高考數學專題——幾何變換專項訓練幾何變換是高考數學中數形結合思想的核心載體，貫穿平面幾何、解析幾何與函數圖像研究。從基礎題的圖形平移、旋轉，到壓軸題的復合變換與最值探究，對變換的理解深度直接影響解題效率。本文系統(tǒng)梳理平移、旋轉、對稱、位似四大變換的高考考點，結合典型例題與分層訓練，助力考生構建完整的變換思維體系。一、平移變換：“變中尋定”的坐標邏輯平移的本質是圖形上所有點沿同一方向移動相同距離，核心考點集中在坐標表示與幾何量的不變性（面積、周長等保持不變）。高考中，平移常與函數圖像（如二次函數、三角函數的平移）、平面圖形（三角形、四邊形的平移軌跡）結合，考查點的坐標變換、圖形面積/周長的變化規(guī)律。典型例題在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標為\(A(1,2)\)、\(B(3,4)\)、\(C(2,5)\)。將△ABC沿向量\(\vec{a}=(-2,1)\)平移后得到△\(A'B'C'\)，求：（1）\(A'\)的坐標；（2）△\(A'B'C'\)的面積。解題思路：平移變換中，點的坐標變化遵循“向量平移公式：若點\(P(x,y)\)按向量\(\vec{a}=(h,k)\)平移，則\(P'(x+h,y+k)\)”；平移不改變圖形的形狀與大小，故面積與原三角形相等。（1）\(A\)點坐標\((1,2)\)，沿\(\vec{a}=(-2,1)\)平移后，\(A'(1-2,2+1)=(-1,3)\)；（2）原△\(ABC\)的面積可通過割補法計算：以\(A、B、C\)為頂點構造矩形，或利用向量叉乘，得面積為\(\frac{1}{2}\vert(3-1)(5-2)-(2-1)(4-2)\vert=2\)，故平移后面積仍為\(2\)。專項訓練（基礎+提升）1.基礎題：函數\(y=2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\)的圖像向左平移\(\frac{\pi}{6}\)個單位后，解析式為______。（考查函數圖像平移的“相位變換”）2.提升題：在平面直角坐標系中，邊長為\(2\)的正方形\(ABCD\)的頂點\(A\)在\((0,0)\)，\(B\)在\((2,0)\)。若正方形沿\(x\)軸正方向平移，當頂點\(C\)落在直線\(y=x-1\)上時，平移的距離為______。（考查圖形平移與直線的交點，需結合坐標變換列方程）二、旋轉變換：“繞點轉譯”的全等密碼旋轉是圖形繞某一定點（旋轉中心）按固定角度轉動，高考重點考查旋轉的性質應用（對應點到旋轉中心的距離相等、旋轉角相等）、旋轉后的圖形關系（全等、相似），以及坐標系中的旋轉變換（如繞原點旋轉\(90^\circ\)、\(180^\circ\)的坐標公式）。典型例題如圖，在\(\text{Rt}\triangleABC\)中，\(\angleACB=90^\circ\)，\(AC=BC=4\)，將△\(ABC\)繞點\(C\)逆時針旋轉\(45^\circ\)得到△\(A'B'C\)，連接\(AB'\)，求\(AB'\)的長度。解題思路：旋轉后，\(CA'=CA=4\)，\(\angleA'CA=45^\circ\)，且\(\angleACB=90^\circ\)，故\(\angleACB'=\angleACB+\angleBCB'=90^\circ+45^\circ=135^\circ\)（旋轉角\(\angleBCB'=\angleACA'=45^\circ\)）。在△\(ACB'\)中，\(AC=CB'=4\)，\(\angleACB'=135^\circ\)，由余弦定理：\[AB'^2=AC^2+CB'^2-2\cdotAC\cdotCB'\cdot\cos135^\circ=16+16-2\times4\times4\times\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=32+16\sqrt{2}\]故\(AB'=\sqrt{32+16\sqrt{2}}=4\sqrt{2+\sqrt{2}}\)。專項訓練（基礎+提升）1.基礎題：將點\(P(3,4)\)繞原點\(O\)逆時針旋轉\(90^\circ\)后的坐標為______。（考查坐標系旋轉的坐標公式：\((x,y)\to(-y,x)\)）2.提升題：在正方形\(ABCD\)中，\(E\)為\(BC\)中點，將△\(ABE\)繞點\(A\)逆時針旋轉\(90^\circ\)得到△\(ADF\)，連接\(EF\)，若\(AB=4\)，求\(EF\)的長度。（考查旋轉后的全等與勾股定理結合）三、對稱變換：“折痕為軸”的最值密鑰對稱變換分為軸對稱（關于直線對稱）和中心對稱（關于點對稱），高考核心考點包括：①對稱軸/對稱中心的確定（如函數的對稱軸、幾何圖形的對稱中心）；②利用對稱性求最短路徑（將軍飲馬問題）；③對稱變換下的圖形性質（如等腰三角形、圓的對稱性）。典型例題（將軍飲馬模型）如圖，在直線\(l\)同側有兩點\(A、B\)，在\(l\)上找一點\(P\)，使\(PA+PB\)最小。解題思路：作點\(A\)關于直線\(l\)的對稱點\(A'\)，連接\(A'B\)，與\(l\)的交點即為\(P\)。依據是“兩點之間線段最短”，且\(PA=PA'\)（對稱軸垂直平分對應點連線），故\(PA+PB=PA'+PB=A'B\)，此時和最小。延伸例題在平面直角坐標系中，點\(A(1,3)\)，\(B(5,1)\)，在\(x\)軸上找一點\(P\)，使\(PA+PB\)最小，求\(P\)的坐標。解題步驟：作\(A\)關于\(x\)軸的對稱點\(A'(1,-3)\)，設直線\(A'B\)的解析式為\(y=kx+b\)，代入\(A'(1,-3)\)、\(B(5,1)\)，得：\[\begin{cases}k+b=-3\\5k+b=1\end{cases}\impliesk=1,\,b=-4\]故直線\(A'B\)：\(y=x-4\)。令\(y=0\)，得\(x=4\)，故\(P(4,0)\)。專項訓練（基礎+提升）1.基礎題：函數\(y=x^2-2x+3\)的圖像關于直線\(x=2\)對稱的解析式為______。（考查二次函數的軸對稱變換，可先求頂點對稱后的坐標）2.提升題：在△\(ABC\)中，\(AB=AC=5\)，\(BC=6\)，點\(D\)在\(BC\)上，且\(BD=2\)，在\(AB\)上找一點\(E\)，使\(DE+EC\)最小，求最小值。（考查三角形中的將軍飲馬，需作對稱點后結合勾股定理）四、位似變換：“縮放中心”的相似本質位似是特殊的相似變換，圖形以某點為中心按比例縮放，高考考點集中在位似的性質（對應點連線過位似中心、相似比=位似比）、坐標系中的位似變換（以原點為位似中心時，坐標乘以位似比\(k\)或\(-k\)）、位似與其他變換的結合（如位似+旋轉）。典型例題在平面直角坐標系中，△\(ABC\)的三個頂點坐標為\(A(2,3)\)、\(B(4,1)\)、\(C(1,2)\)，以原點\(O\)為位似中心，將△\(ABC\)放大為原來的\(2\)倍，求位似后△\(A'B'C'\)的頂點坐標。解題思路：位似變換以原點為中心時，若位似比為\(k\)，則點\((x,y)\)的對應點為\((kx,ky)\)（同向位似）或\((-kx,-ky)\)（反向位似）。本題放大\(2\)倍，故有兩種情況：同向位似：\(A'(4,6)\)、\(B'(8,2)\)、\(C'(2,4)\)；反向位似：\(A'(-4,-6)\)、\(B'(-8,-2)\)、\(C'(-2,-4)\)。專項訓練（基礎+提升）1.基礎題：已知△\(ABC\)與△\(A'B'C'\)位似，位似中心為\(O\)，\(OA:OA'=2:3\)，則△\(ABC\)與△\(A'B'C'\)的面積比為______。（考查位似比與面積比的關系）2.提升題：在平面直角坐標系中，拋物線\(y=x^2\)與拋物線\(y=-2x^2+4x-2\)是位似圖形嗎？若是，求位似中心和位似比。（考查二次函數的位似，需將解析式化為頂點式，分析頂點與開口大小）五、綜合變換：“多法融合”的解題進階高考壓軸題常將平移、旋轉、對稱、位似復合考查，要求考生具備“動態(tài)分析”能力，將復雜變換拆解為單一變換的組合。典型例題如圖，在平面直角坐標系中，正方形\(ABCD\)的頂點\(A(0,0)\)，\(B(2,0)\)，\(C(2,2)\)，\(D(0,2)\)。先將正方形繞點\(A\)順時針旋轉\(45^\circ\)，再以原點為位似中心放大為原來的\(\sqrt{2}\)倍，求變換后頂點\(C\)的坐標。解題步驟：1.旋轉：原\(C(2,2)\)，繞\(A(0,0)\)順時針轉\(45^\circ\)。旋轉公式（順時針轉\(\theta\)，坐標\((x,y)\to(x\cos\theta+y\sin\theta,-x\sin\theta+y\cos\theta)\)），\(\theta=45^\circ\)，\(\cos45^\circ=\sin45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，故：\[x'=2\times\frac{\sqrt{2}}{2}+2\times\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2},\quady'=-2\times\frac{\sqrt{2}}{2}+2\times\frac{\sqrt{2}}{2}=0\]旋轉后\(C\)的坐標為\((2\sqrt{2},0)\)。2.位似：以原點為中心，放大\(\sqrt{2}\)倍，坐標乘以\(\sqrt{2}\)，故\(C''(2\sqrt{2}\times\sqrt{2},0\times\sqrt{2})=(4,0)\)。專項訓練（綜合提升）在平面直角坐標系中，△\(ABC\)的頂點\(A(1,1)\)，\(B(3,2)\)，\(C(2,4)\)。先將△\(ABC\)關于直線\(y=x\)對稱，再沿向量\(\vec{a}=(1,-1)\)平移，最后繞原點逆時針旋轉\(90^\circ\)，求變換后\(A\)點的坐標。（考查對稱、平移、旋轉的復合，需逐步計算）六、備考建議：構建“變換思維”的三階訓練1.基礎層：抓定義，熟公式牢記平移（向量公式）、旋轉（坐標公式、旋轉角性質）、對稱（對稱軸/中心的性質）、位似（坐標變換、相似比）的核心定義與公式，通過基礎題強化記憶（如本文各專題的基礎訓練題）。2.進階層：析模型，練轉化總結典型模型