第頁4．2．2等差數(shù)列的前n項和公式【題型歸納目錄】題型一：等差數(shù)列前項和的有關計算題型二：等差數(shù)列前項和的比值問題題型三：等差數(shù)列前項和的性質題型四：等差數(shù)列前項和的最值問題題型五：求數(shù)列的前項和題型六：等差數(shù)列前n項和公式的實際應用題型七：由等差數(shù)列的前n項和判斷等差數(shù)列題型八：等差數(shù)列片段和的性質題型九：等差數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項和【知識點梳理】知識點一、等差數(shù)列的前項和公式等差數(shù)列的前項和公式公式一：證明：倒序相加法①②①+②：因為所以由此得：公式二：證明：將代入可得：知識點詮釋：①倒序相加是數(shù)列求和的重要方法之一．②上面兩個公式均為等差數(shù)列的求和公式，共涉及、、、、五個量，已知其中任意三個量，通過解方程組，便可求出其余兩個量．知識點二、等差數(shù)列的前項和的有關性質等差數(shù)列中，公差為，則①連續(xù)項的和依然成等差數(shù)列，即，，，…成等差數(shù)列，且公差為．=2\*GB3②若項數(shù)為，則，，③若項數(shù)為，則，，，，知識點三、等差數(shù)列中的函數(shù)關系等差數(shù)列的通項公式是關于的一次函數(shù)（或常數(shù)函數(shù)）等差數(shù)列中，，令，則：（，是常數(shù)且為公差）（1）當時，為常數(shù)函數(shù)，為常數(shù)列；它的圖象是在直線上均勻排列的一群孤立的點．（2）當時，是的一次函數(shù)；它的圖象是在直線上均勻排列的一群孤立的點．①當時，一次函數(shù)單調增，為遞增數(shù)列；=2\*GB3②當時，一次函數(shù)單調減，為遞減數(shù)列．等差數(shù)列的前項和公式是關于的一個常數(shù)項為零的二次函數(shù)（或一次函數(shù)）由，令，，則：（，是常數(shù)）（1）當即時，，是關于的一個一次函數(shù)；它的圖象是在直線上的一群孤立的點．（2）當即時，是關于的一個常數(shù)項為零的二次函數(shù)；它的圖象是在拋物線上的一群孤立的點．=1\*GB3①當時有最小值=2\*GB3②當時，有最大值知識點詮釋：1、公差不為0的等差數(shù)列的通項公式是關于n的一次函數(shù)．2、（，是常數(shù)）是數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件．3、公差不為0的等差數(shù)列的前項和公式是關于n的一個常數(shù)項為零的二次函數(shù)．4、（其中，為常數(shù)）是數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件．【方法技巧與總結】1、等差數(shù)列前項和的最值（1）在等差數(shù)列中，當，時，有最大值，使取得最值的可由不等式組確定；當，時，有最少值，使取到最值的可由不等式組確定．（2），若，則從二次函數(shù)的角度看：當時，有最少值；當時，有最大值．當取最接近對稱軸的正整數(shù)時，取到最值．【典型例題】題型一：等差數(shù)列前項和的有關計算例1．設等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．150 B．120 C．75 D．60【答案】D【解析】因為也成等差數(shù)列，故，同理因為，所以，故所以.故選：D例2．已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（

）A．77 B．88 C．99 D．110【答案】B【解析】，得，解得，，得，解得，故，.故選：B變式1．等差數(shù)列中，已知，，，則n為（

）A．58 B．59 C．60 D．61【答案】C【解析】由是等差數(shù)列，，得則即，故選：C.變式2．已知等差數(shù)列的前3項和為27，，則（

）A．31 B．32 C．33 D．34【答案】C【解析】設等差數(shù)列的公差為，由題意，，解得，，所以．故選：C【方法技巧與總結】等差數(shù)列中的基本計算（1）利用基本量求值：等差數(shù)列的通項公式和前項和公式中有五個量和，這五個量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量和的方程組，解出和，便可解決問題．解題時注意整體代換的思想．（2）結合等差數(shù)列的性質解題：等差數(shù)列的常用性質：若，則，常與求和公式結合使用．題型二：等差數(shù)列前項和的比值問題例4．已知分別是等差數(shù)列與的前項和，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，所以，又因為分別是等差數(shù)列與的前項和，且，所以,故選：.例5．兩個等差數(shù)列和的前項和分別為、，且，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】兩個等差數(shù)列和的前項和分別為、，且，所以.故選：A例6．設等差數(shù)列與等差數(shù)列的前n項和分別為，.若對于任意的正整數(shù)n都有，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，，.則，，所以.故選：B.變式3．若等差數(shù)列和的前項的和分別是和，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為和是等差數(shù)列,故故選:C變式4．已知兩等差數(shù)列，，前n項和分別是，，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】兩等差數(shù)列，，前n項和分別是，，滿足，所以.故選：B變式5．已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝﹣2018，，則S2020等于（

）A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040【答案】C【解析】∵Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，∴數(shù)列{}是等差數(shù)列．∵a1＝﹣2018，，∴數(shù)列{}的公差d，首項為﹣2018，∴2018+2019×1＝1，∴S2020＝2020．故選：C．變式6．等差數(shù)列的前項和為，若且，則(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】設的公差為d，∵∴，即{}為等差數(shù)列，公差為，由知，故﹒故選：A﹒【方法技巧與總結】設，的前項和為，，則．題型三：等差數(shù)列前項和的性質例7．已知等差數(shù)列的前項和為，則（

）A．若，，則， B．若，，則，C．若，，則， D．若，，則，【答案】B【解析】設等差數(shù)列的公差為，A選項，若，，，，則，，則，，無法判斷符號，A選項錯誤.B選項，，則，所以，所以.，則，所以，，B選項正確.C選項，若，，，，則，，則，則，，C選項錯誤.D選項，若，，則，當時，所以，但，所以D選項錯誤.故選：B例8．等差數(shù)列的前項和為，若，，，則下列結論錯誤的是（

）A． B．C．數(shù)列是遞減數(shù)列 D．【答案】D【解析】由，則，即，又，故A正確；，，則，故，B正確；由，，即，所以，數(shù)列是遞減數(shù)列，故C正確；，D錯誤.故選：D變式7．已知等差數(shù)列的前項和為，若，且，則使成立的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由又，所以公差所以使成立的最大值為故選：C變式8．設等差數(shù)列的前項和為，滿足，則（

）A． B．的最小值為C． D．滿足的最大自然數(shù)的值為25【答案】C【解析】由于，，∴上式中等差中項，，即，故A錯誤；由等差數(shù)列的性質可知，，即，故B錯誤；由以上分析可知C正確，D錯誤；故選：C.變式10．已知等差數(shù)列的前n項和為，若，且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】方法一：∵∴∴∴，方法二：由于是二次函數(shù),當時的函數(shù)值，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，由可知，的關于對稱，因此，故選:B變式11．在各項不全為零的等差數(shù)列中，是其前n項和，且，，則正整數(shù)k的值為（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】C【解析】設等差數(shù)列公差為，所以，所以可看成關于n的二次函數(shù)，由二次函數(shù)圖象的對稱性及，，可得，解得．故選：C．【方法技巧與總結】利用等差數(shù)列前n項和的性質簡化計算（1）在解決等差數(shù)列問題時，先利用已知求出和，再求所求，是基本解法，有時運算量大些；（2）等差數(shù)列前項和的有關性質在解題過程中，如果運用得當可以達到化繁為簡、化難為易、事半功倍的效果．（3）設而不求，整體代換也是很好的解題方法．題型四：等差數(shù)列前項和的最值問題例10．在等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前項和的最大值為（

）A． B． C．或 D．【答案】A【解析】因為是等差數(shù)列，，所以，整理得，又因為，所以；所以．故當時，取得最大值．故選：A.例11．已知等差數(shù)列的前n項和為，當且僅當時取得最大值，若，則公差d的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由已知可得，即，解得，故選：A．例12．等差數(shù)列中，，，則當前項和最小時，（

）A．7 B．8 C．6或7 D．7或8【答案】C【解析】設公差為，因為，所以，所以，因為，所以，所以，所以，，所以，所以當或時，取得最小值.故選：C變式12．已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則當最小時，n的值為（

）A．1010 B．1011 C．1012 D．2021【答案】B【解析】由于等差數(shù)列的前項和的形式，圖象是由經(jīng)過坐標原點的拋物線上的橫坐標為正整數(shù)的所有點構成，由，可知拋物線的開口向上，且大于零的零點在區(qū)間(2021,2022)之間，因此對稱軸在區(qū)間之間，離對稱軸最近的橫坐標為整數(shù)的點的橫坐標為,∴取得最小值時n的值為1011．故選：變式14．設數(shù)列為等差數(shù)列，其前n項和為，已知，，若對任意都有成立，則的值是（）A．10 B．20 C．30 D．40【答案】B【解析】設等差數(shù)列的公差為d，由解得∴．∴當時，取得最大值．∵對任意都有成立，∴為數(shù)列的最大值，∴．故選：B.變式15．記為等差數(shù)列的前項和，且，，則取最大值時的值為（

）A．12 B．12或11 C．11或10 D．10【答案】B【解析】設等差數(shù)列的公差為，由，得，即，又，所以，所以，令，可得，所以數(shù)列滿足：當時，；當時，；當時，，所以取得最大值時，的取值為11或12.變式17．設是等差數(shù)列的前項和，，，當取得最小值時，（

）A．1 B．4 C．7 D．8【答案】D【解析】設數(shù)列的公差為，由已知得，解得，，由于，，即時，時，，所以時，遞減，時，遞增，其中，由的表達式得，，，所時，最?。蔬x：D．變式18．已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則使得前項和取得最大值時的值為（

）A．2022 B．2021 C．1012 D．1011【答案】D【解析】因為等差數(shù)列的前項和為，，，所以，所以，，所以，，即等差數(shù)列的公差，所以，時，；時，，所以，使得前項和取得最大值時的值為.故選：D變式19．已知等差數(shù)列的通項公式為（），當且僅當時，數(shù)列的前項和最大，則當時，（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由條件可知，當時，，，解得：，因為，所以，得，，解得：或（舍）.故選：D變式20．在等差數(shù)列中，為其前項的和，已知，且，當取得最大值時，的值為（

）A．17 B．18 C．19 D．20【答案】C【解析】設等差數(shù)列的公差為，∵，∴，∴，∴，∴，，∴取得最大值.故選：C.【方法技巧與總結】（1）等差數(shù)列前項和最大（?。┲档那樾微偃?，，則存在最大值，即所有非負項之和．②若，，則存在最小值，即所有非正項之和．（2）求等差數(shù)列前項和最值的方法①尋找正、負項的分界點，可利用等差數(shù)列性質或利用或來尋找．②運用二次函數(shù)求最值．題型五：求數(shù)列的前項和例13．已知數(shù)列的前項和為的前項和為．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求．【解析】（1）因為，所以當時，，當時，，所以，經(jīng)檢驗：滿足，所以.（2）由（1）可知，令，則，得，又，所以當時，；當時，；所以.例14．已知是數(shù)列的前項和，且.(1)求的通項公式；(2)若，求.【解析】（1）當時，，當時，，也符合上式，所以，（2）因為，所以時，；時，，當時，，當時，.綜上：例15．表示等差數(shù)列的前項的和，且，.(1)求數(shù)列的通項及；(2)求和【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為，由可得，因為，解得，所以，，.（2），當且時，；當且時，.綜上所述，.變式22．數(shù)列的前項和為，若，點在直線上．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．【解析】（1）因為點在直線上，所以，從而，因為，所以數(shù)列是首項為，公差為2的等差數(shù)列；故，即

①，當時，

②，由①②相減可得，，當時，也滿足題意，故的通項公式為：.（2）因為，所以，當時，；當時，，由(1)中結論可知，當時，；當時，，從而.【方法技巧與總結】已知等差數(shù)列，求絕對值數(shù)列的有關問題是一種常見的題型，解決此類問題的核心便是去掉絕對值，此時應從其通項公式入手，分析哪些項是正的，哪些項是負的，即找出正、負項的“分界點”．題型六：等差數(shù)列前n項和公式的實際應用例17．有n臺型號相同的聯(lián)合收割機，現(xiàn)收割一片土地上的小麥，若同時投入工作，則到收割完畢需要24h．現(xiàn)在這些收割機是每隔相同的時間依次投入工作的，每一臺投入工作后都一直工作到小麥收割完畢．如果第一臺收割機工作的時間是最后一臺的5倍，則用這種方法收割完這片土地上的小麥需要______h．【答案】40【解析】設這臺收割機工作的時間（單位：）依次為，，…，，依題意，是一個等差數(shù)列，且①，②；由②得，所以③．將①③聯(lián)立，解得．故用這種方法收割完這片土地上的小麥需要．故答案為：例18．我國古代數(shù)學著作《九章算術》有如下問題：“今有金箠，長五尺．斬本一尺，重四斤．斬末一尺，重二斤．問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金杖，長5尺，一頭粗，一頭細．在粗的一端截下1尺，重4斤，在細的一端截下1尺，重2斤．問依次每一尺各重多少斤？”假定該金杖被截成長度相等的若干段時，其質量從大到小構成等差數(shù)列．若將該金杖截成長度相等的20段，則中間兩段的質量和為______斤．【答案】【解析】解法一：設該若干段的質量從大到小構成等差數(shù)列，其公差為d，前n項和為，由題意每4段為1尺，可得，，∴解得，，∴中間兩段的質量和為．解法二：設該若干段的質量從大到小構成等差數(shù)列，由題意每4段為1尺，可得，，兩式相加得，則．故答案為：.變式23．《孫子算經(jīng)》是我國古代的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有五等諸侯，共分橘子六十顆，人別加三顆．問：五人各得幾何？”其意思為：“有依次為第一等，第二等，第三等，第四等，第五等的5個諸侯分60個橘子，他們分得的橘子個數(shù)成公差為3的等差數(shù)列，問5人各得多少橘子．”根據(jù)這個問題，可以得到第二等諸侯分得的橘子個數(shù)是______．【答案】9【解析】設第一等，第二等，第三等，第四等，第五等的5個諸侯分得的橘子個數(shù)組成數(shù)列，其公差為3，所以，解得，所以，即第二等諸侯分得的橘子個數(shù)是9．故答案為：9【方法技巧與總結】（1）與等差數(shù)列前項和有關的應用題，其關鍵在于構造合適的等差數(shù)列．（2）遇到與正整數(shù)有關的應用題時，可以考慮與數(shù)列知識聯(lián)系，抽象出數(shù)列的模型，并用有關知識解決相關的問題，是數(shù)學建模的核心素養(yǎng)的體觀．題型七：由等差數(shù)列的前n項和判斷等差數(shù)列例19．已知數(shù)列的前項和為.(1)證明：.(2)求數(shù)列的通項公式.【解析】（1）證明：當時，，又，故可知所以（2）由題意得：當時，，又因為，故可知由，可知數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別為等差數(shù)列，公差為，首項分別為：1，3當時，當時，例21．數(shù)列的前項和.（1）判斷是不是等差數(shù)列，若是，求其首項、公差；（2）設，求數(shù)列的前項和．【解析】（1）當時，.∵適合上式，∴.∵為常數(shù)，∴數(shù)列是首項為99，公差為-2的等差數(shù)列．（2）由（1），令，得，∵，∴，即當時，，當時，，①當時，，此時，∴的前項和.②當時，，此時，由，得數(shù)列的前項和.由①②得數(shù)列的前項和為.變式26．數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和.【解析】（1）當時，，，，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，.（2）由（1）得：，.【方法技巧與總結】（其中，為常數(shù)）是數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件．題型八：等差數(shù)列片段和的性質例22．已知等差數(shù)列前項和為，若，則的值為__________.【答案】0【解析】依題可知成等差，所以，解得：．故答案為：0．例24．已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則___________【答案】【解析】由題設成等差數(shù)列，所以，則，所以.故答案為：變式27．設等差數(shù)列的前項和為，若，，則______．【答案】32【解析】由等差數(shù)列前n項和的性質，可得，，，成等差數(shù)列，∴，解得，∴2，6，10，成等差數(shù)列，可得，解得.故答案為：32.變式28．已知等差數(shù)列的前n項和為．若，，則__________．【答案】42【解析】因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以，，也是等差數(shù)列．由題意得，，則，所以．故答案為：【方法技巧與總結】連續(xù)項的和依然成等差數(shù)列，即，，，…成等差數(shù)列，且公差為．題型九：等差數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項和例25．一個等差數(shù)列共有偶數(shù)項,偶數(shù)項之和為84,奇數(shù)項之和為51,最后一項與第一項之差為63,則該數(shù)列公差為________.【答案】3【解析】解:由題知不妨設等差數(shù)列為,首項為,公差為,項數(shù)為,故有,兩式相減,因為,故,故.故答案為:3例26．在等差數(shù)列中，已知公差，且，則__________.【答案】145【解析】等差數(shù)列中，已知公差，.故答案為：145.例27．在等差數(shù)列{an}中，S10＝120，且在這10項中，＝，則公差d＝________.【答案】2【解析】解:由,得,所以＝5d＝10，所以d＝2.故答案為：2.變式29．已知等差數(shù)列的前項和為377，項數(shù)為奇數(shù)，且前項中，奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和之比為7:6，則中間項為________．【答案】29【解析】因為為奇數(shù)，所以，解得．所以，所以．故所求的中間項為29．故答案為：29變式31．項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項之和為44，偶數(shù)項之和為33，則該數(shù)列的中間項和項數(shù)分別為______．【答案】11，7【解析】設等差數(shù)列項數(shù)為，，，∴，解得n=3，∴項數(shù)2n+1=7，又因為，所以，所以中間項為11．故答案為：11，7.【方法技巧與總結】（1）若項數(shù)為，則，，（2）若項數(shù)為，則，，，，【同步練習】一、單選題1．已知是等差數(shù)列的前項和，若，則（

）A．250 B． C．180 D．【答案】B【解析】由已知，數(shù)列為等差數(shù)列，，所以.故選：B.2．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為為等差數(shù)列，所以成等差數(shù)列，因為，設，由，即，則，所以，所以，所以.故選：B.3．設數(shù)列為等差數(shù)列，是其前n項和，且，則下列結論不正確的是（

）A． B． C． D．與均為的最大值【答案】C【解析】根據(jù)題意，設等差數(shù)列的公差為，依次分析選項：是等差數(shù)列，若，則，故B正確；又由得，則有，故A正確；而C選項，，即，可得，又由且，則，必有，顯然C選項是錯誤的.∵，，∴與均為的最大值，故D正確；故選：C4．在等差數(shù)列中，為其前n項和，若，，則其公差為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【解析】由已知得，，解得，故選：D.5．為等差數(shù)列前項和，若，，則使的的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，可得，而，所以，，，可轉化為，即，即，解得，而，所以的最大值為11.故選：C6．設為等差數(shù)列的前項和，且,．記，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，則的值為（

）A．11 B．1 C．約等于1 D．2【答案】B【解析】，解得：，所以，，所以.故選：B7．等差數(shù)列與的前n項和分別為，且，則（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】∵數(shù)列與均為等差數(shù)列，則，∴，即.故選：B.8．已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前20項的和為（

）A．230 B．115 C．110 D．100【答案】B【解析】，①，②兩式相加，又因為故，所以所以的前20項的和為故選：B二、多選題9．設等差數(shù)列的前n項和為，且，，則下列結論正確的有（

）A． B．C．數(shù)列單調遞減 D．對任意，有【答案】BCD【解析】，，，B正確；而，故無法判斷的正負，A錯誤；，數(shù)列單調遞減，C正確；當時，有最大值，即，D正確.故選：BCD10．記為等差數(shù)列的前n項和，公差為d，若，則以下結論一定正確的是（

）A． B．C． D．取得最大值時，【答案】AB【解析】由，得即，又，所以，選項A正確；由；，得，選項B正確；由，得，又，所以，選項C錯誤；，令，得，解得，又，所以，即