八年級數(shù)學期末測驗題庫及講解一、三角形與全等三角形（一）知識點梳理三角形是幾何基礎，需掌握：三邊關系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；內角和：三角形內角和為\(180^\circ\)，外角等于不相鄰兩內角和；全等三角形：判定方法有\(zhòng)(\boldsymbol{SSS}\)（邊邊邊）、\(\boldsymbol{SAS}\)（邊角邊）、\(\boldsymbol{ASA}\)（角邊角）、\(\boldsymbol{AAS}\)（角角邊），直角三角形可通過\(\boldsymbol{HL}\)（斜邊直角邊）判定。（二）題庫與講解1.基礎題（夯實概念）題目1：下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）A.\(2,3,5\)B.\(3,4,8\)C.\(5,6,10\)D.\(5,6,11\)講解：根據(jù)“最小兩邊之和大于第三邊”判斷：A：\(2+3=5\)，不大于\(5\)，排除；B：\(3+4=7<8\)，排除；C：\(5+6=11>10\)，符合；D：\(5+6=11\)，不大于\(11\)，排除。答案：\(\boldsymbol{C}\)題目2：如圖，\(\triangleABC\cong\triangleDEF\)，若\(\angleA=50^\circ\)，\(\angleC=30^\circ\)，則\(\angleE\)的度數(shù)為（）講解：全等三角形對應角相等，先求\(\angleB\)：\(\triangleABC\)內角和為\(180^\circ\)，故\(\angleB=180^\circ-50^\circ-30^\circ=100^\circ\)。由\(\triangleABC\cong\triangleDEF\)，得\(\angleE=\angleB=100^\circ\)。2.提升題（能力進階）題目3：如圖，點\(B、E、C、F\)在同一直線上，\(AB\parallelDE\)，\(AB=DE\)，\(\angleA=\angleD\)。求證：\(\triangleABC\cong\triangleDEF\)。講解：由\(AB\parallelDE\)得\(\angleB=\angleDEF\)（同位角相等）。已知\(AB=DE\)，\(\angleA=\angleD\)，結合\(\angleB=\angleDEF\)，根據(jù)\(\boldsymbol{ASA}\)判定：在\(\triangleABC\)和\(\triangleDEF\)中，\[\begin{cases}\angleA=\angleD\\AB=DE\\\angleB=\angleDEF\end{cases}\]\(\therefore\triangleABC\cong\triangleDEF\)（\(ASA\)）。3.拓展題（綜合應用）題目4：如圖，\(\triangleABC\)中，\(AB=AC\)，點\(D\)在\(BC\)上，且\(AD=BD\)，\(\angleDAC=90^\circ\)，求\(\angleB\)的度數(shù)。講解：設\(\angleB=x\)，由\(AB=AC\)得\(\angleC=\angleB=x\)（等腰三角形等邊對等角）。由\(AD=BD\)，得\(\angleBAD=\angleB=x\)，故\(\angleADC=\angleB+\angleBAD=2x\)（三角形外角性質）。在\(\triangleADC\)中，\(\angleDAC=90^\circ\)，\(\angleC=x\)，\(\angleADC=2x\)，內角和為\(180^\circ\)，故：\(90^\circ+x+2x=180^\circ\implies3x=90^\circ\impliesx=30^\circ\)。\(\therefore\angleB=30^\circ\)。二、軸對稱與等腰三角形（一）知識點梳理軸對稱：圖形沿某直線折疊后，直線兩旁部分完全重合，對稱軸垂直平分對應點連線；等腰三角形：性質為\(\boldsymbol{等邊對等角}\)、\(\boldsymbol{三線合一}\)（頂角平分線、底邊上的高、中線重合）；等邊三角形：三邊相等，內角均為\(60^\circ\)，判定：三邊相等/三角相等/有一個角為\(60^\circ\)的等腰三角形。（二）題庫與講解1.基礎題題目5：下列圖形中，對稱軸最多的是（）A.等腰三角形B.正方形C.圓D.線段講解：等腰三角形（非等邊）有\(zhòng)(1\)條對稱軸；正方形有\(zhòng)(4\)條；圓有無數(shù)條；線段有\(zhòng)(2\)條（中垂線和自身所在直線）。答案：\(\boldsymbol{C}\)題目6：等腰三角形的一個角為\(50^\circ\)，則它的頂角為（）A.\(50^\circ\)B.\(80^\circ\)C.\(50^\circ\)或\(80^\circ\)D.\(65^\circ\)講解：分情況討論：若\(50^\circ\)是頂角，則頂角為\(50^\circ\)；若\(50^\circ\)是底角，則頂角\(=180^\circ-2\times50^\circ=80^\circ\)。答案：\(\boldsymbol{C}\)2.提升題題目7：如圖，牧童在\(A\)處放牛，要到河邊\(l\)飲水，再到\(B\)處回家，怎樣走路徑最短？請用尺規(guī)作圖畫出最短路徑（保留作圖痕跡），并說明理由。講解：利用\(\boldsymbol{軸對稱求最短路徑}\)，步驟：1.作點\(A\)關于直線\(l\)的對稱點\(A'\)；2.連接\(A'B\)，與\(l\)交于點\(P\)；3.路徑\(A\toP\toB\)最短，理由：兩點之間線段最短，且\(AP=A'P\)（軸對稱性質），故\(AP+PB=A'P+PB=A'B\)（最短）。3.拓展題題目8：如圖，\(\triangleABC\)中，\(AB=AC\)，\(\angleBAC=120^\circ\)，\(D\)為\(BC\)中點，\(DE\perpAB\)于\(E\)，求證：\(BE=3AE\)。講解：連接\(AD\)，由\(AB=AC\)，\(D\)為\(BC\)中點，得\(AD\perpBC\)（三線合一），且\(\angleBAD=\angleCAD=60^\circ\)（平分頂角）。在\(\text{Rt}\triangleADE\)中，\(\angleADE=30^\circ\)（\(\angleBAD=60^\circ\)，直角三角形兩銳角互余），故\(AD=2AE\)（\(30^\circ\)對的直角邊是斜邊的一半）。在\(\triangleABD\)中，\(\angleB=30^\circ\)（等腰三角形，\(\angleBAC=120^\circ\)，故\(\angleB=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ\)），所以\(AB=2AD\)（\(30^\circ\)對的直角邊是斜邊的一半）。因此\(AB=2AD=2\times2AE=4AE\)，而\(BE=AB-AE=4AE-AE=3AE\)，得證。三、整式乘法與因式分解（一）知識點梳理冪的運算：\(a^m\cdota^n=a^{m+n}\)，\((a^m)^n=a^{mn}\)，\((ab)^n=a^nb^n\)，\(a^m\diva^n=a^{m-n}\)（\(a\neq0\)，\(m>n\)）；乘法公式：平方差\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)，完全平方\((a\pmb)^2=a^2\pm2ab+b^2\)；因式分解：方法有\(zhòng)(\boldsymbol{提公因式法}\)（\(ma+mb+mc=m(a+b+c)\)）、\(\boldsymbol{公式法}\)（逆用乘法公式）、\(\boldsymbol{十字相乘法}\)（\(x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)\)）。（二）題庫與講解1.基礎題題目9：計算\((-2a^2b)^3\)的結果是（）A.\(-6a^6b^3\)B.\(-8a^6b^3\)C.\(8a^6b^3\)D.\(-8a^5b^3\)講解：根據(jù)積的乘方，\((-2)^3\cdot(a^2)^3\cdotb^3=-8a^6b^3\)。答案：\(\boldsymbol{B}\)題目10：因式分解\(x^2-4y^2\)的結果是（）A.\((x-4y)(x+4y)\)B.\((x-2y)^2\)C.\((x+2y)^2\)D.\((x-2y)(x+2y)\)講解：逆用平方差公式，\(x^2-(2y)^2=(x-2y)(x+2y)\)。答案：\(\boldsymbol{D}\)2.提升題題目11：計算\((2x-3y)^2-(2x+3y)^2\)，并因式分解。講解：方法一（展開化簡）：\[\begin{align*}&(4x^2-12xy+9y^2)-(4x^2+12xy+9y^2)\\&=4x^2-12xy+9y^2-4x^2-12xy-9y^2\\&=-24xy\end{align*}\]方法二（逆用平方差）：\[\begin{align*}&[(2x-3y)-(2x+3y)][(2x-3y)+(2x+3y)]\\&=(-6y)(4x)\\&=-24xy\end{align*}\]3.拓展題題目12：因式分解\(x^3-4x\)，并求當\(x=2\)時的值。講解：先提公因式，再用平方差：\[x^3-4x=x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)\]當\(x=2\)時，代入得：\[2\times(2-2)\times(2+2)=2\times0\times4=0\]四、分式（一）知識點梳理分式定義：形如\(\frac{A}{B}\)（\(A、B\)為整式，\(B\)含字母且\(B\neq0\)）的式子；基本性質：\(\frac{A}{B}=\frac{A\cdotM}{B\cdotM}\)，\(\frac{A}{B}=\frac{A\divM}{B\divM}\)（\(M\neq0\)）；運算：乘除（\(\frac{a}\cdot\frac{c}aqesoko=\frac{ac}{bd}\)，\(\frac{a}\div\frac{c}mcgcgsw=\frac{ad}{bc}\)）、加減（同分母\(\frac{a}{c}\pm\frac{c}=\frac{a\pmb}{c}\)，異分母通分后計算）、混合運算（先乘方，再乘除，后加減，有括號先算括號）；分式方程：分母含未知數(shù)的方程，解法：去分母化為整式方程，解后檢驗（分母\(\neq0\)）。（二）題庫與講解1.基礎題題目13：若分式\(\frac{x-2}{x+3}\)有意義，則\(x\)的取值范圍是（）A.\(x\neq-3\)B.\(x\neq2\)C.\(x>-3\)D.\(x<2\)講解：分式有意義需分母\(\neq0\)，即\(x+3\neq0\impliesx\neq-3\)。答案：\(\boldsymbol{A}\)題目14：化簡\(\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}\)的結果是（）A.\(\frac{x+2}{x-2}\)B.\(\frac{x-2}{x+2}\)C.\(\frac{x+4}{x-4}\)D.\(\frac{x-4}{x+4}\)講解：分子分母因式分解：分子\(x^2-4=(x-2)(x+2)\)，分母\(x^2-4x+4=(x-2)^2\)，約去公