2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院何曉群《多元統(tǒng)計(jì)分析》第5版1第1章多元正態(tài)分布及其抽樣分布§1.1多元分布的基本概念§1.2統(tǒng)計(jì)距離§1.3多元正態(tài)分布§1.4均值向量和協(xié)方差陣的估計(jì)§1.5常用分布及抽樣分布2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心2第1章多元正態(tài)分布一元正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)學(xué)的理論和實(shí)際應(yīng)用中都有著重要的地位。同樣，在多變量統(tǒng)計(jì)學(xué)中，多元正態(tài)分布也占有相當(dāng)重要的位置。原因是：許多隨機(jī)向量確實(shí)遵從正態(tài)分布，或近似遵從正態(tài)分布；對(duì)于多元正態(tài)分布，已有一整套統(tǒng)計(jì)推斷方法，并且得到了許多完整的結(jié)果。目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心3第1章多元正態(tài)分布

多元正態(tài)分布是最常用的一種多元概率分布。除此之外，還有多元對(duì)數(shù)正態(tài)分布，多項(xiàng)式分布，多元超幾何分布，多元分布、多元分布、多元指數(shù)分布等。本章從多維變量及多元分布的基本概念開(kāi)始，著重介紹多元正態(tài)分布的定義及一些重要性質(zhì)。目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心4§1.1多元分布的基本概念目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束§1.1.1隨機(jī)向量§1.1.2分布函數(shù)與密度函數(shù)§1.1.3多元隨機(jī)向量的獨(dú)立性§1.1.4隨機(jī)向量的數(shù)字特征2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心5§1.1.1隨機(jī)向量表示對(duì)同一個(gè)體觀測(cè)的個(gè)變量。若觀測(cè)了個(gè)個(gè)體，則可得到如下表1-1的數(shù)據(jù)，稱每一個(gè)個(gè)體的個(gè)變量為一個(gè)樣品，而全體個(gè)樣品形成一個(gè)樣本。假定所討論的是多個(gè)變量的總體，所研究的數(shù)據(jù)是同時(shí)觀測(cè)個(gè)指標(biāo)（即變量），又進(jìn)行了次觀測(cè)得到的，把這個(gè)指標(biāo)表示為常用向量目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心6…n

…2…1…變量序號(hào)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束§1.1.1隨機(jī)向量2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心7因此,樣本資料矩陣可用矩陣語(yǔ)言表示為:定義1.1

設(shè)為個(gè)隨機(jī)變量，由它們組成的向量稱為隨機(jī)向量。目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束§1.1.1隨機(jī)向量若無(wú)特別說(shuō)明，本書(shū)所稱向量均指列向量如,全國(guó)各省市、自治區(qū)城鎮(zhèn)居民消費(fèi)便為一隨機(jī)向量，2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院何曉群《多元統(tǒng)計(jì)分析》第五版8表：2023年各地區(qū)城鎮(zhèn)居民家庭平均每人全年消費(fèi)性支出X=(食品,衣著,居住,家庭設(shè)備用品及服務(wù),醫(yī)療保健,交通和通信,教育文化娛樂(lè)服務(wù),雜項(xiàng)商品和服務(wù))具體數(shù)據(jù)略§1.1.1隨機(jī)向量2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9定義1.2

設(shè)是一隨機(jī)向量，它的多元分布函數(shù)是

式中，，并記成?！?.1.2分布函數(shù)與密度函數(shù)描述隨機(jī)變量的最基本工具是分布函數(shù)，類似地描述隨機(jī)向量的最基本工具還是分布函數(shù)。目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束多元分布函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)此處從略。2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心10§1.1.2分布函數(shù)與密度函數(shù)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義1.3：設(shè)=,若存在一個(gè)非負(fù)的函數(shù)

,使得對(duì)一切成立，則稱

（或

）有分布密度

并稱

為連續(xù)型隨機(jī)向量。一個(gè)

維變量的函數(shù)

能作為

中某個(gè)隨機(jī)向量的分布密度，當(dāng)且僅當(dāng)2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心11§1.1.3多元隨機(jī)向量的獨(dú)立性目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束對(duì)一切成立。若

為的聯(lián)合分布函數(shù)，分別為

和

的分布函數(shù)，則

與

獨(dú)立當(dāng)且僅當(dāng)（1.4）定義1.4：兩個(gè)隨機(jī)向量

和

稱為是相互獨(dú)立的，若注意:在上述定義中，和的維數(shù)一般是不同的。若有密度

，用分別表示

和的分布密度，則

和

獨(dú)立當(dāng)且僅當(dāng)

(1.5)2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心12類似地,設(shè)X1,X2,…,Xk(k≥3)為k個(gè)多元隨機(jī)向量,若它們的聯(lián)合分布函數(shù)等于各自分布函數(shù)的乘積,則稱k個(gè)隨機(jī)向量X1,X2,…,Xk相互獨(dú)立。由X1,X2,…,Xk相互獨(dú)立可以推知任何Xi與Xj(i≠j)獨(dú)立;但是,若已知任何Xi與Xj(i≠j)獨(dú)立,并不能推出X1,X2,…,Xk相互獨(dú)立?！?.1.3多元隨機(jī)向量的獨(dú)立性2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心13§1.1.4隨機(jī)向量的數(shù)字特征是一個(gè)

維向量，稱為均值向量.目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束當(dāng)為常數(shù)矩陣時(shí)，由定義可立即推出如下性質(zhì)：1、隨機(jī)向量

的均值設(shè)有個(gè)分量。若

存在，定義隨機(jī)向量

的均值為)(????éPPm)()6.1)(

)((2121μX=úúúúùêêêêé=úúúúùêêêê=XEXEXEEmm2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心142025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心15§1.1.4隨機(jī)向量的數(shù)字特征目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2、隨機(jī)向量的協(xié)方差陣稱它為

維隨機(jī)向量

的協(xié)方差陣，簡(jiǎn)稱為

的協(xié)方差陣。稱為

的廣義方差，它是協(xié)差陣的行列式之值。2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心16目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束§1.1.4隨機(jī)向量的數(shù)字特征3、隨機(jī)向量X和Y的協(xié)差陣設(shè)分別為

維和

維隨機(jī)向量，它們之間的協(xié)方差陣定義為一個(gè)

矩陣，其元素是，即

當(dāng)A、B為常數(shù)矩陣時(shí)，由定義可推出協(xié)差陣有如下性質(zhì)：2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心17目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束§1.1.4隨機(jī)向量的數(shù)字特征（3）設(shè)X為維隨機(jī)向量，期望和協(xié)方差存在記則對(duì)于任何隨機(jī)向量

來(lái)說(shuō)，其協(xié)差陣∑都是對(duì)稱陣，同時(shí)總是非負(fù)定（也稱半正定）的。大多數(shù)情形下是正定的。2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心18目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束§1.1.4隨機(jī)向量的數(shù)字特征4、隨機(jī)向量X的相關(guān)陣若隨機(jī)向量的協(xié)差陣存在,且每個(gè)分量的方差大于零，則X的相關(guān)陣定義為:

也稱為分量

與

之間的（線性）相關(guān)系數(shù)。2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心19在數(shù)據(jù)處理時(shí)，為了克服由于指標(biāo)的量綱不同對(duì)統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果帶來(lái)的影響，往往在使用某種統(tǒng)計(jì)分析方法之前，常需將每個(gè)指標(biāo)“標(biāo)準(zhǔn)化”，即做如下變換目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束§1.1.4隨機(jī)向量的數(shù)字特征2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心20§1.2統(tǒng)計(jì)距離目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束歐氏距離馬氏距離2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心21§1.2統(tǒng)計(jì)距離歐氏距離

在多指標(biāo)統(tǒng)計(jì)分析中,距離的概念十分重要,樣品間的不少特征都可用距離去描述。大部分多元方法是建立在簡(jiǎn)單的距離概念基礎(chǔ)上的。即平時(shí)人們熟悉的歐氏距離,或稱直線距離.如幾何平面上的點(diǎn)p=(x1,x2)到原點(diǎn)O=(0,0)的歐氏距離,依勾股定理有目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心22§1.2統(tǒng)計(jì)距離但就大部分統(tǒng)計(jì)問(wèn)題而言，歐氏距離是不能令人滿意的。這里因?yàn)椋總€(gè)坐標(biāo)對(duì)歐氏距離的貢獻(xiàn)是同等的。當(dāng)坐標(biāo)軸表示測(cè)量值時(shí)，它們往往帶有大小不等的隨機(jī)波動(dòng)，在這種情況下，合理的辦法是對(duì)坐標(biāo)加權(quán)，使得變化較大的坐標(biāo)比變化小的坐標(biāo)有較小的權(quán)系數(shù)，這就產(chǎn)生了各種距離。歐氏距離還有一個(gè)缺點(diǎn)，這就是當(dāng)各個(gè)分量為不同性質(zhì)的量時(shí)，“距離”的大小竟然與指標(biāo)的單位有關(guān)。

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心23§1.2統(tǒng)計(jì)距離目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例如，橫軸代表重量（以kg為單位），縱軸

代表長(zhǎng)度（以cm為單位）。有四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D見(jiàn)圖1.1，它們的坐標(biāo)如圖1.1所示2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心24§1.2統(tǒng)計(jì)距離目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束這時(shí)顯然AB比CD要長(zhǎng)。現(xiàn)在，如果

用mm作單位，

單位保持不變，此時(shí)A坐標(biāo)為（0，50），C坐標(biāo)為（0，100），則結(jié)果CD反而比AB長(zhǎng)！這顯然是不夠合理的。2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心25§1.2統(tǒng)計(jì)距離目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

因此，有必要建立一種距離，這種距離要能夠體現(xiàn)各個(gè)變量在變差大小上的不同，以及有時(shí)存在著的相關(guān)性，還要求距離與各變量所用的單位無(wú)關(guān)?？磥?lái)我們選擇的距離要依賴于樣本方差和協(xié)方差。因此，采用“統(tǒng)計(jì)距離”這個(gè)術(shù)語(yǔ)，以區(qū)別通常習(xí)慣用的歐氏距離。最常用的一種統(tǒng)計(jì)距離是印度統(tǒng)計(jì)學(xué)家馬哈拉諾比斯（Mahalanobis）于1936年引入的距離，稱為“馬氏距離”。

2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心26§1.2統(tǒng)計(jì)距離和馬氏距離目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束下面先用一個(gè)一維的例子說(shuō)明歐氏距離與馬氏距離在概率上的差異。設(shè)有兩個(gè)一維正態(tài)總體。若有一個(gè)樣品，其值在A處，A點(diǎn)距離哪個(gè)總體近些呢？由圖1-2圖1-22025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心27§1.2統(tǒng)計(jì)距離目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心28§1.2統(tǒng)計(jì)距離馬氏距離設(shè)X、Y從均值向量為μ，協(xié)方差陣為∑的總體G中抽取的兩個(gè)樣品，定義X、Y兩點(diǎn)之間的馬氏距離為(1.21)

)()(),(1/2YXΣYXYX--=-dmXG(1.22)

)()(),(1/2μXΣμXX--=-Gdm的馬氏距離為與總體定義目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心29§1.2統(tǒng)計(jì)距離設(shè)表示一個(gè)點(diǎn)集，表示距離，它是到的函數(shù)，可以證明,馬氏距離符合如下距離的四條基本公理:；（1），（2）當(dāng)且僅當(dāng)；（3）（4）目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心30§1.3多元正態(tài)分布

多元正態(tài)分布是一元正態(tài)分布的推廣。迄今為止,多元分析的主要理論都是建立在多元正態(tài)總體基礎(chǔ)上的,多元正態(tài)分布是多元分析的基礎(chǔ)。另一方面，許多實(shí)際問(wèn)題的分布常是多元正態(tài)分布或近似正態(tài)分布，或雖本身不是正態(tài)分布，但它的樣本均值近似于多元正態(tài)分布。本節(jié)將介紹多元正態(tài)分布的定義，并簡(jiǎn)要給出它的基本性質(zhì)。目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心31§1.3多元正態(tài)分布目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束§1.3.1多元正態(tài)分布的定義§1.3.2多元正態(tài)分布的性質(zhì)§1.3.3條件分布和獨(dú)立性2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心32§1.3.1多元正態(tài)分布的定義|∑|為協(xié)差陣∑的行列式。目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

定義1.5：若

元隨機(jī)向量

的概率密度函數(shù)為：則稱遵從

元正態(tài)分布，也稱X為

元正態(tài)變量。記為2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心33。§1.3.1多元正態(tài)分布的定義2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心34§1.3.1多元正態(tài)分布的定義2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心354.用結(jié)構(gòu)方法（Hsu.P.L.）注：上述方法2-4是等價(jià)的?！?.3.1多元正態(tài)分布的定義2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心36定理1.1將正態(tài)分布的參數(shù)μ和∑賦于了明確的統(tǒng)計(jì)意義。有關(guān)這個(gè)定理的證明可參見(jiàn)文獻(xiàn)[3]。目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束§1.3.1多元正態(tài)分布的定義定理1.1：設(shè)

則

2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心37§1.3.2多元正態(tài)分布的性質(zhì)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1、如果正態(tài)隨機(jī)向量

的協(xié)方差陣∑是對(duì)角陣，則X的各分量是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。證明參見(jiàn)文獻(xiàn)[4]，p.33。

容易驗(yàn)證，

，但

顯然不是正態(tài)分布。2、多元正態(tài)分布隨機(jī)向量X的任何一個(gè)分量子集的分布（稱為X的邊緣分布）仍然遵從正態(tài)分布。而反之，若一個(gè)隨機(jī)向量的任何邊緣分布均為正態(tài)，并不能導(dǎo)出它是多元正態(tài)分布。例如，設(shè)

有分布密度2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心38§1.3.2多元正態(tài)分布的性質(zhì)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心39§1.3.3條件分布和獨(dú)立性目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

我們希望求給定

的條件分布，即的分布。下一個(gè)定理指出：正態(tài)分布的條件分布仍為正態(tài)分布。設(shè)

p≥2,將X、μ和Σ剖分如下：則多元正態(tài)分布的任何邊緣分布仍為正態(tài)分布；反之，一個(gè)隨機(jī)向量的任何邊緣分布均為正態(tài)，并不能導(dǎo)出它是多元正態(tài)分布。2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心40證明參見(jiàn)文獻(xiàn)[3]。目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束§1.3.3條件分布和獨(dú)立性定理1.2：設(shè)

，Σ>0，則2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心41

(1.28)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束§1.3.3條件分布和獨(dú)立性定理1.3設(shè)

，Σ>0，將X，μ，Σ剖分如下：2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心42則有如下的條件均值和條件協(xié)差陣的遞推公式：(1.29)

(1.30)

其中，證明參見(jiàn)[3]目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束§1.3.3條件分布和獨(dú)立性2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心43服裝標(biāo)準(zhǔn)例子科民(1976),運(yùn)用條件分布的理論修定我國(guó)服裝國(guó)家標(biāo)準(zhǔn),應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2,62-74女14個(gè)部位(X1:身高，X2：胸圍，X3：腰圍，X4：上體長(zhǎng)，X5：臀圍等;男12個(gè)部位(身高)等.2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心44定理1.2和定理1.3在20世紀(jì)70年代中期為國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)部門制定服裝標(biāo)準(zhǔn)時(shí)有成功的應(yīng)用，見(jiàn)參考文獻(xiàn)[3]。在制定服裝標(biāo)準(zhǔn)時(shí)需抽樣進(jìn)行人體測(cè)量，現(xiàn)從某年齡段女子測(cè)量取出部分結(jié)果如下：X1：身高，X2：胸圍，X3：腰圍，X4：上體長(zhǎng)，X5：臀圍，已知它們遵從N5（μ，Σ），其中2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心452025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心462025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心47再利用（1.30）式得

2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心48這說(shuō)明,若已知一個(gè)人的上體的長(zhǎng)和臀圍,則身高、胸圍和腰圍的條件方差比原來(lái)的方差大大縮小。

此時(shí)我們可看到2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心49在定理1.2中，我們給出了對(duì)X、μ和Σ作形如(1.25)式剖分時(shí)條件協(xié)差陣的表達(dá)式及其與非條件協(xié)差陣的關(guān)系，令表示的元素，則可以定義偏相關(guān)系數(shù)的概念如下：定義1.6：當(dāng)給定時(shí)，與的偏相關(guān)系數(shù)為：目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束§1.3.3條件分布和獨(dú)立性2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心50

偏相關(guān)系數(shù)以x1表示某種商品的銷售量，

x2表示消費(fèi)者人均可支配收入，

x3表示商品價(jià)格。從經(jīng)驗(yàn)上看，銷售量x1與消費(fèi)者人均可支配收入x2之間應(yīng)該有正相關(guān)，簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)r12應(yīng)該是正的。但是如果你計(jì)算出的r12是個(gè)負(fù)數(shù)也不要感到驚訝，這是因?yàn)檫€有其它沒(méi)有被固定的變量在發(fā)揮影響，例如商品價(jià)格x3在這期間大幅提高了。反映固定x3后x1與x2相關(guān)程度的偏相關(guān)系數(shù)r12；3會(huì)是個(gè)正數(shù)。2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心51§1.3.3條件分布和獨(dú)立性

在上面制定服裝標(biāo)準(zhǔn)的例子中,給出X4和X5時(shí),X1與X2,X1與X3,X2與X3的偏相關(guān)系數(shù)分別為:2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心52目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束§1.3.3條件分布和獨(dú)立性定理1.4：設(shè)將X、μ、Σ按同樣方式剖分為其中，

證明參見(jiàn)文獻(xiàn)[3]2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心53§1.4均值向量和協(xié)方差陣的估計(jì)上節(jié)已經(jīng)給出了多元正態(tài)分布的定義和有關(guān)的性質(zhì),在實(shí)際問(wèn)題中,通常可以假定被研究的對(duì)象是多元正態(tài)分布,但分布中的參數(shù)μ和Σ是未知的,一般的做法是通過(guò)樣本來(lái)估計(jì)。目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心54§1.4均值向量和協(xié)方差陣的估計(jì)均值向量的估計(jì)在一般情況下,如果樣本資料陣為：目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心55§1.4均值向量和協(xié)方差陣的估計(jì)即均值向量μ的估計(jì)量,就是樣本均值向量.這可由極大似然法推導(dǎo)出來(lái)。推導(dǎo)過(guò)程參見(jiàn)文獻(xiàn)[3]。目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束設(shè)樣品相互獨(dú)立,同遵從于P元正態(tài)分布

,而且

,Σ>0,則總體參數(shù)均值μ的估計(jì)量是2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心56§1.4均值向量和協(xié)方差陣的估計(jì)協(xié)方差陣的估計(jì)總體參數(shù)協(xié)差陣Σ的極大似然估計(jì)是目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心57§1.4均值向量和協(xié)方差陣的估計(jì)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束其中L是離差陣，它是每一個(gè)樣品（向量）與樣本均值（向量）的離差積形成的n個(gè)

階對(duì)稱陣的和。同一元相似，不是Σ的無(wú)偏估計(jì)，為了得到無(wú)偏估計(jì)我們常用樣本協(xié)差陣作為總體協(xié)差陣的估計(jì)。2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心58【補(bǔ)充定理】1.5設(shè)為由總體中抽取的樣本，，則和的極大似然估計(jì)是和。此時(shí)，似然函數(shù)的極大值為其實(shí)，曾有引理：（1）與立獨(dú)，（2）2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心59注：回歸系數(shù)、相關(guān)系數(shù)、條件協(xié)差陣和偏相關(guān)系數(shù)都是和的函數(shù)，如果我們想獲得它們的極大似然估計(jì)，能否將和的極大似然估計(jì)和來(lái)代替和到原來(lái)的函數(shù)中，從而獲得它們的極大似然估計(jì)呢？這個(gè)結(jié)論在很寬的條件下都是對(duì)的，在部分情況下可用如下充分條件：2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心60設(shè)的極大似然估計(jì)是，而且變換是一一映射的，則的極大似然估計(jì)是例如相關(guān)系數(shù)

其中的最大似然估計(jì)是，其中條件協(xié)差陣的最大似然估計(jì)是?；貧w系數(shù)2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心61§1.5常用分布及抽樣分布多元統(tǒng)計(jì)研究的是多指標(biāo)問(wèn)題,為了了解總體的特征,通過(guò)對(duì)總體抽樣得到代表總體的樣本,但因?yàn)樾畔⑹欠稚⒃诿總€(gè)樣本上的,就需要對(duì)樣本進(jìn)行加工,把樣本的信息濃縮到不包含未知量的樣本函數(shù)中,這個(gè)函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量,如前面介紹的樣本均值向量、樣本離差陣等都是統(tǒng)計(jì)量.統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布.在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用的抽樣分布有分布、分布和分布.在多元統(tǒng)計(jì)中,與之對(duì)應(yīng)的分布分別為Wishart分布、

分布和Wilks分布.目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心62§1.5常用分布及抽樣分布1.5.2分布與分布1.5.1分布與Wishart分布1.5.3中心分布與Wilks分布目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心63分布有兩個(gè)重要的性質(zhì):§1.5.1分布與Wishart分布在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中,若(),且相互獨(dú)立,則所服從的分布為自由度為的分布(chisquareddistribution),記為.目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1、若,且相互獨(dú)立,則稱為相互獨(dú)立的具有可加性2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心642.設(shè)(),且相互獨(dú)立,為個(gè)階對(duì)稱陣,且(階單位陣),記,則為相互獨(dú)立的分布的充要條件為.此時(shí),.這個(gè)性質(zhì)稱為Cochran定理,在方差分析和回歸分析中起著重要作用.目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束§1.5.1分布與Wishart分布2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心65目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束§1.5.1分布與Wishart分布2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心66由Wishart分布的定義知,當(dāng)時(shí),退化為,此時(shí)中心Wishart分布就退化為,由此可以看出,Wishart分布實(shí)際上是分布在多維正態(tài)情形下的推廣.下面不加證明的給出Wishart分布的5條重要性質(zhì):目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束§1.5.1分布與Wishart分布2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心673.若,為非奇異陣,則,為任一4.若元常向量,滿足則

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束§1.5.1分布與Wishart分布2.若且相互獨(dú)立,則2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心68特別的,設(shè)和分別為和的第個(gè)對(duì)角元,則：5.若,為任一元非零常向量,比值目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束§1.5.1分布與Wishart分布2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心69§1.5.2分布與分布在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中,若,,且與相互獨(dú)立,則稱服從自由度為的分布,又稱為學(xué)生分布(studentdistribution),記為.如果將平方,即,則,即分布的平方服從第一自由度為1第二自由度為的中心分布.目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2025/9/5中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心70中心分布可化為中心分布,其關(guān)系為