第04講平方差公式課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①平方差公式掌握平方差公式，以及平方差公式的特征，幾何意義，并能夠在題目中熟練應(yīng)用。知識(shí)點(diǎn)01平方差公式平方差公式：＝。即兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方的差。平方差公式的特征：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘。若他們其中一項(xiàng)，另一項(xiàng)，則他們的結(jié)果等于相同項(xiàng)的平方減去互為相反數(shù)項(xiàng)的平方。平方差公式的幾何意義：如圖：將圖①的藍(lán)色部分移到圖②的位置。圖①的面積為：；圖②的面積為：；圖①與圖②的面積相等。所以【即學(xué)即練1】1．計(jì)算：（1）（a+b）（a﹣2）；（2）；（3）（m+n）（m﹣n）；（4）（0.1﹣x）（0.1+x）；（5）（x+y）（﹣y+x）．【即學(xué)即練2】2．已知x2﹣y2＝10，x﹣y＝2，則x+y等于．【即學(xué)即練3】3．計(jì)算：1232﹣124×122．【即學(xué)即練4】4．如圖（1），在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖（2），此過程可以驗(yàn)證（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab題型01利用平方差公式計(jì)算【典例1】下列多項(xiàng)式的乘法中，可以用平方差公式計(jì)算的是（）A．（x+1）（﹣x﹣1） B．（2+a2）（2﹣a2） C．（﹣x+y）（x﹣y） D．（x2+y）（x﹣y2）【變式1】計(jì)算：（1）（x+3y）（x﹣3y）；（2）（x3+2）（x3﹣2）：（3）（2m﹣n）（﹣2m﹣n）．【變式2】利用乘法公式計(jì)算下列各題：（1）（2x+y）（2x﹣y）；（2）（+5y）（﹣5y）；（3）（x+3）（x﹣3）（x2+9）；（4）（x﹣）（x2+）（x+）．【變式3】計(jì)算：（1）（2a﹣5）（﹣2a﹣5）；（2）；（3）（5ab﹣3x）（﹣3x﹣5ab）；（4）；（5）．題型02利用平方差公式求值【典例1】如果a2﹣b2＝12，a+b＝4，則a﹣b＝．【變式1】若a2﹣b2＝10，a﹣b＝2，則a+b的值為（）A．5 B．2 C．10 D．無法計(jì)算【變式2】已知x2﹣y2＝﹣1，x+y＝，則x﹣y＝．【變式3】若a+b＝3，則a2﹣b2+6b的值為（）A．3 B．6 C．9 D．12【變式4】已知m﹣n＝1，則m2﹣n2﹣2n的值為（）A．1 B．﹣1 C．0 D．2題型03利用平方差公式簡(jiǎn)便運(yùn)算【典例1】用簡(jiǎn)便方法計(jì)算103×97時(shí)，變形正確的是（）A．1002﹣3 B．1002﹣32 C．1002+2×3×100+3 D．1002﹣2×100+32【變式1】20132﹣2012×2014的計(jì)算結(jié)果是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【變式2】利用平方差公式計(jì)算：（1）31×29；（2）9.9×10.1；（3）98×102；（4）1003×997．【變式3】已知M＝20242，N＝2023×2025，則M與N的大小關(guān)系是（）A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不能確定【變式4】計(jì)算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…+20012﹣20022+20032﹣20042＝【變式5】計(jì)算：…．題型04平方差公式的幾何意義【典例1】如圖①，從邊長(zhǎng)為a的正方形剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形；如圖②，然后將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，上述操作能驗(yàn)證的等式是（）A．a(chǎn)2﹣ab＝a（a﹣b） B．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a(chǎn)2+2ab+b2＝（a+b）2【變式1】如圖，陰影部分是在邊長(zhǎng)為a的大正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形后所得到的圖形，將陰影部分通過割、拼，形成新的圖形．給出下列2種割拼方法，其中能夠驗(yàn)證平方差公式的是（）A．① B．② C．①② D．①②都不能【變式2】王大爺改建一個(gè)邊長(zhǎng)為x（x＞3）米的正方形養(yǎng)殖場(chǎng)，計(jì)劃正方形養(yǎng)殖場(chǎng)縱向增加3米，橫向減少3米，則改建后養(yǎng)殖場(chǎng)面積的變化情況是（）A．面積減少3m2 B．面積減少9m2 C．面積增加3m2 D．面積增加9m2【變式3】如圖，邊長(zhǎng)為（a+3）的正方形紙片剪出一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形之后，剩余部分又剪拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（不重疊無縫隙），若拼成的長(zhǎng)方形一邊長(zhǎng)為3，則另一邊長(zhǎng)是（）【變式3】【變式4】A．2a+3 B．2a+6 C．a(chǎn)+3 D．a(chǎn)+6【變式4】如圖，大正方形與小正方形的面積之差是40，則陰影部分的面積是（）A．80 B．40 C．20 D．101．下列各式不能用平方差公式計(jì)算的是（）A．（y+2x）（2x﹣y） B．（﹣x﹣3y）（x+3y） C．（2x2﹣y2）（2x2+y2） D．（4a+b）（4a﹣b）2．已知x﹣y＝5，則x2﹣y2﹣10y的值是（）A．10 B．15 C．20 D．253．若（a+1）（a﹣1）＝35，則a的值為（）A．±6 B．±3 C．6 D．34．已知：a+b＝3，a﹣b＝1，則a2﹣b2等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．計(jì)算（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4+b4）等于（）A．a(chǎn)4﹣b4 B．a(chǎn)6+b6 C．a(chǎn)6﹣b6 D．a(chǎn)8﹣b86．若一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)增加2cm，則面積相應(yīng)增加了32cm2，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（）A．6cm B．5cm C．8cm D．7cm7．若（x+y+1）（x+y﹣1）＝8，則x+y的值為（）A．3 B．±3 C．﹣3 D．±58．如圖，從邊長(zhǎng)為a+1的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為a﹣1的正方形（a＞1），剩余部分沿虛線剪開，再拼成一個(gè)矩形（不重疊無縫隙），則該矩形的面積是（）A．4a B．2a C．a(chǎn)2﹣1 D．29．如圖，在邊長(zhǎng)為2a的正方形中央剪去一邊長(zhǎng)為（a+2）的小正方形（a＞2），將剩余部分剪開，密鋪成一個(gè)平行四邊形，則該平行四邊形的面積為（）A．3a2﹣4 B．2a2+4a C．3a2﹣4a﹣4 D．3a2+4a+410．如果一個(gè)正整數(shù)可以表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么稱該正整數(shù)為“和諧數(shù)”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均為“和諧數(shù)”），在不超過2017的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)”之和為（）A．255024 B．255054 C．255064 D．25055411．給出下列式子：①（x﹣y）（x+y）；②（x+y）（y﹣x）；③（y﹣x）（﹣y﹣x）；④（﹣x+y）（x﹣y）；⑤（﹣x﹣y）（x+y）；⑥（﹣x﹣y）（x﹣y），其中，符合平方差特征的有（填序號(hào)）．12．計(jì)算＝．13．一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為（2a+3b），寬為（2a﹣3b），則長(zhǎng)方形的面積為．14．已知a2+a＝2，則代數(shù)式（a+2）（a﹣2）+a（a+2）值為．15．兩個(gè)小長(zhǎng)方形如圖①擺放，重疊部分是邊長(zhǎng)為b的正方形，陰影部分的面積為S，四個(gè)小長(zhǎng)方形如圖②擺放，左上角形成的是邊長(zhǎng)為b的正方形，此陰影部分面積為S1，另一陰影部分的面積為S2，則S，S1，S2之間的數(shù)量關(guān)系為．16．運(yùn)用平方差公式計(jì)算．①（3a+b）（3a﹣b）②（﹣x+2y）（﹣x﹣2y）③（a﹣b）（﹣a﹣b）④59.8×60.2⑤（2x﹣3y）（3y+2x）﹣（4y﹣3x）（3x+4y）17．利用乘法公式計(jì)算：（1）（2+1）（22+1）（24+1）；（2）1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．18．觀察下面的式子；a1＝32﹣12，a2＝52﹣32，a3＝72﹣52，…（1）請(qǐng)用含n的式子表示an；（n為大于0的自然數(shù)）（2）探究an是否為8的倍數(shù)，并用文字語言表述你所獲得的結(jié)論．19．從邊長(zhǎng)為a的正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2）．（1）上述操作能驗(yàn)證的等式是；（請(qǐng)選擇正確的一個(gè)）A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C、a2+ab＝a（a+b）（2）應(yīng)用你從（1）選出的等式，完成下