證明】1.在勾股定理的學(xué)習(xí)過程中，我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了運(yùn)用圖形驗(yàn)證著名的勾股定理，下列選項(xiàng)中的圖形，能證明勾股定理的是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④2.如圖所示，意大利著名畫家達(dá)?芬奇用一張紙片剪拼出不一樣的空洞，證明了勾股定理．若設(shè)圖1中空白部分（兩個(gè)正方形和兩個(gè)直角三角形組成）的面積為S1，經(jīng)過以下裁剪，翻轉(zhuǎn)，拼出圖2，其中空白部分的面積為S2，嘉琪同學(xué)得出了以下四個(gè)結(jié)論：①S1=a2+b2A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3.如圖，把長、寬、對(duì)角線的長分別是a、b、c的矩形沿對(duì)角線剪開，與一個(gè)直角邊長為c的等腰直角三角形拼接成右邊的圖形，用面積割補(bǔ)法能夠得到的一個(gè)等式是．4.《整式的乘法》一章學(xué)習(xí)中，我們體驗(yàn)了“以形助數(shù)，以數(shù)解形”的研究策略．這充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中“數(shù)形結(jié)合”這一數(shù)學(xué)思想方法的重要性．民興七年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組通過面積恒等的方法對(duì)直角三角形三邊關(guān)系進(jìn)行了探究．【初步探究】

（1）如圖（1），直角三角形紙片三條邊長分別為a，b，c（b<a<c），小組同學(xué)用四個(gè)這樣的紙片拼成了一個(gè)大正方形，中間空一個(gè)小正方形（陰影部分）．①一個(gè)直角三角形紙片的面積為____，小正方形邊長為_____．（用含a，b的代數(shù)式表示）②請(qǐng)用兩種不同的方法表示出陰影部分（小正方形）的面積，從而探究出a，b，c三者之間的關(guān)系．（需化簡）【結(jié)論運(yùn)用】（2）如圖2，已知，△ABC是直角三角形，∠C=90°．請(qǐng)利用上面得到的結(jié)論求解．①若AC=3，BC=4，求②若AC=6，AB的長比BC的長大2，求AB的長．【應(yīng)用拓展】（3）如圖3，已知，在△ABC中，AB=13，AC=15，

【題型8勾股定理的應(yīng)用】1.蕩秋千是深受大家喜愛的一項(xiàng)活動(dòng)，某秋千垂直地面時(shí)踏板離地面的距離AC為0.5米，將踏板水平推動(dòng)3米（BE=3米），此時(shí)踏板與地面的距離BD為1.5米，若推動(dòng)過程中拉繩始終拉得很直，則秋千的拉繩OA的長度為米．2.如圖所示，某港口位于東西方向的海岸線上．“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16海里，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12海里．它們離開港口32小時(shí)后相距303.某市準(zhǔn)備在鐵路AB上修建火車站E，以方便鐵路AB兩旁的C，D兩城的居民出行．如圖，C城到鐵路AB的距離AC=20km，D城到鐵路AB的距離DB=60km，AB=100km，經(jīng)市政府與鐵路部門協(xié)商最后確定在到C，D兩城距離相等的E處修建火車站，求AE4.學(xué)過《勾股定理》后，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組的隊(duì)員們來到操場上測量旗桿AB的高度，通過測量得到如下信息：①測得從旗桿頂端垂直掛下來的升旗用的繩子比旗桿長3米（如圖1）；②當(dāng)將繩子拉直時(shí)，測得此時(shí)拉繩子的手到地面的距離CD為1米，到旗桿的距離CE為12米（如圖2）．根據(jù)以上信息，解答下列問題(1)設(shè)旗桿AB=x米，則AC=______米，AE=______米（用含x的式子表示）(2)求旗桿x的值．【題型9利用勾股定理求最短距離】1.如圖，觀察圖形解答下面的問題：(1)此圖形的名稱為_______；(2)請(qǐng)你與同伴一起做一個(gè)這樣的立體圖形，并把它的側(cè)面沿AS剪開，鋪在桌面上，則它的側(cè)面展開圖是一個(gè)_______；(3)如果點(diǎn)C是SA的中點(diǎn)，在A處有一只蝸牛，在C處恰好有蝸牛想吃的食物，且它只能繞此立體圖形的側(cè)面爬行一周到C處．你能在側(cè)面展開圖中畫出蝸牛爬行的最短路線嗎？(4)SA的長為10，側(cè)面展開圖的圓心角為90°，請(qǐng)你求出蝸牛爬行的最短路程的平方．2.如圖所示是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長、寬、高分別等于7cm、6cm、2cm，A和B是這兩個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，則一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)過臺(tái)階爬到點(diǎn)B的最短路線有多長？3.如圖，長方體的棱長AB=BC=6cm，AA1=BB1=CC14.如圖為一個(gè)長4cm，寬2cm，高1cm的實(shí)心長方體，一只螞蟻從實(shí)心長方體的頂點(diǎn)A【題型10勾股定理及其逆定理的綜合】1.【問題情境】如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的高．【特例研究】（1）若CD=1，AD=2，BD=4，求證：AB⊥AC；【猜想證明】（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，小明猜想：當(dāng)滿足AD2=BD?CD2.如圖1，四邊形ABCD，∠A=90°，AB=3，BC=12，CD=13，DA=4．(1)求四邊形ABCD的面積；(2)如圖2，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB、AD所在直線為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P在y軸上，若S△PBD=13.如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=10，點(diǎn)D是邊AC上的一點(diǎn)，BD=8，CD=6．(1)求證：△BDC是直角三角形；(2)求線段AD的長．4.如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高，已知AC=9，BC=12，AB=15．(1)求CD的長；(2)過點(diǎn)A作∠CAB的角平分線交BC邊于點(diǎn)E，求△AEB的面積．參考答案【題型1利用勾股定理探究圖形面積】1.A【分析】延長EA，F(xiàn)B交于點(diǎn)H，根據(jù)直角三角形與正方形性質(zhì)得，∠ACB=90°，∠CBF=90°，∠CAE=90°，得四邊形ACBH是矩形，得【詳解】解：延長EA，F(xiàn)B交于點(diǎn)∵在Rt△ABC、正方形ACDE和正方形BFGC中，∠ACB=90°∴∠CAH=∠CBH=90°，∴四邊形ACBH是矩形，∴∠H=90°，∵AB∴可以求出S△ABF故選：A．2.C【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理和正方形、全等三角形的性質(zhì)，以及完全平方公式等知識(shí)．根據(jù)八個(gè)直角三角形全等，四邊形ABCD，EFGH，MNKT都是正方形，得出CG=FM=NG,CF=FN=DG，再根據(jù)S1=(CG+DG)2，【詳解】解：在Rt△CFG中，由勾股定理得：∵八個(gè)直角三角形全等，四邊形ABCD，EFGH，MNKT都是正方形，∴CG=FM=NG，∴S=C=C=GFS2S=F=C=G∵正方形EFGH的邊長為6，∴GF∴S故選：C．3.S【分析】設(shè)AB=c，AC=b，BC=a，求得S1+S2的值，再證明四邊形KMQN為正方形，進(jìn)而求得S3【詳解】設(shè)AB=c，AC=b，BC=a，則AB=BD=DE=AE=c，AL=LK=JK=AJ=b，PD=BC=PQ=QR=DR=a，∴BL=AB?AL=c?b，LN=BR=BD?DR=c?a，JE=AE?AJ=c?b，EP=DE?DP=c?a，NK=LK?LN=b?(c?a)=b?c+a，∴S1∵JE=BL=c?b，QR=PQ，∴QM=QN，又∵∠Q=∠K=90°，∠ALK=∠ABD=90°，∴LK∥∴∠QNK=∠QRD=90°，∴四邊形KMQN為正方形，∴四邊形KMQN的面積為S3在Rt△ABC∵∠C=90°，∴a2∴S3故答案為：S34.（1）證明：由圖可知S正方形∵S正方形ABED正方形CFGH邊長為a?b，∴c即a2故答案為：12ab，（2）解：∵DE⊥BC，∴∠DBE+∠BDE=90°，∵∠ABD=90°，∴∠ABC+∠DBE=90°，∴∠ABC=∠BDE，又∠C=∠BED=90°，AB=BD，∴△ABC≌△BDEAAS∴BC=DE=a,AC=BE=b；由題意，第一種方法：S梯形ACED=ab+1第二種方法：S==1∴1∴a2+2ab+b∴a2+b2=c2；（3）由題意，如圖，∵“數(shù)學(xué)風(fēng)車”外圍輪廓(圖中實(shí)線部分)的總長度為108，∴AD+BD=108÷4=27，設(shè)AD=x,則BD=27?x，在△BCD中，BC2+CD2=BD2∴a將a=12,b=9代入可得，9+x2∴x=7，∴小正方形的邊長等于a?b=12?9=3，∴風(fēng)車的面積為：12【題型2由勾股定理求線段長度】1.B【分析】本題考查正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定及性質(zhì)等，勾股定理等知識(shí)，根據(jù)正方形的性質(zhì)及三角形全等的判定及性質(zhì)，證明AE=AF，利用角平分線的性質(zhì)及三角形全等的判定及性質(zhì)，證明EM=FM，設(shè)EM=x，則FM=x，MC=10?x，CE=6，在Rt△MCE【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABE=∠ADF=90°，∴在Rt△ABE和RtAB=AD∠ABE=∠ADF∴Rt△ABE≌∴AE=AF；∵AM平分∠EAF，∴∠EAM=∠FAM，∴在△AEM和△AFM中，AE=AF∠EAM=∠FAM∴△AEM≌△AFMSAS∴EM=FM，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=CD=8，∠BCD=90°，設(shè)EM=x，則FM=x，MC=CD?DM=8?x?2CE=BC?BE=8?2=6，在Rt△MCE中，根據(jù)勾股定理，得E即x2解得：x=34∴FM=34故選：B．2.（1）證明：∵AB邊的垂直平分線為DE，∴AE=BE，∵BC∴在△BCE中，BC∴∠C=90°；（2）解：設(shè)CE=x，則AE=BE=4?x，∴在Rt△BCE中，E即x2解得：x=3即CE=33.（1）證明：∵AB=5，AC=4，BC=3，∴A∴∠ACB=90°∴△ABC是直角三角形；（2）解：連接BE，∵DE是AB的垂直平分線，∴AE=BE，∴設(shè)AE=BE=x，則EC=4?x，∵在Rt△ABC中，E∴4?x2∴x=25∴AE=254.（1）解：如圖，連接PD．∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°,BA=BC．∵△CBD是△ABP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，∴△CBD≌△ABP，∴BP=BD．∵∠PBD=∠ABC=60°，∴△PBD是等邊三角形．∴PD=PB=12，即點(diǎn)P與點(diǎn)D之間的距離是12．（2）∵∠CPB=150°，△PBD是等邊三角形．∴∠DPC=90°，∴△PCD是直角三角形，∴PC∴CD∴CD=13．由（1）知△CBD≌△ABP．∴AP=CD=13．【題型3勾股數(shù)（樹）的運(yùn)用】1.A【分析】本題考查了勾股定理，能夠根據(jù)勾股定理發(fā)現(xiàn)每一次得到的新的正方形的面積和與原正方形的面積之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理求出“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和，結(jié)合圖形總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可．【詳解】解：如圖，由題意得，正方形A的面積為1，由勾股定理得，正方形B的面積+正方形C的面積=正方形A的面積=1，∴“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2，同理可得，“生長”了2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為3，∴“生長”了3次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為4，……∴“生長”了2025次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2026．故選：A．2.C【分析】此題考查了勾股數(shù)的知識(shí)，滿足a2本題欲求證是否為勾股數(shù)，這里給出三邊的長，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長邊的平方，即可求解．【詳解】解：A、因?yàn)?3，14，B、因?yàn)?.3，0.4，0.5都不是整數(shù)，所以它們不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；C、因?yàn)?32D、因?yàn)?2=9，42=16，故選：C．3.（19，180，181）【分析】本題主要考查了勾股數(shù)，解題的關(guān)鍵是找出數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，掌握勾股定理．由勾股數(shù)組：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×(1×2+1)+1，【詳解】解：由勾股數(shù)組：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×(1×2+1)+1，故答案為（19，180，181）．4.54【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)正方形面積公式先求出MN2、HI2的值，再根據(jù)正方形的性質(zhì)得到QP【詳解】解：∵A，B，∴MN2=∵所有的四邊形都是正方形，∴QP2=M∴利用勾股定理得，QG∴最大的正方形F的面積為54，故答案為：54．【題型4網(wǎng)格中判斷直角三角形】1.D【分析】根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，分類討論，找出符合題意的點(diǎn)C，即可求解．【詳解】解：如圖，格點(diǎn)C與圖中的格點(diǎn)A，B可構(gòu)成直角三角形，則這樣的格點(diǎn)C有5個(gè)故選：D．2.B【分析】延長BA到E，連接CE，先利用勾股定理的逆定理證明△AEC是直角三角形，從而可得∠AEC=90°，然后利用等邊對(duì)等角及三角形的內(nèi)角和定理可得∠EAC=∠ECA=45°，最后利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)即可得出答案．【詳解】解：如圖，延長BA到E，連接CE，由題意可得：CE2=12∴AE∴△AEC是直角三角形，∴∠AEC=90°，∵EA=EC，∴∠EAC=∠ECA=1∴∠BAC=180°?∠EAC=135°，故選：B．3.45°【分析】該題考查了勾股定理，軸對(duì)稱和等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，作點(diǎn)B關(guān)于線段AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′,DB′，由對(duì)稱可得【詳解】解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于線段AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接A由對(duì)稱可得∠B即∠DAC?∠BAC=∠DAC?∠B設(shè)小正方形的邊長為1，由勾股定理，得AB∴AB∴△AB∴∠B′AD=45°故答案為：45°．4.45【分析】本題考查了網(wǎng)絡(luò)三角形．熟練掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形判定和性質(zhì)，平移性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．平移OD到AB，連接BC，則∠2=∠ABF，證明△ABC是等腰直角三角形，得∠ABC=45°，∠ACB=90°，在△AEF和△BEC中，根據(jù)∠1=∠CBE，得∠1+∠2=45°．【詳解】解：如圖，平移OD到AB，連接BC，則∠2=∠ABF，∵BC∴AC∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，∠ACB=90°，在△AEF和△BEC中，∵∠AFE=∠BCE=90°，∴∠1=∠CBE，∴∠1+∠2=∠CBE+∠ABF=45°．故答案為：45．【題型5利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）】1.D【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，勾股定理．由△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，可證∠BCD=∠ACE，進(jìn)而根據(jù)“SAS”可證△ACE≌△BCD，故結(jié)論①正確；由△ACE≌△BCD可得BD=AE，進(jìn)而可證結(jié)論②正確；由△ABC和△ECD都是等腰直角三角形可得∠CAB=∠CBA=45°∠E=∠CDE=45°，從而證得∠DBA=∠ACD，∠ADB=90°進(jìn)而得到∠DBA+∠DAB=90°，∠BCD+∠ACD=90°，因此∠DAB=∠DCB，故結(jié)論③正確；在Rt△ABD中，BD2+AD2=AB2【詳解】∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴CA=CB，CE=CD，∠BCA=∠DCE=90°，∴∠BCA?∠DCA=∠DCE?∠DCA，即∠BCD=∠ACE，∴△ACE≌△BCDSAS∵△ACE≌△BCD，∴BD=AE，∴BD+AD=AE+AD=DE，故結(jié)論②正確；∵∠BCA=∠DCE=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∠E+∠CDE=90°，∵CA=CB，CE=CD，∴∠CAB=∠CBA=45°，∠E=∠CDE=45°，∵△ACE≌△BCD，∴∠EAC=∠DBC，∵∠EAC=∠ADC+∠ACD=45°+∠ACD，∠DBC=∠ABC+∠DBA=45°+∠DBA，∴∠DBA=∠ACD，∵△ACE≌△BCD，∴∠BDC=∠AEC=45°，∴∠ADB=∠ADC+∠BDC=45°+45°=90°，∴∠DBA+∠DAB=90°，∵∠BCD+∠ACD=∠ACB=90°，∴∠DAB=∠DCB，故結(jié)論③正確；∵在Rt△ABD中，B在Rt△ABC中，A∴BD∵BD=AE，AC=BC，∴AE綜上，正確的結(jié)論有4個(gè)．故選：D2.17【分析】根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可；【詳解】解：∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°,由勾股定理得，AA∴A∵AD=1,BC=4,∴A故答案為：17．3.（1）解：∵∠BEN=20°，∠MEN=90°，∴∠AEM=180°?∠BEN?∠MEN=180°?20°?90°=70°；（2）證明：∵EN平分∠BEF，∴∠BEM=∠NEF，又∵AB∥CD，∴∠BEN=∠ENF，∴∠NEF=∠ENF，∴EF=NF，∵∠MEN=90°，∴∠EMF+∠ENM=90°，∠MEF+∠FEN=90°，∴∠EMN=∠FEM，∴EF=MF，∴MF=FN，即點(diǎn)F是MN的中點(diǎn)；（3）結(jié)論：EM如圖2，連接MH．∵FH⊥CD，點(diǎn)F為MN的中點(diǎn)．∴HF為MN的中垂線．∴MH=HN．在Rt△ENH中，∠MEH=90°由勾股定理得EM∴EM4.解：（1）猜想：AD∵四邊形ABCD是垂美四邊形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理，得ADAB∴AD（2）連接CG，BE，如圖：∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，在△GAB和△CAE中，AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE，∴△GAB≌△CAESAS∴∠ABG=∠AEC，又∵∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，又∵∠BMC=∠AME，∴∠ABG+∠BMC=90°，∴CE⊥BG，∴四邊形CGEB是垂美四邊形，由（1）可知CG∵AC=4，AB=5，∴由勾股定理，得CB2=9，C∴GE【題型6利用勾股定理解決折疊問題】1.D【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理，由題意得出CD=12BC=3，由折疊的性質(zhì)可得AE=DE，設(shè)AE=DE=x【詳解】解：∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴CD=1由折疊的性質(zhì)可得AE=DE，設(shè)AE=DE=x，則CE=AC?AE=4?x，由勾股定理得CE∴4?x解得：x=25∴DE=25故選：D．2.75【分析】首先根據(jù)題意得到BE=DE，然后根據(jù)勾股定理得到關(guān)于線段AB、AE、BE的方程，解方程即可解決問題．【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，AD=BC=8，AB=CD=6，∠ABC=∠C=∠CDA=∠A=90°，∴∠EDB=∠DBC，設(shè)ED=x，則AE=8?x，根據(jù)折疊可知：∠EBD=∠DBC，∴∠EDB=∠EBD，∴EB=ED=x，由勾股定理得：BE即x2解得：x=25∴ED=25∴△BDE的面積為12故答案為：7543.5或20【分析】本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，正確畫出圖形，做到數(shù)形結(jié)合，是解決問題的關(guān)鍵．由矩形的性質(zhì)得到DC=AB=12，∠BAD=90°，AD=BC=10，根據(jù)已知條件得到BE=CF=4，推出四邊形BCFE是矩形，四邊形ADFE是矩形，得到∠AEF=∠DFE=∠BEF=∠CFE=90°，AD=EF=10，根據(jù)折疊的性質(zhì)、勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴DC=AB=12，∠BAD=90°，AD=BC=10，∵AB=3BE，CD=3CF，∴BE=CF=4，AE=DF=8，∵BE∥CF，∴四邊形BCFE是矩形，同理四邊形ADFE是矩形，∴∠AEF=∠DFE=∠BEF=∠CFE=90°，AD=EF=10，∵將△DAP沿DP所在直線翻折得到△DA∴DA′=DA=10當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí)，點(diǎn)A′恰好落在直線EF在Rt△∵DF∴8∴A∴A在Rt△A′即42∴AP=5；當(dāng)點(diǎn)P在邊AB延長線上時(shí)，點(diǎn)A′恰好落在直線EF同理可求A′∴A在Rt△A′即162∴AP=20；故答案為5或20．4.40【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．作FG⊥BC于點(diǎn)G，證明△DEA≌△FEB′ASA，得到AD=B′F，DE=EF，設(shè)BD的長為x，在Rt△FGC【詳解】解：作FG⊥BC于點(diǎn)G，∵∠B=90°，AF∥∴四邊形ABGF是長方形，∠BAF=90°，∴FG=AB=5，由折疊的性質(zhì)得∠B′=∠B=90°，D∵∠DAE=∠B′=90°，∠DEA=∠∴△DEA≌△FEB∴AD=B′F設(shè)BD的長為x，則B′F=AD=5?x，CF=B∴AF=AE+EF=B在Rt△FGC中，F(xiàn)G=5，CF=x+3，CG=BC?BG=BC?AF=8?x∴FG2+C解得x=40∴BD=40故答案為：4011【題型7勾股定理的證明】1.D【分析】本題主要考查勾股定理的證明過程，分別利用每個(gè)圖形面積的兩種不同的計(jì)算方法，再建立等式，再整理即可判斷．【詳解】解：在圖①中，整個(gè)圖形的面積等于兩個(gè)三角形的面積加大正方形的面積，也等于兩個(gè)小正方形的面積加上兩個(gè)直角三角形的面積，∴c2整理得a2故①可以證明勾股定理；在圖②中，大正方形的面積等于四個(gè)三角形的面積加小正方形的面積，∴4×1整理得a2故②可以證明勾股定理；在圖③中，由圖可知三個(gè)三角形的面積的和等于梯形的面積，∴12整理可得a2故③可以證明勾股定理；在圖④中，連接BD，此圖也可以看成Rt△BEA繞其直角頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移得到．一方面，四邊形ABCD的面積等于△ABC和Rt△ACD的面積之和，另一方面，四邊形ABCD的面積等于Rt△ABD所以S△ABC即12整理：b2b2∴a2故④可以證明勾股定理；∴能證明勾股定理的是①②③④．故選：D．2.D【分析】本題考查勾股定理的證明，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀?圖象信息．根據(jù)勾股定理，直角三角形以及正方形的面積公式計(jì)算，即可解決問題．【詳解】解：由勾股定理得：a2由題意得：S1故①，②，③，④正確，故選：D．3.a2+b2＝c2【分析】用三角形的面積和、梯形的面積來表示這個(gè)圖形的面積，從而列出等式，發(fā)現(xiàn)邊與邊之間的關(guān)系．【詳解】解：此圖可以這樣理解，有三個(gè)Rt△其面積分別為12ab，12ab和12還有一個(gè)直角梯形，其面積為12（a+b）（a+b由圖形可知：12（a+b）（a+b）＝12ab+12ab+1整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．故答案為：a2+b2＝c2．4.解：（1）①由題意得，一個(gè)直角三角形紙片的面積為12ab，小正方形的邊長為②∵小正方形的邊長為a?b，∴小正方形的面積為a?b2∵小正方形的面積等于邊長為c的正方形面積減去4個(gè)直角三角形的面積，∴小正方形的面積為c2∴a?b2∴a2∴a2（2）①由（1）可得AB∵AC=3，∴AB∴AB=5或AB=?5（舍去）；②∵AB的長比BC的長大2，∴BC=AB?2，又∵AB2=A∴AB∴AB=10；（3）如圖所示，過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，設(shè)BD=x，則CD=14?x，在Rt△ABD中，A在Rt△ACD中，A∴AD∴132解得x=5，∴AD∴AD=12，∴S△ABC

【題型8勾股定理的應(yīng)用】1.5【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理．假設(shè)未知數(shù)，利用勾股定理即可解答此題．【詳解】解：由圖可知，四邊形ECDB是矩形，∴EC=BD=1.5，∴AE=EC?AC=1.5?0.5=1，假設(shè)OA的長度為x，則OE=OA?AE=x?1，OB=x，在Rt△OBEOE即x?12解得，x=5，故答案為：5．2.解：根據(jù)題意，得PQ=16×1.5=24（海里），PR=12×1.5=18（海里），QR=30（海里），∵24即PQ∴∠QPR=90°．由“遠(yuǎn)航號(hào)”沿東北方向航行可