2026年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破-二次函數(shù)與四邊形一、綜合題1．已知，如圖拋物線y=ax2+3ax+c(a>0（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)D是線段AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求四邊形AOCD面積的最大值；（3）若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上.是否存在以A，C，E，P為頂點(diǎn)且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=2x+6與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交點(diǎn)C，拋物線y=?2x（1）求拋物線的解析式．（2）在直線AC上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)E，連接BE，與直線AC相交于點(diǎn)F，當(dāng)EF=1（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)E位于對(duì)稱軸左側(cè)，點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)以M，N，E，B為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形OABC是平行四邊形，點(diǎn)A(4，0)，∠AOC=60°，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為3，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，連接OD，將線段OD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)給出如下定義：如果拋物線y=ax2+bx(a≠0)（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，此時(shí)關(guān)于點(diǎn)A，E的“伴隨拋物線”的解析式為；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接CE，①當(dāng)CE取最小值時(shí)，求關(guān)于點(diǎn)A，E的“伴隨拋物線”的解析式；②若關(guān)于點(diǎn)A，E的“伴隨拋物線”y=ax4．如圖所示，在坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣34x2（1）求拋物線的解析式；（2）在AC上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P．①如圖1，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某位置時(shí)，以AP，AO為鄰邊的平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)恰好也在拋物線上，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；②如圖2，過(guò)點(diǎn)O，P的直線y＝kx（k＜0）交AC于點(diǎn)E，若PE：OE＝5：6，求k的值．5．如圖，拋物線y=ax2+bx+6經(jīng)過(guò)A(?2，0)、B(4，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m(1<m<4)，連結(jié)AC、BC、DB（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．（2）當(dāng)△BCD的面積等于△AOC的面積的34時(shí)，求m（3）當(dāng)m=2時(shí)，若點(diǎn)M是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)B、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．已知拋物線C1（1）當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí)，求自變量x的取值范圍；（2）將拋物線C1先向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移n個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線C2（如圖所示），拋物線（3）D為拋物線C2的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作拋物線C2的對(duì)稱軸l的垂線，垂足為G，交拋物線7．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=ax2+bx?3經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(6（1）①求拋物線的函數(shù)表達(dá)式②并直接寫出直線AD的函數(shù)表達(dá)式．（2）點(diǎn)E是直線AD下方拋物線上一點(diǎn)，連接BE交AD于點(diǎn)F，連接BD，DE，△BDF的面積記為S1，△DEF的面積記為S2，當(dāng)（3）點(diǎn)G為拋物線的頂點(diǎn)，將拋物線圖象中x軸下方部分沿x軸向上翻折，與拋物線剩下部分組成新的曲線為C1，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′，點(diǎn)G的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G′，將曲線C1，沿y軸向下平移n個(gè)單位長(zhǎng)度（0<n<6）．曲線8．如圖1，拋物線y＝ax2+x+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0），B（6，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸，垂足為D，PD交直線BC于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）設(shè)線段PE的長(zhǎng)度為h，請(qǐng)用含有m的代數(shù)式表示h；（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥CE，垂足為F，當(dāng)CF＝EF時(shí)，請(qǐng)求出m的值；（4）如圖3，連接CP，當(dāng)四邊形OCPD是矩形時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q，使原點(diǎn)O關(guān)于直線CQ的對(duì)稱點(diǎn)O′恰好落在該矩形對(duì)角線所在的直線上，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+2經(jīng)過(guò)A（?12，0），B（3，（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P在拋物線上，過(guò)P作PD⊥x軸，交直線BC于點(diǎn)D，若以P、D、O、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；（3）拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使∠QCB＝45°？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）將△ABC沿AC所在直線折疊，得到△ADC，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．并求出四邊形OADC的面積；（3）點(diǎn)P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠PCB=∠ABC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．11．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2?bx（b是常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，0)．點(diǎn)A在拋物線上，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m（m≠0）．以點(diǎn)A為中心，構(gòu)造正方形PQMN（1）求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式：（2）若點(diǎn)B是拋物線上一點(diǎn)，且在拋物線對(duì)稱軸左側(cè)．過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)C，連接BC．當(dāng)BC=4時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（3）若m>0，當(dāng)拋物線在正方形內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y隨x的增大而增大時(shí)，或者y隨x的增大而減小時(shí)，求m的取值范圍；（4）當(dāng)拋物線與正方形PQMN的邊只有2個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為3412．如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=?x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）連接DA，DC，CB，CA，如圖①所示，求證：∠DAC=∠BCO；（3）如圖②，延長(zhǎng)DC交x軸于點(diǎn)M，平移二次函數(shù)y=?x2+bx+c的圖象，使頂點(diǎn)D沿著射線DM方向平移到點(diǎn)D1且CD1=2CD，得到新拋物線y13．如圖，已知直線y＝43x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y＝ax2（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）D是第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，求四邊形ABCD面積S的最大值及此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，Q，使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為對(duì)角線的菱形？若存在，請(qǐng)求出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．14．如圖，拋物線y=ax2+2x+c的對(duì)稱軸是直線x=1，與x軸交于點(diǎn)A，B(3，0)，與y（1）求此拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，DM交直線BC于點(diǎn)N，是否存在這樣的點(diǎn)N，使得以A，C，N為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）已知點(diǎn)E是拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)B、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=?12x2+bx+52與x軸交于點(diǎn)A(1，0)，拋物線的對(duì)稱軸l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，且點(diǎn)B在拋物線上，作直線AB．P是該拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交AB（1）求b的值；（2）當(dāng)點(diǎn)P在拋物線A，B兩點(diǎn)之間時(shí)，求線段PQ長(zhǎng)度的最大值；（3）矩形PQMN與此拋物線相交，拋物線被截得的部分圖象記作G，G的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m，最低點(diǎn)縱坐標(biāo)為n．當(dāng)m?n=2時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．答案解析部分1．【答案】（1）解：∵B的坐標(biāo)為（1，0），∴OB＝1.∵OC＝3OB＝3，點(diǎn)C在x軸下方，∴C（0，?3）.∵將B（1，0），C（0，?3）代入拋物線的解析式得：4a+c=0c=?3，解得：a=∴拋物線的解析式為y＝34x2＋9（2）解：如圖1所示：過(guò)點(diǎn)D作DE∥y，交AC于點(diǎn)E.∵x＝?b2a＝?∴A（?4，0）.∴AB＝5.∴S△ABC＝12AB?OC＝1設(shè)AC的解析式為y＝kx＋b.∵將A（?4，0）、C（0，?3）代入得：?4k+b=0b=?3，解得：k=?∴直線AC的解析式為y＝?34設(shè)D（a，34a2＋94a?3），則E（a，?∵DE＝?34a?3?（34a2＋94a?3）＝?3∴當(dāng)a＝?2時(shí)，DE有最大值，最大值為3.∴△ADC的最大面積＝12DE?AO＝1∴S四邊形ABCD=S△ABC＋S△ACD=7.5+6=13.5，∴四邊形ABCD的面積的最大值為13.5.（3）解：存在P1（?3，?3），P2（?3?412，3），P3（【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用；二次函數(shù)-動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題【解析】【解答】（3）解：存在.①如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CP1∥x軸交拋物線于點(diǎn)P1，過(guò)點(diǎn)P1作P1E1∥AC交x軸于點(diǎn)E1，此時(shí)四邊形ACP1E1為平行四邊形.∵C（0，?3），令34x2＋9∴x1＝0，x2＝?3.∴P1（?3，?3）.②平移直線AC交x軸于點(diǎn)E2，E3，交x軸上方的拋物線于點(diǎn)P2，P3，當(dāng)AC＝P2E2時(shí)，四邊形ACE2P2為平行四邊形，當(dāng)AC＝P3E3時(shí)，四邊形ACE3P3為平行四邊形.∵C（0，?3），∴P2，P3的縱坐標(biāo)均為3.令y＝3得：34x2＋94x?3＝3，解得；x1＝?3?412，x∴P2（?3?412，3），P3（綜上所述，存在3個(gè)點(diǎn)符合題意，坐標(biāo)分別是：P1（?3，?3），P2（?3?412，3），P3（【分析】（1）根據(jù)OC＝3OB，B（1，0），求出C點(diǎn)坐標(biāo)（0，?3），把點(diǎn)B，C的坐標(biāo)代入y＝ax2＋3ax＋c，求出a、c的值即可求出函數(shù)解析式；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DE∥y軸交線段AC于點(diǎn)E，根據(jù)對(duì)稱軸直線公式求出對(duì)稱軸直線，并結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，設(shè)D（a，34a2＋94a?3），則E（a，?34a?3），然后求出DE的表達(dá)式，根據(jù)S四邊形ABCD=S△ABC＋S△ACD，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值；

（3）①如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CP1∥x軸交拋物線于點(diǎn)P1，過(guò)點(diǎn)P1作P1E1∥AC交x軸于點(diǎn)E1，此時(shí)四邊形ACP1E1為平行四邊形，②平移直線AC交x軸于點(diǎn)E2，E3，交x軸上方的拋物線于點(diǎn)P2，P3，當(dāng)AC＝P2E2時(shí)，四邊形ACE2P2為平行四邊形，當(dāng)AC＝P3E3時(shí)，四邊形ACE3P3為平行四邊形，由題意可知點(diǎn)P22．【答案】（1）解：在y=2x+6中，當(dāng)x=0時(shí)y=6，當(dāng)y=0時(shí)x=?3，∴C(0，∵拋物線y=?2x∴?18?3b+c=0c=6解得b=?4c=6∴拋物線的解析式為y=?2（2）解：令?2x2?4x+6=0，解得x1=?3，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為t，則E(t，如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，則EH∥FG，∴△BFG∽△BEH，∵EF=1∴BFBE∵BH=1?t，∴BG=2∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為13∴F(1∴?2t∴t2解得t1=?2，當(dāng)t1=?2時(shí)，當(dāng)t2=?1時(shí)，∴E1(?2（3）解：M的坐標(biāo)為(?1，?4)【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用；二次函數(shù)-動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題【解析】【解答】（3）∵點(diǎn)M在對(duì)稱軸上，∴xM∵點(diǎn)E位于對(duì)稱軸左側(cè)，∴E(①當(dāng)EB為平行四邊形的邊時(shí)，分兩種情況：（Ⅰ）點(diǎn)N在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，BM為對(duì)角線，∵E(?2，6)，x∴xN=1+1=2，當(dāng)x=2時(shí)，∴N(由平移可得yM∴M(（Ⅱ）點(diǎn)N在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，BN為對(duì)角線，∵xM=?1，B(1，∴xN當(dāng)x=?4時(shí)，y=?2×(∴N(由平移可得yM∴M(②當(dāng)EB為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，則EN∥MB，∵B(1，0)∴1+(∴xN當(dāng)x=0時(shí)，y=6，∴N∵EN∥MB∴M綜上所述，M的坐標(biāo)為(?1，?4)或【分析】（1）先求出點(diǎn)C、A的坐標(biāo)，再將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入y=?2x2+bx+c求出b、c的值即可；

（2）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為t，則E(t，?2t2?4t+6)，根據(jù)△BFG∽△BEH，可得BG=23BH=23?23t，再求出F(133．【答案】（1）(?1，3（2）解：①由旋轉(zhuǎn)可知，點(diǎn)E在線段C′B′上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥C′由題意可知，CC由旋轉(zhuǎn)可知，△OBC?△OB∴C∵∠OC∴∠B′C∴C′E=1∴ME=12，∴E(?12，332)∴16a+4b=0解得a=∴關(guān)于點(diǎn)A，E的“伴隨拋物線”的解析式為：y=233x2【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)-動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題；定義新運(yùn)算【解析】【解答】（1）解：如下圖，連接CE，過(guò)點(diǎn)E作E'作x軸的垂線于點(diǎn)E′，過(guò)點(diǎn)C作CC∴CC∵∠AOC=60∴OC=2，由旋轉(zhuǎn)可知，OE=OC=2，∠EOC=60∴△COE是等邊三角形，∴∠EOE∴OE'=1，∴E(?1，將A(4，0)，E(?1，∴16a+4b=0解得a=∴拋物線的解析式為：y=3∴當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(?1，3)（2）②如①中的圖，過(guò)點(diǎn)B′作x軸的平行線，交MN∴B′P=2∴B'將B'(1，33∴16a+4b=0解得a=?∴拋物線的解析式為：y=?3結(jié)合圖象可知，a的取值范圍為：35<a<2【分析】（1）連接CE，過(guò)點(diǎn)E作E'作x軸的垂線于點(diǎn)E′，過(guò)點(diǎn)C作CC′⊥x軸于點(diǎn)C′，由旋轉(zhuǎn)可知，OE=OC=2，∠EOC=60°，得出△COE是等邊三角形，則∠EOE'=60°，解直角三角形得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，將A、E的坐標(biāo)代入拋物線解析式即可得出結(jié)論；

（2）①由旋轉(zhuǎn)可知，點(diǎn)E在線段C4．【答案】（1）解：∵直線y＝x＋8經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，∴A點(diǎn)坐標(biāo)是（?8，0），點(diǎn)C坐標(biāo)是（0，8），又∵拋物線過(guò)A，C兩點(diǎn)，∴?3解得：b=?5c=8∴y=?3（2）解：①如圖1，∵由（1）知，拋物線解析式是y=?3∴拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝?b2a=∵以AP，AO為鄰邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)Q恰好也在拋物線上，∴PQ∥AO，PQ＝AO＝8．∵P，Q都在拋物線上，∴P，Q關(guān)于直線x＝?103∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是?223∴當(dāng)x＝?223時(shí)，y＝?3∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是（?223，13②如圖2，過(guò)P點(diǎn)作PF∥OC交AC于點(diǎn)F，∵PF∥OC，∴△PEF∽△OEC，∴PEOE又∵PE：OE＝5：6，OC＝8，∴PF＝203∵點(diǎn)F在AC上，∴設(shè)點(diǎn)F（x，x＋8），∴（﹣34x2-5x+8）?（x＋8）＝20化簡(jiǎn)得：（x＋4）2＝649解得：x1＝?203，x2＝?4∴P點(diǎn)坐標(biāo)是（?203，8）或（?43，又∵點(diǎn)P在直線y＝kx上，∴把（?203，8）或（?43，∴k＝?65【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用；二次函數(shù)-動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；

（2）①先求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是?223，再將x＝?223代入函數(shù)解析式求出y的值，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②過(guò)P點(diǎn)作PF∥OC交AC于點(diǎn)F，根據(jù)△PEF∽△OEC，可得PEOE=PFOC，求出PF的長(zhǎng)，再設(shè)點(diǎn)F（x，x＋8），根據(jù)題意列出方程（﹣5．【答案】（1）解：由拋物線交點(diǎn)式表達(dá)式得：y=a(x+2)(x?4)=a(x即?8a=6，解得：a=?3故拋物線的表達(dá)式為：y=?3（2）解：由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)C(0，6)，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，得直線BC的表達(dá)式為：y=?3如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)D(m，?34m則S△BDC∴3即：2(?3解得：m=1或3(舍去1)，故m=3；（3）解：當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)D(2，6)，設(shè)點(diǎn)M(x，0)，點(diǎn)N(t，n)，則n=?3①當(dāng)BD是邊時(shí)，點(diǎn)B向左平移1個(gè)單位向上平移6個(gè)單位得到點(diǎn)D，同樣點(diǎn)M(N)向左平移1個(gè)單位向上平移6個(gè)單位得到點(diǎn)N(M)，故x?1=t0+6=n或x+1=t聯(lián)立①②并解得：x=3t=2n=6或故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，0)或(33?12②當(dāng)BD是對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)公式得：12聯(lián)立①③并解得m=3n=6故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4，0)；綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，0)或(33?12，0)或【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；平行四邊形的性質(zhì)；二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用；二次函數(shù)-動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題【解析】【分析】（1）由A、B的坐標(biāo)可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-4)=a(x2-2x-8)=ax2-2ax-8a，則-8a=6，求出a的值，進(jìn)而可得拋物線的解析式；

（2）由拋物線的表達(dá)式知C（0，6），求出直線BC的解析式，過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)H，設(shè)D（m，?34m2+32m+6），則H（m，?32m+6），根據(jù)三角形的面積公式表示出S△BDC，結(jié)合題意可得m的值；

（3）當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)D（2，6），設(shè)M（x，0），N（t，n），則n=?34t26．【答案】（1）解：∵拋物線y=?12(m2+1)x2?(m+1)x?1與x軸有公共點(diǎn)，∴(m+1)2?4×[?1（2）解：由題意，得y=?(x+1?n)2+4=?x2?2(1?n)x?n2+2n+3，當(dāng)y＝0時(shí)，?(x+1?n（3）證明：由（2）可知：拋物線C2的解析式為y＝－（x－1）2+4．∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－1，0）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4），拋物線C2的對(duì)稱軸是直線x＝1，∵點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，3）．∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1，3）．設(shè)直線BE解析式為y＝kx+b，∴?k+b=0，2k+b=3.解得：k=1，b=1.∴y＝x+1．當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1+1＝2．點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，2）．∴FG＝EG＝DG＝CG＝1．【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)-動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題【解析】【分析】（1）先求出(m+1)2?4×[?12(m27．【答案】（1）解：①把點(diǎn)B(6，0)和點(diǎn)D(4，?3)代入得：36a+6b?3=016a+4b?3=?3，解得：a=②直線AD的解析式為y=?1（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸交AD于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥x軸交AD于點(diǎn)H，當(dāng)x=6時(shí)，y=?12×6?1=?4，∴點(diǎn)H（6，-4），即BH=4，設(shè)點(diǎn)E(m，14m2?m?3)，則點(diǎn)G(m，?12m?1)，∴EG=(?12m?1)?(14m2?m?3)=?14m2+1（3）解：點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1?13【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)-動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題【解析】【解答】（1）②令y=0，則14x2∴點(diǎn)A（-2，0），設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b∴把點(diǎn)D(4，?3)和點(diǎn)A（-2，0）代入得：4k+b1=?3?2k+b(3)y=1∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2，-4），當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，即點(diǎn)C（0，-3），∴點(diǎn)C′(0，3)，∴向上翻折部分平移后的函數(shù)解析式為y=?14(x?2)2+4?n，平移后拋物線剩下部分的解析式為y=14∴直線BC的解析式為y=12x?3，同理直線C∴BC∥C′G′，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(s，12s?3)，∴點(diǎn)C′向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到點(diǎn)G′，∵四邊形C′∴點(diǎn)Q(s+2，?14(s?2)2+4?n=12s?3?14(s+2?2)2+4?n=12s?2【分析】（1）①利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

②先求出點(diǎn)A（-2，0），再求出k=?12b1=?18．【答案】（1）解：∵拋物線y＝ax2+x+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0），B（6，0）兩點(diǎn)，∴4a?2+c=036a+6+c=0解得：a=?1∴拋物線的表達(dá)式為y＝?14x（2）解：∵拋物線y＝?14x∴C（0，3），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，把B（6，0）、C（0，3）代入，得：6k+b=0b=3解得：k=?1∴直線BC的解析式為y＝﹣12設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則P（m，?14m2+m+3），E（m，﹣∴h＝?14m2+m+3﹣（﹣12m+3）＝?14∵點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴0＜m＜6，∴h＝?14m2+（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)E、F分別作EH⊥y軸于點(diǎn)H，F(xiàn)G⊥y軸于點(diǎn)G，∵P（m，?14m2+m+3），E（m，﹣∴PE＝?14m2+∵PF⊥CE，∴∠EPF+∠PEF＝90°，∵PD⊥x軸，∴∠EBD+∠BED＝90°，又∵∠PEF＝∠BED，∴∠EPF＝∠EBD，∵∠BOC＝∠PFE＝90°，∴△BOC∽△PFE，∴EFPE＝OC在Rt△BOC中，BC＝OB2+OC2∴EF＝OCBC×PE＝335（?14m2+32m）＝55∵EH⊥y軸，PD⊥x軸，∴∠EHO＝∠EDO＝∠DOH＝90°，∴四邊形ODEH是矩形，∴EH＝OD＝m，∵EH//x軸，∴△CEH∽△CBO，∴CEEH＝BCOB，即CEm∴CE＝52∵CF＝EF，∴EF＝12CE＝5∴54m＝55（?14m解得：m＝0或m＝1，∵0＜m＜6，∴m＝1；（4）解：∵拋物線y＝?14x∴拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣12×∵點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，∴設(shè)Q（2，t），設(shè)拋物線對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)H，交CP邊于點(diǎn)G，則GQ＝3﹣t，CG＝2，∠CGQ＝90°，①當(dāng)點(diǎn)O′恰好落在該矩形對(duì)角線OD所在的直線上時(shí)，如圖，則CQ垂直平分OO′，即CQ⊥OD，∴∠COP+∠OCQ＝90°，又∵四邊形OCPD是矩形，∴CP＝OD＝4，OC＝3，∠OCP＝90°，∴∠PCQ+∠OCQ＝90°，∴∠PCQ＝∠COP，∴tan∠PCQ＝tan∠COP＝CPOC＝4∴GQCG＝tan∠PCQ＝4∴3?t2＝4解得：t＝13∴Q（2，13②當(dāng)點(diǎn)O′恰好落在該矩形對(duì)角線CD上時(shí)，如圖，連接CD交GH于點(diǎn)K，∵點(diǎn)O與點(diǎn)O′關(guān)于直線CQ對(duì)稱，∴CQ垂直平分OO′，∴∠OCQ＝∠DCQ，∵GH//OC，∴∠CQG＝∠OCQ，∴∠DCQ＝∠CQG，∴CK＝KQ，∵C、P關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，即點(diǎn)G是CP的中點(diǎn)，GH//OC//PD，∴點(diǎn)K是CD的中點(diǎn)，∴K（2，32∴GK＝32∴CK＝KQ＝32在Rt△CKG中，CG2+GK2＝CK2，∴22+（32）2＝（32﹣t）解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣1，∴Q（2，﹣1）；③當(dāng)點(diǎn)O′恰好落在該矩形對(duì)角線DC延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)O′作O′K⊥y軸于點(diǎn)K，連接OO′交CQ于點(diǎn)M，∵點(diǎn)O與點(diǎn)O′關(guān)于直線CQ對(duì)稱，∴CQ垂直平分OO′，∴∠OCM＝∠O′CM，∠OMC＝∠O′MC＝90°，O′C＝OC＝3，∵∠O′KC＝∠DOC＝90°，∠O′CK＝∠DCO，∴△O′CK∽△DCO，∴O′KOD＝CKCO＝CO′CD∴O′K＝125，CK＝9∴OK＝OC+CK＝3+95＝24∴O′（﹣125，24∵點(diǎn)M是OO′的中點(diǎn)，∴M（﹣65，12設(shè)直線CQ的解析式為y＝k′x+b′，則?6解得：k′∴直線CQ的解析式為y＝12當(dāng)x＝2時(shí)，y＝12∴Q（2，4）；綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，13【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)-動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

（2）利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y＝﹣12x+3，再求出0＜m＜6，最后求解即可；

（3）利用相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理計(jì)算求解即可；

9．【答案】（1）解：將點(diǎn)A(?12，0)，B(（2）解：設(shè)點(diǎn)P(m，?m2+72m+2)，對(duì)于二次函數(shù)y=?x2+72x+2，當(dāng)x=0時(shí)，y=2，即C(0，2)，CO=2，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+c，將點(diǎn)B(3，72)，C(0，2)代入得：3k+c=72c=2，解得k=12c=2，則直線BC（3）解：①如圖，當(dāng)Q在BC下方時(shí)，過(guò)B作BH⊥CQ于H，過(guò)H作MN⊥y軸，交y軸于M，過(guò)B作BN⊥MH于N，∴∠BHC＝∠CMH＝∠HNB＝90°，∴∠CHM+∠BHN＝∠HBN+∠BHN＝90°，∴∠CHM＝∠HBN，∵∠QCB＝45°，∴△BHC是等腰直角三角形，∴CH＝HB，∴△CHM≌△HBN（AAS），∴CM＝HN，MH＝BN，設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為H(s，t)，則2?t=3?ss=72?t，解得s=94t=54，即H(94，54)，設(shè)直線CH的解析式為y=px+q，將點(diǎn)C(0，2同理可得：此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(12，72)，綜上，存在這樣的點(diǎn)Q，點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)-動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

（2）先求出直線BC

的解析式為y=12x+210．【答案】（1）解：將A(?2，0)，B(8，0)，0=4a?2b+c0=64a+8b+c4=c，解得所以，拋物線的表達(dá)式為y=?1（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于E，∴∠DEB=∠COB=90°，∵A(?2，0)，B(8，∴AB=10，∵AB∴△ABC為直角三角形且∠ACB=90°，將△ABC沿AC所在直線折疊，得到△ADC，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，此時(shí)，點(diǎn)B、C、D三點(diǎn)共線，BC=DC，S△ABC∵∠DBE=∠CBO，∴△DBE～△CBO，∴DB∴OB=OE=8，∴D(?8，∴四邊形OADC的面積=S（3）解：當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，∵∠PCB=∠ABC，∴CP∥x軸，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，即4=?1解得x=6或0（舍去）∴P(6，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，設(shè)直線CP交x軸于F，∵∠PCB=∠ABC，∴CF=BF，設(shè)OF=t，則CF=BF=8?t，在Rt△COF中，由勾股定理得OC即42解得t=3，∴F(3，∵C(0，∴設(shè)直線CF的解析式為y=kx+4，即0=3k+4，解得k=?4∴直線CF的解析式為y=?4令?43x+4=?當(dāng)x=343∴P(34綜上，P(6，4)或【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)-動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

（2）利用勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積公式計(jì)算求解即可；

（3）分類討論，列方程計(jì)算求解即可。11．【答案】（1）解：∵拋物線y=x2∴4?2b=0解得b=2∴y=x由y=則對(duì)稱軸為直線x=1，設(shè)B(m，m∵BC=2?m?m=4解得m=?1∴B(?1，3)（3）解：∵點(diǎn)A在拋物線上，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m（m≠0）．以點(diǎn)A為中心，構(gòu)造正方形PQMN，PQ=2|m|，且∴MN=PQ=2|m|，且M，N在①當(dāng)拋物線在正方形內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y隨x的增大而增大時(shí)，如圖，當(dāng)正方形PQMN點(diǎn)Q在x軸上時(shí)，此時(shí)M與O點(diǎn)重合，∵PN=PQ∴OP的解析式為y=x∴A(m，m)，將A(m即m解得m∵m>0∴A(3，3)觀察圖形可知，當(dāng)②當(dāng)拋物線在正方形內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y隨x的增大而減小時(shí)，當(dāng)PQ經(jīng)過(guò)拋物線的對(duì)稱軸x=1時(shí)，∵M(jìn)Q=PQ=2|m|，m>0∴2m=1解得觀察圖形可知，當(dāng)0<m≤1綜上所述，m的取值范圍為0<m≤12（4）解：①如圖，設(shè)正方形與拋物線的交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，當(dāng)y∵A是正方形PQMN的中心，A(m∴|xA②如圖，當(dāng)A點(diǎn)在拋物線左側(cè)，y軸右側(cè)時(shí)，∵A(m，m2?2m)∴MN=2m∴∴F的縱坐標(biāo)為m∵F的橫坐標(biāo)為MQ=PQ=2m∴F(2m，m2?m?∴m2③當(dāng)A在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，正方形與拋物線的交點(diǎn)分別為O，S，設(shè)直線AM交x軸于點(diǎn)T，如圖，則y∴OM=OT=34設(shè)直線MN解析式為y=kx+b則3解得k=?1∴直線MN解析式為y=?x+聯(lián)立y=解得x1即A的橫坐標(biāo)為32，即m=綜上所述，m=?38或m=1【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)-動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可得解；

（2）設(shè)B(m，m2?2m)，則C(2?m，m2?2m)，由BC的值，即可得出m的值，從而得出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（3）①當(dāng)拋物線在正方形內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y隨x的增大而增大時(shí)，如圖，當(dāng)正方形PQMN點(diǎn)Q在x軸上時(shí)，此時(shí)M與O點(diǎn)重合，②當(dāng)拋物線在正方形內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y隨x的增大而減小時(shí)，當(dāng)PQ經(jīng)過(guò)拋物線的對(duì)稱軸x=1時(shí)，分兩種情況求解即可；

（4）①如圖，設(shè)正方形與拋物線的交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，當(dāng)yE?yF=34時(shí)，則MN=34，②12．【答案】（1）解：由題意得，?b∴b=?2c=3∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=?x（2）證明：∵當(dāng)x=?1時(shí)，y=?1?2×(?1)+3=4，∴D(?1，由?xx1=?3，∴A(?3，0)，B(1，0)∴AD∵C(0，∴CD2=∴AC∴∠ACD=90°，∴tan∠DAC=∵∠BOC=90°，∴tan∠BCO=∴∠DAC=∠BCO；（3）解：如圖，作DE⊥y軸于E，作D1∴DE∥FD∴△DEC∽△D∴CFCE∴FD1=2DE=2∴D1∴y1的關(guān)系式為：y=?由?(x?2)x=3或x=1，∴M(3，當(dāng)x=0時(shí)，y=?3，∴N(0，設(shè)P(2，當(dāng)四邊形MNQP是平行四邊形時(shí)，∴MN∥PQ，PQ=MN，∴Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為?1，當(dāng)x=?1時(shí)，y=?(?1?2)∴Q(?1，當(dāng)四邊形MNPQ是平行四邊形時(shí)，同理可得：點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為：5，當(dāng)x=5時(shí)，y=?(5?2)∴Q′綜上所述：點(diǎn)Q(?1，?8)或（5，【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)-動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得出?b2×(?1)=?1c=3，即可得出b、c的值，即可得出二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）當(dāng)x=?1時(shí)，y=?1?2×(?1)+3=4，得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，由?x2?2x+3=0得出x的值，從而得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，得出AD2=(?1+3)2+42=20，推出AC2+CD2=AD2，利用正切值得出13．【答案】（1）解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，∴C（0，4），當(dāng)y＝0時(shí)，43∴x＝﹣3，∴A（﹣3，0），∵對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，∴B（1，0），∴設(shè)拋物線的表達(dá)式：y＝a（x﹣1）?（x+3），∴4＝﹣3a，∴a＝﹣43∴拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣43（x﹣1）?（x+3）＝﹣43x2﹣（2）解：如圖1，作DF⊥AB于F，交AC于E，∴D（m，﹣43m2﹣8∴DE＝﹣43m2﹣83m+4﹣（43∴S△ADC＝12DE?OA＝32?（﹣43m∵S△ABC＝12AB?OC＝∴S＝﹣2m2﹣6m+6＝﹣2（m+32）2+33∴當(dāng)m＝﹣32時(shí)，S最大＝33當(dāng)m＝﹣32時(shí)，y＝﹣4∴D（﹣32（3）解：設(shè)P（﹣1，n），∵以A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為對(duì)角線的菱形，∴PA＝PC，即：PA2＝PC2，∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，∴n＝138∴P（﹣1，138∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝y(tǒng)A+yC∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4﹣138＝19∴Q（﹣2，198【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)-動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可得解；

（2）作DF⊥AB于F，交AC于E，得出點(diǎn)D、E的坐標(biāo)，推出DE的值，根據(jù)三角形面積公式求出的值，根據(jù)S△ABC＝6，得出S＝﹣2m2﹣6m+6＝﹣2（m+32）2+334，當(dāng)m＝﹣32時(shí)，S最大＝334，當(dāng)m＝﹣32時(shí)，y＝5，由此得解；

（3）設(shè)P（﹣1，n），由以A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為對(duì)角線的菱形，得出PA214．【答案】（1）解：∵拋物線y=ax2+2x+c∴?2∵拋物線過(guò)點(diǎn)B(3，∴?9+6+c=0，解得：c=3，∴拋物線解析式為y=?（2）解：存在這樣的點(diǎn)N，使得以A，C，N為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.理由如下：令y=0，則?x解得：x1∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），∴OA=1，當(dāng)x=0時(shí)，y=3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），即OC=3，∴AC設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b(k≠0)，把點(diǎn)B（3，0），C（0，3）代入得：3k+b=0b=3，解得：k=?1∴直線BC的解析式為y=?x+3，設(shè)點(diǎn)N（m，-m+3），∴MN=-m+3，AM=m+1，∴AN2=當(dāng)AC=AN時(shí)，2m解得：m=2或0（舍去），∴此時(shí)點(diǎn)N（2，1）；當(dāng)AC=CN時(shí)，2m解得：m=5或?∴此時(shí)點(diǎn)N(5當(dāng)AN=CN時(shí)，2m解得：m=5∴此時(shí)點(diǎn)N(5綜上所述，存在這樣的點(diǎn)N（2，1）或(5，?5+3)或(52（3）解：存在點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，1）或（-2，1）或(2，3+1