PageSeq2026高考數(shù)學一輪復習微專題106講11.圖像交點個數(shù)與零點轉(zhuǎn)化含答案10.圖像交點與零點轉(zhuǎn)化一．基本原理函數(shù)的零點（1）概念：對于一般函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點.（2）函數(shù)的零點、函數(shù)的圖象與x軸的交點、對應方程的根的關系：上述轉(zhuǎn)化關系是處理零點問題的核心，即數(shù)形結(jié)合思想，我們可將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像，也可將函數(shù)圖像的交點轉(zhuǎn)化為方程問題進一步通過函數(shù)思想解決，很多考題圍繞這這個轉(zhuǎn)化展開，下面詳細分析.二．典例分析類型1.方程（零點）問題轉(zhuǎn)化為圖像問題解決例1．設是定義在R上的偶函數(shù)，且時，當時，，若在區(qū)間內(nèi)關于的方程且有且只有4個不同的根，則實數(shù)的范圍是（

）A． B． C． D．解析：∵是偶函數(shù)，∴，又，∴對于任意的，都有，所以，所以函數(shù)是一個周期函數(shù)，且，又因為當時，，且函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)關于的方程恰有4個不同的實數(shù)解，則函數(shù)與在區(qū)間上有四個不同的交點，作函數(shù)和的圖象，如圖所示，需，又，則對于函數(shù)，由題意可得，當時的函數(shù)值小于1，即，由此解得，所以的范圍是.故選：D.例2．已知函數(shù)滿足，且時，，若時，方程有兩個不同的根，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．解析：因為，所以函數(shù)的圖象關于直線對稱.當時，，則當時，的圖象如圖所示，直線為過定點的一條直線.當直線與當時的函數(shù)的圖象相切時，直線與在的圖象有兩個公共點.當時，函數(shù)，，設切點為，切線的斜率，則切線方程為，把點代入得，所以；當直線過點時，，所以的取值范圍為，故選：C.例3．已知是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，為偶函數(shù)，若在上恰好有4個不同的實數(shù)根，則_______.解析：由為偶函數(shù)，則，故，又是定義在上的奇函數(shù)，則，所以，故，即有，綜上，的周期為8，且關于對稱的奇函數(shù)，由在上單調(diào)遞減，結(jié)合上述分析知：在上遞增，上遞減，上遞增，所以在的大致草圖如下：要使在上恰好有4個不同的實數(shù)根，即與有4個交點，所以，必有兩對交點分別關于對稱，則.故答案為：24例4．函數(shù)的所有零點之和為___________．解析：由，令，，顯然與的圖象都關于直線對稱，在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)，的圖象，如圖，

觀察圖象知，函數(shù)，的圖象有6個公共點，其橫坐標依次為，這6個點兩兩關于直線對稱，有，則，所以函數(shù)的所有零點之和為9.故答案為：9例5．已知函數(shù)有兩個不同的零點，則常數(shù)的取值范是_______.解析：由函數(shù)有兩個不同的零點，可知與的圖象有兩個不同的交點，故作出如下圖象，當與的圖象相切時，，即，由圖可知，故相切時，因此結(jié)合圖象可知，當時，與的圖象有兩個不同的交點，即當時，函數(shù)有兩個不同的零點.故答案為：.類型2.圖像交點轉(zhuǎn)化為方程問題解決例6．已知當時，函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像有且只有兩個交點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．解析：由題設可知，當時，與有兩個交點，等價于有兩個根，令，則，所以當時，，則單調(diào)遞減；當時，，則單調(diào)遞增，故，當，，，故；當時，，，故，如圖；所以當時，直線與的圖像有兩個交點，即函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像有且只有兩個交點.故選：A.例7．已知當時，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有且只有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．解析：由題設，當時，，令，則，所以當時，，則單調(diào)遞增；當時，，則單調(diào)遞減.又，，所以當時，直線與的圖象有兩個交點，即函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有且只有兩個交點.故選：A.例8．已知函數(shù)，若存在，使，則n的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4解析：，得，所以，當和時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，因為和時，，時，，且，，所以，作出函數(shù)的圖像，如圖所示，當時，令，所以，若存在，使等價于存在，使所以，只需考慮函數(shù)與直線的交點個數(shù)問題，所以，由圖可知，函數(shù)與直線的交點個數(shù)最多為個，所以，n的最大值為.故選：D三．習題演練1．已知定義為R的奇函數(shù)滿足：，若方程在上恰有三個根，則實數(shù)k的取值范圍是（）A． B．C． D．【詳解】方程在上恰有三個根，即直線與函數(shù)的圖象有三個交點．由是R上的奇函數(shù)，則．當時，，則，當時，；當時，，所以在上遞減，在上遞增．結(jié)合奇函數(shù)的對稱性和“周期現(xiàn)象”得在上的圖象如下：由于直線過定點．如圖連接A，兩點作直線，過點A作的切線，設切點．其中，，則斜率，切線過點．則，即，則，當直線繞點在與之間旋轉(zhuǎn)時，直線與函數(shù)在上的圖象有三個交點，故．故選：D．2．若函數(shù)恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（）A． B．C． D．【詳解】令，，則，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，當時，，當趨向正無窮時，趨向正無窮，故作出的大致圖象，如圖所示．由題知函數(shù)恰有2個零點，即函數(shù)的圖象與直線的圖象恰有2個交點，易知點為與直線的公共點，又曲線在點處的切線方程為，所以當，直線與與曲線有2個交點；當時，直線與曲線有2個交點．綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．故選：C．3．已知函數(shù)滿足函數(shù)恰有5個零點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【詳解】因為，所以，，因為函數(shù)恰有5個零點，所以的圖象恰有5個交點，畫出的圖象，由圖象可得，因為與，與的圖象關于軸對稱，且與交于原點，要恰有5個零點，則與，與的圖象必有兩個交點，當與的圖象相切時，設切點，此時切線的斜率為，可得，得，所以切點，即，交點，所以要使函數(shù)恰有5個零點，則.故選：A.4．已知函數(shù)與函數(shù)的圖象交點分別為：，…，，則（

）A． B． C． D．【詳解】由題意化簡，，因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)關于點對稱.因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)關于點對稱.又，所以在上單調(diào)遞減，由題得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由圖象可知，與的圖象有四個交點，且都關于點對稱，所以，所以所求和為故選：D5．已知函數(shù)，令，若函數(shù)恰好有4個零點，則實數(shù)的值為____________.【詳解】有4個零點，轉(zhuǎn)化為與有4個交點，當時，，，解得：，當和時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，如圖畫出函數(shù)的圖象，當直線與相切時，此時有4個交點，設切點，則，解得，，故答案為：12.不動點問題及應用一．基本原理1.不動點:已知函數(shù),若存在,使得，則稱為函數(shù)的不動點.不動點實際上是方程組的解的橫坐標，或兩者圖象的交點的橫坐標.2.穩(wěn)定點:已知函數(shù),若存在，使得，則稱為函數(shù)的穩(wěn)定點.顯然,若為函數(shù)的不動點，則必為函數(shù)的穩(wěn)定點.3.關于不動點和穩(wěn)定點，有下面兩個結(jié)論：性質(zhì)1：；性質(zhì)2：若函數(shù)單調(diào)遞增，則.證明:不妨設,則由題知,則,故,所以,所以性質(zhì)1得證;設,則,因為函數(shù)單調(diào)遞增,所以存在唯一,使,若,則,得到,與矛盾;若,則,得到,與矛盾,故必有,所以,即,又由性質(zhì)（1）知,所以,當函數(shù)單調(diào)遞增,,故性質(zhì)2得證.二．典例分析例1.設函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）.若存在使成立,則的取值范圍是（）A.B. C. D.解析：,根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性,可以判斷該函數(shù)為增函數(shù)，又因為存在使,即有穩(wěn)定點，所以它必有不動點，使得，即在有解，整理可得,,在有解，令，在單調(diào)遞增，，故選擇A.例2．（23屆深圳一模）已知函數(shù)，其中且．（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在實數(shù)，使得，則稱為函數(shù)的“不動點”求函數(shù)的“不動點”的個數(shù)；（3）若關于x的方程有兩個相異的實數(shù)根，求a的取值范圍．解析：（1）所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．（2）函數(shù)的不動點即方程的根．顯然，不是方程的根，所以．記，因為（當且僅當取等號），所以在和上均單調(diào)遞增．由，記．①當時，（ⅰ）當時，，（可設當，當，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以），存在，使得，即存在唯一使得；（ⅱ）當時，，（設當，當，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以），存在，使得，即存在唯一使得．②當時，（ⅰ）當時，無零點；（ⅱ）當時，因為，，存在，使得，即存在唯一使得．綜上所述，當時，函數(shù)有兩個“不動點”，；當時，函數(shù)有一個“不動點”．（3）當且時方程有兩個不同實數(shù)根．例3.在數(shù)學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它可應用到有限維空間，并且是構(gòu)成一般不動點定理的基石．簡單地講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在點，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)．若函數(shù)為“不動點”函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．解析：由題意得若函數(shù)為不動點函數(shù)則滿足，即，即設，設，所以在單調(diào)遞減，且所以在上單調(diào)遞增，，所以在上單調(diào)遞減，所以，當則，當則，要想成立，由于的圖像為下圖，則與有交點，所以，故選：B下面的例題將不動點問題轉(zhuǎn)化為圖像與的交點來解決.例4．對于定義在R上的函數(shù)，如果存在實數(shù)使，那么叫做函數(shù)的一個不動點.若函數(shù)存在兩個不動點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．解析：要使函數(shù)存在兩個不動點，只需直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點即可.當時，顯然與的圖象有一個交點；當時，需使與的圖象有且只有一個交點，如示意圖，則需的圖象最多向下平移1個單位長度，向上則可以任意平移，所以，即.故選：C.例5．（多選題）對于函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在使得，則稱為函數(shù)的一個“不動點”，下列函數(shù)存在“不動點”的有（

）A． B．C． D．解析：對于A,定義域為,則，由于,故方程無實數(shù)根，故A錯誤，對于B,定義域為,，記，則的圖象是連續(xù)不斷的曲線，,,根據(jù)零點存在性定理可知在存在零點，故B正確，對于C,定義域為，，由于，所以是的一個不動點，故C正確，對于D,的定義域為，，令，則，故當單調(diào)遞減，當單調(diào)遞增，故當時，取極大值也是最大值，故，故在無實數(shù)根，故D錯誤，故選:BC例6．（多選題）在數(shù)學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它得名于荷蘭數(shù)學家魯伊茲·布勞威爾，簡單地講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個點，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，而稱為該函數(shù)的一個不動點，依據(jù)不動點理論，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)有3個不動點B．函數(shù)至多有兩個不動點C．若函數(shù)沒有不動點，則方程無實根D．設函數(shù)(，e為自然對數(shù)的底數(shù))，若曲線上存在點使成立，則a的取值范圍是解析：對于A，令，，，當且僅當時取“=”，則在R上單調(diào)遞減，而，即在R上只有一個零點，函數(shù)只有一個不動點，A不正確；對于B，因二次函數(shù)至多有兩個零點，則函數(shù)至多有兩個不動點，B正確；對于C，依題意，方程無實數(shù)根，即，當時，二次函數(shù)的圖象開口向上，則恒成立，即，恒有，而，因此有恒成立，即方程無實根，當時，二次函數(shù)的圖象開口向下，則恒成立，即，恒有，而，因此有恒成立，即方程無實根，所以函數(shù)沒有不動點，則方程無實根，C正確；對于D，點在曲線上，則，又，即有，當時，滿足，顯然函數(shù)是定義域上的增函數(shù)，若，則與矛盾，若，則與矛盾，因此，當時，，即當時，，對，，令，，，而兩個“=”不同時取得，即當時，，于是得在上單調(diào)遞增，有，即，則，D正確.故選：B12.不動點問題及應用一．基本原理1.不動點:已知函數(shù),若存在,使得，則稱為函數(shù)的不動點.不動點實際上是方程組的解的橫坐標，或兩者圖象的交點的橫坐標.2.穩(wěn)定點:已知函數(shù),若存在，使得，則稱為函數(shù)的穩(wěn)定點.顯然,若為函數(shù)的不動點，則必為函數(shù)的穩(wěn)定點.3.關于不動點和穩(wěn)定點，有下面兩個結(jié)論：性質(zhì)1：；性質(zhì)2：若函數(shù)單調(diào)遞增，則.證明:不妨設,則由題知,則,故,所以,所以性質(zhì)1得證;設,則,因為函數(shù)單調(diào)遞增,所以存在唯一,使,若,則,得到,與矛盾;若,則,得到,與矛盾,故必有,所以,即,又由性質(zhì)（1）知,所以,當函數(shù)單調(diào)遞增,,故性質(zhì)2得證.二．典例分析例1.設函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）.若存在使成立,則的取值范圍是（）A.B. C. D.解析：,根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性,可以判斷該函數(shù)為增函數(shù)，又因為存在使,即有穩(wěn)定點，所以它必有不動點，使得，即在有解，整理可得,,在有解，令，在單調(diào)遞增，，故選擇A.例2．（23屆深圳一模）已知函數(shù)，其中且．（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在實數(shù)，使得，則稱為函數(shù)的“不動點”求函數(shù)的“不動點”的個數(shù)；（3）若關于x的方程有兩個相異的實數(shù)根，求a的取值范圍．解析：（1）所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．（2）函數(shù)的不動點即方程的根．顯然，不是方程的根，所以．記，因為（當且僅當取等號），所以在和上均單調(diào)遞增．由，記．①當時，（?。┊敃r，，（可設當，當，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以），存在，使得，即存在唯一使得；（ⅱ）當時，，（設當，當，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以），存在，使得，即存在唯一使得．②當時，（?。┊敃r，無零點；（ⅱ）當時，因為，，存在，使得，即存在唯一使得．綜上所述，當時，函數(shù)有兩個“不動點”，；當時，函數(shù)有一個“不動點”．（3）當且時方程有兩個不同實數(shù)根．例3.在數(shù)學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它可應用到有限維空間，并且是構(gòu)成一般不動點定理的基石．簡單地講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在點，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)．若函數(shù)為“不動點”函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．解析：由題意得若函數(shù)為不動點函數(shù)則滿足，即，即設，設，所以在單調(diào)遞減，且所以在上單調(diào)遞增，，所以在上單調(diào)遞減，所以，當則，當則，要想成立，由于的圖像為下圖，則與有交點，所以，故選：B下面的例題將不動點問題轉(zhuǎn)化為圖像與的交點來解決.例4．對于定義在R上的函數(shù)，如果存在實數(shù)使，那么叫做函數(shù)的一個不動點.若函數(shù)存在兩個不動點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．解析：要使函數(shù)存在兩個不動點，只需直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點即可.當時，顯然與的圖象有一個交點；當時，需使與的圖象有且只有一個交點，如示意圖，則需的圖象最多向下平移1個單位長度，向上則可以任意平移，所以，即.故選：C.例5．（多選題）對于函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在使得，則稱為函數(shù)的一個“不動點”，下列函數(shù)存在“不動點”的有（

）A． B．C． D．解析：對于A,定義域為,則，由于,故方程無實