高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山西省大同市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】拋物線開(kāi)口向左，焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線方程為.故選：A.2.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由直線方程可得直線斜率，故直線的傾斜角為.故選：D.3.如圖，在四面體中，，且，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得，，，∴.故選：C.4.若點(diǎn)在圓外，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在圓外，則，解得.故選：B.5.如圖所示的幾何體為兩個(gè)正方體組成的正四棱柱，記集合，則集合中元素個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.6 D.9【答案】A【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則A1,0,0，，，，，，，，，，，所以，，，，，，，，，，所以，，，所以集合，即集合共個(gè)元素.故選：A.6.已知，雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓的的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意可得，因?yàn)椋傻?，因此，雙曲線的漸近線方程為.故選：C.7.已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】由題意得，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，所以的最小值為兩平行線間距離的平方，即.故選：D.8.橢圓是軸對(duì)稱圖形，亦是中心對(duì)稱圖形，因其對(duì)稱性，受到一些藝術(shù)制品設(shè)計(jì)者的青睞.現(xiàn)有一工藝品，其圖案的基本圖形由正方形和內(nèi)嵌其中的“斜橢圓”組成（如圖）．在平面直角坐標(biāo)系中，將標(biāo)準(zhǔn)方程表示的橢圓繞著對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)一定角度，可得“斜橢圓”.已知一“斜橢圓”的方程為，則該“斜橢圓”的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)“斜橢圓”的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，由橢圓的對(duì)稱性可得長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)度為曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值，短半軸的長(zhǎng)度為曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值，由基本不等式，可得，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立，所以橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，所以橢圓離心率為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知曲線（、為常數(shù)）則（）A.若，，則曲線為橢圓B.若，則曲線為雙曲線C.對(duì)任意實(shí)數(shù)、，曲線都不會(huì)是拋物線D.存在實(shí)數(shù)、，使得曲線是由直線組成的圖形【答案】BCD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則曲線為圓，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，若，則曲線為雙曲線，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，對(duì)任意實(shí)數(shù)、，曲線中的、都無(wú)一次項(xiàng)，即曲線不會(huì)是拋物線，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，取，，可得，此時(shí)，曲線表示兩條平行直線，D對(duì).故選：BCD.10.在正方體中，，，則（）A.若，則點(diǎn)軌跡為線段B.若，則點(diǎn)的軌跡為連接棱的中點(diǎn)和棱中點(diǎn)的線段C.若，則三棱錐的體積為定值D.若，則與平面所成角的余弦值的最大值為【答案】BCD【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0、、、、、、、，因?yàn)?，?duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)的軌跡為線段，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，若，即點(diǎn)，此時(shí)，點(diǎn)的軌跡為連接棱的中點(diǎn)和棱中點(diǎn)的線段，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若，即點(diǎn)，其中，，，設(shè)平面的法向量為m=x1,則，取，可得，，則點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)榈拿娣e為定值，故三棱錐的體積為定值，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，若，則，其中，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則，當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)取最大值，且，則，因此，當(dāng)時(shí)，則與平面所成角的余弦值的最大值為，D對(duì).故選：BCD.11.已知是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.若的縱坐標(biāo)為2，則B.若直線過(guò)點(diǎn)，則的最小值為4C.若，則直線恒過(guò)定點(diǎn)D.若垂直的準(zhǔn)線于點(diǎn)，且，則四邊形的周長(zhǎng)為【答案】BC【解析】由題意得，，，準(zhǔn)線方程.A.由的縱坐標(biāo)為2得，，故，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.B.如圖，設(shè)直線方程為：，，由得，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)B正確.C.如圖，設(shè)直線方程為：，，由得，，∴，∴，解得，∴直線方程為：，恒過(guò)定點(diǎn)，選項(xiàng)C正確.D.如圖，設(shè)點(diǎn)在第四象限.由題意得，，則.由準(zhǔn)線方程為得，，故，，∴，∴四邊形的周長(zhǎng)為，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知橢圓的焦距為2，則______．【答案】5或7.【解析】當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸時(shí)，，由焦距為得，，故，解得.當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸時(shí)，，由焦距為得，，故，解得.13.若圓與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【解析】圓圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以曲線的圖象也關(guān)于軸對(duì)稱，所以只需研究與圓只有一個(gè)交點(diǎn)即可，當(dāng)與圓相切時(shí)，則，當(dāng)與圓相交時(shí)（只有一個(gè)交點(diǎn)），則，綜上可得的取值范圍為.14.已知為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于一條漸近線的直線交的右支于點(diǎn)，若，則的離心率______.【答案】【解析】由得，，又∵，∴.由雙曲線漸近線方程為得，，即，又∵，∴.在中，由正弦定理得，，∴，解得，由雙曲線定義可得，，故，在中，由余弦定理得，，∴，故雙曲線離心率.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.（1）求兩焦點(diǎn)分別為，且過(guò)點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求與雙曲線共漸近線，且過(guò)點(diǎn)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：（1）設(shè)橢圓方程為，依題意，解得，所以橢圓方程為；（2）依題意設(shè)雙曲線方程為，則，解得，所以雙曲線方程為.16.已知圓和點(diǎn).（1）過(guò)點(diǎn)作一條直線與圓交于、兩點(diǎn)，且，求直線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作圓兩條切線，切點(diǎn)分別為、，求所在的直線方程.解：（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，所以圓心到直線的距離為.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為，合乎題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，由題意可得，解得，此時(shí)直線的方程為，即.綜上所述，直線的方程為或.（2）因?yàn)椋瑒t，所以以點(diǎn)為圓心，為半徑為圓的方程為，則線段可視為圓與圓的相交弦，將上述兩圓的方程作差可得..17.如圖，在以為頂點(diǎn)的圓錐中，點(diǎn)是圓錐底面圓的圓心，是圓錐底面圓的直徑，為底面圓周上的兩點(diǎn)，且為等邊三角形，是母線的中點(diǎn)，.（1）求平面ADE與平面ACE的夾角的余弦值；（2）設(shè)AE與PO交于點(diǎn)，求直線CM與平面ADE所成角的正弦值.解：（1）如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.由題意得，，，，，，∴.設(shè)平面的法向量為，∴，可取，設(shè)平面的法向量為，∴，可取.設(shè)平面ADE與平面ACE的夾角為，則.（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則為中點(diǎn)，且，∴，由得，，∴，即，∴.設(shè)直線CM與平面ADE所成角為，.18.已知點(diǎn)A，B是橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)滿足.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）是否存在點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且BM與BN的斜率之和為定值？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）由題意得，.設(shè)，由得，，整理得，點(diǎn)的軌跡方程為.（2）存在，理由如下：設(shè)動(dòng)直線方程為，直線斜率為，直線斜率為，則，.由得，，∴，由點(diǎn)在動(dòng)直線上得，，整理得，同理得，∴是方程的兩個(gè)根，∴，則為定值.令，則，代入動(dòng)直線方程得，，令，得，代入動(dòng)直線方程得，，即，點(diǎn)代入（1）中軌跡方程得，，解得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或.19.已知?jiǎng)狱c(diǎn)到直線的距離比到點(diǎn)的距離大1，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過(guò)原點(diǎn)的一條直線與圓相切，交曲線于另一點(diǎn)，且，求圓的方程；（3）已知直線與曲線交于，兩點(diǎn)，若，求面積的最小值.解：（1）因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到直線的距離比到點(diǎn)的距離大1，所以動(dòng)點(diǎn)到直線的距離與到點(diǎn)的距離相等，根據(jù)拋物線的定義可知，點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線上，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡為；（2）設(shè)，由，解得，由對(duì)稱性，不妨取，則，直線方程為，即，由圓的圓心到的距離為，所以，故圓的方程為.（3）因?yàn)椋@然直線的斜率不可能為零，設(shè)直線：，，由，可得，由，所以，因?yàn)椋?，即，亦即，將代入得，，，所以，且，解得或．設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，所以，所以，所以的面積，而或，所以當(dāng)時(shí)，的面積.山西省大同市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】拋物線開(kāi)口向左，焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線方程為.故選：A.2.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由直線方程可得直線斜率，故直線的傾斜角為.故選：D.3.如圖，在四面體中，，且，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得，，，∴.故選：C.4.若點(diǎn)在圓外，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在圓外，則，解得.故選：B.5.如圖所示的幾何體為兩個(gè)正方體組成的正四棱柱，記集合，則集合中元素個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.6 D.9【答案】A【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則A1,0,0，，，，，，，，，，，所以，，，，，，，，，，所以，，，所以集合，即集合共個(gè)元素.故選：A.6.已知，雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓的的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意可得，因?yàn)?，可得，因此，雙曲線的漸近線方程為.故選：C.7.已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】由題意得，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，所以的最小值為兩平行線間距離的平方，即.故選：D.8.橢圓是軸對(duì)稱圖形，亦是中心對(duì)稱圖形，因其對(duì)稱性，受到一些藝術(shù)制品設(shè)計(jì)者的青睞.現(xiàn)有一工藝品，其圖案的基本圖形由正方形和內(nèi)嵌其中的“斜橢圓”組成（如圖）．在平面直角坐標(biāo)系中，將標(biāo)準(zhǔn)方程表示的橢圓繞著對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)一定角度，可得“斜橢圓”.已知一“斜橢圓”的方程為，則該“斜橢圓”的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)“斜橢圓”的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，由橢圓的對(duì)稱性可得長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)度為曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值，短半軸的長(zhǎng)度為曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值，由基本不等式，可得，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立，所以橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，所以橢圓離心率為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知曲線（、為常數(shù)）則（）A.若，，則曲線為橢圓B.若，則曲線為雙曲線C.對(duì)任意實(shí)數(shù)、，曲線都不會(huì)是拋物線D.存在實(shí)數(shù)、，使得曲線是由直線組成的圖形【答案】BCD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則曲線為圓，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，若，則曲線為雙曲線，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，對(duì)任意實(shí)數(shù)、，曲線中的、都無(wú)一次項(xiàng)，即曲線不會(huì)是拋物線，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，取，，可得，此時(shí)，曲線表示兩條平行直線，D對(duì).故選：BCD.10.在正方體中，，，則（）A.若，則點(diǎn)軌跡為線段B.若，則點(diǎn)的軌跡為連接棱的中點(diǎn)和棱中點(diǎn)的線段C.若，則三棱錐的體積為定值D.若，則與平面所成角的余弦值的最大值為【答案】BCD【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0、、、、、、、，因?yàn)椋瑢?duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)的軌跡為線段，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，若，即點(diǎn)，此時(shí)，點(diǎn)的軌跡為連接棱的中點(diǎn)和棱中點(diǎn)的線段，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若，即點(diǎn)，其中，，，設(shè)平面的法向量為m=x1,則，取，可得，，則點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)榈拿娣e為定值，故三棱錐的體積為定值，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，若，則，其中，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則，當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)取最大值，且，則，因此，當(dāng)時(shí)，則與平面所成角的余弦值的最大值為，D對(duì).故選：BCD.11.已知是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.若的縱坐標(biāo)為2，則B.若直線過(guò)點(diǎn)，則的最小值為4C.若，則直線恒過(guò)定點(diǎn)D.若垂直的準(zhǔn)線于點(diǎn)，且，則四邊形的周長(zhǎng)為【答案】BC【解析】由題意得，，，準(zhǔn)線方程.A.由的縱坐標(biāo)為2得，，故，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.B.如圖，設(shè)直線方程為：，，由得，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)B正確.C.如圖，設(shè)直線方程為：，，由得，，∴，∴，解得，∴直線方程為：，恒過(guò)定點(diǎn)，選項(xiàng)C正確.D.如圖，設(shè)點(diǎn)在第四象限.由題意得，，則.由準(zhǔn)線方程為得，，故，，∴，∴四邊形的周長(zhǎng)為，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知橢圓的焦距為2，則______．【答案】5或7.【解析】當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸時(shí)，，由焦距為得，，故，解得.當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸時(shí)，，由焦距為得，，故，解得.13.若圓與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【解析】圓圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以曲線的圖象也關(guān)于軸對(duì)稱，所以只需研究與圓只有一個(gè)交點(diǎn)即可，當(dāng)與圓相切時(shí)，則，當(dāng)與圓相交時(shí)（只有一個(gè)交點(diǎn)），則，綜上可得的取值范圍為.14.已知為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于一條漸近線的直線交的右支于點(diǎn)，若，則的離心率______.【答案】【解析】由得，，又∵，∴.由雙曲線漸近線方程為得，，即，又∵，∴.在中，由正弦定理得，，∴，解得，由雙曲線定義可得，，故，在中，由余弦定理得，，∴，故雙曲線離心率.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.（1）求兩焦點(diǎn)分別為，且過(guò)點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求與雙曲線共漸近線，且過(guò)點(diǎn)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：（1）設(shè)橢圓方程為，依題意，解得，所以橢圓方程為；（2）依題意設(shè)雙曲線方程為，則，解得，所以雙曲線方程為.16.已知圓和點(diǎn).（1）過(guò)點(diǎn)作一條直線與圓交于、兩點(diǎn)，且，求直線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作圓兩條切線，切點(diǎn)分別為、，求所在的直線方程.解：（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，所以圓心到直線的距離為.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為，合乎題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，由題意可得，解得，此時(shí)直線的方程為，即.綜上所述，直線的方程為或.（2）因?yàn)椋瑒t，所以以點(diǎn)為圓心，為半徑為圓的方程為，則線段可視為圓與圓的相交弦，將上述兩圓的方程作差可得..17.如圖，在以為頂點(diǎn)的圓錐中，點(diǎn)是圓錐底面圓的圓心，是圓錐底面圓的直徑，為底面圓周上的兩點(diǎn)，且為等邊三角形，是母線的中點(diǎn)，.（1）求平面ADE與平面ACE的夾角的余弦值；（2）設(shè)AE與PO交于點(diǎn)，求直線CM與平面ADE所成角的正弦值.