02空間中直線、平面的平行§1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系觀察圖片，旗桿底部的平臺和地面平行，旗桿所在的直線和護旗戰(zhàn)士所在的直線平行.旗桿所在直線的方向向量和護旗戰(zhàn)士所在直線的方向向量有什么關(guān)系？情境引入一、直線和直線平行l(wèi)1l2

我們知道，直線的方向向量和平面的法向量是確定空間中的直線和平面的關(guān)鍵量.那么是否能用這些向量來刻畫空間直線、平面的平行、垂直關(guān)系呢？

思考1：如何用直線的方向向量的關(guān)系表示兩條直線平行？

思考2：如何由直線的方向向量與平面的法向量的關(guān)系表示直線與平面平行？l

思考3：如何用平面的法向量的關(guān)系表示平面與平面的平行？

探究新知例1

在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，點M在棱BB1上，且BM＝2MB1，點S在DD1上，且SD1＝2SD，點N，R分別為A1D1，BC的中點.求證：MN∥RS.典例精析方法一

如圖所示，建立空間直角坐標系，所以MN∥RS.又R?MN，所以MN∥RS.二、直線和平面平行問題2

觀察下圖，直線l與平面α平行，u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，u與n有什么關(guān)系？提示

垂直探究新知設u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l∥α?u

n?

.注意*證明線面平行的關(guān)鍵看直線的方向向量與平面的法向量垂直.直線在平面外.⊥u·n＝0概念辨析例2

在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是正方形，側(cè)棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點.證明：PA∥平面EDB.典例精析證明如圖所示，建立空間直角坐標系，D是坐標原點，設PD＝DC＝a.連接AC，交BD于點G，連接EG，方法一設平面BDE的法向量為n＝(x，y，z)，所以n⊥.又PA?平面EDB，所以PA∥平面EDB.方法二因為四邊形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，而EG?平面EDB，且PA?平面EDB，所以PA∥平面EDB.所以PA∥平面EDB.空間向量證明線面平行一般有三種方法直線的方向向量與平面內(nèi)任意兩個不共線的向量共面，即共面定理.直線的方向向量與平面內(nèi)某一向量共線，轉(zhuǎn)化為線線平行，利用線面平行判定定理得證.先求直線的方向向量，然后求平面的法向量，證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.前文總結(jié)三、平面和平面平行問題3觀察下圖，平面α，β平行，n1，n2分別是平面α，β的法向量，n1與n2具有什么關(guān)系？提示

平行.設n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β?

??λ∈R，使得

.n1∥n2n1＝λn2概念辨析探究新知

例3已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點，求證：平面ADE∥平面B1C1F.典例精析證明

建立如圖所示的空間直角坐標系，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(xiàn)(0,0,1)，B1(2,2,2)，設n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，令z1＝2，則y1＝－1，所以可取n1＝(0，－1,2).同理，設n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一個法向量.典例精析令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2).因為n1＝n2，即n1∥n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.判斷直線與直線平行的方法①平行四邊形的對邊平行、梯形的上下底平行、棱柱的側(cè)棱互相平行…②三角形的中位線、相似線段成比例③基本事實4——平行線的傳遞性④直線與平面平行的性質(zhì)定理：一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.⑤平面與平面平行的性質(zhì)定理：兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行⑥直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行．⑦*兩直線的方向向量共線(直接法/基底法/坐標法找λ)小結(jié)判段直線與平面平行的方法①判定定理：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.(幾何法、基底法、坐標法)

直線的方向向量與平面內(nèi)兩個不共線的向量共面.②面面平行的性質(zhì)：兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面.③如果兩個平面相互垂直，如果一條直線垂直于兩個平面中的一個，則該直線要么在另一個平面內(nèi)，要么與另一個平面平行.④*法向量坐標法：直線的方向向量與平面的法向量垂直小結(jié)判段平面與平面平行的方法：