第二十四章圓概念地圖知識(shí)歸納24.1圓的基本性質(zhì)1.圓的有關(guān)概念(1)圓的定義在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓，如圖.其中固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑，以點(diǎn)O為圓心的圓記作“⊙O”，讀作“圓O”．圓也可以看成是到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合，此定點(diǎn)為圓心，定長為半徑．(2)弦連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦．如上圖，線段AB即為⊙O中的一條弦．(3)直徑經(jīng)過圓心的弦叫做直徑．如上圖，線段BC即為⊙O中的一條直徑．(4)?、賵A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧．以A、B為端點(diǎn)的弧記作AB，讀作“弧AB”．②圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．③任意一條非直徑的弦把圓分成為不同的兩條弧，大于半圓的叫優(yōu)弧，一般用三個(gè)大寫字母表示，如BAD；小于半圓的叫劣弧，如AB.(5)半圓圓上任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．(6)同心圓圓心相同、半徑不等的兩個(gè)圓稱為同心圓．(7)等圓半徑相等的兩個(gè)圓為等圓．(8)等弧在同圓或等圓中能夠互相重合的弧叫做等?。臼痉独}】1.因?yàn)橹睆绞窍?，所以半徑也是弦?×)2.直徑是弦，弦是直徑．(×)3.已知A為⊙O內(nèi)一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A的直徑有1條或無數(shù)條．(√)4.半圓是弧，但弧不一定是半圓．(√)5.半徑相等的兩個(gè)半圓是等?。?√)6.長度相等的兩條弧是等弧．(×)【答案】1.×；2.×；3.√；4.√；5.√；6.×【解析】1.弦是連接圓上兩點(diǎn)的線段，直徑是經(jīng)過圓心的弦，而半徑的一端在圓心，另一端在圓上，因此“半徑是弦”的說法是錯(cuò)誤的；2.直徑是經(jīng)過圓心的弦，但弦不一定過圓心，故“弦是直徑”的說法是錯(cuò)誤的；3.點(diǎn)A是圓心內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)它不是圓心時(shí)，過這一點(diǎn)只可以作一條直徑；當(dāng)點(diǎn)A是圓心時(shí)，過A有無數(shù)條直徑，故正確；4.半圓是被直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分成的弧，故正確；5.半徑相等的兩個(gè)圓是等圓，等圓中的兩個(gè)半圓當(dāng)然能夠完全重合，故正確；6.長度相等的兩條弧可以是在半徑不相等的兩個(gè)圓中，故錯(cuò)誤．【點(diǎn)撥】理解圓的有關(guān)概念時(shí)，需要注意弦與直徑、弧與半圓、同圓與等圓之間的關(guān)系．2.垂直于弦的直徑(重點(diǎn))(1)圓的對(duì)稱性①圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線(即直徑所在的直線)都是圓的對(duì)稱軸，圓的對(duì)稱軸有無數(shù)條；②圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是它的圓心；圓還具有旋轉(zhuǎn)不變性，即圓繞它的圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都能和它本身重合．(2)垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。鐖D，如果⊙O中的直徑AB⊥CD于E，則有CE＝ED，AC＝AD，BC＝BD成立．(3)垂徑定理的推論平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條?。缟蠄D，如果⊙O中的直徑AB交CD于E，且CE＝ED，則有AB⊥CD，AC＝AD，BC＝BD成立．【要點(diǎn)透析】垂徑定理的使用條件圓內(nèi)一條直徑；(2)直徑垂直弦．結(jié)論可簡記為“兩平分”，即：(1)直徑平分弦；(2)直徑平分弦所對(duì)的?。臼痉独}】⊙O的直徑AB垂直弦CD于P，且P是半徑OB的中點(diǎn)，CD＝6cm，則直徑AB的長是43cm．【答案】4【解析】如圖，連接OD，由AB⊥CD于P可知PD＝CP＝3cm，且OD＝2OP，OP2＋DP2＝OD2，設(shè)OP＝xcm，則有x2＋32＝(2x)2，解得x＝3，所以AB＝4x＝43cm.【破題妙招】計(jì)算圓中的半徑、弦長、弦心距等問題，通常的方法是利用垂徑定理構(gòu)造由半徑、弦的一半、圓心到弦的垂線段為三邊的直角三角形，再利用勾股定理求解．在半徑、弦長、弦心距中，知道了任意兩個(gè)量，就可以求出第三個(gè)量．3.圓心角定理(重點(diǎn))(1)圓心角頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．(2)圓心角定理在同圓或等圓中，有以下結(jié)論成立：①相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等；②如果兩條弧相等，則它們所對(duì)的圓心角、所對(duì)的弦相等；③如果兩條弦相等，則它們所對(duì)的圓心角、所對(duì)的弧相等．【敲黑板】圓心角定理的注意點(diǎn)使用圓心角定理，不要忽略“同圓或等圓”(即兩個(gè)圓的半徑應(yīng)相等)這個(gè)條件．如果兩個(gè)圓的半徑不相等，則相等的圓心角所對(duì)的弦、弧不相等．(2)注意“在同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的弧相等”這個(gè)定理中，兩條弧應(yīng)同為優(yōu)弧或同為劣?。臼痉独}】如圖，已知AB和CD是⊙O上的兩條直徑，AE為弦．若AE∥CD，求證：DE＝DB.【答案】見解析【解析】連接OE，∵AE∥CD，∴∠1＝∠E，∠2＝∠A.又∵OA＝OE，∴∠A＝∠E，∴∠1＝∠2，∴DE＝DB.【解題總結(jié)】在圓中解決有關(guān)圓心角(或弧、弦)的倍分關(guān)系時(shí)，可以運(yùn)用圓心角、弧、弦之間的關(guān)系．4.圓周角(重點(diǎn))(1)圓周角頂點(diǎn)在圓周上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓心角．(2)圓周角定理在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．(3)圓周角定理的推論①在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等；②半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑；③圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；④如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．【示范例題】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A＝50°，∠ABC＝60°，BD是⊙O的直徑，BD交AC于點(diǎn)E，連接DC，則∠AEB等于()．A．70°B．110°C．90°D．120°【答案】B【解析】由同弧所對(duì)的圓周角相等，得∠A＝∠D＝50°.由直徑所對(duì)的圓周角是直角，得∠CBD＋∠D＝90°，∴∠CBD＝40°.由三角形內(nèi)角和，得∠ACB＝180°－∠A－∠ABC＝70°.由三角形外角性質(zhì)，得∠AEB＝∠ACB＋∠CBD＝70°＋40°＝110°.【解題總結(jié)】在同圓或等圓中，解決角之間關(guān)系時(shí)，可以先明確哪些是同弧或等弧所對(duì)的圓周角、圓心角，再根據(jù)圓周角定理列出角之間的倍分關(guān)系．24.2與圓有關(guān)的位置關(guān)系1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(重點(diǎn))(1)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：點(diǎn)在圓外?d>r；點(diǎn)在圓上?d＝r；點(diǎn)在圓內(nèi)?d＜r.(2)三角形的外接圓經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形．(3)三角形外接圓的作法①確定圓心：三角形兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)即為外心；②確定半徑：外心到三角形任意一個(gè)頂點(diǎn)的距離即為外接圓的半徑．特殊地，直角三角形的外心就是它的斜邊的中點(diǎn)，外接圓的半徑等于它的斜邊的一半．【要點(diǎn)透析】三角形的外心到它的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等；(2)經(jīng)過一點(diǎn)可以做無數(shù)個(gè)圓；過兩點(diǎn)可以做無數(shù)個(gè)圓，這些圓的圓心在這兩點(diǎn)的垂直平分線上；經(jīng)過同一直線上的三個(gè)點(diǎn)不能做圓；不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓．【示范例題】已知矩形ABCD的邊AB＝3cm，AD＝4cm.若以點(diǎn)A為圓心作⊙A，使B，C，D三點(diǎn)中至少有一點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一點(diǎn)在圓外，則⊙A的半徑r的取值范圍是什么？【答案】見解析【解析】連接AC.由AB＝3cm，AD＝4cm，得AC＝32若r＜3cm，則B，C，D三點(diǎn)都在⊙A外；若r＝3cm，B點(diǎn)在⊙A上，點(diǎn)C，D在⊙A外；若3cm＜r＜4cm，則B點(diǎn)在⊙A內(nèi)，點(diǎn)C，D在⊙A外；若r＝4cm，則點(diǎn)B在⊙A內(nèi)，點(diǎn)D在⊙A上，點(diǎn)C在⊙A外；若4cm＜r＜5cm，則點(diǎn)B，D在⊙A內(nèi)，點(diǎn)C在⊙A外；若r＝5cm，則點(diǎn)B，D在⊙A內(nèi)，點(diǎn)C在⊙A上；若r＞5cm，則點(diǎn)B，C，D都在⊙A內(nèi)．綜上知，當(dāng)3cm＜r＜5cm時(shí)，點(diǎn)B，C，D至少有一個(gè)在⊙A內(nèi)，且至少有一個(gè)在⊙A外．2.直線與圓的位置關(guān)系(重點(diǎn))(1)直線與圓的位置關(guān)系設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d.①相離：直線和圓沒有公共點(diǎn)，此時(shí)d>r.②相切：直線和圓有唯一的公共點(diǎn)，此時(shí)d＝r.③相交：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)d＜r.見下表：(2)圓的切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端點(diǎn)，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．【要點(diǎn)透析】使用圓的切線的判定定理證明的思路直線經(jīng)過半徑的外端點(diǎn)；(2)直線垂直于這條半徑．因此，如果已知直線和圓的公共點(diǎn)，需要證明直線與圓內(nèi)經(jīng)過這個(gè)公共點(diǎn)的半徑垂直；如果公共點(diǎn)未知，可過圓心作這條直線的垂線段，證明這條垂線段是圓的一條半徑．這兩種方法可歸納為：“有交點(diǎn)連半徑證垂直，無交點(diǎn)作垂線證半徑”．反之，如果已知一條直線是一個(gè)圓的切線，則經(jīng)過切點(diǎn)的半徑垂直于切線，在解題時(shí)這條性質(zhì)常用來構(gòu)造垂直．【示范例題】如圖所示，AB是⊙O直徑，OD⊥弦BC于點(diǎn)F，且交⊙O于點(diǎn)E，若∠AEC＝∠ODB.證明直線BD與⊙O相切．【小提示】由已知，直線BD經(jīng)過⊙O上的一點(diǎn)B，由切線的判定定理可知，還需要證明BD⊥OB，這可通過證明∠OBD＝90°來實(shí)現(xiàn)．【答案】見解析【解析】在⊙O中，可得∠AEC＝∠ABC.因?yàn)橐阎螦EC＝∠ODB，所以∠ABC＝∠D.因?yàn)镺D⊥弦BC于點(diǎn)F，所以∠OBF＋∠FOB＝90°，所以∠D＋∠FOB＝90°.所以BD⊥半徑OB于點(diǎn)B，所以直線BD與⊙O相切．(3)切線長①定義：經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)與切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長．②切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角．如圖，已知PA與⊙O相切于點(diǎn)A，PB與⊙O相切于點(diǎn)B.則有PA＝PB，∠APO＝∠BPO成立．(4)三角形的內(nèi)切圓①定義：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的外切三角形．②三角形內(nèi)切圓的作法：a.確定圓心：三角形兩個(gè)角平分線的交點(diǎn)即為內(nèi)心；b.確定半徑：內(nèi)心到三角形任意一邊的距離即為內(nèi)切圓的半徑．【拓展】相關(guān)結(jié)論如果三角形的三邊長分別為a、b、c，內(nèi)切圓半徑為r，則三角形的面積為S＝12a+b+c(2)如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，則此直角三角形的內(nèi)切圓的半徑r＝123.圓與圓的位置關(guān)系(拓展)(1)圓與圓的位置關(guān)系外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含．①外離：如果兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外離．②外切：如果兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)之外，每個(gè)圓上的其余點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外切．這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．③相交：如果兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么就說這兩個(gè)圓相交．④內(nèi)切：如果兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)之外，一個(gè)圓上的其余點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)切．這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．⑤內(nèi)含：如果兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)含．兩個(gè)圓同心，即同心圓，是兩圓內(nèi)含的一種特例．(2)兩圓位置關(guān)系的判斷由兩圓半徑和圓心距之間的數(shù)量關(guān)系確定兩圓的位置關(guān)系：設(shè)兩個(gè)圓的半徑分別為R、r，兩個(gè)圓的圓心距為d，則有：①兩圓外離?d>R＋r.②兩圓外切?d＝R＋r.③兩圓相交?R－r＜d＜R＋r(R≥r)．④兩圓內(nèi)切?d＝R－r(R>r)．⑤兩圓內(nèi)含?d＜R－r(R>r)．見下表：【示范例題】相交兩圓的半徑分別為5cm和4cm，公共弦長為6cm，求兩圓的圓心距．【答案】見解析【解析】若設(shè)兩圓分別為⊙O1，⊙O2，交點(diǎn)為A，B，此時(shí)有兩種情況：如圖，連接O1A，O2A.(1)兩圓心O1，O2在公共弦AB的兩側(cè)，如圖(1)，可知O1O2⊥AB，且AC＝BC＝12AB＝1在Rt△O2AC中，O2A＝5cm，AC＝3cm，∴O2C＝O2A2在Rt△O1AC中，O1A＝4cm，AC＝3cm，∴O1C＝O1A2?AC∴圓心距O1O2＝O1C＋O2C＝(4＋7)(cm)．(2)如圖(2)，兩圓心O1，O2在公共弦AB的同側(cè)，在Rt△O2AC中，O2C＝O2在Rt△O1AC中，O1C＝O1A2此時(shí)O1O2＝O2C－O1C＝(4－7)(cm)．綜上所述，兩圓的圓心距為(4＋7)cm或(4－7)cm.【破題】本題求相交兩圓的圓心距，沒有給出圖形，那么本題可能分成以下兩種情況：(1)圓心在公共弦的兩側(cè)；(2)圓心在公共弦的同側(cè)．24.3正多邊形和圓1.正多邊形的相關(guān)定義(1)正多邊形各條邊都相等，并且各個(gè)內(nèi)角都相等的多邊形叫做正多邊形．(2)正多邊形的中心正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心．(3)正多邊形的半徑正多邊形的外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．(4)正多邊形的中心角正多邊形每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角．(5)正多邊形的邊心距正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．2.正多邊形的計(jì)算設(shè)n表示正多邊形的邊數(shù)，R表示正多邊形的半徑，r表示邊心距，a為邊長，P表示周長，S表示面積．(1)正多邊形的內(nèi)角：n?2·180°n＝180(2)正多邊形的外角：360°(3)正多邊形的中心角：360°正多邊形的半中心角：180°(4)正多邊形的半徑：R＝r2(5)正多邊形的周長：P＝n·a；(6)正多邊形的面積：S＝12P·r＝12n·a·【示范例題】已知正六邊形的外接圓半徑為4，求這個(gè)正六邊形的中心角、邊長、周長、面積．【解題小提示】把正六邊形的各頂點(diǎn)與圓心連接，則正六邊形被劃分為六個(gè)全等的等邊三角形，再利用每個(gè)三角形的面積求正六邊形的面積．【答案】見解析【解析】正六邊形的中心角為360°6∵OA＝OF，∠AOF＝60°，∴△AOF是等邊三角形，∴AF＝OA＝4.P正六邊形ABCDEF＝4×6＝24.過O作OG⊥AF于G，∴∠1＝30°，∴AG＝2，則OG＝OA2?A∴S△AOF＝12×4×23＝43∴S正六邊形ABCDEF＝43×6＝243.【解題套路】解與正多邊形有關(guān)的問題，通常作由正多邊形邊長的一半、半徑、邊心距構(gòu)成的直角三角形，正多邊形的有關(guān)計(jì)算都可以歸結(jié)到這個(gè)直角三角形．24.4圓中的相關(guān)計(jì)算1.弧長公式n°的圓心角所對(duì)的弧長l＝nπR1802.扇形面積公式圓心角為n°的扇形面積S＝nπR2360＝12l·【劃重點(diǎn)】求扇形面積時(shí)，若已知圓心角與半徑一般用公式S＝nπR2360，若已知弧長與半徑一般用公式S＝3.弓形的面積S弓形＝S扇形－S△ABO，如圖.【示范例題】已知扇形的弧長是2π，圓心角為30°，求這個(gè)扇形的面積．【解題思路】由弧長公式l＝nπR180可出R的值，再用公式S＝nπR2360或S＝1【答案】見解析【解析】方法一：由弧長公式l＝nπR180，得30π·R解得R＝12.所以S＝nπR2360方法二：由弧長公式l＝nπR180得30π·R180＝2π，解得R所以S＝12lR＝124.5圓柱和圓錐1.圓柱(重點(diǎn))(1)圓柱的形成圓柱可以看作是由矩形繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的.如圖，把矩形ABCD繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周得到的圖形是一個(gè)圓柱．(2)圓柱的結(jié)構(gòu)①圓柱是由兩個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面圍成的．②圓柱的兩個(gè)底面是等圓，側(cè)面是一個(gè)曲面．③兩個(gè)底面之間的距離叫做圓柱的高．④如上圖，旋轉(zhuǎn)軸AB叫做圓柱的軸．⑤圓柱側(cè)面上平行于軸的線段叫做圓柱的母線，如CD.圓柱的母線長都相等，并且都等于圓柱的高．(3)圓柱的側(cè)面展開圖圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形，這個(gè)矩形的一條邊長等于圓柱的高，另一條邊長等于圓柱底面圓的周長．(4)圓柱的相關(guān)計(jì)算設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則有：①圓柱的體積：V＝πr2h；②圓柱的側(cè)面積：S側(cè)＝2πrh；③圓柱的全面積：S全＝S側(cè)＋2S底＝2πrh＋2πr2.2.圓錐(難點(diǎn))(1)圓錐的形成圓錐可以看作是由直角三角形繞其一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的.如圖，把Rt△OAB繞直角邊OA旋轉(zhuǎn)一周得到的圖形是一個(gè)圓錐．(2)圓錐的結(jié)構(gòu)①圓錐是由一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面圍成的．圓錐的底面是一個(gè)圓，側(cè)面是一個(gè)曲面．②從圓錐的頂點(diǎn)到底面圓之間的距離叫做圓錐的高．③如上圖，旋轉(zhuǎn)軸OA叫做圓錐的軸，圓錐的軸通過底面圓的圓心．④連接圓錐的頂點(diǎn)和底面圓上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線，如AB，圓錐的母線長都相等．(3)圓錐的側(cè)面展開圖圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，這個(gè)扇形的半徑等于圓錐的母線，扇形的弧等于圓錐的底面的周長．(4)圓錐的相關(guān)計(jì)算設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線為l，則有：①圓錐的體積：V＝13πr2h②圓錐的側(cè)面積：S側(cè)＝πrl；③圓錐的全面積：S全＝S側(cè)＋S底＝πrl＋πr2.【示范例題】如圖，圓錐底面半徑為1，高為15，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)繞圓錐表面一周到點(diǎn)C，AC＝3，求這只螞蟻所走最短路線的長．【答案】見解析【解析】把圓錐沿母錢SCA剪開，其側(cè)面展開得扇形，如圖(2)，AA′的長為C⊙O＝2×π×1＝2π.如圖(1)，在Rt△SOA中，SA＝SO2+A∴SC′＝SC＝SA－AC＝4－3＝1.設(shè)∠ASA′＝n°，則AA′的長為nπ·SA180，即2π＝4nπ180.得所以∠ASA′＝90°.在Rt△ASC′中(如圖(2))，AC′＝SA2+SC′2【點(diǎn)撥】螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐表面一周到點(diǎn)C所走的路線，從圖22-14(1)看是曲線，再把圓錐側(cè)面展開后，“曲線”變?yōu)橹本€，這是解答此題的關(guān)鍵．另外，在圖中，也巧妙地構(gòu)造了直角三角形，利用勾股定理求得母線的長．高頻考點(diǎn)鏈接考點(diǎn)一圓的基本性質(zhì)圓的對(duì)稱性——垂徑定理以及圓周角定理是圓的兩個(gè)重要性質(zhì)，在利用垂徑定理解題時(shí)，經(jīng)常構(gòu)造以半徑、弦心距和弦長的一半為三邊的直角三角形，利用勾股定理求解；而對(duì)于圓周角定理，一定要注意同弧所對(duì)的圓周角和圓心角間的倍半關(guān)系．【例1】(白銀)如圖，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一點(diǎn)，且OM最小值為4，則⊙O的半徑為()．A．5B．4C．3D．2【答案】A【解析】點(diǎn)M在AB間運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)M到AB的中點(diǎn)時(shí)，OM⊥AB，此時(shí)OM最小為4，AM＝3，則OA＝5，即⊙O的半徑為5.【例2】(孝感)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知∠B＝60°，則∠CAO的度數(shù)是()．A．15°B．30°C．45°D．60°【答案】B【解析】連接OC.因?yàn)椤螧＝60°，則∠AOC＝120°.在△AOC中，AO＝CO，則∠CAO＝∠ACO＝30°.考點(diǎn)二與圓有關(guān)的位置關(guān)系對(duì)于直線和圓的位置關(guān)系以及圓和圓的位置關(guān)系，既可以結(jié)合圖形來判斷，也可以從數(shù)量關(guān)系判斷；反過來，知道位置關(guān)系求有關(guān)元素，也可以從圖形和數(shù)量兩個(gè)方面入手解題．【例3】(錦州)如圖，點(diǎn)A、B在直線MN上，AB＝11cm，⊙A和⊙B的半徑均為1cm，⊙A以每秒2cm的速度自左向右運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，⊙B的半徑也不斷增大，其半徑r(cm)與時(shí)間t(秒)之間的關(guān)系式為r＝1＋t(t≥0)，當(dāng)點(diǎn)A出發(fā)后3或113【答案】3或11【解析】兩圓相切，分內(nèi)切和外切兩種情況．設(shè)兩圓外切，則1＋r＝11－2t，即1＋1＋t＝11－2t，解得t＝3；設(shè)兩圓內(nèi)切，則r－1＝11－2t，即1＋t－1＝11－2t，解得t＝113所以當(dāng)點(diǎn)A出發(fā)3秒或113【例4】(包頭)如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過點(diǎn)C的直線與AB的延長線交于點(diǎn)P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB.(1)求證：PC是⊙O的切線；(2)求證：BC＝12AB(3)點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，CM交AB于點(diǎn)N，若AB＝4，求MN·MC的值．【答案】見解析【解析】(1)∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，又∵∠COB＝2∠A，∠COB＝2∠PCB，∴∠A＝∠ACO＝∠PCB.又∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACO＋∠OCB＝90°，∴∠PCB＋∠OCB＝90°，即OC⊥CP，而OC是⊙O的半徑，∴PC是⊙O的切線．(2)∵