高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山西省孝義市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，（其中為虛數(shù)單位，為復(fù)數(shù)集），則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，．故選：C．2.下列命題是真命題的是（）A.兩個四棱錐可以拼成一個四棱柱B.正三棱錐的底面和側(cè)面都是等邊三角形C.經(jīng)過不共線的三個點的球有且只有一個D.直棱柱的側(cè)面是矩形【答案】D【解析】對于A，兩個四棱錐不一定可以拼成一個四棱柱，A錯誤．對于B，正三棱錐的底面是等邊三角形，側(cè)面是等腰三角形，不一定是等邊三角形，B錯誤．對于C，經(jīng)過不共線的三個點只能確定一個平面，經(jīng)過不共線的三個點的球有無數(shù)個，C錯誤．對于D，直棱柱的側(cè)面是矩形，D正確．故選：D3.如圖，一個水平放置的三角形的斜二測直觀圖是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周長是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意可得：，由直觀圖可得原圖，如圖所示，可知：，可得，所以原三角形的周長.故選：B.4.設(shè)均為單位向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若，則，即，即，所以，即，所以充分性成立，若，則，此時，，所以，即，所以必要性成立，所以“”是“”的充分必要條件.故選：C5.折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子，如圖1.其平面圖如圖2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝2OC＝2，點E在弧CD上，則的最小值是（）A.－1 B.1 C.－3 D.3【答案】C【解析】以為原點，為軸的正方形建立平面直角坐標系，則，設(shè)，，所以當(dāng)時，取得最小值.故選：C6.定義在上的函數(shù)，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以是偶函數(shù)，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，而在上單調(diào)遞增，則，，則，

.故選：B.7.已知，且，則（）A.3 B.2 C. D.【答案】C【解析】因為，所以，所以，又，解得：，因為，所以,所以，所以.故選：C.8.《數(shù)書九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，全書十八卷共八十一個問題，分為九類，每類九個問題，《數(shù)書九章》中記錄了秦九韶的許多創(chuàng)造性成就，其中在卷五“三斜求積”中提出了已知三角形三邊a，b，c求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完全等價，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實，一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即.現(xiàn)有滿足，且的面積，請運用上述公式判斷下列命題正確的是（）A.周長為B.三個內(nèi)角滿足關(guān)系C.外接圓半徑為D.中線CD的長為【答案】ABD【解析】現(xiàn)有滿足，所以，設(shè)，利用余弦定理cosC，由于，所以．所以，故，所以三個內(nèi)角成等差數(shù)列，故B正確；利用，所以，解得．所以：所以的周長為，故A正確；利用正弦定理，外接圓半徑為，故C錯誤；如圖所示：利用正弦定理，解得，所以，利用余弦定理：，解得，故D正確．故選：ABD．二、多項選擇題（本大題共3個小題，每小題6分，共18分，在每個給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.設(shè)，為復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（）A.B.C.若，則D.若，則【答案】BC【解析】設(shè)，，，，，，對于選項A，例如，則，，兩者不相等，故A錯誤；對于選項B，因為，，又，，則，即，故B正確；對于選項C，若，則，，所以，故C正確；對于選項D，令，，則，，所以，此時，故D錯誤．故選：BC.10.已知函數(shù)，，，則（）A.的圖象是由的圖象向左平移個單位長度，且所有點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍得到B.的圖象是由的圖象向右平移個單位長度，且所有點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍得到C.當(dāng)時，函數(shù)的圖象與在區(qū)間內(nèi)有兩個不同交點D.當(dāng)時，【答案】BCD【解析】對于選項A和B，因為，所以的圖象由的圖象向右平移個單位長度，再縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍得到，所以A不正確，B正確；對于選項C，因為，其中，因為，且取不到，所以當(dāng)時，直線與函數(shù)一個周期內(nèi)的圖象只有2個交點，所以C正確；對于選項D，由C分析知，是在內(nèi)的兩個不等根，由對稱性知，，所以，所以D正確．故選：BCD．11.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用（圖1），明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖2）.若一半徑為2米的筒車水輪圓心O距離水面1米（圖3），已知水輪按逆時針轉(zhuǎn)動，每分鐘轉(zhuǎn)動4圈，當(dāng)水輪上點P從水中浮現(xiàn)時（圖3中點）開始計時，經(jīng)過t秒后點P距離水面的高度為h米，下列結(jié)論正確的有（）A.h關(guān)于t的函數(shù)解析式為B.點P第一次到達最高點需用時5秒C.P再次接觸水面需用時10秒D.當(dāng)點P運動2.5秒時，距水面的高度為1.5米【答案】ABC【解析】函數(shù)中，所以，時，，解得，因為，所以，所以，A正確；令得，則，解得，所以x的最小值為5，即點P第一次到達最高點需用時5秒，B正確；由題意知，點P再次接觸水面需用時（秒），C正確；當(dāng)時，，點P距水面的高度為2米，D錯誤．故選：ABC三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知，，則與向量重直的單位向量為_____．【答案】或【解析】因為，，所以，設(shè)與向量重直的單位向量為，則，解得或，所以或.故答案為：或13.________．【答案】2【解析】.故答案為：214.我國古代《九章算術(shù)》中將上，下兩面為平行矩形的六面體稱為芻童.如圖的芻童有外接球，且，平面與平面的距離為1則，該芻童外接球的體積為______.【答案】【解析】設(shè)為芻童外接球的球心，，分別為矩形，的中心，由球的幾何性質(zhì)可知：，，三點共線，連接，，，，，如圖所示：由題知：平面，平面，所以.因為，設(shè)，在中，，因為，在中，，設(shè)外接球的半徑為，則，所以，解得.所以，.故答案為：四、解答題（共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.如圖，在邊長為2的菱形中.（1）求；（2）若E為對角線上一動點.連結(jié)并延長，交于點F，連結(jié)，設(shè).當(dāng)λ為何值時，可使最小，并求出的最小值.解：（1）在菱形中，易知，，所以.（2）在菱形中，，易知，由，則，即，所以，故，所以當(dāng)時，取得最小值為.16.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）若，求的值．解：（1）由余弦定理得，所以，即，由正弦定理得，因為，所以，因為，所以.（2）由，得，因為，所以，所以，解得，所以，因為，所以，，所以.17.在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，滿足.（1）求角的大小；（2）若，邊上的中線的長為，求的面積；（3）若內(nèi)角的角平分線交于點，且，求的面積的最小值．解：（1）由及正弦定理得：，因為、，所以，則，故.（2）因為，為中點，則，由余弦定理得，得，在中，，在中，，因為，所以，所以，，解得：，故的面積為；（3）因為，平分，所以，又，則由，得，所以，由基本不等式可得，則，得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，故面積的最小值為.18.已知數(shù)（）的相鄰兩對稱軸間的距離為.（1）求的解析式；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再把各點的橫坐標縮小為原來的（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，若，，求的值；（3）對于第（2）問中的函數(shù)，記方程在上的根從小到大依次為，，…，，若，試求與的值.解：（1）∵∴又∵，∴∴（2）向右平移個單位，得;再把橫坐標縮小為原來的（縱坐標不變），得因為，所以因為，則，所以故，（3）由方程，即，即,因為，可得,設(shè)，其中，即，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，可得方程在區(qū)間有5個解，即，其中，，，，即，，，，解得，，，，所以綜上，，.19.在平面直角坐標系中，對于非零向量，定義這兩個向量的“相離度”為，容易知道平行的充要條件為．（1）已知，求；（2）①已知的夾角為和的夾角為，證明：的充分必要條件是；②在中，且，若，求．解：（1）因為，所以.（2）①因為，且，，則，所以.若，等價于，即，所以的充分必要條件是；②因，則，可得，即，可得，又因為，可知點為的重心，則，可得，則，，，可得，所以.山西省孝義市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，（其中為虛數(shù)單位，為復(fù)數(shù)集），則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，．故選：C．2.下列命題是真命題的是（）A.兩個四棱錐可以拼成一個四棱柱B.正三棱錐的底面和側(cè)面都是等邊三角形C.經(jīng)過不共線的三個點的球有且只有一個D.直棱柱的側(cè)面是矩形【答案】D【解析】對于A，兩個四棱錐不一定可以拼成一個四棱柱，A錯誤．對于B，正三棱錐的底面是等邊三角形，側(cè)面是等腰三角形，不一定是等邊三角形，B錯誤．對于C，經(jīng)過不共線的三個點只能確定一個平面，經(jīng)過不共線的三個點的球有無數(shù)個，C錯誤．對于D，直棱柱的側(cè)面是矩形，D正確．故選：D3.如圖，一個水平放置的三角形的斜二測直觀圖是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周長是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意可得：，由直觀圖可得原圖，如圖所示，可知：，可得，所以原三角形的周長.故選：B.4.設(shè)均為單位向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若，則，即，即，所以，即，所以充分性成立，若，則，此時，，所以，即，所以必要性成立，所以“”是“”的充分必要條件.故選：C5.折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子，如圖1.其平面圖如圖2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝2OC＝2，點E在弧CD上，則的最小值是（）A.－1 B.1 C.－3 D.3【答案】C【解析】以為原點，為軸的正方形建立平面直角坐標系，則，設(shè)，，所以當(dāng)時，取得最小值.故選：C6.定義在上的函數(shù)，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以是偶函數(shù)，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，而在上單調(diào)遞增，則，，則，

.故選：B.7.已知，且，則（）A.3 B.2 C. D.【答案】C【解析】因為，所以，所以，又，解得：，因為，所以,所以，所以.故選：C.8.《數(shù)書九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，全書十八卷共八十一個問題，分為九類，每類九個問題，《數(shù)書九章》中記錄了秦九韶的許多創(chuàng)造性成就，其中在卷五“三斜求積”中提出了已知三角形三邊a，b，c求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完全等價，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實，一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即.現(xiàn)有滿足，且的面積，請運用上述公式判斷下列命題正確的是（）A.周長為B.三個內(nèi)角滿足關(guān)系C.外接圓半徑為D.中線CD的長為【答案】ABD【解析】現(xiàn)有滿足，所以，設(shè)，利用余弦定理cosC，由于，所以．所以，故，所以三個內(nèi)角成等差數(shù)列，故B正確；利用，所以，解得．所以：所以的周長為，故A正確；利用正弦定理，外接圓半徑為，故C錯誤；如圖所示：利用正弦定理，解得，所以，利用余弦定理：，解得，故D正確．故選：ABD．二、多項選擇題（本大題共3個小題，每小題6分，共18分，在每個給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.設(shè)，為復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（）A.B.C.若，則D.若，則【答案】BC【解析】設(shè)，，，，，，對于選項A，例如，則，，兩者不相等，故A錯誤；對于選項B，因為，，又，，則，即，故B正確；對于選項C，若，則，，所以，故C正確；對于選項D，令，，則，，所以，此時，故D錯誤．故選：BC.10.已知函數(shù)，，，則（）A.的圖象是由的圖象向左平移個單位長度，且所有點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍得到B.的圖象是由的圖象向右平移個單位長度，且所有點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍得到C.當(dāng)時，函數(shù)的圖象與在區(qū)間內(nèi)有兩個不同交點D.當(dāng)時，【答案】BCD【解析】對于選項A和B，因為，所以的圖象由的圖象向右平移個單位長度，再縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍得到，所以A不正確，B正確；對于選項C，因為，其中，因為，且取不到，所以當(dāng)時，直線與函數(shù)一個周期內(nèi)的圖象只有2個交點，所以C正確；對于選項D，由C分析知，是在內(nèi)的兩個不等根，由對稱性知，，所以，所以D正確．故選：BCD．11.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用（圖1），明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖2）.若一半徑為2米的筒車水輪圓心O距離水面1米（圖3），已知水輪按逆時針轉(zhuǎn)動，每分鐘轉(zhuǎn)動4圈，當(dāng)水輪上點P從水中浮現(xiàn)時（圖3中點）開始計時，經(jīng)過t秒后點P距離水面的高度為h米，下列結(jié)論正確的有（）A.h關(guān)于t的函數(shù)解析式為B.點P第一次到達最高點需用時5秒C.P再次接觸水面需用時10秒D.當(dāng)點P運動2.5秒時，距水面的高度為1.5米【答案】ABC【解析】函數(shù)中，所以，時，，解得，因為，所以，所以，A正確；令得，則，解得，所以x的最小值為5，即點P第一次到達最高點需用時5秒，B正確；由題意知，點P再次接觸水面需用時（秒），C正確；當(dāng)時，，點P距水面的高度為2米，D錯誤．故選：ABC三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知，，則與向量重直的單位向量為_____．【答案】或【解析】因為，，所以，設(shè)與向量重直的單位向量為，則，解得或，所以或.故答案為：或13.________．【答案】2【解析】.故答案為：214.我國古代《九章算術(shù)》中將上，下兩面為平行矩形的六面體稱為芻童.如圖的芻童有外接球，且，平面與平面的距離為1則，該芻童外接球的體積為______.【答案】【解析】設(shè)為芻童外接球的球心，，分別為矩形，的中心，由球的幾何性質(zhì)可知：，，三點共線，連接，，，，，如圖所示：由題知：平面，平面，所以.因為，設(shè)，在中，，因為，在中，，設(shè)外接球的半徑為，則，所以，解得.所以，.故答案為：四、解答題（共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.如圖，在邊長為2的菱形中.（1）求；（2）若E為對角線上一動點.連結(jié)并延長，交于點F，連結(jié)，設(shè).當(dāng)λ為何值時，可使最小，并求出的最小值.解：（1）在菱形中，易知，，所以.（2）在菱形中，，易知，由，則，即，所以，故，所以當(dāng)時，取得最小值為.16.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）若，求的值．解：（1）由余弦定理得