第1節(jié)計(jì)數(shù)原理與排列組合

知識(shí)點(diǎn)一兩個(gè)技數(shù)原理

1.分類加法計(jì)數(shù)原理

完成一件事，有〃類辦法，在第1類辦法中有叫種不同的辦法，在第2類辦法中有加2種不同的方法，,?,>

在第〃類辦法中有見(jiàn)種不同的方法，那么完成這件事共有：N=+加2+…+%種不同的方法.

2.分步乘法計(jì)數(shù)原理

完成一件事，需要分成〃個(gè)步驟，做第1步有叫種不同的方法，做第2步有丐種不同的方法，…，做

第"步有機(jī)"種不同的方法，那么完成這件事共有：N=mi-m2…-加”種不同的方法.

3.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用

如果完成一件事的各種方法是相互獨(dú)立的，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分類計(jì)數(shù)原理.如

果完成一件事的各個(gè)步驟是相互聯(lián)系的，即各個(gè)步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計(jì)算完成這件事

的方法數(shù)時(shí)，使用分步計(jì)數(shù)原理.

知識(shí)點(diǎn)二排列組合

1.排列問(wèn)題

(1)定義：從"個(gè)不同元素中取出機(jī)(機(jī)《個(gè)元素排成一列，叫做從〃個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)

排列.從〃個(gè)不同元素中取出加(加4")個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從"個(gè)不同元素中取出加個(gè)元素的

排列數(shù)，用符號(hào)4：表示.

〃I

(2)排列數(shù)的公式：〃(〃一1)(〃-2)???(?-m+1)=----:——.

特例：當(dāng)冽=〃時(shí)，4M=〃!=〃(〃一1)(〃—2)…3?2?1；規(guī)定0!=1.

1

(3)排列數(shù)的性質(zhì)：①普="父二;②4"=‘一4"”=’^《；③4"=桎3

n-mn-m

(4)解排列應(yīng)用題的基本思路：

通過(guò)審題，找出問(wèn)題中的元素是什么，是否與順序有關(guān)，有無(wú)特殊限制條件(特殊位置，特殊元素).

2.組合問(wèn)題

(1)定義：從"個(gè)不同元素中取出機(jī)(小W")個(gè)元素并成一組，叫做從〃個(gè)不同元素中取出加個(gè)元素的一個(gè)

組合；從〃個(gè)不同元素中取出加(加(〃)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從〃個(gè)不同元素中取出機(jī)個(gè)元素的組

合數(shù)，用符號(hào)表示.

(2)組合數(shù)公式及其推導(dǎo)，求從〃個(gè)不同元素中取出加個(gè)元素的排列數(shù)4”，可以按以下兩步來(lái)考慮:

第一步，先求出從這〃個(gè)不同元素中取出加個(gè)元素的組合數(shù)C：”；

第二步，求每一個(gè)組合中加個(gè)元素的全排列數(shù)4”；

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到M=c:?黑;因此c；=且="（"一1）（〃-2）…（〃-加+1）.

M7"!

〃I

這里〃，me7V,且冽（〃，這個(gè)公式叫做組合數(shù)公式.因?yàn)?；=/、，

+\n-my.

Y>I

所以組合數(shù)公式還可表示為：C；=,、.特例c：=c；=i.

注釋：組合數(shù)公式的推導(dǎo)方法是一種重要的解題方法！在以后學(xué)習(xí)排列組合的混合問(wèn)題時(shí)，一般都是

按先取后排（先組合后排列）的順序解決問(wèn)題.

（3）組合數(shù)的主要性質(zhì)：①c：=c7"；②G：+CR=C禽.

題型一排列數(shù)的計(jì)算

【例1】A\C：=（）

A.56B.32C.50D.48

【例2】已知3A；=4A],則x等于（)

A.6B.13C.6或13D.12

【例3】【多選】下列等式中成立的是（)

A.A：=(〃一2)A：

B.n

Yl

C."=A：D.-A：L=A：

n-m

題型二組合數(shù)的計(jì)算

【例1】已知喏=C：尸，則X可能取值為（）

A.4B.5C.6或7D.5或7

ii7

【例2】已知E-奇=行所，則5+5+1+禺+2+/+3+￡片的值為_(kāi)_____（用數(shù)字作答）?

C/公1ULZ7

題型三捆綁法（相鄰問(wèn)題，用捆綁法，注意內(nèi)部存在一定的順序）

[例1]4名男生2名女生排成一排，要求兩名女生排在一起的排法總數(shù)為（）

A.48B.96C.120D.240

【例2】（2022?新高考II）甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和

丁相鄰，則不同的排列方式共有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

題型四插空法（不相鄰問(wèn)題用插空法，先排列不受限的事物，再插孔不相鄰的事物）

【例1】五聲音階（漢族古代音律）是按五度的相生順序，從宮音開(kāi)始到羽音，依次為宮，商，角，徵，羽.若

將這五個(gè)音階排成一列，形成一個(gè)音序，且要求宮、羽兩音節(jié)不相鄰，可排成不同的音序的種數(shù)為（）

A.12種B.48種C.72種D.120種

【例2】高三（一）班學(xué)生要安排畢業(yè)晚會(huì)的4個(gè)音樂(lè)節(jié)目，2個(gè)舞蹈節(jié)目和1個(gè)曲藝節(jié)目的演出順序，要

求2個(gè)舞蹈節(jié)目不連排，則共有種不同的排法.

題型五特殊元素（位置）法（限制條件下，優(yōu)先考慮并滿足有限制的事物，然后再考慮不受限的事物）

【例1】甲乙丙丁4名同學(xué)站成一排拍照，若甲不站在兩端，不同排列方式有（）

A.6種B.12種C.36種D.48種

【例2】從6名短跑運(yùn)動(dòng)員中選出4人參加4x100m接力賽，甲不能跑第一棒和第四棒，問(wèn)共有種參

賽方案.

【例3】（2023?乙卷）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1

種相同的選法共有（）

A.30種B.60種C.120種D.240種

【例4】某校準(zhǔn)備下一周舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)，甲、乙、丙、丁4位同學(xué)報(bào)名參加48,C,。這4個(gè)項(xiàng)目的比賽，每

人只報(bào)名1個(gè)項(xiàng)目，任意兩人不報(bào)同一個(gè)項(xiàng)目，甲不報(bào)名參加A項(xiàng)目，則不同的報(bào)名方法種數(shù)有（）

A.18B.21C.23D.72

題型六間接法（正難則反）

［例1］某小學(xué)從2位語(yǔ)文教師，4位數(shù)學(xué)教師中安排3人到西部三個(gè)省支教，每個(gè)省各1人，且至少有1

位語(yǔ)文教師入選，則不同安排方法有（）種.

A.16B.20C.96D.120

【例2】從甲、乙等5人中任選3人參加三個(gè)不同項(xiàng)目的比賽，要求每個(gè)項(xiàng)目都有人參加，則甲、乙中至少有

1人入選的不同參賽方案共有種.

題型七重排問(wèn)題求塞策略（解決可重復(fù)問(wèn)題）

【例1】有5名學(xué)生報(bào)名參加3項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，則不同的報(bào)名方法的種數(shù)為（）

A.243B.125C.60D.120

【例2】甲、乙、丙、丁4名同學(xué)爭(zhēng)奪數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)3門學(xué)科知識(shí)競(jìng)賽的冠軍，且每門學(xué)科只有1名冠

軍產(chǎn)生，有種不同的冠軍獲得情況.

題型八組合問(wèn)題

【例1】（2023?新高考II）某學(xué)校為了了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作

抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)

生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）

A.種B.黑種

c.C嘉C禽種D.CMC北種

[例2]（2023?新高考I）某學(xué)校開(kāi)設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選

修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）.

[例3]（2020?上海）從6個(gè)人挑選4個(gè)人去值班，每人值班一天，第一天安排1個(gè)人，第二天安排1個(gè)

人，第三天安排2個(gè)人，則共有種安排情況.

題型九分組分配問(wèn)題

1.平均分組問(wèn)題

【例1】導(dǎo)師制是高中新的教學(xué)探索制度，班級(jí)科任教師作為導(dǎo)師既面向全體授課對(duì)象，又對(duì)指定的若干學(xué)

生的個(gè)性、人格發(fā)展和全面素質(zhì)提高負(fù)責(zé).已知有3位科任教師負(fù)責(zé)某學(xué)習(xí)小組的6名同學(xué)，每2名同學(xué)

由1位科任教師負(fù)責(zé)，則不同的分配方法的種數(shù)為（）

A.90B.15C.60D.180

【例2】為提升教育教學(xué)質(zhì)量，促進(jìn)各分校區(qū)發(fā)展，西南大學(xué)附屬中學(xué)開(kāi)展本部一分校區(qū)聯(lián)合教研.現(xiàn)計(jì)劃

從本部派出7男2女共9名老師到A、8、C三個(gè)分校區(qū)開(kāi)展教研，每個(gè)校區(qū)三人，則有（）種安排方

案.

A.1050B.1680C.2940D.3360

2.不平均分組問(wèn)題

【例1】現(xiàn)有高校進(jìn)入高中校園組織招生宣傳，4名男生、3名女生去參加A,B兩所高校的志愿填報(bào)咨詢會(huì),

每個(gè)學(xué)生只能去其中的一所學(xué)校，且要求每所學(xué)校都既有男生又有女生參加，則不同的安排方法數(shù)是（）

A.42B.60C.84D.120

【例2】教育扶貧是我國(guó)重點(diǎn)扶貧項(xiàng)目，為了縮小教育資源的差距，國(guó)家鼓勵(lì)教師去鄉(xiāng)村支教，某校選派了

5名教師到N、B,C三個(gè)鄉(xiāng)村學(xué)校去支教，每個(gè)學(xué)校至少去1人，每名教師只能去一個(gè)學(xué)校，不同的選派

方法數(shù)有（）種

A.25B.60C.90D.150

題型十排列組合混合問(wèn)題先選后排策略

【例1】（2020?新課標(biāo)H）4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小

區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有種.

［例2］將6名實(shí)習(xí)教師分配到5所學(xué)校進(jìn)行培訓(xùn)，每名實(shí)習(xí)教師只能分配到1個(gè)學(xué)校，每個(gè)學(xué)校至少分配

1名實(shí)習(xí)教師，則不同的分配方案共有（）

A.600種B.900種C.1800種D.3600種

【例3】為了落實(shí)立德樹(shù)人的根本任務(wù)，踐行五育并舉，某校開(kāi)設(shè)4員C三門德育校本課程，現(xiàn)有甲、乙、

丙、丁四位同學(xué)參加校本課程的學(xué)習(xí)，每位同學(xué)僅報(bào)一門，每門至少有一位同學(xué)參加，則不同的報(bào)名方法有

（）

A.72種B.60種C.54種D.36種

題型十一定序問(wèn)題倍縮法（排列中涉及到定序的問(wèn)題，則用除法，出去多著全排列中涉及到順序的問(wèn)題）

【例1】某4位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相時(shí)，又來(lái)了2位同學(xué)要加入，如果保持原來(lái)4位同學(xué)的相對(duì)順序不變,

則不同的加入方法種數(shù)為（）

A.10B.20C.24D.30

【例2】花燈，又名“彩燈”“燈籠”，是中國(guó)傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)時(shí)代的文化產(chǎn)物，兼具生活功能與藝術(shù)特色.如圖，現(xiàn)有

懸掛著的6盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，則不同取法總數(shù)為

題型十二隔板法（相同元素的分配問(wèn)題，用插板法進(jìn)行求解）

【例1】10個(gè)三好學(xué)生名額分到7個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少一個(gè)名額，有（）種不同分配方案?

A.9B.36C.84D.120

題型十三合理分類與分步策略（多面手問(wèn)題）

［例1］我校去年11月份，高二年級(jí)有10人參加了赴日本交流訪問(wèn)團(tuán)，其中3人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞,

其余5人既能唱歌又能跳舞.現(xiàn)要從中選6人上臺(tái)表演，3人唱歌，3人跳舞，有（）種不同的選法.

A.675B.575C.512D.545

題型十四涂色問(wèn)題（先分配好顏色，再進(jìn)行涂色，最后加法合并到一起）

求解涂色（種植）問(wèn)題一般是直接利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解，常用方法有：

（1）按區(qū)域的不同以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)，用分步乘法計(jì)數(shù)原理分析；

（2）以顏色（種植作物）為主分類討論，適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”問(wèn)題，用分類加法計(jì)數(shù)原理分析；

（3）對(duì)于涂色（立方體）問(wèn)題將空間問(wèn)題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域涂色問(wèn)題

【例1】（2010?天津）如圖，用四種不同顏色給圖中的/,B,C,D,E,尸六個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)

涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法有（）

A.288種B.264種C.240種D.168種

【例2】（2003?全國(guó)）如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏

色.現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種.（以數(shù)字作答）

題型十五標(biāo)號(hào)排位問(wèn)題（不配對(duì)問(wèn)題）

【例1】將數(shù)字1,2,3,4填入標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所

填數(shù)字均不相同的填法有（）

A、6種B、9種C、11種D、23種

【例2】（2024?新高考II）在如圖的4x4方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中,

則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格的4個(gè)數(shù)之和的最大值是

11213140

12223342

13223343

15243444

題型十六環(huán)排問(wèn)題線排策略

［例I］如圖，某手鏈由10顆較小的珠子（每顆珠子相同）和11顆較大的珠子（每顆珠子均不相同）串成，若10

顆小珠子必須相鄰，大珠子的位置任意，則該手鏈不同的串法有（）

OA.4；種B.B■種C.4；種D.9種

題型十七構(gòu)造模型策略

【例1】某排共有10個(gè)座位，安排4人就坐.若每人左右兩邊都有空位，則不同的坐法有