2025年西安交通大學(xué)少年班招生考試初試數(shù)學(xué)試題(初中組)+答案一、選擇題（每題5分，共30分）1.若實(shí)數(shù)\(a\)，\(b\)滿足\(\verta-2\vert+\sqrt{b+3}=0\)，則\(b^{a}\)的值為（）A.\(-6\)B.\(9\)C.\(8\)D.\(-8\)2.已知二次函數(shù)\(y=ax^{2}+bx+c\)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（）（此處應(yīng)給出二次函數(shù)圖象，假設(shè)圖象開口向下，對(duì)稱軸在\(y\)軸右側(cè)，與\(y\)軸交于正半軸）A.\(a\gt0\)，\(b\lt0\)，\(c\gt0\)B.\(a\lt0\)，\(b\gt0\)，\(c\gt0\)C.\(a\lt0\)，\(b\lt0\)，\(c\gt0\)D.\(a\lt0\)，\(b\gt0\)，\(c\lt0\)3.若分式\(\frac{x^{2}-1}{x-1}\)的值為\(0\)，則\(x\)的值為（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(-1\)D.\(\pm1\)4.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的\(2\)倍，則這個(gè)多邊形是（）A.四邊形B.五邊形C.六邊形D.八邊形5.已知一次函數(shù)\(y=(m-1)x+m^{2}-1\)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則\(m\)的值為（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(\pm1\)D.\(0\)6.如圖，在\(\triangleABC\)中，\(AB=AC\)，\(\angleA=36^{\circ}\)，\(BD\)平分\(\angleABC\)交\(AC\)于點(diǎn)\(D\)，則圖中等腰三角形共有（）A.\(1\)個(gè)B.\(2\)個(gè)C.\(3\)個(gè)D.\(4\)個(gè)二、填空題（每題5分，共30分）7.分解因式：\(x^{3}-4x=\)____________。8.若關(guān)于\(x\)的一元二次方程\(x^{2}+2x-k=0\)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則\(k\)的取值范圍是____________。9.已知圓錐的底面半徑為\(3\)，母線長為\(5\)，則該圓錐的側(cè)面積為____________。10.若一組數(shù)據(jù)\(2\)，\(3\)，\(x\)，\(5\)，\(7\)的平均數(shù)是\(4\)，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是____________。11.如圖，在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(AC=3\)，\(BC=4\)，以點(diǎn)\(A\)為圓心，\(AC\)長為半徑畫弧，交\(AB\)于點(diǎn)\(D\)，則\(BD\)的長為____________。12.已知\(a\)，\(b\)滿足\(a+b=3\)，\(ab=2\)，則\(a^{2}+b^{2}=\)____________。三、解答題（共90分）13.（12分）計(jì)算：\((-1)^{2025}+\vert-2\vert-(3.14-\pi)^{0}+\sqrt{16}\)。14.（12分）先化簡，再求值：\((\frac{x+2}{x^{2}-2x}-\frac{x-1}{x^{2}-4x+4})\div\frac{x-4}{x}\)，其中\(zhòng)(x=5\)。15.（12分）如圖，在平行四邊形\(ABCD\)中，\(E\)，\(F\)分別是\(AD\)，\(BC\)的中點(diǎn)，連接\(BE\)，\(DF\)。求證：四邊形\(BEDF\)是平行四邊形。16.（14分）某商場銷售一種商品，已知這種商品的進(jìn)價(jià)為每件\(60\)元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在一段時(shí)間內(nèi)，銷售量\(y\)（件）與銷售單價(jià)\(x\)（元）之間的關(guān)系為\(y=-2x+200\)。設(shè)這種商品在這段時(shí)間內(nèi)的銷售利潤為\(w\)元，求\(w\)與\(x\)之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，銷售利潤最大？最大利潤是多少元？17.（15分）如圖，在\(\triangleABC\)中，\(AB=AC\)，點(diǎn)\(D\)在\(BC\)上，且\(AD=BD\)，\(\angleBAD=40^{\circ}\)，求\(\angleCAD\)的度數(shù)。18.（15分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線\(y=kx+b\)經(jīng)過點(diǎn)\(A(-1,1)\)和點(diǎn)\(B(2,7)\)。（1）求直線\(AB\)的解析式；（2）若直線\(AB\)與\(y\)軸交于點(diǎn)\(C\)，求\(\triangleAOC\)的面積。19.（20分）已知：如圖，在\(\triangleABC\)中，\(\angleBAC=90^{\circ}\)，\(AB=AC\)，點(diǎn)\(D\)是\(BC\)的中點(diǎn)，點(diǎn)\(E\)，\(F\)分別在\(AB\)，\(AC\)上，且\(DE\perpDF\)。（1）求證：\(BE=AF\)；（2）若\(BE=3\)，\(AF=4\)，求\(EF\)的長。答案一、選擇題1.-因?yàn)閈(\verta-2\vert+\sqrt{b+3}=0\)，且\(\verta-2\vert\geq0\)，\(\sqrt{b+3}\geq0\)。-所以\(a-2=0\)，解得\(a=2\)；\(b+3=0\)，解得\(b=-3\)。-則\(b^{a}=(-3)^{2}=9\)，答案選B。2.-二次函數(shù)\(y=ax^{2}+bx+c\)，圖象開口向下，所以\(a\lt0\)。-對(duì)稱軸\(x=-\frac{2a}\gt0\)，又\(a\lt0\)，所以\(b\gt0\)。-圖象與\(y\)軸交于正半軸，所以\(c\gt0\)。答案選B。3.-分式\(\frac{x^{2}-1}{x-1}\)的值為\(0\)，則分子\(x^{2}-1=0\)且分母\(x-1\neq0\)。-由\(x^{2}-1=0\)，即\((x+1)(x-1)=0\)，解得\(x=\pm1\)，又\(x-1\neq0\)，所以\(x\neq1\)，則\(x=-1\)。答案選C。4.-設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為\(n\)，多邊形的外角和是\(360^{\circ}\)，內(nèi)角和公式為\((n-2)\times180^{\circ}\)。-已知內(nèi)角和是外角和的\(2\)倍，則\((n-2)\times180^{\circ}=2\times360^{\circ}\)。-化簡得\(n-2=4\)，解得\(n=6\)，所以這個(gè)多邊形是六邊形。答案選C。5.-因?yàn)橐淮魏瘮?shù)\(y=(m-1)x+m^{2}-1\)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)\((0,0)\)，把\((0,0)\)代入函數(shù)得\(0=(m-1)\times0+m^{2}-1\)。-即\(m^{2}-1=0\)，解得\(m=\pm1\)，又因?yàn)橐淮魏瘮?shù)\(y=kx+b\)中\(zhòng)(k\neq0\)，即\(m-1\neq0\)，\(m\neq1\)，所以\(m=-1\)。答案選B。6.-在\(\triangleABC\)中，\(AB=AC\)，\(\angleA=36^{\circ}\)，則\(\angleABC=\angleACB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angleA)=\frac{1}{2}(180-36)^{\circ}=72^{\circ}\)。-因?yàn)閈(BD\)平分\(\angleABC\)，所以\(\angleABD=\angleDBC=36^{\circ}\)。-在\(\triangleABC\)中，\(AB=AC\)，是等腰三角形；在\(\triangleABD\)中，\(\angleA=\angleABD=36^{\circ}\)，所以\(AD=BD\)，是等腰三角形；在\(\triangleBCD\)中，\(\angleBDC=180^{\circ}-\angleDBC-\angleACB=180^{\circ}-36^{\circ}-72^{\circ}=72^{\circ}\)，所以\(\angleBDC=\angleACB\)，\(BC=BD\)，是等腰三角形。共有\(zhòng)(3\)個(gè)等腰三角形。答案選C。二、填空題7.-\(x^{3}-4x=x(x^{2}-4)=x(x+2)(x-2)\)。8.-對(duì)于一元二次方程\(ax^{2}+bx+c=0(a\neq0)\)，判別式\(\Delta=b^{2}-4ac\)，當(dāng)\(\Delta\gt0\)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。-在方程\(x^{2}+2x-k=0\)中，\(a=1\)，\(b=2\)，\(c=-k\)，\(\Delta=2^{2}-4\times1\times(-k)\gt0\)。-即\(4+4k\gt0\)，\(4k\gt-4\)，解得\(k\gt-1\)。9.-圓錐的側(cè)面積公式為\(S=\pirl\)（其中\(zhòng)(r\)是底面半徑，\(l\)是母線長）。-已知\(r=3\)，\(l=5\)，則\(S=\pi\times3\times5=15\pi\)。10.-已知數(shù)據(jù)\(2\)，\(3\)，\(x\)，\(5\)，\(7\)的平均數(shù)是\(4\)，根據(jù)平均數(shù)公式\(\overline{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}\)，可得\(\frac{2+3+x+5+7}{5}=4\)。-即\(2+3+x+5+7=20\)，\(x=20-(2+3+5+7)=3\)。-把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為\(2\)，\(3\)，\(3\)，\(5\)，\(7\)，最中間的數(shù)是\(3\)，所以中位數(shù)是\(3\)。11.-在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(AC=3\)，\(BC=4\)，根據(jù)勾股定理\(AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\)。-因?yàn)橐渣c(diǎn)\(A\)為圓心，\(AC\)長為半徑畫弧，交\(AB\)于點(diǎn)\(D\)，所以\(AD=AC=3\)，則\(BD=AB-AD=5-3=2\)。12.-根據(jù)完全平方公式\((a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\)，可得\(a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab\)。-已知\(a+b=3\)，\(ab=2\)，則\(a^{2}+b^{2}=3^{2}-2\times2=9-4=5\)。三、解答題13.-計(jì)算\((-1)^{2025}+\vert-2\vert-(3.14-\pi)^{0}+\sqrt{16}\)。-因?yàn)閈((-1)^{2025}=-1\)，\(\vert-2\vert=2\)，\((3.14-\pi)^{0}=1\)（\(a^{0}=1(a\neq0)\)），\(\sqrt{16}=4\)。-所以原式\(=-1+2-1+4=4\)。14.-先化簡\((\frac{x+2}{x^{2}-2x}-\frac{x-1}{x^{2}-4x+4})\div\frac{x-4}{x}\)。-對(duì)原式中括號(hào)內(nèi)的式子進(jìn)行通分，\(x^{2}-2x=x(x-2)\)，\(x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}\)，則\(\frac{x+2}{x^{2}-2x}-\frac{x-1}{x^{2}-4x+4}=\frac{(x+2)(x-2)-x(x-1)}{x(x-2)^{2}}=\frac{x^{2}-4-x^{2}+x}{x(x-2)^{2}}=\frac{x-4}{x(x-2)^{2}}\)。-所以\((\frac{x+2}{x^{2}-2x}-\frac{x-1}{x^{2}-4x+4})\div\frac{x-4}{x}=\frac{x-4}{x(x-2)^{2}}\cdot\frac{x}{x-4}=\frac{1}{(x-2)^{2}}\)。-當(dāng)\(x=5\)時(shí)，原式\(=\frac{1}{(5-2)^{2}}=\frac{1}{9}\)。15.-證明：因?yàn)樗倪呅蝄(ABCD\)是平行四邊形，所以\(AD\parallelBC\)，\(AD=BC\)。-又因?yàn)閈(E\)，\(F\)分別是\(AD\)，\(BC\)的中點(diǎn)，所以\(DE=\frac{1}{2}AD\)，\(BF=\frac{1}{2}BC\)。-則\(DE=BF\)，又\(DE\parallelBF\)。-根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，所以四邊形\(BEDF\)是平行四邊形。16.-已知進(jìn)價(jià)為每件\(60\)元，銷售單價(jià)為\(x\)元，銷售量\(y=-2x+200\)。-銷售利潤\(w=(x-60)y=(x-60)(-2x+200)\)。-展開得\(w=-2x^{2}+200x+120x-12000=-2x^{2}+320x-12000\)。-對(duì)于二次函數(shù)\(y=ax^{2}+bx+c(a\neq0)\)，\(a=-2\lt0\)，圖象開口向下，對(duì)稱軸為\(x=-\frac{2a}=-\frac{320}{2\times(-2)}=80\)。-當(dāng)\(x=80\)時(shí)，\(w_{最大}=-2\times80^{2}+320\times80-12000=-12800+25600-12000=800\)。-所以\(w\)與\(x\)之間的函數(shù)關(guān)系式為\(w=-2x^{2}+320x-12000\)；當(dāng)銷售單價(jià)為\(80\)元時(shí)，銷售利潤最大，最大利潤是\(800\)元。17.-因?yàn)閈(AD=BD\)，\(\angleBAD=40^{\circ}\)，所以\(\angleB=\angleBAD=40^{\circ}\)。-因?yàn)閈(AB=AC\)，所以\(\angleC=\angleB=40^{\circ}\)。-在\(\triangleABC\)中，\(\angleBAC=180^{\circ}-\angleB-\angleC=180^{\circ}-40^{\circ}-40^{\circ}=100^{\circ}\)。-所以\(\angleCAD=\angleBAC-\angleBAD=100^{\circ}-40^{\circ}=60^{\circ}\)。18.-（1）因?yàn)橹本€\(y=kx+b\)經(jīng)過點(diǎn)\(A(-1,1)\)和點(diǎn)\(B(2,7)\)，把\(A(-1,1)\)，\(B(2,7)\)代入\(y=kx+b\)得\(\begin{cases}-k+b=1\\2k+b=7\end{cases}\)。-用\(2k+b=7\)減去\(-k+b=1\)得：\((2k+b)-(-k+b)=7-1\)，\(2k+b+k-b=6\)，\(3k=6\)，解得\(k=2\)。-把\(k=2\)代入\(-k+b=1\)得：\(-2+b=1\)，解得\(b=3\)。-所以直線\(AB\)的解析式為\(y=2x+3\)。-（2）在\(y=2x+3\)中，令\(x=0\)，則\(y=3\)，所以\(C(0,3)\)。-已知\(A(-1,1)\)，則\(\triangleAOC\)中，\(OC=3\)，點(diǎn)\(A\)到\(y\)軸的距離為\(1\)。-根據(jù)三角形面積公式\(S=\frac{1}{2}\times底\times高\(yùn))，可得\(S_{\triangleAOC}=\frac{1}{2}\timesOC\times\vertx_{A}\vert=\frac{1}{2}\times3\times1=\frac{3}{2}\)。19.-（1）證明：連接\(AD\)。-因?yàn)閈(AB=AC\)，\(\angleBAC