競(jìng)賽極限試題及答案一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共40分）1.設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，且當(dāng)x趨近于0時(shí)，(f(x)-3)/(e^x-1)的極限為2，則f'(0)的值為：A.0B.2C.3D.62.已知函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0，則下列哪個(gè)條件能保證存在ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=f(ξ)：A.f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增B.f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減C.f(x)在[a,b]上取得最大值和最小值D.存在c∈(a,b)使得f(c)>0或f(c)<03.設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a_1=1，a_{n+1}=a_n+1/n^2，則當(dāng)n趨近于無窮大時(shí)，a_n的極限：A.存在且等于2B.存在且大于2C.存在且小于2D.不存在4.已知函數(shù)f(x)在x=0處二階可導(dǎo)，且f'(0)=0，f''(0)=1，則lim_{x→0}(f(x)-f(0))/x^2的值為：A.0B.1/2

C.1D.不存在5.設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0，f(1)=1，則存在ξ∈(0,1)使得f'(ξ)=1的條件是：A.f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增

B.f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減

C.f(x)在[0,1]上先增后減

D.f(x)在[0,1]上先減后增6.已知級(jí)數(shù)∑_{n=1}^∞a_n收斂，且a_n>0，則下列級(jí)數(shù)中必定收斂的是：A.∑_{n=1}^∞√a_n

B.∑_{n=1}^∞a_n^2

C.∑_{n=1}^∞1/a_n

D.∑_{n=1}^∞(a_n)^(1/3)7.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，則存在ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=0的充分條件是：A.f(x)在[a,b]上單調(diào)B.f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值C.f(x)在[a,b]上可積D.f(x)在[a,b]上一致連續(xù)8.已知函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，且lim_{x→0}(f(x)-f(0))/(x-sinx)=2，則f'(0)的值為：A.0B.1C.2D.39.設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a_1=1，a_{n+1}=a_n/(1+a_n)，則當(dāng)n趨近于無窮大時(shí)，a_n的極限：A.0

B.1

C.∞D(zhuǎn).不存在10.已知函數(shù)f(x)在x=a處連續(xù)，且lim_{x→a}[f(x)-f(a)]/(x-a)^3存在，則f(x)在x=a處：A.連續(xù)但不可導(dǎo)

B.可導(dǎo)但導(dǎo)數(shù)不連續(xù)

C.二階可導(dǎo)D.三階可導(dǎo)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共40分）1.下列函數(shù)在x=0處可導(dǎo)的是：

A.f(x)=|x|B.f(x)=x^2sin(1/x)（x≠0），f(0)=0C.f(x)=[x]（取整函數(shù)）D.f(x)=x^(1/3)2.下列級(jí)數(shù)收斂的是：A.∑_{n=1}^∞1/nB.∑_{n=1}^∞1/n^2

C.∑_{n=1}^∞(-1)^n/n

D.∑_{n=1}^∞n!/n^n3.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則下列命題正確的是：A.若f(a)=f(b)，則存在ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=0B.若f'(x)>0，則f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增

C.若f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增，則f'(x)≥0

D.若f(x)在[a,b]上取得最大值，則f'(x)在該點(diǎn)處為04.下列函數(shù)在定義域內(nèi)一致連續(xù)的是：A.f(x)=1/x（x≠0）B.f(x)=sinxC.f(x)=x^2D.f(x)=√x（x≥0）5.下列極限存在的是：A.lim_{x→0}(sinx)/xB.lim_{x→∞}(1+1/x)^xC.lim_{x→0}(1-cosx)/x^2D.lim_{x→∞}xsinx6.設(shè)數(shù)列{a_n}收斂，則下列命題正確的是：A.若{a_n}單調(diào)，則{a_n}有界B.若{a_n}有界，則{a_n}收斂C.若{a_n}收斂于a，則{|a_n|}收斂于|a|D.若{|a_n|}收斂，則{a_n}收斂7.下列函數(shù)在x=0處連續(xù)的是：A.f(x)=[x]+[-x]（[x]為取整函數(shù)）B.f(x)=xsin(1/x)（x≠0），f(0)=0C.f(x)=(1+x)^(1/x)（x≠0），f(0)=eD.f(x)=e^(-1/x^2)（x≠0），f(0)=08.下列命題正確的是：A.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上可積B.若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積，則f(x)在[a,b]上連續(xù)C.若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)，則f(x)在[a,b]上可積D.若函數(shù)f(x)在[a,b]上有界且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在[a,b]上可積9.設(shè)函數(shù)f(x)在x=a處二階可導(dǎo)，則下列極限存在的是：A.lim_{x→a}[f(x)-f(a)]/(x-a)B.lim_{x→a}[f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)]/(x-a)^2C.lim_{x→a}[f'(x)-f'(a)]/(x-a)D.lim_{x→a}[f(x)-f(a)]/(x-a)^310.下列函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)的是：A.f(x)=|x^3|B.f(x)=x^(2/3)C.f(x)=[x^2]（取整函數(shù)）D.f(x)=e^(-1/|x|)（x≠0），f(0)=0三、判斷題（每題1分，共10分）1.若函數(shù)f(x)在x=a處連續(xù)，則f(x)在x=a處必定可導(dǎo)。（）2.若數(shù)列{a_n}收斂，則{a_n}必定有界。（）3.若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積，則f(x)在[a,b]上必定連續(xù)。（）4.若函數(shù)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則f(x)在x=a處必定連續(xù)。（）5.若級(jí)數(shù)∑_{n=1}^∞a_n收斂，則級(jí)數(shù)∑_{n=1}^∞|a_n|必定收斂。（）6.若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增，則f(x)在[a,b]上必定可導(dǎo)。（）7.若函數(shù)f(x)在x=a處二階可導(dǎo)，則f(x)在x=a處必定一階可導(dǎo)。（）8.若數(shù)列{a_n}單調(diào)且有界，則{a_n}必定收斂。（）9.若函數(shù)f(x)在x=a處連續(xù)，且f(a)>0，則存在δ>0，使得當(dāng)|x-a|<δ時(shí)，f(x)>0。（）10.若函數(shù)f(x)在[a,b]上有界，則f(x)在[a,b]上必定可積。（）四、填空題（每題1分，共10分）1.若函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，且lim_{x→0}(f(x)-f(0))/x=2，則f'(0)=______。2.已知級(jí)數(shù)∑_{n=1}^∞a_n收斂，且a_n=1/n^p，則p的取值范圍是______。3.設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0，f(1)=1，則由拉格朗日中值定理，存在ξ∈(0,1)使得f'(ξ)=______。4.已知函數(shù)f(x)在x=a處二階可導(dǎo)，且f'(a)=0，f''(a)=1，則函數(shù)f(x)在x=a處取得______（極大值/極小值）。5.設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a_1=1，a_{n+1}=a_n+1/n，則當(dāng)n趨近于無窮大時(shí)，a_n的極限______（存在/不存在）。6.已知函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，且lim_{x→0}(f(x)-f(0))/(x^2)=1，則f'(0)=______，f''(0)=______。7.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0，則由羅爾定理，存在ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=______。8.已知級(jí)數(shù)∑_{n=1}^∞(-1)^(n-1)/n收斂，其和為______。9.設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處可導(dǎo)，且f(0)=0，f'(0)=1，則lim_{x→0}(f(x))/x=______。10.已知函數(shù)f(x)在x=a處連續(xù)，且lim_{x→a}[f(x)-f(a)]/(x-a)=2，則函數(shù)f(x)在x=a處的導(dǎo)數(shù)為______。答案一、單項(xiàng)選擇題1.B2.D3.B4.B5.A6.B7.B8.C9.A10.C二、多項(xiàng)選擇題1.B,D