高考數(shù)學(xué)絕對(duì)值不等式習(xí)題集絕對(duì)值不等式是高考數(shù)學(xué)的核心考點(diǎn)之一，既考查對(duì)絕對(duì)值概念的理解，也滲透分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想。本文結(jié)合高考命題規(guī)律，梳理絕對(duì)值不等式的典型題型、解法邏輯，并配套針對(duì)性習(xí)題，助力考生系統(tǒng)突破這一模塊。一、核心知識(shí)回顧絕對(duì)值的本質(zhì)是“距離”：實(shí)數(shù)\(x\)的絕對(duì)值\(|x|\)表示數(shù)軸上\(x\)到原點(diǎn)的距離；\(|x-a|\)表示\(x\)到點(diǎn)\(a\)的距離?；诖耍^對(duì)值不等式的基本解法與性質(zhì)可歸納為：1.基礎(chǔ)不等式的解集當(dāng)\(a>0\)時(shí)：\(|x|<a\iff-a<x<a\)（數(shù)軸上到原點(diǎn)距離小于\(a\)的點(diǎn)）；\(|x|>a\iffx<-a\)或\(x>a\)（數(shù)軸上到原點(diǎn)距離大于\(a\)的點(diǎn)）。當(dāng)\(a=0\)時(shí)：\(|x|<0\)無解，\(|x|>0\iffx\neq0\)；當(dāng)\(a<0\)時(shí)：\(|x|<a\)無解，\(|x|>a\)的解集為\(\mathbb{R}\)（全體實(shí)數(shù)）。2.三角不等式（放縮核心）對(duì)任意實(shí)數(shù)\(a,b\)，有：\(||a|-|b||\leq|a\pmb|\leq|a|+|b|\)等號(hào)成立條件：\(ab\geq0\)時(shí)，\(|a+b|=|a|+|b|\)；\(ab\leq0\)時(shí)，\(|a-b|=|a|+|b|\)。二、典型題型與解法解析題型1：基礎(chǔ)型絕對(duì)值不等式求解（不含參數(shù)）解法思路：通過分段討論（去絕對(duì)值符號(hào)）或平方法（利用\(|f(x)|<|g(x)|\ifff^2(x)<g^2(x)\)）轉(zhuǎn)化為普通不等式。例題1：解不等式\(|2x-1|<3\)解析：根據(jù)“\(|x|<a\iff-a<x<a\)”的等價(jià)轉(zhuǎn)化，得：\(-3<2x-1<3\)左半部分：\(-3+1<2x\implies-2<2x\impliesx>-1\)；右半部分：\(2x-1<3\implies2x<4\impliesx<2\)。因此解集為\((-1,2)\)。例題2：解不等式\(|x+2|\geq|3x-1|\)解析：兩邊均為非負(fù)數(shù)，可平方去絕對(duì)值（等價(jià)性成立）：\((x+2)^2\geq(3x-1)^2\)展開得：\(x^2+4x+4\geq9x^2-6x+1\)移項(xiàng)整理：\(8x^2-10x-3\leq0\)因式分解（或求根）：\((2x-3)(4x+1)\leq0\)解得：\(-\frac{1}{4}\leqx\leq\frac{3}{2}\)。題型2：含參數(shù)的絕對(duì)值不等式問題解法思路：需結(jié)合參數(shù)的取值范圍分類討論，或利用幾何意義分析參數(shù)對(duì)解集的影響。例題3：解關(guān)于\(x\)的不等式\(|x-a|<2a\)（\(a>0\)）解析：由\(|x-a|<2a\)（\(a>0\)，故\(2a>0\)），等價(jià)于：\(-2a<x-a<2a\)左半部分：\(-2a+a<x\implies-a<x\)；右半部分：\(x-a<2a\impliesx<3a\)。因此解集為\((-a,3a)\)（\(a>0\)時(shí)，\(-a<3a\)恒成立）。例題4：若不等式\(|x-1|+|x+2|>a\)對(duì)任意\(x\in\mathbb{R}\)恒成立，求\(a\)的取值范圍。解析：\(|x-1|+|x+2|\)的幾何意義是“數(shù)軸上點(diǎn)\(x\)到1和-2的距離之和”。當(dāng)\(x\)在-2和1之間（含端點(diǎn)）時(shí)，距離和最小：\(|1-(-2)|=3\)（即點(diǎn)-2到1的距離）。因此\(|x-1|+|x+2|\)的最小值為3。要使不等式恒成立，需\(a<3\)（若\(a=3\)，則僅當(dāng)\(x\)在-2和1之間時(shí)等號(hào)成立，不滿足“恒成立”）。題型3：絕對(duì)值不等式與函數(shù)、方程結(jié)合解法思路：將絕對(duì)值函數(shù)分段化（去絕對(duì)值符號(hào)），轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)分析最值、零點(diǎn)等問題。例題5：已知函數(shù)\(f(x)=|x-1|+|x+3|\)，求\(f(x)\)的最小值。解析：根據(jù)絕對(duì)值內(nèi)的零點(diǎn)（\(x=1\)和\(x=-3\)）分區(qū)間討論：當(dāng)\(x\leq-3\)時(shí)，\(f(x)=-(x-1)-(x+3)=-2x-2\)，此時(shí)\(f(x)\)隨\(x\)增大而減小，故\(f(x)\geqf(-3)=4\)；當(dāng)\(-3<x<1\)時(shí)，\(f(x)=-(x-1)+(x+3)=4\)；當(dāng)\(x\geq1\)時(shí)，\(f(x)=(x-1)+(x+3)=2x+2\)，此時(shí)\(f(x)\)隨\(x\)增大而增大，故\(f(x)\geqf(1)=4\)。綜上，\(f(x)\)的最小值為4（也可直接用三角不等式：\(|x-1|+|x+3|\geq|(x-1)-(x+3)|=4\)）。例題6：解方程\(|x-2|+|x+1|=5\)解析：分區(qū)間討論：當(dāng)\(x\leq-1\)時(shí)，方程化為\(-(x-2)-(x+1)=5\implies-2x+1=5\impliesx=-2\)（滿足\(x\leq-1\)，有效）；當(dāng)\(-1<x<2\)時(shí)，方程化為\(-(x-2)+(x+1)=5\implies3=5\)，無解；當(dāng)\(x\geq2\)時(shí)，方程化為\((x-2)+(x+1)=5\implies2x-1=5\impliesx=3\)（滿足\(x\geq2\)，有效）。因此方程的解為\(x=-2\)或\(x=3\)。題型4：絕對(duì)值不等式的證明解法思路：利用三角不等式放縮，或分情況討論絕對(duì)值內(nèi)的符號(hào)。例題7：證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)\(a,b\)，有\(zhòng)(|a+b|+|a-b|\geq2|a|\)。解析：由三角不等式\(|m|+|n|\geq|m+n|\)，令\(m=a+b\)，\(n=a-b\)，則：\(|a+b|+|a-b|\geq|(a+b)+(a-b)|=|2a|=2|a|\)等號(hào)成立條件：\((a+b)(a-b)\geq0\)（即\(|a|\geq|b|\)）。三、方法總結(jié)：解絕對(duì)值不等式的“四大武器”1.分段討論法：找到絕對(duì)值內(nèi)的零點(diǎn)（使絕對(duì)值為0的\(x\)值），將定義域分為若干區(qū)間，逐段去絕對(duì)值符號(hào)；2.平方法：當(dāng)不等式兩邊均為非負(fù)數(shù)時(shí)，平方后等價(jià)轉(zhuǎn)化為二次不等式（注意驗(yàn)證等價(jià)性）；3.幾何意義法：將絕對(duì)值理解為數(shù)軸上的距離，通過“距離和/差”的幾何直觀分析解集或最值；4.三角不等式法：利用\(||a|-|b||\leq|a\pmb|\leq|a|+|b|\)進(jìn)行放縮，常用于證明或求最值。四、配套習(xí)題訓(xùn)練請(qǐng)嘗試解決以下習(xí)題，鞏固絕對(duì)值不等式的解法邏輯：1.解不等式\(|3x-2|\leq4\)；2.解關(guān)于\(x\)的不等式\(|x-m|>m\)（\(m\)為實(shí)數(shù)，需討論\(m\)的取值）；3.已知\(f(x)=|x-2|+|x+4|\)，求\(f(x)<8\)的解集；4.證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)\(a,b\)，有\(zhòng)(|a|-|b|\leq|a-b|\)（提示：利用\(|a|=|(a-b)+b|\)結(jié)合三角不等式）。答案與解析提示（可私信獲取詳細(xì)步驟）：1.解集為\(\left[-\frac{2}{3},2\right]\)；2.當(dāng)\(m<0\)時(shí)，解集為\(\mathbb{R}\)；當(dāng)\(m=0\)時(shí)，解集為\(\{x|x\neq0\}\)；當(dāng)\(m>0\)時(shí)，解集為\((-\infty,0)\cup(2m,+\in