專題特殊的分解因式的方法方法一：用十字相乘法進行因式分解方法二：用分組分解法進行因式分解方法三：用換元法進行因式分解方法四：添項或拆項進行因式分解方法五：在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式方法一：用十字相乘法進行因式分解方法介紹：對于一個二次三項式，若存在，，且，那么二次三項式可以分解為：舉例說明：?！鄬τ诔踔兴玫氖窒喑朔ǎ雾椣禂?shù)基本是等于1的，即。若存在有，且，則可分解為：舉例說明：∵且∴1．閱讀下列材料：將一個形如x2+px+q的二次三項式因式分解時，如果能滿足q＝mn且p＝m+n，則可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）．例如：①x2+4x+3＝（x+1）（x+3）；②x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．根據(jù)材料，把下列式子進行因式分解．（1）x2﹣6x+8；（2）x2﹣2x﹣15；（3）（x﹣4）（x+7）+18．【分析】根據(jù)x2+（m+n）x+mn＝（x+m）（x+n）進行解答即可．【解答】解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）；（2）x2﹣2x﹣15＝（x+3）（x﹣5）；（3）（x﹣4）（x+7）+18＝x2+3x﹣28+18＝x2+3x﹣10＝（x﹣2）（x+5）．2．多項式x2﹣4x+m分解因式的結果是（x+3）（x﹣n），則的值（）A． B．3 C．﹣3 D．【分析】根據(jù)因式分解與整式的乘法互為逆運算，把（x+3）（x﹣n）展開，可得x2+（3﹣n）x﹣3n，則有x2﹣4x+m＝x2+（3﹣n）x﹣3n；利用“兩個多項式相等，則對應項的系數(shù)相等”得到關于m、n的方程組，解出m，n的值，再把m，n值代入中計算即可．【解答】解：∵（x+3）（x﹣n）＝x2+（3﹣n）x﹣3n，∴x2﹣4x+m＝x2+（3﹣n）x﹣3n；∴解得：∴，故選：C．3．若x2+mx﹣10＝（x﹣5）（x+n），則m+n的值為（）A．5 B．﹣1 C．﹣5 D．1【分析】利用乘法公式把（x﹣5）（x+n）展開得到x2+（n﹣5）x﹣5n，所以﹣5n＝﹣10，m＝n﹣5，從而可求出m、n的值，然后計算m+n的值．【解答】解：∵（x﹣5）（x+n）＝x2+（n﹣5）x﹣5n，∴﹣5n＝﹣10，m＝n﹣5，解得n＝2，m＝﹣3，∴m+n＝﹣3+2＝﹣1．故選：B．4．甲、乙兩位同學在對多項式x2+bx+c分解因式時，甲看錯了b的值，分解的結果是（x﹣4）（x+5），乙看錯了c的值，分解的結果是（x+3）（x﹣4），那么c﹣5b的值為（）A．15 B．﹣15 C．25 D．﹣25【分析】根據(jù)甲看錯了b的值推導出c值，乙看錯了c的值推導出b值，最后代入c﹣5b計算即可．【解答】解：（x﹣4）（x+5）＝x2+x﹣20，（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣12，∵甲看錯了b的值，分解的結果是（x﹣4）（x+5），∴c＝﹣20，∵乙看錯了c的值，分解的結果是（x+3）（x﹣4），∴b＝﹣1，∴c﹣5b＝﹣20﹣5×（﹣1）＝﹣15．故選：B．5．閱讀材料：對于形如x2+2ax+a2這樣的二次三項式，我們可以直接用公式法把它分解成（x+a）2的形式，但對于二次三項式x2+6x﹣27，就不能直接用公式法分解了．此時，我們可以在x2+6x﹣27中間先加上一項9，使它與x2+6x的和構成一個完全平方式，然后再減去9，則整個多項式的值不變．即：x2+6x﹣27＝（x2+6x+9）﹣9﹣27＝（x+3）2﹣62＝（x+3+6）（x+3﹣6）＝（x+9）（x﹣3）．像這樣，把一個二次三項式變成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法．利用上述“配方法”分解因式：（1）x2﹣2x﹣15；（2）x2+4xy﹣5y2．【分析】（1）將原式變形為x2﹣2x+1﹣1﹣15，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；（2）將原式變形為x2+4xy+4y2﹣4y2﹣5y2，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣15＝x2﹣2x+1﹣1﹣15＝（x﹣1）2﹣42＝（x﹣1+4）（x﹣1﹣4）＝（x+3）（x﹣5）；（2）x2+4xy﹣5y2＝x2+4xy+4y2﹣4y2﹣5y2＝（x+2y）2﹣（3y）2＝（x+2y+3y）（x+2y﹣3y）＝（x+5y）（x﹣y）．6．閱讀與思考整式乘法與因式分解是方向相反的變形，即由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．利用這個式子可以將某些二次項系數(shù)是1的二次三項式進行因式分解，例如：將x2+3x+2分解因式．解：因為x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2，所以x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．請仿照上面的方法，解答下列問題：（1）分解因式：x2﹣2x﹣8．（2）分解因式：x3﹣8x2+12x．（3）若x2+px﹣6可分解為兩個一次因式的積，寫出整數(shù)p所有可能的值．【分析】（1）模仿例題即可求解；（2）先提公因式法x，然后模仿例題即可求解；（3）將常數(shù)﹣6進行分解即可．【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣8＝x2+（﹣4+2）x+2×（﹣4）∴x2﹣2x﹣8＝（x﹣4）（x+2）；（2）原式＝x（x2﹣8x+12），∵x2﹣8x+12＝x2+（﹣2﹣6）x+（﹣2）×（﹣6），∴x2﹣8x+12＝（x﹣2）（x﹣6），∴x3﹣8x2+12x＝x（x﹣2）（x﹣6）；（3）∵﹣6＝（﹣1）×6＝1×（﹣6）＝2×（﹣3）＝（﹣2）×3，∴p＝﹣1+6＝5或p＝1﹣6＝﹣5或p＝2﹣3＝﹣1或p＝﹣2+3＝1，p＝0，因此整數(shù)p的值可能為5或﹣5或1或﹣1或0．7．【教材呈現(xiàn)】人教版八年級上冊數(shù)學教材121頁有“閱讀與思考”：根據(jù)多項式的乘法法則，可知（x+p）（x+q）＝x2+px+qx+pq＝x2+（p+t）x+p．那么，反過來，也有x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）這就是將某些二次項系數(shù)是1的二次三項式進行的分解因式．例如，因式分解x2+3x+2．這個式子的二次項系數(shù)是1，常數(shù)項2＝1×2，一次項系數(shù)3＝1+2，符合x2+（p+q）x+pq類型，于是有x2+3x+2＝（x+1）（x+2）這個過程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次項系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù)項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項系數(shù)．這樣，我們也可以得到x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．利用上面的方法，可以直接將某些二次項系數(shù)為1的二次三項式分解因式：（1）分解因式：①x2﹣5x﹣24＝（x﹣8）（x+3）；②x2+8xy+12y2＝（x+2y）（x+6y）；【知識應用】（2）請用上述方法，因式分解：（x2+x）2﹣（x2+x）﹣2；【拓展提升】（3）因式分解：x2y+x2﹣3xy+xy2﹣4y2．【分析】（1）仿照閱讀材料中的方法將原式分解即可；（2）兩次利用材料中的方法將原式分解即可；（3）原式利用分組分解法即可．【解答】解：（1）①x2﹣5x﹣24＝（x﹣8）（x+3）；②x2+8xy+12y＝（x+2y）（x+6y）；故答案為：①（x﹣8）（x+3）；②（x+2y）（x+6y）；（2）（x2+x）2﹣（x2+x）﹣2＝（x2+x+1）（x2+x﹣2）＝（x2+x+1）（x﹣1）（x+2）；（3）x2y+x2﹣3xy+xy2﹣4y2＝（x2y+xy2）+（x2﹣3xy﹣4y2）＝xy（x+y）+（x+y）（x﹣4y）＝（x+y）（xy+x﹣4y）．8．閱讀并解決問題：對于二次三項式x2+4x﹣12，因不能直接運用完全平方公式，此時，我們可以先添一適當項，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變．這樣的方法稱為“配方法”．配方法在代數(shù)式求值，解方程，最值問題等方面都有著廣泛的應用；例1．用配方法因式分解：a2+6a+8．解：原式＝a2+6a+9﹣9+8＝（a+3）2﹣1＝（a+3+1）（a+3﹣1）＝（a+4）（a+2）．例2．若M＝a2﹣2a+6，利用配方法求M的最小值：解：M＝a2﹣2a+6＝a2﹣2a+1﹣1+6＝a2﹣2a+1+5＝（a﹣1）2+5．∵（a﹣1）2≥0．∴當a＝1時，M有最小值5．請利用配方法解決下列問題：（1）在橫線上添上一個常數(shù)項使之成為完全平方式：a2+10a+25；（2）利用“配方法”分解因式：x2﹣6x+5；（3）若N＝2x2+4x+8，求N的最小值；（4）已知整式A＝﹣x2+4x﹣5與B＝x2﹣4x+4，請比較A、B的大?。痉治觥浚?）根據(jù)完全平方公式的結構特征即可得出答案；（2）將原式化為x2﹣6x+9﹣4，再利用完全平方公式、平方差公式進行因式分解即可；（3）將N＝2x2+4x+8化為2（x﹣1）2+6，再根據(jù)偶次方的非負性進行解答即可；（4）利用作差法，計算B﹣A的結果的符號即可．【解答】解：（1）a2+2a×5+52＝（a+5）2，故答案為：25；（2）原式＝x2﹣6x+9﹣4＝（x﹣3）2﹣4＝（x﹣3+2）（x﹣3﹣2）＝（x﹣1）（x﹣5）；（3）∵N＝2x2+4x+8＝2（x2﹣2x+4）＝2[（x﹣1）2+3]＝2（x﹣1）2+6，而2（x﹣1）2≥0，∴N的最小值為6；（4）∵B﹣A＝x2﹣4x+4﹣（﹣x2+4x﹣5）＝x2﹣4x+4+x2﹣4x+5＝2x2﹣8x+9＝2（x2﹣4x+）＝2（x2﹣4x+4+）＝2（x﹣2）2+1＞0，∴A＜B．方法二：用分組分解法進行因式分解9．因式分解：ax﹣ay+2x﹣2y＝（x﹣y）（a+2）．【分析】根據(jù)題意，先把ax﹣ay+2x﹣2y，分組得（ax﹣ay）+（2x﹣2y），然后再提取公因式，得出a（x﹣y）+2（x﹣y），最后再提取公因式即可得出答案．【解答】解：ax﹣ay+2x﹣2y＝（ax﹣ay）+（2x﹣2y）＝a（x﹣y）+2（x﹣y）＝（x﹣y）（a+2）．故答案為：（x﹣y）（a+2）．10．因式分解：4y2+25x2﹣1﹣4y4．【分析】先將原式變形為25x2﹣（4y4﹣4y2+1），再利用完全平方公式、平方差公式分解因式即可．【解答】解：4y2+25x2﹣1﹣4y4＝25x2﹣（4y4﹣4y2+1）＝25x2﹣（2y2﹣1）2＝（5x+2y2﹣1）（5x﹣2y2+1）．11．常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多項式只用上述一種方法無法分解，例如x2﹣9y2﹣2x+6y，我們細心觀察就會發(fā)現(xiàn)，前兩項可以分解，后兩項也可以分解，分別分解后會產(chǎn)生公因式就可以完整的分解了，過程為：x2﹣9y2﹣2x+6y＝（x2﹣9y2）﹣2（x﹣3y）＝（x﹣3y）（x+3y）﹣2（x﹣3y）＝（x﹣3y）（x+3y﹣2）．這種方法叫分組分解法，利用這種方法分解因式：（1）x2﹣2xy+y2﹣16；（2）xy2﹣2xy+2y﹣4．【分析】（1）直接將前三項分組，再利用乘法公式分解因式進而得出答案；（2）直接將前兩項和后兩項分組利用提取公因式法分解因式即可．【解答】解：（1）原式＝（x﹣y）2﹣16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）；（2）xy2﹣2xy+2y﹣4＝xy（y﹣2）+2（y﹣2）＝（y﹣2）（xy+2）．12．八年級課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：將2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．經(jīng)過小組合作交流，得到了如下的解決方法：解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）小明由此體會到，對項數(shù)較多的多項式無法直接進行因式分解時，我們可以將多項式分為若干組，再利用提公因式法、公式法等方法達到因式分解的目的．這種方法可以稱為分組分解法．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）請你也試一試利用分組分解法進行因式分解：（Ⅰ）因式分解：x2﹣a2+x+a；（Ⅱ）因式分解：ax+a2﹣2ab﹣bx+b2．【分析】認真讀懂題意，利用因式分解解決問題．【解答】解：（Ⅰ）x2﹣a2+x+a＝（x2﹣a2）+（x+a）＝（x﹣a）（x+a）+（x+a）＝（x+a）（x﹣a+1）；（Ⅱ）ax+a2﹣2ab﹣bx+b2．＝（ax﹣bx）+（a2﹣2ab+b2）＝x（a﹣b）+（a﹣b）2＝（a﹣b）（x+a﹣b）．13．常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多項式用上述方法無法分解，例如x2﹣4y2﹣2x+4y，我們細心觀察就會發(fā)現(xiàn)，前兩項可以分解，后兩項也可以分解，分別分解后會產(chǎn)生公因式，就可以完整分解了，具體分解過程如下：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x2﹣4y2）﹣（2x﹣4y）＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）這種方法叫分組分解法，請利用這種方法對下列多項式進行因式分解：（1）mn2﹣2mn+2n﹣4；（2）x2﹣2xy+y2﹣16；（3）4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3．【分析】（1）把前兩項分為一組，后兩項分為一組，再提取公因式即可；（2）把前三項分為一組，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；（3）把式子化為兩個完全平方公式的形式，再利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：（1）mn2﹣2mn+2n﹣4＝（mn2﹣2mn）+（2n﹣4）＝mn（n﹣2）+2（n﹣2）＝（n﹣2）（mn+2）；（2）x2﹣2xy+y2﹣16＝（x2﹣2xy+y2）﹣16＝（x﹣y）2﹣42＝（x﹣y﹣4）（x﹣y+4）；（3）4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3＝4x2﹣4x+1﹣y2+4y﹣4＝（4x2﹣4x+1）﹣（y2﹣4y+4）＝（2x﹣1）2﹣（y﹣2）2＝（2x﹣1﹣y+2）（2x﹣1+y﹣2）＝（2x﹣y+1）（2x+y﹣3）．14．“探究性學習”小組的甲、乙兩名同學進行因式分解如下．甲：a2﹣2ab﹣4+b2＝（a2﹣2ab+b2）﹣4（分成兩組）＝（a﹣b）2﹣22（直接運用公式）＝（a﹣b+2）（a﹣b﹣2）乙：a2﹣ab﹣a+b＝（a2﹣ab）﹣（a﹣b）（分成兩組）＝a（a﹣b）﹣（a﹣b）（提公因式）＝（a﹣b）（a﹣1）．請在他們解法的啟發(fā)下解答下列各題．（1）分解因式9x2﹣6xy+y2﹣16．（2）若a，b，c分別為△ABC三邊的長．①若滿足若ac﹣bc+a2﹣2ab+b2＝0，請判斷△ABC的形狀，并說明理由．②若滿足a2+b2＝12a+8b﹣52，求c的范圍．【分析】（1）將原式分組整理為（9x2﹣6xy+y2）﹣16，再運用完全平方公式可得（3x﹣y）2﹣42，然后進一步分解因式即可；（2）①按照分組、運用公式因式分解的步驟將原式整理為（a﹣b）（a﹣b+c）＝0，結合三角形三邊關系可知a﹣b+c＞0，進而可得a﹣b＝0，即可證明結論；②按照移項、分組、運用公式因式分解的步驟將原式整理為（a﹣6）2+（b﹣4）2＝0，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)解得a、b的值，然后結合三角形三邊關系，即可獲得答案．【解答】解：（1）原式＝（9x2﹣6xy+y2）﹣16＝（3x﹣y）2﹣42＝（3x﹣y+4）（3x﹣y﹣4）；（2）①△ABC為等腰三角形，理由如下：已知ac﹣bc+a2﹣2ab+b2＝0，變形得（a﹣b）c+（a﹣b）2＝0，即（a﹣b）（a﹣b+c）＝0，∵a，b，c分別為△ABC三邊的長，∴a﹣b+c＞0，∴a﹣b＝0，∴a＝b，即△ABC為等腰三角形；②已知a2+b2＝12a+8b﹣52，整理得a2﹣12a+36+b2﹣8b+16＝0，即（a﹣6）2+（b﹣4）2＝0，那么a﹣6＝0，b﹣4＝0，解得：a＝6，b＝4，∵a，b，c分別為△ABC三邊的長，∴a﹣b＜c＜a+b，即6﹣4＜c＜6+4，∴2＜c＜10，即c的范圍為2＜c＜10．方法三：用換元法進行因式分解15．分解因式：（x2﹣3x）（x2﹣3x﹣8）﹣20．【分析】將原式變形后利用十字相乘法因式分解即可．【解答】解：原式＝（x2﹣3x）2﹣8（x2﹣3x）﹣20＝（x2﹣3x+2）（x2﹣3x﹣10）＝（x﹣1）（x﹣2）（x+2）（x﹣5）．16．下面是某同學對多項式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1進行因式分解的過程：解：設x2﹣2x＝y(tǒng)原式＝y(tǒng)（y+2）+1（第一步）＝y(tǒng)2+2y+1（第二步）＝（y+1）2（第三步）＝（x2﹣2x+1）2（第四步）請問：（1）該同學因式分解的結果是否徹底？不徹底（填“徹底”或“不徹底”），若不徹底則，該因式分解的最終結果為（x﹣1）4；（2）請你模仿上述方法，對多項式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4進行因式分解．【分析】（1）根據(jù)因式分解的步驟進行解答即可；（2）設x2﹣4x＝y(tǒng)，再根據(jù)完全平方公式把原式進行分解即可．【解答】解：（1）∵（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4，∴該同學因式分解的結果不徹底．故答案為：不徹底，（x﹣1）4．（2）設x2﹣4x＝y(tǒng)原式＝（y+2）（y+6）+4＝y(tǒng)2+8y+16＝（y+4）2＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4．17．下面是某同學對多項式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4進行因式分解的過程，解：設x2﹣2x＝y(tǒng)原式＝（y﹣1）（y+3）+4（第一步）＝y(tǒng)2+2y+1（第二步）＝（y+1）2（第三步）＝（x2﹣2x+1）2（第四步）回答下列問題：（1）該同學第二步到第三步運用了C．A．提取公因式B．平方差公式C．兩數(shù)和的完全平方公式D．兩數(shù)差的完全平方公式（2）該同學因式分解的結果是否徹底？不徹底（填“徹底”或者“不徹底”）若不徹底．請直接寫出因式分解的最后結果（x﹣1）4．（3）請你模仿以上方法嘗試對多項式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16進行因式分解．【分析】（1）根據(jù)完全平方公式得出即可；（2）根據(jù)完全平方公式得出即可；（3）先換元，再分解因式，再代入，最后求出即可．【解答】解：（1）運用了兩數(shù)和的完全平方公式，故選：C；（2）原式＝[（x﹣1）2]2＝（x﹣1）4，故答案為：不徹底，（x﹣1）4；（3）設x2﹣4x＝y(tǒng)，原式＝y(tǒng)（y+8）+16＝y(tǒng)2+8y+16＝（y+4）2＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4，即（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16＝（x﹣2）4．18．先閱讀下列材料，再解答下列問題：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：將“x+y”看成整體，令x+y＝A，則原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再將“A”還原，得原式＝（x+y+1）2．上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學解題中常用的一種思想方法，請解答下列問題：（1）因式分解：1+2（2x﹣3y）+（2x﹣3y）2．（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；【分析】（1）將（2x﹣3y）看作一個整體，利用完全平方公式進行因式分解．（2）令A＝a+b，代入后因式分解后代入即可將原式因式分解．【解答】解：（1）原式＝（1+2x﹣3y）2．（2）令A＝a+b，則原式變?yōu)锳（A﹣4）+4＝A2﹣4A+4＝（A﹣2）2，故（a+b）（a+b﹣4）+4＝（a+b﹣2）2．19．先閱讀下列材料，再解答下列問題：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：將“x+y”看成整體，設x+y＝m，則原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．再將x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學解題中常用的一種思想方法．請你寫出下列因式分解的結果：（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2；（2）因式分解：25（a﹣1）2﹣10（a﹣1）+1；（3）因式分解：（y2﹣4y）（y2﹣4y+8）+16．【分析】（1）設x﹣y＝a，原式變形為1﹣2a+a2，用完全平方公式分解因式，再把x﹣y＝a代入原式；（2）設a﹣1＝m，原式變形為25m2﹣10m+1，用完全平方公式分解因式，再把a﹣1＝m代入原式；（3）設y2﹣4y＝a，原式變形為a（a+8）+16，去括號后用完全平方公式分解因式，再把y2﹣4y＝a代入原式．【解答】解：（1）設x﹣y＝a，原式＝1﹣2a+a2＝（1﹣a）2；將x﹣y＝a代入，原式＝（1﹣x+y）2；（2）設a﹣1＝m，原式＝25m2﹣10m+1＝（5m﹣1）2；a﹣1＝m代入，原式＝（5a﹣6）2；（3）設y2﹣4y＝a，原式＝a（a+8）+16＝a2+8a+16＝（a+4）2，將y2﹣4y＝a代入，原式＝（y2﹣4y+4）2＝（y﹣2）4．故答案分別為：（1﹣x+y）2；（5a﹣6）2；（y﹣2）4．方法四：添項或拆項進行因式分解20．何老師安排喜歡探究問題的小明解決某個問題前，先讓小明看了一個有解答過程的例題．例：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0∴m+n＝0，n﹣3＝0∴m＝﹣3，n＝3為什么要對2n2進行了拆項呢？聰明的小明理解了例題解決問題的方法，很快解決了下面兩個問題．相信你也能很好的解決下面的這兩個問題，請寫出你的解題過程．解決問題：（1）若x2﹣4xy+5y2+2y+1＝0，求xy的值；（2）已知a、b、c是△ABC的三邊長，滿足a2+b2＝10a+12b﹣61，c是△ABC中最短邊的邊長，且c為整數(shù)，那么c可能是哪幾個數(shù)？【分析】（1）已知等式變形后，利用完全平方公式變形，利用非負數(shù)的性質(zhì)求出x與y的值，即可求出xy的值；（2）由a2+b2＝10a+12b﹣61，得a，b的值．進一步根據(jù)三角形一邊邊長大于另兩邊之差，小于它們之和，則b﹣a＜c＜a+b，即可得到答案．【解答】解（1）∵x2﹣4xy+5y2+2y+1＝0，∴x2﹣4xy+4y2+y2+2y+1＝0，則（x﹣2y）2+（y+1）2＝0，解得x＝﹣2，y＝﹣1，故；（2）∵a2+b2＝10a+12b﹣61，∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，∴a＝5，b＝6，∵1＜c＜11，且c為最短邊，c為整數(shù)，∴c為2，3，4，5．21．學習了公式法a2±2ab+b2＝（a±b）2后，老師向同學們提出了如下問題：①將多項式x2+4x+3因式分解：_____x2+4x+3＝x2+4x+4﹣1＝（x+2）2﹣1＝（x+2+1）（x+2﹣1）＝（x+3）（x+1）．②求多項式x2+4x+3的最小值．由①，得x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，因為（x+2）2≥0，所以（x+2）2﹣1≥﹣1．所以當x＝﹣2時，x2+4x+3的值最小，且最小值為﹣1．請你運用上述方法解決下列問題：（1）將多項式x2+4x﹣12因式分解；（2）求多項式m2+8m﹣9的最小值．【分析】（1）利用公式法先把多項式變形成完全平方公式進行因式分解，再利用平方差公式進行因式分解即可求解；（2）先利用題目中的方法進行因式分解可得m2+8m﹣9＝（m+4）2﹣25，再根據(jù)平方的非負性求解即可．【解答】解：（1）x2+4x﹣12＝x2+4x+4﹣16＝（x+2）2﹣42＝（x+2﹣4）（x+2+4）＝（x﹣2）（x+6）；（2）m2+8m﹣9＝m2+8m+16﹣25＝（m+4）2﹣25，∵（m+4）2≥0，∴（m+4）2﹣25≥﹣25，∴多項式m2+8m﹣9的最小值﹣25．22．閱讀材料，利用公式法，可以將一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多項式變形為a（x+m）2+n的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，運用多項式的配方法可以解決一些數(shù)學問題．比如運用多項式的配方法及平方差公式能對一些多項式進行因式分解．例：＝（x+2）2﹣9＝（x+2﹣3）（x+2+3）＝（x﹣1）（x+5）．根據(jù)以上材料，利用多項式的配方法解答下列問題．（1）分解因式：x2+2x﹣3；（2）求多項式x2+6x﹣9的最小值；（3）已知a、b、c是△ABC的三邊長，且滿足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周長．【分析】（1）首先根據(jù)閱讀材料提供的思路，把多項式x2+2x﹣3配方，使代數(shù)式中有一個完全平方式：（x2+2x+1）﹣1﹣3，利用完全平方公式分解因式得到：（x+1）2﹣4，然后再利用平方差公式分解因式即可；（2）仿照（1）的思路把多項式x2+6x﹣9分解因式得到：（x+3）2﹣18，根據(jù)平方的非負性可得：（x+3）2≥0，所以可知當（x+3）2取最小值0時，代數(shù)式（x+3）2﹣18有最小值﹣18，從而得到x2+6x﹣9的最小值；（3）首先把等式a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c右邊的部分移項到左邊，得到：a2﹣6a+b2﹣8b+c2﹣10c+50＝0，然后配方得到：（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，利用平方的非負性分別求出a、b、c的值，根據(jù)三角形周長公式求出△ABC的周長．【解答】解：（1）原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；（2）原式＝，＝（x+3）2﹣9﹣9，＝（x+3）2﹣18，因為（x+3）2≥0，所以（x+3）2﹣18≥﹣18，所以多項式x2+6x﹣9的最小值為﹣18；（3）a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c可變?yōu)椋篴2﹣6a+9﹣9+b2﹣8b+16﹣16+c2﹣10c+25﹣25+50＝0∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，所以a＝3，b＝4，c＝5，所以△ABC的周長＝a+b+c＝12．23．閱讀下列材料：我們已經(jīng)學過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法，拆項法，十字相乘法等等．（1）分組分解法：將一個多項式適當分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法．如：①ax+by+bx+ay②2xy+y2﹣1+x2＝（ax+bx）+（ay+by）＝x2+2xy+y2﹣1＝x（a+b）+y（a+b）＝（x+y）2﹣1＝（a+b）（x+y）＝（x+y+1）（x+y﹣1）（2）拆項法：將一個多項式的某一項拆成兩項后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法．如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）請你仿照以上方法，探索并解決下列問題：（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：a2+4ab﹣5b2；（3）多項式x2﹣6x+1有最小值嗎？如果有，請求出它取最小值時x的值．【分析】（1）仿照題中的方法，利用分組分解法，分別將各項分解即可；（2）仿照題中的方法，利用拆項法，分別將各項分解即可；（3）仿照題中的方法，拆項法，得到多項式的最小值．【解答】解：（1）a2﹣b2+a﹣b＝（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b+1）；（2）a2+4ab﹣5b2＝a2+4ab+4b2﹣9b2＝（a+2b）2﹣（3b）2＝（a+2b+3b）（a+2b﹣3b）＝（a+5b）（a﹣b）；（3）x2﹣6x+1＝x2﹣6x+9﹣8＝（x﹣3）2﹣8∵（x﹣3）2≥0，∴（x﹣3）2﹣8≥﹣8，∴當x＝3時，取最小值為﹣8．24．閱讀理解：因式分解有多種方法，除了提公因式法、公式法、十字相乘法等，還有分組分解法、拆項法、配方法等．一般情況下，我們需要綜合運用多種方法才能解決問題．例如：分解因式：x3﹣4x2+x+6．（1）請你試一試分解因式：x3﹣7x+6；（2）請你試一試在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x4﹣5x2+6．【分析】（1）根據(jù)題意原式可化為x3﹣x﹣6x+6，再提取公因式可得x（x2﹣1）﹣6（x﹣1），再應用平方差進行分解因式可得x（x+1）（x﹣1）﹣6（x﹣1）再提取公因式（x+1）可得（x﹣1）[x（x+1）﹣6]，可化為（x﹣1）（x2+x﹣6），應用十字相乘法進行分解因式即可得出答案；（2））原式可化為x4﹣2x2﹣3x2+6再提取公因式可得x2（x2﹣2）﹣3（x2﹣2），再提取公因式（x2﹣2）可得（x2﹣2）（x2﹣3），再應用實數(shù)范圍內(nèi)分解因式即可得出答案．【解答】解：（1）原式＝x3﹣x﹣6x+6＝x（x2﹣1）﹣6（x﹣1）＝x（x+1）（x﹣1）﹣6（x﹣1）＝（x﹣1）[x（x+1）﹣6]＝（x﹣1）（x2+x﹣6）＝（x﹣1）（x﹣2）（x+3）；（2）原式＝x4﹣2x2﹣3x2+6＝x2（x2﹣2）﹣3（x2﹣2）＝（x2﹣2）（x2﹣3）＝（x）（x﹣）（x）（x﹣）．方法五：在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式25．在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：2x2﹣4＝．【分析】先提公因式，再根據(jù)平方差公式進行因式分解即可．【解答】原式＝2（x2﹣2）＝，故答案為：．26．在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：3x2y2+10xy+5．【分析】將原式變形后利用平方差公式因式分解即可．【解答】解：原式＝3（x2y2+xy+）＝3（x2y2+xy+﹣+）＝3[（x2y2+xy+）﹣+]＝3[（xy+）2﹣]＝3（xy++）（xy+﹣）．27．在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（1）x（x﹣10）+25（2）2ax4﹣8ay4【分析】（1）直接去括號再利用完全平方公式分解因式得出答案；（2）直接提取公因式2a，再利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：（1）x（x﹣10）+25＝x2﹣10x+25＝（x﹣5）2；（2）2ax4﹣8ay4＝2a（x4﹣4y4）＝2a（x2+2y2）（x2﹣2y2）＝2a（x2+2y2）（x+y）（x﹣y）．28．在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：9a4﹣4b4．麗華的解法如下：解：原式＝（3a2+2b2）（3a2﹣2b2）．請問麗華因式分解的結果正確嗎？如果不正確，把正確的解題過程寫出來．【分析】由于在實數(shù)范圍內(nèi)3a2﹣2b2在實數(shù)范圍內(nèi)還可以繼續(xù)分解，由此可對麗華因式分解的結果進行判斷，然后寫出正確的解題過程即可．【解答】解：不正確，∵3a2﹣2b2在實數(shù)范圍內(nèi)還可以繼續(xù)分解，∴麗華因式分解的結果不正確，正確的結果如下：9a4﹣4b4＝（3a2+2b2）（3a2﹣2b2）＝．29．閱讀理解題：定義：如果一個數(shù)的平方等于﹣1，記為i2＝﹣1，這個數(shù)i叫做虛數(shù)單位．那么形如a+bi（a，b為實數(shù)）的數(shù)就叫做復數(shù)，a叫這個復數(shù)的實部，b叫做這個復數(shù)的虛部，它的加，減，乘法運算與整式的加，減，乘法運算類似．例如計算：（2+i）+（3﹣4i）＝5﹣3i．（1）填空：i3＝﹣i，2i4＝2；（2）計算：①（2+i）（2﹣i）；②（2+i）2；（3）若兩個復數(shù)相等，則它們的實部和虛部必須分別相等，完成下列問題：已知：（x+3y）+3i＝（1﹣x）﹣yi，（x，y為實數(shù)），求x，y的值．（4）試一試：請你參照i2＝﹣1這一知識點，將m2+25（m為實數(shù)）因