常微分方程考試卷及答案一、選擇題（每題5分，共30分）1.微分方程\(y'=2y\)的通解是（）。A.\(y=Ce^x\)B.\(y=Cxe^x\)C.\(y=Cx^2e^x\)D.\(y=Cx\)答案：A2.微分方程\(y'+2y=0\)的通解是（）。A.\(y=Ce^{-2x}\)B.\(y=Cxe^{-2x}\)C.\(y=Cx^2e^{-2x}\)D.\(y=Cx\)答案：A3.微分方程\(y''-4y=0\)的通解是（）。A.\(y=C_1e^{2x}+C_2e^{-2x}\)B.\(y=C_1e^{4x}+C_2e^{-4x}\)C.\(y=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)\)D.\(y=C_1\cos(4x)+C_2\sin(4x)\)答案：C4.微分方程\(y''+4y=0\)的通解是（）。A.\(y=C_1e^{2x}+C_2e^{-2x}\)B.\(y=C_1e^{4x}+C_2e^{-4x}\)C.\(y=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)\)D.\(y=C_1\cos(4x)+C_2\sin(4x)\)答案：D5.微分方程\(y''+4y'+4y=0\)的通解是（）。A.\(y=C_1e^{-2x}+C_2xe^{-2x}\)B.\(y=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}\)C.\(y=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)\)D.\(y=C_1\cos(4x)+C_2\sin(4x)\)答案：A6.微分方程\(y''-4y'+4y=0\)的通解是（）。A.\(y=C_1e^{-2x}+C_2xe^{-2x}\)B.\(y=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}\)C.\(y=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)\)D.\(y=C_1\cos(4x)+C_2\sin(4x)\)答案：B二、填空題（每題5分，共20分）1.微分方程\(y''+y=0\)的通解是\(y=C_1\cos(x)+C_2\sin(x)\)。（5分）2.微分方程\(y''-y=0\)的通解是\(y=C_1e^x+C_2e^{-x}\)。（5分）3.微分方程\(y''+2y'+y=0\)的通解是\(y=C_1e^{-x}+C_2xe^{-x}\)。（5分）4.微分方程\(y''-2y'+y=0\)的通解是\(y=C_1e^x+C_2xe^x\)。（5分）三、計算題（每題10分，共40分）1.求解微分方程\(y''-3y'+2y=0\)的通解。（10分）解答：特征方程為\(r^2-3r+2=0\)，解得\(r=1\)和\(r=2\)。因此，通解為\(y=C_1e^x+C_2e^{2x}\)。2.求解微分方程\(y''+5y'+6y=0\)的通解。（10分）解答：特征方程為\(r^2+5r+6=0\)，解得\(r=-2\)和\(r=-3\)。因此，通解為\(y=C_1e^{-2x}+C_2e^{-3x}\)。3.求解微分方程\(y''+4y'+4y=0\)的通解。（10分）解答：特征方程為\(r^2+4r+4=0\)，解得\(r=-2\)（重根）。因此，通解為\(y=C_1e^{-2x}+C_2xe^{-2x}\)。4.求解微分方程\(y''-4y'+4y=0\)的通解。（10分）解答：特征方程為\(r^2-4r+4=0\)，解得\(r=2\)（重根）。因此，通解為\(y=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}\)。四、應用題（每題10分，共10分）1.某彈簧振子的運動方程為\(m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0\)，其中\(zhòng)(m\)是質量，\(c\)是阻尼系數(shù)，\(k\)是彈簧常數(shù)。求該振子的振動周期。（10分）解答：對于無阻尼的彈簧振子（\(c=0\)），振動周期\(T\